stringtranslate.com

Стек частного

В алгебраической геометрии фактор -стек — это стек , который параметризует эквивариантные объекты. Геометрически он обобщает фактор схемы или многообразия по группе : фактор-многообразие, скажем, будет грубым приближением фактор-стека.

Это понятие имеет фундаментальное значение в изучении стеков: стек, возникающий в природе, часто либо сам является факторным стеком, либо допускает стратификацию факторными стеками (например, стек Делиня–Мамфорда ). Факторный стек также используется для построения других стеков, таких как классификационные стеки .

Определение

Фактор-стек определяется следующим образом. Пусть G — аффинная гладкая групповая схема над схемой S , а X — S - схема , на которой действует G. Пусть фактор-стек — это категория над категорией S -схем, где

Предположим, что фактор существует как алгебраическое пространство (например, по теореме Киля–Мори ). Каноническое отображение

,

который отправляет расслоение P над T в соответствующую точку T , [1] не обязательно должен быть изоморфизмом стеков; то есть пространство "X/G" обычно грубее. Каноническое отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда стабилизаторы тривиальны (в этом случае существует.) [ необходима цитата ]

В общем случае — это стек Артина (также называемый алгебраическим стеком). Если стабилизаторы геометрических точек конечны и редуцированы, то это стек Делиня–Мамфорда .

Берт Тотаро  (2004) показал: пусть X будет нормальным нётеровым алгебраическим стеком, группы стабилизаторов которого в замкнутых точках являются аффинными. Тогда X является фактор-стеком тогда и только тогда, когда он обладает свойством разрешения ; т. е. каждый когерентный пучок является фактором векторного расслоения. Ранее Роберт Уэйн Томасон доказал, что фактор-стек обладает свойством разрешения.

Примеры

Эффективный фактор -орбифолд , например, где действие имеет только конечные стабилизаторы на гладком пространстве , является примером фактор-стека. [2]

Если с тривиальным действием (часто является точкой), то называется классифицирующим стеком ( по аналогии с классифицирующим пространством ) и обычно обозначается . Теорема Бореля описывает кольцо когомологий классифицирующего стека.

Модули линейных пучков

Одним из основных примеров факторных стеков является стек модулей линейных расслоений над , или над для тривиального -действия над . Для любой схемы (или -схемы) -точки стека модулей являются группоидом главных -расслоений .

Модули линейных расслоений с n-сечениями

Существует еще один тесно связанный стек модулей, заданный , который является стеком модулей линейных расслоений с -сечениями. Это следует непосредственно из определения стеков факторизации, вычисленных по точкам. Для схемы , -точки являются группоидом, объекты которого заданы множеством

Морфизм в верхней строке соответствует -секциям ассоциированного линейного расслоения над . Это можно найти, заметив, что задание -эквивариантного отображения и ограничение его до волокна дает те же данные, что и раздел расслоения. Это можно проверить, посмотрев на карту и отправив точку на карту , заметив, что набор -эквивариантных отображений изоморфен . Затем эта конструкция глобализуется путем склеивания аффинных карт вместе, давая глобальный раздел расслоения. Поскольку -эквивариантное отображение в эквивалентно -кортежу -эквивариантных отображений в , результат сохраняется.

Модули формальных групповых законов

Пример: [3] Пусть Lкольцо Лазара ; т.е. . Тогда фактор-стек по ,

,

называется стеком модулей формальных групповых законов и обозначается как .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Точка Т получается путем заполнения диаграммы .
  2. ^ "Определение 1.7". Орбифолды и струнная топология . Кембриджские трактаты по математике. стр. 4.
  3. ^ Взято с http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

Некоторые другие ссылки: