stringtranslate.com

Проблемы Гильберта

Дэвид Гилберт

Проблемы Гильберта — это 23 проблемы по математике, опубликованные немецким математиком Давидом Гильбертом в 1900 году. Все они были нерешенными в то время, и некоторые из них оказались очень влиятельными для математики 20-го века. Гильберт представил десять из этих проблем (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22) на Парижской конференции Международного конгресса математиков , выступая 8 августа в Сорбонне . Полный список из 23 проблем был опубликован позже, в английском переводе в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в Бюллетене Американского математического общества . [1] Более ранние публикации (на оригинальном немецком языке) появились в Archiv der Mathematik und Physik . [2]

Список проблем Гильберта

Ниже приведены заголовки 23 задач Гильберта, как они появились в переводе 1902 года в Бюллетене Американского математического общества . [1]

1. Проблема Кантора о кардинальном числе континуума.
2. Совместимость арифметических аксиом.
3. Равенство объемов двух тетраэдров с равными основаниями и равными высотами.
4. Задача о прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками.
5. Концепция Ли непрерывной группы преобразований без предположения о дифференцируемости функций, определяющих группу.
6. Математическая обработка аксиом физики.
7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел.
8. Проблемы простых чисел («Гипотеза Римана»).
9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.
10. Определение разрешимости диофантова уравнения.
11. Квадратичные формы с любыми алгебраическими числовыми коэффициентами
12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на любую алгебраическую область рациональности
13. Невозможность решения общего уравнения 7-й степени с помощью функций только двух аргументов.
14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.
15. Строгое обоснование исчислительного исчисления Шуберта.
16. Задача топологии алгебраических кривых и поверхностей.
17. Выражение определенных форм квадратами.
18. Построение пространства из равных многогранников.
19. Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления обязательно являются аналитическими?
20. Общая задача граничных значений (краевые задачи в уравнениях с частными производными).
21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную группу монодромии.
22. Униформизация аналитических отношений с помощью автоморфных функций.
23. Дальнейшее развитие методов вариационного исчисления.

Характер и влияние проблем

Проблемы Гильберта сильно различались по тематике и точности. Некоторые из них, как 3-я проблема, которая была решена первой, или 8-я проблема ( гипотеза Римана ), которая до сих пор остается нерешенной, были представлены достаточно точно, чтобы дать ясный утвердительный или отрицательный ответ. Для других проблем, таких как 5-я, эксперты традиционно соглашались на единую интерпретацию, и было дано решение принятой интерпретации, но существуют тесно связанные нерешенные проблемы. Некоторые из утверждений Гильберта были недостаточно точны, чтобы указать на конкретную проблему, но были достаточно наводящими на размышления, чтобы некоторые проблемы современной природы, по-видимому, применимы; например, большинство современных теоретиков чисел, вероятно, рассматривают 9-ю проблему как относящуюся к предполагаемому соответствию Ленглендса относительно представлений абсолютной группы Галуа числового поля . [3] Другие проблемы, такие как 11-я и 16-я, касаются того, что сейчас является процветающими математическими дисциплинами, такими как теории квадратичных форм и действительных алгебраических кривых .

Есть две проблемы , которые не только не решены, но и могут быть фактически неразрешимы по современным стандартам. 6-я проблема касается аксиоматизации физики , цели, которую разработки 20-го века, похоже, делают более отдаленной и менее важной, чем во времена Гильберта. Кроме того, 4-я проблема касается основ геометрии , таким образом, который теперь обычно считается слишком неопределенным, чтобы дать окончательный ответ.

23-я проблема была специально поставлена ​​Гильбертом в качестве общего указания, чтобы выделить вариационное исчисление как недооцененную и недостаточно изученную область. В лекции, представляя эти проблемы, Гильберт сделал следующее вводное замечание к 23-й проблеме:

«До сих пор я упоминал проблемы, как можно более определенные и специальные, полагая, что именно такие определенные и специальные проблемы привлекают нас больше всего и именно они часто оказывают самое продолжительное влияние на науку. Тем не менее, я хотел бы закончить общей проблемой, а именно указанием на раздел математики, неоднократно упоминаемый в этой лекции, — который, несмотря на значительный прогресс, данный ему в последнее время Вейерштрассом, не получает того общего признания, которого, по моему мнению, он заслуживает, — я имею в виду вариационное исчисление».

