Проблемы Премии Тысячелетия

Семь математических задач с призом в 1 миллион долларов США за каждое решение

« Задачи премии тысячелетия» — это семь известных сложных математических задач, отобранных Математическим институтом Клэя в 2000 году. Институт Клэя объявил о присуждении премии в размере 1 миллиона долларов США за первое правильное решение каждой задачи.

Математический институт Клэя официально присвоил название « Проблема тысячелетия» семи нерешенным математическим проблемам: гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера , гипотезе Ходжа , существованию и гладкости Навье–Стокса , проблеме P и NP , гипотезе Римана , существованию и разрыву масс Янга–Миллса и гипотезе Пуанкаре на Встрече тысячелетия, состоявшейся 24 мая 2000 года. Таким образом, на официальном сайте Математического института Клэя эти семь проблем официально называются « Проблемами тысячелетия» .

На сегодняшний день единственной решенной проблемой Премии тысячелетия является гипотеза Пуанкаре. Институт Клэя вручил денежную премию российскому математику Григорию Перельману в 2010 году. Однако он отказался от награды, поскольку она не была предложена Ричарду С. Гамильтону , на чьей работе Перельман основывался.

Обзор

Институт Клэя был вдохновлен набором из двадцати трех задач, организованных математиком Дэвидом Гильбертом в 1900 году, которые оказали большое влияние на прогресс математики в двадцатом веке. ^[1] Семь выбранных задач охватывают ряд математических областей, а именно алгебраическую геометрию , арифметическую геометрию , геометрическую топологию , математическую физику , теорию чисел , уравнения в частных производных и теоретическую информатику . В отличие от задач Гильберта, задачи, выбранные Институтом Клэя, уже были известны среди профессиональных математиков, и многие активно работали над их решением. ^[2]

Семь задач были официально объявлены Джоном Тейтом и Майклом Атья во время церемонии, состоявшейся 24 мая 2000 года (в амфитеатре Маргариты Наваррской ) в Коллеж де Франс в Париже . ^[3]

Григорий Перельман , начавший работу над гипотезой Пуанкаре в 1990-х годах, опубликовал свое доказательство в 2002 и 2003 годах. Его отказ от денежной премии Института Клэя в 2010 году широко освещался в СМИ. Остальные шесть проблем премии тысячелетия остаются нерешенными, несмотря на большое количество неудовлетворительных доказательств как любителей, так и профессиональных математиков.

Эндрю Уайлс , как член научного консультативного совета Института Клэя, надеялся, что выбор призового фонда в размере 1 миллиона долларов США популяризирует среди широкой аудитории как выбранные задачи, так и «волнение от математических усилий». ^[4] Другой член совета, обладатель медали Филдса Ален Коннес , надеялся, что публичность вокруг нерешенных задач поможет бороться с «неправильной идеей» среди общественности о том, что математика будет «обойдена компьютерами». ^[5]

Некоторые математики были более критичны. Анатолий Вершик охарактеризовал их денежную премию как «шоу-бизнес», представляющий «худшие проявления современной массовой культуры», и считал, что есть более значимые способы инвестировать в общественное признание математики. ^[6] Он считал поверхностные медийные трактовки Перельмана и его работы, с непропорциональным вниманием, уделяемым самой стоимости премии, неудивительными. Напротив, Вершик похвалил прямое финансирование Институтом Клэя исследовательских конференций и молодых исследователей. Комментарии Вершика позже были поддержаны медалистом Филдса Шинг-Тунг Яу , который также критиковал идею фонда, предпринимающего действия для «присвоения» фундаментальных математических вопросов и «присоединения своего имени к ним». ^[7]

Решенная проблема

гипотеза Пуанкаре

В области геометрической топологии двумерная сфера характеризуется тем, что она является единственной замкнутой и односвязной двумерной поверхностью. В 1904 году Анри Пуанкаре поставил вопрос о том, справедливо ли аналогичное утверждение для трехмерных фигур. Это стало известно как гипотеза Пуанкаре, точная формулировка которой гласит:

Любое трехмерное топологическое многообразие , которое замкнуто и односвязно, должно быть гомеоморфно 3- сфере .

