Вынужденное излучение

Выпуск фотона, вызванный другим

Лазерный свет – это разновидность вынужденного излучения.

Стимулированное излучение — это процесс, посредством которого входящий фотон определенной частоты может взаимодействовать с возбужденным атомным электроном (или другим возбужденным молекулярным состоянием), заставляя его опускаться на более низкий энергетический уровень. Освободившаяся энергия передается электромагнитному полю, создавая новый фотон с частотой , поляризацией и направлением движения, которые идентичны фотонам падающей волны. В этом отличие от спонтанного излучения , которое происходит с характерной скоростью для каждого из атомов/осцилляторов в верхнем энергетическом состоянии независимо от внешнего электромагнитного поля.

По данным Американского физического общества , первым человеком, правильно предсказавшим явление вынужденного излучения, был Альберт Эйнштейн в серии статей, начавшихся в 1916 году, кульминацией которых стало то, что сейчас называется коэффициентом B Эйнштейна . Работы Эйнштейна стали теоретической основой мазера и лазера . ^{[1] [2] [3] [4]} По форме этот процесс идентичен атомному поглощению , при котором энергия поглощенного фотона вызывает идентичный, но противоположный атомный переход: с нижнего уровня на более высокий энергетический уровень. В нормальных средах при тепловом равновесии поглощение превышает вынужденное излучение, поскольку в состояниях с более низкой энергией находится больше электронов, чем в состояниях с более высокой энергией. Однако при наличии инверсной населенности скорость стимулированного излучения превышает скорость поглощения, и может быть достигнуто чистое оптическое усиление . Такая усиливающая среда вместе с оптическим резонатором лежит в основе лазера или мазера. Не имея механизма обратной связи, лазерные усилители и суперлюминесцентные источники также работают на основе вынужденного излучения.

Обзор

Электроны и их взаимодействие с электромагнитными полями важны для нашего понимания химии и физики . С классической точки зрения , энергия электрона, вращающегося вокруг атомного ядра, больше на орбитах, находящихся дальше от ядра атома . Однако квантово-механические эффекты вынуждают электроны занимать дискретные позиции на орбиталях . Таким образом, электроны находятся на определенных энергетических уровнях атома, два из которых показаны ниже:

Когда электрон поглощает энергию света (фотонов) или тепла ( фононов ), он получает этот падающий квант энергии. Но переходы разрешены только между дискретными уровнями энергии, такими как два, показанные выше. Это приводит к линиям излучения и линиям поглощения .

Когда электрон переходит с более низкого на более высокий энергетический уровень, маловероятно, что он останется таким навсегда. Электрон в возбужденном состоянии может распасться на состояние с более низкой энергией, которое не занято, в соответствии с определенной постоянной времени, характеризующей этот переход. Когда такой электрон распадается без внешнего воздействия, испуская фотон, это называется « спонтанным излучением ». Фаза и направление, связанные с испускаемым фотоном, случайны. Таким образом, материал со многими атомами в таком возбужденном состоянии может привести к излучению с узким спектром (с центром вокруг одной длины волны света), но отдельные фотоны не будут иметь общего фазового соотношения и также будут излучаться в случайных направлениях. Это механизм флуоресценции и теплового излучения .

Внешнее электромагнитное поле на частоте, связанной с переходом, может влиять на квантовомеханическое состояние атома, не поглощаясь. Когда электрон в атоме совершает переход между двумя стационарными состояниями (ни одно из которых не имеет дипольного поля), он входит в переходное состояние, которое действительно имеет дипольное поле и которое действует как небольшой электрический диполь , и этот диполь колеблется с частотой характеристическая частота. В ответ на внешнее электрическое поле на этой частоте вероятность перехода электрона в это переходное состояние значительно увеличивается. Таким образом, скорость переходов между двумя стационарными состояниями превышает скорость спонтанного излучения. Переход из состояния с более высокой энергией в более низкое создает дополнительный фотон с той же фазой и направлением, что и падающий фотон; это процесс вынужденного излучения.

История

Вынужденное излучение было теоретическим открытием Альберта Эйнштейна ^{[5] [6]} в рамках старой квантовой теории , в которой излучение описывается с помощью фотонов, которые являются квантами ЭМ поля. Вынужденное излучение также может происходить в классических моделях, безотносительно к фотонам или квантовой механике. ^[7] (См. также «История лазера» .) По мнению профессора физики и директора Гарвардского Массачусетского технологического института Дэниела Клеппнера , теория излучения Эйнштейна опередила свое время и является прообразом современной теории квантовой электродинамики и квантовой оптики, несколько десятилетий. ^[8]

Математическая модель

Вынужденное излучение можно смоделировать математически, рассматривая атом, который может находиться в одном из двух электронных энергетических состояний: состоянии нижнего уровня (возможно, основном состоянии) (1) и возбужденном состоянии (2), с энергиями E ₁ и E ₂ соответственно. .