Остальные 21 задача получили значительное внимание, и в конце 20-го века работа над этими задачами все еще считалась наиболее важной. Пол Коэн получил медаль Филдса в 1966 году за свою работу над первой задачей, а отрицательное решение десятой задачи в 1970 году Юрием Матиясевичем (завершившим работу Джулии Робинсон , Хилари Патнэм и Мартина Дэвиса ) вызвало аналогичное признание. Некоторые аспекты этих задач по-прежнему представляют большой интерес сегодня.

Познаваемость

Вслед за Готлобом Фреге и Бертраном Расселом Гильберт стремился логически определить математику, используя метод формальных систем , т. е. финитные доказательства из согласованного набора аксиом . [4] Одной из главных целей программы Гильберта было финитное доказательство непротиворечивости аксиом арифметики: это его вторая проблема. [a]

Однако вторая теорема Гёделя о неполноте даёт точное представление, в котором такое финитное доказательство непротиворечивости арифметики доказуемо невозможно. Гильберт прожил 12 лет после того, как Курт Гёдель опубликовал свою теорему, но, похоже, не написал никакого формального ответа на работу Гёделя. [b] [c]

Десятая проблема Гильберта не спрашивает, существует ли алгоритм для решения вопроса о разрешимости диофантовых уравнений , а скорее требует построения такого алгоритма: «разработать процесс, согласно которому можно было бы определить за конечное число операций, разрешимо ли уравнение в рациональных целых числах ». То, что эта проблема была решена путем демонстрации того, что не может быть такого алгоритма, противоречило философии математики Гильберта.

Обсуждая свое мнение о том, что каждая математическая задача должна иметь решение, Гильберт допускает возможность того, что решение может быть доказательством того, что исходная задача невозможна. [d] Он утверждал, что суть в том, чтобы так или иначе узнать, каково решение, и он считал, что мы всегда можем это знать, что в математике нет никакого « ignorabimus » (утверждения, истинность которого никогда не может быть известна). [e] Кажется неясным, считал ли бы он решение десятой задачи примером ignorabimus: то, что доказывается как несуществующее, — это не целочисленное решение, а (в определенном смысле) способность распознавать определенным образом, существует ли решение.

С другой стороны, статус первой и второй проблем еще более сложен: нет четкого математического консенсуса относительно того, дают ли результаты Гёделя (в случае второй проблемы) или Гёделя и Коэна (в случае первой проблемы) окончательные отрицательные решения или нет, поскольку эти решения применяются к определенной формализации проблем, которая не обязательно является единственно возможной. [f]

24-я проблема

Первоначально Гильберт включил в свой список 24 проблемы, но решил не включать одну из них в опубликованный список. «24-я проблема» (в теории доказательств , о критерии простоты и общих методах) была заново открыта в оригинальных рукописных заметках Гильберта немецким историком Рюдигером Тиле в 2000 году . [7]

Продолжение

Начиная с 1900 года математики и математические организации публиковали списки задач, но, за редкими исключениями, они не оказали такого влияния и не вызвали такого объема работы, как задачи Гильберта.

Одно исключение состоит из трех гипотез, выдвинутых Андре Вейлем в конце 1940-х годов ( гипотезы Вейля ). В областях алгебраической геометрии , теории чисел и связей между ними гипотезы Вейля были очень важны. [8] [9] Первая из них была доказана Бернаром Дворком ; совершенно иное доказательство первых двух, через ℓ-адические когомологии , было дано Александром Гротендиком . Последняя и самая глубокая из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана) была доказана Пьером Делинем . И Гротендик, и Делинь были награждены медалью Филдса . Однако гипотезы Вейля по своему объему больше напоминали одну проблему Гильберта, и Вейль никогда не рассматривал их как программу для всей математики. Это несколько иронично, поскольку, возможно, Вейль был математиком 1940-х и 1950-х годов, который лучше всех сыграл роль Гильберта, будучи знакомым практически со всеми областями (теоретической) математики и сыграв важную роль в развитии многих из них.

Пол Эрдёш поставил сотни, если не тысячи, математических задач , многие из которых были глубокими. Эрдёш часто предлагал денежные вознаграждения; размер вознаграждения зависел от воспринимаемой сложности задачи. [10]

Конец тысячелетия, который также был столетием объявления Гильбертом своих проблем, предоставил естественный повод предложить «новый набор проблем Гильберта». Несколько математиков приняли вызов, в частности, обладатель медали Филдса Стив Смейл , который ответил на просьбу Владимира Арнольда предложить список из 18 проблем.