Хотя гипотеза обычно формулируется именно в такой форме, ее эквивалентно (как было обнаружено в 1950-х годах) сформулировать в контексте гладких многообразий и диффеоморфизмов .

Доказательство этой гипотезы, вместе с более мощной гипотезой геометризации , было дано Григорием Перельманом в 2002 и 2003 годах. Решение Перельмана завершило программу Ричарда Гамильтона по решению гипотезы геометризации, которую он разрабатывал в течение предыдущих двадцати лет. Работа Гамильтона и Перельмана вращалась вокруг потока Риччи Гамильтона , который представляет собой сложную систему уравнений в частных производных, определенных в области римановой геометрии .

За вклад в теорию потока Риччи Перельман был награждён медалью Филдса в 2006 году. Однако он отказался принять премию. ^[8] За доказательство гипотезы Пуанкаре Перельман был награждён премией Тысячелетия 18 марта 2010 года. ^[9] Однако он отказался от награды и сопутствующих денежных призов, заявив, что вклад Гамильтона не меньше его собственного. ^[10]

Нерешенные проблемы

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера касается определенных типов уравнений: уравнений, определяющих эллиптические кривые над рациональными числами . Гипотеза заключается в том, что существует простой способ определить, имеют ли такие уравнения конечное или бесконечное число рациональных решений. Более конкретно, версия гипотезы Премии тысячелетия заключается в том, что если эллиптическая кривая E имеет ранг r , то связанная с ней L -функция L ( E , s ) исчезает до порядка r при s = 1 .

Десятая проблема Гильберта касалась более общего типа уравнений, и в этом случае было доказано, что не существует алгоритмического способа определить, имеет ли данное уравнение какие-либо решения.

Официальное изложение проблемы было дано Эндрю Уайлсом . ^[11]

гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа заключается в том, что для проективных алгебраических многообразий циклы Ходжа являются рациональными линейными комбинациями алгебраических циклов .

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

Мы называем это группой классов Ходжа степени 2k на X.

Современная формулировка гипотезы Ходжа такова:

Пусть X — неособое комплексное проективное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X.

Официальное изложение проблемы было дано Пьером Делинем . ^[12]

Существование и гладкость Навье–Стокса

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {{}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$

Уравнения Навье –Стокса описывают движение жидкостей и являются одним из столпов механики жидкости . Однако теоретическое понимание их решений неполно, несмотря на его важность в науке и технике. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют. Это называется проблемой существования и гладкости Навье–Стокса .

Проблема, ограниченная случаем несжимаемого потока , заключается в том, чтобы доказать, что существуют гладкие, глобально определенные решения, которые удовлетворяют определенным условиям, или что они не всегда существуют и уравнения ломаются. Официальное изложение проблемы было дано Чарльзом Фефферманом . ^[13]

P против NP

Диаграмма Эйлера для P , NP , NP -полных и NP -сложных наборов задач (исключая пустой язык и его дополнение, которые принадлежат P , но не являются NP -полными)

Вопрос в том, может ли алгоритм для всех задач, для которых он может быстро проверить данное решение (то есть за полиномиальное время ), также быстро найти это решение. Поскольку первый описывает класс задач, называемых NP, а второй описывает P, вопрос эквивалентен вопросу о том, все ли задачи из NP также находятся в P. Это обычно считается одним из самых важных открытых вопросов в математике и теоретической информатике , поскольку он имеет далеко идущие последствия для других задач в математике , биологии , ^[14] философии ^[15] и криптографии (см. P против NP последствия доказательства проблемы ). Распространенным примером задачи NP, о которой неизвестно, что она находится в P, является проблема выполнимости булевых уравнений .