Если атом находится в возбужденном состоянии, он может перейти в более низкое состояние в процессе спонтанного излучения , высвобождая разницу в энергиях между двумя состояниями в виде фотона. Фотон будет иметь частоту ν ₀ и энергию hν ₀ , определяемые формулой:

$${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\,\nu _{0}}$$

hпостоянная Планка

Альтернативно, если атом в возбужденном состоянии возмущается электрическим полем частоты ν ₀ , он может испустить дополнительный фотон той же частоты и в фазе, тем самым увеличивая внешнее поле, оставляя атом в состоянии с более низкой энергией. Этот процесс известен как вынужденное излучение.

В группе таких атомов, если число атомов в возбужденном состоянии определяется N ₂ , скорость, с которой происходит вынужденное излучение, определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=-B_{21}\,\rho (\nu )\,N_{2}}$$

константа пропорциональности B ₂₁коэффициент Эйнштейна BρννN ₂

В то же время произойдет процесс атомной абсорбции, который отнимет энергию поля и одновременно поднимет электроны из нижнего состояния в верхнее. Его скорость определяется по существу идентичным уравнением:

$${\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=B_{12}\,\rho (\nu )\,N_{1}.}$$

Таким образом, скорость поглощения пропорциональна числу атомов в нижнем состоянии N ₁ . Коэффициенты B можно рассчитать с использованием дипольного приближения и зависящей от времени теории возмущений в квантовой механике следующим образом: ^{[9] [10]}

${\displaystyle B_{ab}={\frac {e^{2}}{6\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

Где B соответствует распределению энергии по частоте ν. Коэффициент B может варьироваться в зависимости от выбора используемой функции распределения энергии, однако произведение функции распределения энергии и соответствующего коэффициента B остается неизменным.

Эйнштейн показал, используя форму закона Планка, ^{[ нужна ссылка ]} , что коэффициент для этого перехода должен быть идентичен коэффициенту для вынужденного излучения:

$${\displaystyle B_{12}=B_{21}.}$$

Таким образом, поглощение и вынужденное излучение представляют собой обратные процессы, протекающие с несколько различной скоростью. Другой способ взглянуть на это — посмотреть на чистое стимулированное излучение или поглощение, рассматривая его как единый процесс. Чистую скорость перехода от E ₂ к E ₁ в результате этого комбинированного процесса можно найти путем сложения соответствующих скоростей, указанных выше:

$${\displaystyle {\frac {\partial N_{1}^{\text{net}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{2}^{\text{net}}}{\partial t}}=B_{21}\,\rho (\nu )\,(N_{2}-N_{1})=B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N.}$$

Таким образом, в электрическое поле выделяется чистая мощность, равная энергии фотона hν , ​​умноженной на эту чистую скорость перехода. Чтобы это число было положительным, указывающим на чистую вынужденную эмиссию, в возбужденном состоянии должно быть больше атомов, чем на нижнем уровне: . В противном случае происходит чистое поглощение, и мощность волны уменьшается при прохождении через среду. Особое условие известно как инверсия населенностей , довольно необычное условие, которое должно быть реализовано в усиливающей среде лазера. ${\displaystyle \Delta N>0}$ ${\displaystyle N_{2}>N_{1}}$

Примечательной характеристикой стимулированного излучения по сравнению с обычными источниками света (которые зависят от спонтанного излучения) является то, что испускаемые фотоны имеют ту же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, что и падающие фотоны. Таким образом, задействованные фотоны взаимно когерентны . Поэтому при наличии инверсии населенности ( ) будет иметь место оптическое усиление падающего излучения. ${\displaystyle \Delta N>0}$

Хотя энергия, генерируемая вынужденным излучением, всегда имеет точную частоту стимулирующего ее поля, приведенное выше уравнение скорости относится только к возбуждению на определенной оптической частоте, соответствующей энергии перехода. На частотах, смещенных от силы вынужденного (или спонтанного) излучения, будет уменьшаться согласно так называемой форме линии . Учитывая только однородное уширение, влияющее на атомный или молекулярный резонанс, функция формы спектральной линии описывается как лоренцево распределение ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

$${\displaystyle g'(\nu )={1 \over \pi }{(\Gamma /2) \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}}$$

