Десятичная дробь

Число в десятичной системе счисления

Позиция числа в десятичной системе счисления

Десятичная система счисления (также называемая позиционной системой счисления с основанием 10 и десятеричной / ˈ d iː n ər i / ^[1] или деканарной ) является стандартной системой для обозначения целых и нецелых чисел . Она является расширением нецелых чисел ( десятичных дробей ) индо -арабской системы счисления . Способ обозначения чисел в десятичной системе часто называют десятичной записью . ^[2]

Десятичная цифра (также часто просто десятичная или, менее правильно, десятичное число ) в целом относится к записи числа в десятичной системе счисления. Десятичные дроби иногда могут быть идентифицированы десятичным разделителем (обычно "." или ",", как в 25,9703 или 3,1415 ). ^[3] Десятичная дробь может также относиться конкретно к цифрам после десятичного разделителя, например, в " 3,14 является приближением числа π к двум знакам после запятой ". Нулевые цифры после десятичного разделителя служат для обозначения точности значения.

Числа, которые могут быть представлены в десятичной системе, являются десятичными дробями. То есть дробями вида a /10 ⁿ , где a — целое число, а n — неотрицательное целое число . Десятичные дроби также получаются путем сложения целого числа и дробной части ; полученную сумму иногда называют дробным числом .

Десятичные дроби обычно используются для аппроксимации действительных чисел. Увеличивая количество цифр после десятичного разделителя, можно сделать погрешности аппроксимации настолько малыми, насколько это необходимо, если есть метод вычисления новых цифр.

Первоначально и в большинстве случаев десятичная дробь имеет только конечное число цифр после десятичного разделителя. Однако десятичная система была расширена до бесконечных десятичных дробей для представления любого действительного числа , используя бесконечную последовательность цифр после десятичного разделителя (см. десятичное представление ). В этом контексте обычные десятичные дроби с конечным числом ненулевых цифр после десятичного разделителя иногда называются конечными десятичными дробями . Периодическая десятичная дробь — это бесконечная десятичная дробь, которая после некоторого места бесконечно повторяет одну и ту же последовательность цифр (например, 5,123144144144144... = 5,123 144 ). ^[4] Бесконечная десятичная дробь представляет рациональное число , частное двух целых чисел, тогда и только тогда, когда она является периодической десятичной дробью или имеет конечное число ненулевых цифр.

Источник

Десять цифр на двух руках, возможное происхождение десятичного счета

Многие числовые системы древних цивилизаций используют десять и его степени для представления чисел, возможно, потому, что на двух руках по десять пальцев, и люди начали считать, используя их пальцы. Примерами являются сначала египетские цифры , затем цифры брахми , греческие цифры , еврейские цифры , римские цифры и китайские цифры . ^[5] Очень большие числа было трудно представить в этих старых числовых системах, и только лучшие математики могли умножать или делить большие числа. Эти трудности были полностью решены с введением индо-арабской системы счисления для представления целых чисел . Эта система была расширена для представления некоторых нецелых чисел, называемых десятичными дробями или десятичными числами , для формирования десятичной системы счисления . ^[5]

Десятичная запись

Для записи чисел в десятичной системе используются десять десятичных цифр , десятичный знак и, для отрицательных чисел , знак минус «−». Десятичные цифры — , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; ^[6] десятичным разделителем во многих странах (в основном англоязычных) является точка « . », ^[7] а в других странах — запятая « , ». ^[3]

Для представления неотрицательного числа десятичная дробь состоит из

• либо (конечная) последовательность цифр (например, «2017»), где вся последовательность представляет собой целое число:

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• или десятичный знак, разделяющий две последовательности цифр (например, «20,70828»)

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$.

Если m > 0 , то есть если первая последовательность содержит по крайней мере две цифры, то обычно предполагается, что первая цифра a _m не равна нулю. В некоторых обстоятельствах может быть полезно иметь один или несколько нулей слева; это не меняет значение, представленное десятичной дробью: например, 3,14 = 03,14 = 003,14 . Аналогично, если последняя цифра справа от десятичной дроби равна нулю, то есть если b _n = 0 , ее можно удалить; и наоборот, конечные нули могут быть добавлены после десятичной дроби без изменения представленного числа; ^{[примечание 1]} например, 15 = 15,0 = 15,00 и 5,2 = 5,20 = 5,200 .