По крайней мере, в основных средствах массовой информации фактическим аналогом проблем Гильберта в 21 веке является список из семи проблем премии тысячелетия, выбранных в 2000 году Математическим институтом Клэя . В отличие от проблем Гильберта, где основной наградой было восхищение Гильбертом в частности и математиками в целом, каждая призовая проблема включает вознаграждение в миллион долларов. Как и в случае с проблемами Гильберта, одна из призовых проблем ( гипотеза Пуанкаре ) была решена относительно скоро после объявления проблем.

Гипотеза Римана примечательна тем, что она появилась в списке проблем Гильберта, списке Смейла, списке проблем тысячелетия и даже в гипотезах Вейля в ее геометрическом обличье. Хотя она подвергалась нападкам со стороны крупных математиков наших дней, многие эксперты полагают, что она все еще будет частью списков нерешенных проблем на протяжении многих столетий. Сам Гильберт заявил: «Если бы я проснулся после того, как проспал тысячу лет, моим первым вопросом было бы: была ли доказана гипотеза Римана?» [11]

В 2008 году DARPA опубликовало собственный список из 23 проблем, которые, как оно надеялось, могли бы привести к крупным математическим прорывам, «тем самым укрепляя научные и технологические возможности Министерства обороны ». [12] [13] Список DARPA также включает несколько проблем из списка Гильберта, например, гипотезу Римана.

Краткое содержание

Из четко сформулированных проблем Гильберта, проблемы 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 и 20 имеют решения, принятые консенсусом математического сообщества. Проблемы 1, 2, 5, 6, [g] 9, 11, 12, 15, 21 и 22 имеют решения, которые имеют частичное принятие, но существуют некоторые разногласия относительно того, решают ли они проблемы.

Это оставляет 8 ( гипотеза Римана ), 13 и 16 [h] неразрешенными, а 4 и 23 слишком неопределенными, чтобы когда-либо быть описанными как решенные. Отозванный 24 также будет в этом классе.

Таблица проблем

23 проблемы Гильберта (подробности решений и ссылки см. в статьях, ссылки на которые указаны в первом столбце):

Смотрите также

Примечания

  1. ^ См. Nagel and Newman, пересмотренное Хофштадтером (2001, стр. 107), [5] сноска 37: «Более того, хотя большинство специалистов по математической логике не подвергают сомнению убедительность доказательства [Гентцена], оно не является финитным в смысле первоначальных положений Гильберта об абсолютном доказательстве непротиворечивости». Также см. следующую страницу: «Но эти доказательства [Гентцена и др.] не могут быть отражены внутри систем, которых они касаются, и, поскольку они не являются финитными, они не достигают провозглашенных целей первоначальной программы Гильберта». Хофштадтер немного переписал первоначальную сноску (1958), изменив слово «студенты» на «специалисты по математической логике». И этот момент снова обсуждается на стр. 109 [5] и не был там изменен Хофштадтером (стр. 108). [5]
  2. ^ Рид сообщает, что, услышав о «работе Гёделя от Бернайса, он был «несколько зол». ... Сначала он был только зол и расстроен, но затем он начал пытаться конструктивно разобраться с проблемой. ... Было еще не ясно, какое влияние работа Гёделя в конечном итоге окажет» (стр. 198–199). [6] Рид отмечает, что в двух статьях в 1931 году Гильберт предложил другую форму индукции, названную «unendliche Induktion» (стр. 199). [6]
  3. ↑ Биография Гильберта, написанная Ридом в 1960-х годах на основе интервью и писем, сообщает, что «Гёдель (который никогда не переписывался с Гильбертом) считает, что схема Гильберта для оснований математики «остается крайне интересной и важной, несмотря на мои отрицательные результаты» (стр. 217). Обратите внимание на использование настоящего времени — она сообщает, что Гёдель и Бернайс среди прочих «ответили на мои вопросы о работе Гильберта в области логики и оснований» (стр. vii). [6]
  4. ^ Эта проблема, которая берет свое начало в «основополагающем кризисе» начала 20-го века, в частности, в споре о том, при каких обстоятельствах закон исключенного третьего может быть использован в доказательствах. Подробнее см. в разделе « Противоречие Брауэра–Гильберта» .
  5. ^ «Эта убежденность в разрешимости каждой математической проблемы является мощным стимулом для работника. Мы слышим внутри себя вечный призыв: вот проблема. Ищите ее решение. Вы можете найти его чистым разумом, ибо в математике нет ignorabimus ». (Гильберт, 1902, стр. 445)
  6. ^ Нагель, Ньюман и Хофштадтер обсуждают этот вопрос: «Возможность построения финитного абсолютного доказательства непротиворечивости для формальной системы, такой как Principia Mathematica, не исключается результатами Гёделя. ... Его аргумент не исключает эту возможность ... Но сегодня, похоже, никто не имеет ясного представления о том, каким было бы финитное доказательство, которое не могло бы быть отражено в Principia Mathematica (сноска 39, стр. 109). Авторы приходят к выводу, что такая перспектива «крайне маловероятна». [5]
  7. ^ Число 6 теперь считается задачей по физике, а не по математике.
  8. ^ Некоторые авторы считают эту проблему слишком неопределенной, чтобы когда-либо считать ее решенной, хотя в этой области все еще ведутся активные исследования.
  9. ^ По словам Грея, большинство проблем решены. Некоторые из них не были полностью определены, но был достигнут достаточный прогресс, чтобы считать их «решенными»; Грей называет четвертую проблему слишком неопределенной, чтобы сказать, была ли она решена.
  10. ↑ Проблема 9 была решена Эмилем Артином в 1927 году для абелевых расширений рациональных чисел в ходе развития теории полей классов ; неабелев случай остаётся нерешённым, если интерпретировать это как неабелеву теорию полей классов .
  11. ^ Нетрудно показать, что проблема имеет частичное решение в пространстве однозначных аналитических функций (Рауденбуш). Некоторые авторы утверждают, что Гильберт намеревался получить решение в пространстве (многозначных) алгебраических функций, таким образом продолжая свою собственную работу над алгебраическими функциями и задавая вопрос о возможном расширении теории Галуа (см., например, Абхьянкар [19] , Витушкин [20] , Чеботарев [21] и другие). Из одной из статей Гильберта [22] следует , что это было его первоначальное намерение для проблемы. Язык Гильберта там - " Existenz von algebraischen Funktionen " ("существование алгебраических функций"). Таким образом, проблема до сих пор не решена.
  12. ^ Грей также называет 18-ю проблему «открытой» в своей книге 2000 года, поскольку проблема упаковки сфер (также известная как гипотеза Кеплера ) была нерешена, но теперь ее решение было заявлено.