Большинство математиков и специалистов по информатике ожидают, что P ≠ NP; однако это остается недоказанным. ^[16]

Официальное изложение проблемы было дано Стивеном Куком . ^[17]

гипотеза Римана

Действительная часть (красная) и мнимая часть (синяя) дзета-функции Римана вдоль критической прямой Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Дзета -функция Римана ζ(s) — это функция , аргументами которой могут быть любые комплексные числа, отличные от 1, и значения которой также являются комплексными. Ее аналитическое продолжение имеет нули в отрицательных четных целых числах; то есть, ζ(s) = 0, когда s равно одному из −2, −4, −6, .... Они называются ее тривиальными нулями. Однако отрицательные четные целые числа — не единственные значения, для которых дзета-функция равна нулю. Другие называются нетривиальными нулями. Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

Действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2.

Гипотеза Римана заключается в том, что все нетривиальные нули аналитического продолжения дзета-функции Римана имеют действительную часть ⁠1/2⁠ . Доказательство или опровержение этого имело бы далеко идущие последствия в теории чисел , особенно для распределения простых чисел . Это была восьмая проблема Гильберта , и столетие спустя она все еще считается важной открытой проблемой .

Эта проблема была хорошо известна с тех пор, как ее впервые сформулировал Бернхард Риман в 1860 году. Изложение проблемы в Институте Клэя было дано Энрико Бомбьери . ^[18]

Существование Янга-Миллса и разрыв масс

В квантовой теории поля разрыв массы — это разница в энергии между вакуумом и следующим самым низким энергетическим состоянием . Энергия вакуума равна нулю по определению, и если предположить, что все энергетические состояния можно рассматривать как частицы в плоских волнах, разрыв массы — это масса самой легкой частицы.

Для данного реального поля можно сказать, что теория имеет массовую щель, если двухточечная функция обладает свойством ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

с наименьшим значением энергии в спектре гамильтониана и, следовательно , массовой щели. Эта величина, легко обобщаемая на другие поля, является тем, что обычно измеряется в решеточных вычислениях. ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

Квантовая теория Янга-Миллса является текущим обоснованием для большинства теоретических приложений мысли к реальности и потенциальным реальностям физики элементарных частиц . ^[19] Теория является обобщением теории электромагнетизма Максвелла , где хромо -электромагнитное поле само по себе несет заряд. Как классическая теория поля она имеет решения, которые движутся со скоростью света, так что ее квантовая версия должна описывать безмассовые частицы ( глюоны ). Однако постулируемое явление ограничения цвета допускает только связанные состояния глюонов, образующих массивные частицы. Это массовый зазор . Другим аспектом ограничения является асимптотическая свобода , которая делает возможным существование квантовой теории Янга-Миллса без ограничений на низкие энергетические масштабы. Проблема состоит в том, чтобы строго установить существование квантовой теории Янга-Миллса и массового зазора.

Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G нетривиальная квантовая теория Янга–Миллса существует и имеет массовый зазор Δ > 0. Существование включает установление аксиоматических свойств, по крайней мере, столь же сильных, как те, которые указаны в работах Стритера и Вайтмана (1964), ^[20], Остервальдера и Шрадера (1973), ^[21] и Остервальдера и Шрадера (1975). ^[22] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Официальное изложение проблемы было дано Артуром Джаффе и Эдвардом Виттеном . ^[23]

Смотрите также

• Математический портал

• гипотеза Била
• Проблемы Гильберта
• Список наград по математике
• Список нерешенных задач по математике
• Проблемы Смейла
• Пауль Вольфскель (предложил денежную премию за решение Великой теоремы Ферма )
• гипотеза abc

Ссылки

1. Джаффе, Артур М. (июнь–июль 2006 г.). «Великий вызов тысячелетия в математике» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (6): 652–660.
2. Карлсон, Джаффе и Уайлс (2006)
3. «Проблемы Премии Тысячелетия».
4. Джексон, Аллин (сентябрь 2000 г.). «Объявлены премии по математике на миллион долларов». Notices of the American Mathematical Society . 47 (8): 877–879.
5. Диксон, Дэвид (2000). «Математики гоняются за доказательствами стоимостью в семь миллионов долларов». Nature . 405 (383): 383. doi : 10.1038/35013216 . PMID  10839504. S2CID  31169641.
6. Вершик, Анатолий (январь 2007). «Что хорошо для математики? Размышления о премиях Клэя Миллениума». Notices of the American Mathematical Society . 54 (1): 45–47.
7. Яу, Шинг-Тунг ; Надис, Стив (2019). Форма жизни. Поиск математиком скрытой геометрии вселенной . Нью-Хейвен, Коннектикут: Издательство Йельского университета. Bibcode : 2019shli.book.....Y.
8. "Гений математики отказывается от главного приза". BBC News . 22 августа 2006 г. Получено 16 июня 2011 г.
9. "Премия за разрешение гипотезы Пуанкаре присуждена доктору Григорию Перельману" (PDF) (Пресс-релиз). Clay Mathematics Institute . 18 марта 2010 г. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г. Получено 18 марта 2010 г. Clay Mathematics Institute (CMI) объявляет сегодня, что доктор Григорий Перельман из Санкт-Петербурга, Россия, стал лауреатом Премии тысячелетия за разрешение гипотезы Пуанкаре.
10. "Последнее "нет доктора Перельмана"". Интерфакс . 1 июля 2010 года . Проверено 25 января 2024 г.
11. Уайлз, Эндрю (2006). «Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера» (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлз, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8.
12. Делинь, Пьер (2006). «Гипотеза Ходжа» (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Задачи премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 45–53. ISBN 978-0-8218-3679-8.
13. Фефферман, Чарльз Л. (2006). "Существование и гладкость уравнения Навье–Стокса" (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Задачи премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 57–67. ISBN 978-0-8218-3679-8.
14. Раджпут, Удай Сингх (2016). «P против NP: больше, чем просто призовая проблема» (PDF) . Ганита . 66 . Лакхнау, Индия: 90. ISSN  0046-5402. Архивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2022 г. . Получено 17 июня 2022 г. .
15. Скотт Ааронсон (14 августа 2011 г.). «Почему философы должны заботиться о вычислительной сложности». Технический отчет.
16. Уильям Гасарч (июнь 2002 г.). «Опрос P=?NP» (PDF) . SIGACT News . 33 (2): 34–47. doi :10.1145/1052796.1052804. S2CID  18759797.
17. Кук, Стивен (2006). "Проблема P против NP" (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 87–104. ISBN 978-0-8218-3679-8.
18. Бомбьери, Энрико (2006). «Гипотеза Римана» (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Задачи премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 107–124. ISBN 978-0-8218-3679-8.
19. "Yang–Mills and Mass Gap". www.claymath.org ( Claymath ) . Архивировано из оригинала 22 ноября 2015 г. Получено 29 июня 2021 г.
20. Стритер, Р.; Уайтман, А. (1964). PCT, спин и статистика и все такое . WA Benjamin.
21. Остервальдер, К.; Шрадер, Р. (1973). «Аксиомы для евклидовых функций Грина». Сообщения по математической физике . 31 (2): 83–112. Bibcode :1973CMaPh..31...83O. doi :10.1007/BF01645738. S2CID  189829853.
22. Остервальдер, К.; Шрадер, Р. (1975). «Аксиомы для евклидовых функций Грина II». Сообщения по математической физике . 42 (3): 281–305. Bibcode :1975CMaPh..42..281O. doi :10.1007/BF01608978. S2CID  119389461.
23. Джаффе, Артур ; Виттен, Эдвард (2006). «Квантовая теория Янга–Миллса» (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 129–152. ISBN 978-0-8218-3679-8.

• В данной статье использованы материалы из книги «Проблемы тысячелетия» на сайте PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .

Дальнейшее чтение

• Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлс, Эндрю , ред. (2006). Проблемы премии тысячелетия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя . ISBN 978-0-8218-3679-8.
• Девлин, Кит Дж. (2003) [2002]. Проблемы тысячелетия: семь величайших нерешенных математических головоломок нашего времени . Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 0-465-01729-0.

Внешние ссылки

• Проблемы Премии Тысячелетия