Для представления отрицательного числа перед буквой _m ставится знак минус .

Цифра представляет число ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$.

Целая часть или целая часть десятичного числа — это целое число, записанное слева от десятичного разделителя (см. также усечение ). Для неотрицательного десятичного числа это наибольшее целое число, которое не больше десятичной дроби. Часть от десятичного разделителя вправо — это дробная часть , которая равна разнице между числом и его целой частью.

Когда целая часть числа равна нулю, может случиться, обычно при вычислениях , что целая часть не будет записана (например, .1234 вместо 0.1234 ). В обычном письме этого обычно избегают из-за риска путаницы между десятичным знаком и другими знаками препинания.

Короче говоря, вклад каждой цифры в значение числа зависит от ее положения в числе. То есть десятичная система является позиционной системой счисления .

Десятичные дроби

Десятичные дроби (иногда называемые десятичными числами , особенно в контекстах, связанных с явными дробями) — это рациональные числа , которые могут быть выражены в виде дроби, знаменатель которой является степенью десяти. ^[8] Например, десятичные выражения представляют собой дроби ⁠ ${\displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}$4/5⁠ , ⁠1489/100⁠ , ⁠79/100000⁠ , ⁠+809/500⁠ и ⁠+314159/100000⁠ , и поэтому обозначают десятичные дроби. Примером дроби, которая не может быть представлена ​​десятичным выражением (с конечным числом цифр), является ⁠1/3⁠ , 3 не является степенью 10.

В более общем смысле десятичная дробь с n цифрами после разделителя (точки или запятой) представляет собой дробь со знаменателем 10 ⁿ , числителем которой является целое число, полученное путем удаления разделителя.

Отсюда следует, что число является десятичной дробью тогда и только тогда, когда оно имеет конечное десятичное представление.

Выраженные в виде полностью сокращенных дробей , десятичные числа — это те, знаменатель которых является произведением степени 2 и степени 5. Таким образом, наименьшие знаменатели десятичных чисел равны

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

Приближение с использованием десятичных чисел

Десятичные числа не позволяют точно представить все действительные числа . Тем не менее, они позволяют аппроксимировать каждое действительное число с любой желаемой точностью, например, десятичная дробь 3,14159 аппроксимирует π , имея погрешность менее 10−5 ^; поэтому десятичные дроби широко используются в науке , технике и повседневной жизни.

Точнее, для каждого действительного числа x и каждого положительного целого числа n существуют две десятичные дроби L и u с не более чем n цифрами после десятичной точки, такие, что L ≤ x ≤ u и ( u − L ) = 10 ^{− n} .

Числа очень часто получаются в результате измерения . Поскольку измерения подвержены неопределенности измерения с известной верхней границей , результат измерения хорошо представляется десятичной дробью с n цифрами после десятичной точки, как только абсолютная погрешность измерения ограничена сверху 10 ^{− n} . На практике результаты измерений часто приводятся с определенным количеством цифр после десятичной точки, которые указывают границы погрешности. Например, хотя 0,080 и 0,08 обозначают одно и то же число, десятичная цифра 0,080 предполагает измерение с погрешностью менее 0,001, в то время как цифра 0,08 указывает на абсолютную погрешность, ограниченную 0,01. В обоих случаях истинное значение измеряемой величины может быть, например, 0,0803 или 0,0796 (см. также значимые цифры ).

Бесконечное десятичное разложение

Для действительного числа x и целого числа n ≥ 0 пусть [ x ] _n обозначает (конечное) десятичное разложение наибольшего числа, которое не больше x и имеет ровно n цифр после десятичной точки. Пусть d _i обозначает последнюю цифру [ x ] _i . Легко видеть, что [ x ] _n можно получить, добавив d _n справа от [ x ] _{n −1} . Таким образом, имеем

[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{n −1} d _n ,

и разность [ x ] _{n −1} и [ x ] _n составляет

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$,

который равен 0, если d _n = 0 , или становится произвольно малым, когда n стремится к бесконечности. Согласно определению предела , x является пределом [ x ] _n, когда n стремится к бесконечности . Это записывается как или ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

х = [ х ] ₀ . д ₁ д ₂ ... д _н ... ,

что называется бесконечным десятичным разложением числа x .