Ссылки

  1. ^ abc Гильберт, Дэвид (1902). «Математические проблемы». Бюллетень Американского математического общества . 8 (10): 437–479. doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .
  2. ^ Гильберт, Дэвид (1900). «Математические задачи». Геттингер Нахрихтен : 253–297.и Гильберт, Дэвид (1901). «[название не указано]». Архив математики и физики . 3. 1 : 44–63, 213–237.
  3. ^ Вайнштейн, Джаред (2015-08-25). «Законы взаимности и представления Галуа: недавние прорывы». Бюллетень Американского математического общества . 53 (1). Американское математическое общество (AMS): 1–39. doi : 10.1090/bull/1515 . ISSN  0273-0979.
  4. ^ Ван Хейеноорт, Жан, ред. (1976) [1966]. От Фреге до Гёделя: Учебник по математической логике, 1879–1931 ((pbk.) ред.). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. стр. 464 и далее. ISBN 978-0-674-32449-7. Надежным источником аксиоматической системы Гильберта, его комментариев к ним и к основополагающему «кризису», который происходил в то время (переведенному на английский язык), является работа Гильберта «Основания математики» (1927).
  5. ^ abcd Нагель, Эрнест; Ньюман, Джеймс Р.; Хофштадтер, Дуглас Р. (2001). Хофштадтер, Дуглас Р. (ред.). Доказательство Гёделя (пересм. ред.). Нью-Йорк: New York University Press. ISBN 978-0-8147-5816-8.
  6. ^ abc Рид, Констанс (1996). Гильберт . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387946740.
  7. ^ Тиле, Рюдигер (январь 2003 г.). «Двадцать четвертая проблема Гильберта» (PDF) . American Mathematical Monthly . 110 : 1–24. doi :10.1080/00029890.2003.11919933. S2CID  123061382.
  8. ^ Вайль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях». Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 497–508. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN  0002-9904. MR  0029393.
  9. ^ Браудер, Феликс Э. (1976). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1428-1. OCLC  2331329.
  10. ^ Чунг, Фань РК; Грэм, Рональд Л. (1999-06-01). Эрдёш о графах: его наследие нерешённых проблем . Натик, Массачусетс: AK Peters/CRC Press. ISBN 978-1-56881-111-6. OCLC  42809520.
  11. ^ Клоусон, Кэлвин С. (8 декабря 1999 г.). Математические тайны: Красота и магия чисел . Basic Books. стр. 258. ISBN 9780738202594. LCCN  99-066854.
  12. ^ Куни, Майкл (30 сентября 2008 г.). «23 самых сложных математических вопроса в мире». Network World . Получено 7 апреля 2024 г.
  13. ^ "DARPA Mathematical Challenges". 2008-09-26. Архивировано из оригинала 2019-01-12 . Получено 2021-03-31 .
  14. ^ Корри, Л. (1997). «Дэвид Гильберт и аксиоматизация физики (1894–1905)». Arch. Hist. Exact Sci . 51 (2): 83–198. doi :10.1007/BF00375141. S2CID  122709777.
  15. ^ Горбань, А. Н.; Карлин, И. (2014). «6-я проблема Гильберта: точные и приближенные гидродинамические многообразия для кинетических уравнений». Бюллетень Американского математического общества . 51 (2): 186–246. arXiv : 1310.0406 . doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
  16. ^ Фон Нейман, Джон (2018). Уилер, Николас А. (ред.). Математические основы квантовой механики. Перевод Бейера, Роберта Т. Принстон Оксфорд: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-17856-1.