где — полная ширина на половине максимума или ширина полосы на полувысоте. ${\displaystyle \Gamma }$

Пиковое значение формы лоренцевой линии приходится на центр линии . Функцию формы линии можно нормализовать так, чтобы ее значение равно единице; в случае лоренциана получаем ${\displaystyle \nu =\nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

$${\displaystyle g(\nu )={g'(\nu ) \over g'(\nu _{0})}={(\Gamma /2)^{2} \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}.}$$

Таким образом, стимулированное излучение на частотах, далеких от , уменьшается в этом коэффициенте. На практике также может иметь место уширение формы линии из-за неоднородного уширения , в первую очередь из-за эффекта Доплера , возникающего в результате распределения скоростей в газе при определенной температуре. Это имеет гауссову форму и снижает пиковую силу функции формы линии. В практической задаче полную функцию формы линии можно вычислить путем свертки отдельных задействованных функций формы линии. Следовательно, оптическое усиление будет добавлять мощность к падающему оптическому полю на частоте со скоростью, определяемой выражением ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle P=h\nu \,g(\nu )\,B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N.}$$

Сечение стимулированного излучения

Сечение стимулированного излучения

$${\displaystyle \sigma _{21}(\nu )=A_{21}{\frac {\lambda ^{2}}{8\pi n^{2}}}g'(\nu )}$$

• А ₂₁ – коэффициент Эйнштейна А ,
• λ — длина волны в вакууме,
• n — показатель преломления среды (безразмерный),
• g' ( ν ) — функция формы спектральной линии.

Оптическое усиление

Стимулированное излучение может обеспечить физический механизм оптического усиления . Если внешний источник энергии побуждает более 50% атомов в основном состоянии перейти в возбужденное состояние, то создается так называемая инверсия населенности . Когда свет соответствующей частоты проходит через инвертированную среду, фотоны либо поглощаются атомами, которые остаются в основном состоянии, либо фотоны стимулируют возбужденные атомы излучать дополнительные фотоны той же частоты, фазы и направления. Поскольку в возбужденном состоянии находится больше атомов, чем в основном, происходит усиление входной интенсивности .

Инверсная населенность в единицах атомов на кубический метр равна

${\displaystyle \Delta N_{21}=N_{2}-{g_{2} \over g_{1}}N_{1}}$

где g ₁ и g ₂ — вырождения энергетических уровней 1 и 2 соответственно.

Уравнение усиления малого сигнала

Интенсивность (в ваттах на квадратный метр) стимулированного излучения определяется следующим дифференциальным уравнением:

${\displaystyle {dI \over dz}=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}\cdot I(z)}$

до тех пор, пока интенсивность I ( z ) достаточно мала и не оказывает существенного влияния на величину инверсии населенности. Группируя первые два фактора вместе, это уравнение упрощается как

${\displaystyle {dI \over dz}=\gamma _{0}(\nu )\cdot I(z)}$

где

${\displaystyle \gamma _{0}(\nu )=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}}$

— коэффициент усиления слабого сигнала (в радианах на метр). Мы можем решить дифференциальное уравнение, используя разделение переменных :

${\displaystyle {dI \over I(z)}=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz}$

Интегрируя, находим:

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

или

${\displaystyle I(z)=I_{in}e^{\gamma _{0}(\nu )z}}$

где

${\displaystyle I_{in}=I(z=0)\,}$— оптическая интенсивность входного сигнала (в ваттах на квадратный метр).

Интенсивность насыщения

Интенсивность насыщения I _S определяется как входная интенсивность, при которой коэффициент усиления оптического усилителя падает ровно до половины коэффициента усиления слабого сигнала. Мы можем вычислить интенсивность насыщения как

${\displaystyle I_{S}={h\nu \over \sigma (\nu )\cdot \tau _{S}}}$

где

${\displaystyle h}$– постоянная Планка , а

${\displaystyle \tau _{\text{S}}}$— постоянная времени насыщения, которая зависит от времен жизни спонтанного излучения различных переходов между уровнями энергии, связанных с усилением.