Наоборот, для любого целого числа [ x ] ₀ и любой последовательности цифр (бесконечное) выражение [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... является бесконечным десятичным расширением действительного числа x . Это расширение уникально, если ни все d _n не равны 9, ни все d _n не равны 0 для достаточно большого n (для всех n, больших некоторого натурального числа N ). ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Если все d _n для n > N равны 9 и [ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n , то пределом последовательности является десятичная дробь, полученная заменой последней цифры, которая не является 9, то есть: d _N , на d _N + 1 , и заменой всех последующих 9 на 0 (см. 0,999... ). ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Любая такая десятичная дробь, то есть: d _n = 0 для n > N , может быть преобразована в эквивалентную ей бесконечную десятичную дробь путем замены d _N на d _N − 1 и замены всех последующих нулей на девятки (см. 0,999... ).

Подводя итог, можно сказать, что каждое действительное число, не являющееся десятичной дробью, имеет уникальное бесконечное десятичное разложение. Каждая десятичная дробь имеет ровно два бесконечных десятичных разложения, одно из которых содержит только 0 после некоторого места, что получается из приведенного выше определения [ x ] _n , а другое содержит только 9 после некоторого места, что получается из определения [ x ] _n как наибольшего числа, которое меньше x , имеющего ровно n цифр после десятичной точки.

Рациональные числа

Длинное деление позволяет вычислить бесконечное десятичное расширение рационального числа . Если рациональное число является десятичной дробью, деление в конечном итоге останавливается, производя десятичное число, которое может быть продолжено до бесконечного расширения путем добавления бесконечного числа нулей. Если рациональное число не является десятичной дробью, деление может продолжаться бесконечно. Однако, поскольку все последовательные остатки меньше делителя, существует только конечное число возможных остатков, и после некоторого места та же последовательность цифр должна повторяться бесконечно в частном. То есть, мы имеем повторяющуюся десятичную дробь . Например,

⁠1/81⁠ = 0.  012345679  012... (с группой 012345679, повторяющейся бесконечно).

Верно и обратное: если в какой-то момент десятичной записи числа одна и та же строка цифр начинает повторяться бесконечно, то число является рациональным.

или, разделив числитель и знаменатель на 6, ⁠692/1665⁠ .

Десятичные вычисления

Схема древнейшей в мире известной таблицы умножения ( ок.  305 г. до н. э. ) периода Воюющих царств.

Большинство современных компьютерных аппаратных и программных систем обычно используют двоичное представление внутри (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650 , использовали десятичное представление внутри). ^[9] Для внешнего использования компьютерными специалистами это двоичное представление иногда представляется в соответствующих восьмеричных или шестнадцатеричных системах.

Однако для большинства целей двоичные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения или из них для представления или ввода человеком; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичной системе счисления. (Например, число 123,1 записывается именно так в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не способны точно закодировать это число.)

Как компьютерное оборудование, так и программное обеспечение также используют внутренние представления, которые являются фактически десятичными для хранения десятичных значений и выполнения арифметических операций. Часто эта арифметика выполняется на данных, которые закодированы с использованием некоторого варианта двоично-кодированной десятичной системы , ^{[10] [11]} особенно в реализациях баз данных, но существуют и другие используемые десятичные представления (включая десятичную плавающую точку , например, в более новых редакциях стандарта IEEE 754 для арифметики с плавающей точкой ). ^[12]

Десятичная арифметика используется в компьютерах, так что десятичные дробные результаты сложения (или вычитания) значений с фиксированной длиной их дробной части всегда вычисляются с той же длиной точности. Это особенно важно для финансовых расчетов, например, требующих в своих результатах целых кратных наименьшей денежной единицы для целей бухгалтерского учета. Это невозможно в двоичной системе, поскольку отрицательные степени не имеют конечного двоичного дробного представления; и, как правило, невозможно для умножения (или деления). ^{[13] [14]} См. Арифметика произвольной точности для точных расчетов. ${\displaystyle 10}$

История

Самая ранняя в мире десятичная таблица умножения была сделана из бамбуковых пластинок и датируется 305 годом до н. э., в период Сражающихся царств в Китае.