  17. ^ Хазевинкель, Мишель (2009). Справочник по алгебре . Том. 6. Эльзевир. п. 69. ИСБН 978-0080932811.
  18. ^ Хьюстон-Эдвардс, Келси (25 мая 2021 г.). «Математики находят долгожданные строительные блоки для специальных многочленов».
  19. ^ Абхьянкар, Шрирам С. (1997). Тринадцатая проблема Гильберта (PDF) . Семинары и конгрессы. Том. 2. Математическое общество Франции.
  20. ^ Витушкин, Анатолий Г. (2004). «О тринадцатой проблеме Гильберта и связанных с ней вопросах». Математические обзоры . 59 (1). Российская академия наук: 11–25. Bibcode :2004RuMaS..59...11V. doi :10.1070/RM2004v059n01ABEH000698. S2CID  250837749.
  21. ^ Морозов, Владимир В. (1954). «О некоторых проблемах резольвента». Известия Казанского университета (на русском языке). 114 (2). Казанский университет: 173–187.
  22. ^ Гильберт, Дэвид (1927). «Über die Gleichung neunten Grades». Математика. Энн . 97 : 243–250. дои : 10.1007/BF01447867. S2CID  179178089.
  23. ^ Клейман, С. Л.; Лаксов , Дэн (1972). «Исчисление Шуберта». American Mathematical Monthly . 79 (10). Американское математическое общество: 1061–1082. doi : 10.1080/00029890.1972.11993188. ISSN  0377-9017.
  24. ^ Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001-01-12). Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка . Берлин Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-41160-4.
  25. ^ Серрин, Джеймс (1969-05-08). «Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений со многими независимыми переменными». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки . 264 (1153): 413–496. Bibcode :1969RSPTA.264..413S. doi :10.1098/rsta.1969.0033. ISSN  0080-4614.
  26. ^ Mawhin, Jean (1 января 1999 г.). «Степень Лере-Шаудера: полвека расширений и приложений». Топологические методы в нелинейном анализе . 14 (2). Университет Николая Коперника в Торуни, Центр нелинейных исследований имени Юлиуша Шаудера: 195–228. doi :10.12775/TMNA.1999.029. ISSN  1230-3429 . Получено 8 апреля 2024 г.
  27. ^ Племель, Йосип (1964). Радок., Дж. Р. М. (ред.). Проблемы в смысле Римана и Клейна. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Том 16. Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Interscience Publishers John Wiley & Sons Inc. ISBN 9780470691250. МР  0174815.
  28. ^ Аносов, Д.В.; Болибрух, А.А. (1994). Проблема Римана-Гильберта . Аспекты математики, Е22. Брауншвейг: Фридр. Вьюег и Зон. дои : 10.1007/978-3-322-92909-9. ISBN 978-3-528-06496-9. МР  1276272.
  29. ^ Болибрух, А.А. (1990). «Проблема Римана-Гильберта». Академия наук СССР I Московское математическое общество. Успехи математических наук . 45 (2): 3–47. Бибкод :1990РуМаС..45Q...1B. doi : 10.1070/RM1990v045n02ABEH002350. ISSN  0042-1316. MR  1069347. S2CID  250853546.
  30. ^ Болибрух, АА (1992). «Достаточные условия положительной разрешимости проблемы Римана-Гильберта». Математические заметки . 51 (2): 110–117. doi :10.1007/BF02102113. MR  1165460. S2CID  121743184.
  31. ^ Katz, NM (1976). "Обзор работы Делиня по двадцать первой проблеме Гильберта". Труды симпозиумов по чистой математике . 28 : 537–557. doi :10.1090/pspum/028.2/9904. ISBN 9780821814284.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:
Математические задачи