${\displaystyle \nu }$частота в Гц

Минимальное значение возникает при резонансе ^[11] , где сечение наибольшее. Это минимальное значение составляет: ${\displaystyle I_{\text{S}}(\nu )}$ ${\displaystyle \sigma (\nu )}$

${\displaystyle I_{\text{sat}}={\frac {\pi }{3}}{hc \over \lambda ^{3}\tau _{S}}}$

Для простого двухуровневого атома с естественной шириной линии постоянная времени насыщения . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \tau _{\text{S}}=\Gamma ^{-1}}$

Общее уравнение усиления

Общая форма уравнения усиления, которая применяется независимо от входной интенсивности, выводится из общего дифференциального уравнения для интенсивности I как функции положения z в усиливающей среде :

${\displaystyle {dI \over dz}={\gamma _{0}(\nu ) \over 1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}}\cdot I(z)}$

где интенсивность насыщения. Для решения мы сначала переставим уравнение, чтобы разделить переменные, интенсивность I и положение z : ${\displaystyle I_{S}}$

${\displaystyle {dI \over I(z)}\left[1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}\right]=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz}$

Интегрируя обе части, получаем

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I(z)-I_{in} \over I_{S}}=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

или

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left({I(z) \over I_{in}}-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

Коэффициент усиления G усилителя определяется как оптическая интенсивность I в положении z , деленная на входную интенсивность:

${\displaystyle G=G(z)={I(z) \over I_{in}}}$

Подставив это определение в предыдущее уравнение, мы находим общее уравнение усиления :

${\displaystyle \ln \left(G\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left(G-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

Аппроксимация малого сигнала

Другими словами, в частном случае, когда входной сигнал мал по сравнению с интенсивностью насыщения,

${\displaystyle I_{in}\ll I_{S}\,}$

тогда общее уравнение усиления дает усиление малого сигнала как

${\displaystyle \ln(G)=\ln(G_{0})=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

или

${\displaystyle G=G_{0}=e^{\gamma _{0}(\nu )z}}$

которое идентично уравнению усиления малого сигнала (см. выше).

Асимптотическое поведение большого сигнала

Для больших входных сигналов, где

${\displaystyle I_{in}\gg I_{S}\,}$

коэффициент усиления приближается к единице

${\displaystyle G\rightarrow 1}$

и общее уравнение усиления приближается к линейной асимптоте :

${\displaystyle I(z)=I_{in}+{\gamma _{0}(\nu )\cdot z \over {\bar {g}}(\nu )}I_{S}}$

Смотрите также

• Поглощение
• Активная лазерная среда
• Лазер (включает раздел истории )
• Лазерная наука
• Цикл Раби
• Спонтанное излучение
• СТЭД-микроскопия
• Коэффициенты Эйнштейна

Рекомендации

1. Треткофф, Эрни (август 2005 г.). «Этот месяц в истории физики: Эйнштейн предсказывает вынужденное излучение». Новости Американского физического общества . 14 (8) . Проверено 1 июня 2022 г.
2. Штрауманн, Норберт (23 марта 2017 г.). «Эйнштейн в 1916 году: «Квантовая теория излучения»".arXiv : 1703.08176 [ Physics.hist-ph].
3. Хехт, Джефф (15 августа 2021 г.). «Лазер». Британская энциклопедия . Проверено 1 июня 2022 г.
4. Стоун, А. Дуглас (6 октября 2013 г.). Эйнштейн и квант: поиски доблестного шваба (первое изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691139685. Проверено 1 июня 2022 г.
5. Эйнштейн, А (1916). «Излучение и поглощение излучения в квантовой теории». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 18 : 318–323. Бибкод : 1916DPhyG..18..318E.
6. Эйнштейн, А (1917). «Квантовая теория излучения». Physikalische Zeitschrift . 18 : 121–128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E.
7. Фейн, Б.; Милонни, PW (1987). «Классическое вынужденное излучение». Журнал Оптического общества Америки Б. 4 (1): 78. Бибкод : 1987JOSAB...4...78F. дои : 10.1364/JOSAB.4.000078.
8. Клеппнер, Дэниел (1 февраля 2005 г.). «Перечитывая Эйнштейна о радиации». Физика сегодня . 58 (2): 30–33. Бибкод :2005ФТ....58б..30К. дои : 10.1063/1.1897520 . Проверено 1 июня 2022 г.
9. Хилборн, Роберт (2002). «Коэффициенты Эйнштейна, сечения, значения f, дипольные моменты и все такое» (PDF) .
10. Сегре, Карло. «Коэффициенты Эйнштейна - Основы квантовой теории II (PHYS 406)» (PDF) . п. 32.
11. Фут, CJ (2005). Атомная физика. Издательство Оксфордского университета. п. 142. ИСБН 978-0-19-850695-9.

• Салех, Бахаа Э.А. и Тейх, Малвин Карл (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-83965-5.
• Алан Корни (1977). Атомная и лазерная спектроскопия . Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 0-19-921145-0. ISBN  978-0-19-921145-6 .

.3 Основы лазера, Уильям Т. Силфваст