Многие древние культуры использовали для расчетов десятичную систему счисления, возможно, потому, что на двух человеческих руках по десять пальцев. ^[15] Стандартизированные веса, используемые в цивилизации долины Инда ( ок.  3300–1300 гг. до н. э. ), основывались на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, в то время как их стандартизированная линейка — линейка Мохенджо-Даро — была разделена на десять равных частей. ^{[16] [17] [18]} Египетские иероглифы , известные с 3000 г. до н. э., использовали чисто десятичную систему, ^[19] как и линейное письмо А ( ок.  1800–1450 гг. до н. э. ) минойцев ^{[20] [21]} и линейное письмо В (ок. 1400–1200 гг. до н. э.) микенцев . Культура Унетице в Центральной Европе (2300–1600 гг. до н. э.) использовала стандартизированные веса и десятичную систему в торговле. ^[22] Система счисления классической Греции также использовала степени десяти, включая промежуточное основание 5, как и римские цифры . ^[23] Примечательно, что полимат Архимед (ок. 287–212 гг. до н. э.) изобрел десятичную позиционную систему в своем Песочном счете , которая была основана на 10 ⁸ . ^{[23] [24]} Хеттские иероглифы (с 15 века до н.э.) также были строго десятичными. ^[25]

Египетские иератические цифры, греческие алфавитные цифры, еврейские алфавитные цифры, римские цифры, китайские цифры и ранние индийские цифры брахми — все это непозиционные десятичные системы, и для них требовалось большое количество символов. Например, египетские цифры использовали разные символы для 10, 20 до 90, 100, 200 до 900, 1000, 2000, 3000, 4000, до 10 000. [ ^26] Самой ранней в мире позиционной десятичной системой было китайское стержневое исчисление . ^[27]

Самая ранняя в мире позиционная десятичная система
Верхний ряд вертикальная форма
Нижний ряд горизонтальная форма

История десятичных дробей

счетный стержень десятичная дробь 1/7

Начиная со 2-го века до н. э., некоторые китайские единицы измерения длины основывались на делениях на десять; к 3-му веку н. э. эти метрологические единицы использовались для выражения десятичных дробей длины, непозиционно. ^[28] Расчеты с десятичными дробями длины выполнялись с использованием позиционных счетных стержней , как описано в 3-м–5-м веках н. э. Суньцзы Суаньцзин . Математик 5-го века н. э. Цзу Чунчжи вычислил 7-значное приближение числа π . Книга Цинь Цзюшао « Математический трактат в девяти разделах » (1247) явно записывает десятичную дробь, представляющую число, а не измерение, с использованием счетных стержней. ^[29] Число 0,96644 обозначается

寸

.

Историки китайской науки предполагают, что идея десятичных дробей могла быть передана из Китая на Ближний Восток. ^[27]

Аль-Хорезми ввел дроби в исламских странах в начале 9-го века н. э., записанные с числителем сверху и знаменателем снизу, без горизонтальной черты. Эта форма дроби использовалась в течение столетий. ^{[27] [30]}

Позиционные десятичные дроби впервые появляются в книге арабского математика Абу-ль-Хасана аль-Уклидиси, написанной в X веке. ^[31] Еврейский математик Иммануил Бонфис использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал никаких обозначений для их представления. ^[32] Персидский математик Джамшид аль-Каши использовал и утверждал, что открыл десятичные дроби в XV веке. ^[31]

Предшественник современной европейской десятичной записи был введен Симоном Стевином в XVI веке. Влиятельная брошюра Стевина De Thiende («искусство десятых») была впервые опубликована на голландском языке в 1585 году и переведена на французский как La Disme . ^[33]

Джон Непер ввел использование точки (.) для отделения целой части десятичного числа от дробной части в своей книге о построении таблиц логарифмов, опубликованной посмертно в 1620 году. ^{[34] : стр. 8, архив стр. 32)}

Естественные языки

Метод выражения всех возможных натуральных чисел с помощью набора из десяти символов появился в Индии. ^[35] Несколько индийских языков демонстрируют простую десятичную систему. В дравидийских языках числа от 10 до 20 выражаются в регулярной схеме сложения до 10. ^{[ необходима цитата ]}

Венгерский язык также использует простую десятичную систему. Все числа от 10 до 20 образуются регулярно (например, 11 выражается как "tizenegy" буквально "один на десять"), как и числа от 20 до 100 (23 как "huszonhárom" = "три на двадцать").

Простая десятичная система счисления со словом для каждого порядка (10十, ​​100百, 1000千, 10,000万), в которой 11 выражается как десять-один , а 23 как два-десять-три , а 89,345 выражается как 8 (десять тысяч)万9 (тысяча)千3 (сто)百4 (десятки)十5, встречается в китайском и во вьетнамском языках с некоторыми отклонениями. Японский , корейский и тайский языки импортировали китайскую десятичную систему. Во многих других языках с десятичной системой есть специальные слова для чисел от 10 до 20 и десятилетий. Например, в английском языке 11 — это «eleven», а не «ten-one» или «one-teen».

Языки инков, такие как кечуа и аймара, имеют почти простую десятичную систему, в которой 11 выражается как десять с единицей , а 23 — как два десятка с тремя .

Некоторые психологи предполагают, что неточности в английских названиях цифр могут препятствовать развитию у детей способности к счету. ^[36]

Другие базы

В некоторых культурах используются или использовались другие системы исчисления.

• Доколумбовые культуры Мезоамерики, такие как майя, использовали двадцатеричную систему счисления (возможно, основанную на использовании всех двадцати пальцев рук и ног ).
• В языке юки в Калифорнии и памейских языках ^[37] в Мексике используются восьмеричные ( с основанием -8) системы, поскольку носители языка считают, используя промежутки между пальцами, а не сами пальцы. ^[38]
• Существование недесятеричной основы в самых ранних следах германских языков подтверждается наличием слов и глоссов, означающих, что счет ведется в десятичной системе (родственно «десятеричный счет» или «десятеричный»); это можно было бы ожидать, если бы обычный счет не был десятеричным, и необычно, если бы он был. ^{[39] [40]} Там, где эта система счета известна, она основана на « длинной сотне » = 120 и «длинной тысяче» 1200. Описания, такие как «длинный», появляются только после того, как «малая сотня» 100 появилась у христиан. Введение Гордона в древнескандинавский язык, архивировано 15 апреля 2016 г. на странице Wayback Machine, стр. 293, дает названия чисел, которые принадлежат этой системе. Выражение, родственное «сто восемьдесят», переводится как 200, а родственное «двести» — как 240. Гудар ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} подробно описывает использование длинной сотни в Шотландии в Средние века, приводя примеры, такие как вычисления, где перенос подразумевает i C (т. е. сто) как 120 и т. д. То, что население в целом не было встревожено, столкнувшись с такими числами, говорит о достаточно распространенном использовании. Также можно избегать чисел, подобных сотням, используя промежуточные единицы, такие как стоуны и фунты, а не длинный счет фунтов. Гудар приводит примеры чисел, таких как vii score, где избегают сотни, используя расширенные счета. Также есть статья WH Stevenson о «Длинной сотне и ее использовании в Англии». ^{[41] [42]}
• Многие или все чумашанские языки изначально использовали систему счисления с основанием 4 , в которой названия чисел были структурированы в соответствии с числами, кратными 4 и 16. ^[43 ]
• Многие языки ^[44] используют пятеричную (основание 5) систему счисления, включая Gumatj , Nunggubuyu , ^[45] Kuurn Kopan Noot ^[46] и Saraveca . Из них Gumatj является единственным настоящим известным языком с числом 5–25, в котором 25 является высшей группой из 5.
• Некоторые нигерийцы используют двенадцатеричную систему. ^[47] То же самое делают и некоторые небольшие общины в Индии и Непале, на что указывают их языки. ^[48]
• Сообщается, что в языке хули в Папуа-Новой Гвинее используется 15 - ричная система счисления . ^[49] Ngui означает 15, ngui ki означает 15 × 2 = 30, а ngui ngui означает 15 × 15 = 225.
• Сообщается, что в Умбу-Унгу , также известном как Каколи, числа основаны на 24. ^[50] Токапу означает 24, токапу талу означает 24 × 2 = 48, а токапу токапу означает 24 × 24 = 576.
• Сообщается, что в Нгити используется система счисления с основанием 32 и циклами с основанием 4. ^[44]
• Сообщается, что в языке ндом в Папуа-Новой Гвинее используются числа с основанием 6. [ 51 ^] Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36, а nif thef означает 36 × 2 = 72.

Смотрите также

• Алгоритмизм
• Двоично-десятичное число (BCD)
• Десятичная классификация
• Десятичный компьютер
• Десятичное время
• Десятичное представление
• Десятичная нумерация разделов
• Десятичный разделитель
• Децимализация
• Плотно упакованная десятичная дробь (DPD)
• Двенадцатеричная система счисления
• Восьмеричный
• Научная нотация
• Последовательный десятичный
• Метрический префикс

Примечания

1. Иногда дополнительные нули используются для указания точности измерения. Например, «15,00 м» может означать, что погрешность измерения составляет менее одного сантиметра (0,01 м), а «15 м» может означать, что длина составляет примерно пятнадцать метров и что погрешность может превышать 10 сантиметров.

Ссылки

1. "denary" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
2. Йонг, Лам Лэй; Се, Анг Тиан (апрель 2004 г.). Мимолетные шаги. Всемирная научная . 268. дои : 10.1142/5425. ISBN 978-981-238-696-0. Архивировано из оригинала 1 апреля 2023 г. . Получено 17 марта 2022 г. .
3. Weisstein, Eric W. (10 марта 2022 г.). "Десятичная точка". Wolfram MathWorld . Архивировано из оригинала 21 марта 2022 г. . Получено 17 марта 2022 г. .
4. Винкулум (верхняя черта) в 5.123 144 указывает на то, что последовательность «144» повторяется бесконечно, т.е.5.123 144 144 144 144 ... .
5. Lockhart, Paul (2017). Арифметика . Кембридж, Массачусетс Лондон, Англия: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-97223-0.
6. В некоторых странах, например, в арабоязычных , для цифр используются другие глифы .
7. Weisstein, Eric W. "Decimal". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 2020-03-18 . Получено 2020-08-22 .
8. "Десятичная дробь". Энциклопедия математики . Архивировано из оригинала 2013-12-11 . Получено 2013-06-18 .
9. «Пальцы или кулаки? (Выбор десятичного или двоичного представления)», Вернер Бухгольц , Communications of the ACM , т. 2 № 12, стр. 3–11, ACM Press, декабрь 1959 г.
10. Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (1-е (переиздание) изд.). Малабар, Флорида: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-89874-318-4.
11. Шмид, Герман (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-76180-X.
12. Десятичные числа с плавающей точкой: алгоритмы для компьютеров , Коулишоу, Майк Ф. , Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике , ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Soc., 2003 
13. "Десятичная арифметика – FAQ". Архивировано из оригинала 2009-04-29 . Получено 2008-08-15 .
14. Десятичные числа с плавающей точкой: алгоритмы для компьютеров. Архивировано 16 ноября 2003 г. в Wayback Machine , Cowlishaw , MF, Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике (ARITH 16. Архивировано 19 августа 2010 г. в Wayback Machine ), ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Soc., июнь 2003 г. 
15. Данциг, Тобиас (1954), Число / Язык науки (4-е изд.), The Free Press (Macmillan Publishing Co.), стр. 12, ISBN 0-02-906990-4
16. Сержан, Бернар (1997), Женез де л'Инд (на французском языке), Париж: Payot, стр. 113, ISBN 2-228-89116-9 
17. Коппа, А.; и др. (2006). «Ранняя неолитическая традиция стоматологии: кремневые наконечники оказались на удивление эффективными для сверления зубной эмали у доисторического населения». Nature . 440 (7085): 755–56. Bibcode :2006Natur.440..755C. doi :10.1038/440755a. PMID  16598247. S2CID  6787162.
18. Бишт, Р.С. (1982), «Раскопки в Банавали: 1974–77», в Possehl, Gregory L. (ред.), Harappan Civilisation: A Contemporary Perspective , Нью-Дели: Oxford and IBH Publishing Co., стр. 113–24
19. Жорж Ифра: От единицы до нуля. Всеобщая история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 200–13 (египетские цифры) 
20. Грэм Флегг: Числа: их история и значение, Courier Dover Publications, 2002, ISBN 978-0-486-42165-0 , стр. 50 
21. Жорж Ифра: От единицы до нуля. Всеобщая история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 213–18 (критские цифры) 
22. Краузе, Харальд; Кучер, Сабрина (2017). «Spangenbarrenhort Oberding: Zusammenfassung und Ausblick». Шпангенбарренхорт Обердинг. Музей Эрдинг. стр. 238–243. ISBN 978-3-9817606-5-1.
23. "Греческие числа". Архивировано из оригинала 2019-07-21 . Получено 2019-07-21 .
24. Меннингер, Карл : Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl , Ванденхук и Рупрехт, 3-й. изд., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , стр. 150–53. 
25. Жорж Ифра: От единицы до нуля. Всеобщая история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 218 и далее. (Хеттская иероглифическая система) 
26. Лам Лэй Йонг и др. Мимолетные шаги, стр. 137–39
27. Lam Lay Yong , «Развитие индо-арабской и традиционной китайской арифметики», Chinese Science , 1996, стр. 38, нотация Курта Фогеля
28. Джозеф Нидхэм (1959). «19.2 Десятичные дроби, метрология и обработка больших чисел». Наука и цивилизация в Китае . Том III, «Математика и науки о небесах и земле». Cambridge University Press. С. 82–90.
29. Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer 1997 ISBN 3-540-33782-2 
30. Лэй Йонг, Лам . «Китайский генезис, переписывание истории нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 : 101–08.
31. Berggren, J. Lennart (2007). "Математика в средневековом исламе". В Katz, Victor J. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Princeton University Press. стр. 530. ISBN 978-0-691-11485-9.
32. Гандз, С .: Изобретение десятичных дробей и применение показательного исчисления Иммануэлем Бонфисом из Тараскона (ок. 1350 г.), Изида 25 (1936), 16–45.
33. Б.Л. ван дер Варден (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag.
34. Нейпир, Джон (1889) [1620]. Построение чудесного канона логарифмов . Перевод Макдональда, Уильяма Рэя. Эдинбург: Blackwood & Sons – через Интернет-архив. В числах, различаемых таким образом точкой в ​​середине, все, что написано после точки, является дробью, знаменатель которой – единица со столькими цифрами после нее, сколько цифр после точки.
35. "Индийские цифры". Древняя индийская математика .
36. Азар, Бет (1999). «Английские слова могут препятствовать развитию математических навыков». American Psychological Association Monitor . 30 (4). Архивировано из оригинала 21.10.2007.
37. Авелино, Хериберто (2006). «Типология систем счисления Пейм и пределы Мезоамерики как языковой области» (PDF) . Лингвистическая типология . 10 (1): 41–60. doi :10.1515/LINGTY.2006.002. S2CID  20412558. Архивировано (PDF) из оригинала 2006-07-12.
38. Марсия Эшер . «Этноматематика: многокультурный взгляд на математические идеи». Журнал College Mathematics. JSTOR  2686959.
39. McClean, RJ (июль 1958), «Наблюдения над германскими числительными», German Life and Letters , 11 (4): 293–99, doi :10.1111/j.1468-0483.1958.tb00018.x, Некоторые германские языки, по-видимому, демонстрируют следы древнего смешения десятичной и двадцатеричной систем..
40. Войлс, Джозеф (октябрь 1987 г.), «Количественные числительные в до- и протогерманском языке», Журнал английской и германской филологии , 86 (4): 487–95, JSTOR  27709904.
41. Стивенсон, WH (1890). «Длинная сотня и ее использование в Англии». Археологический обзор . Декабрь 1889: 313–22.
42. Пул, Реджинальд Лейн (2006). Казначейство в двенадцатом веке: лекции Форда, прочитанные в Оксфордском университете в Михайловский семестр, 1911. Кларк, Нью-Джерси: Lawbook Exchange. ISBN 1-58477-658-7. OCLC  76960942.
43. Сохранился список числовых слов языка вентуреньо до 32, записанный испанским священником около 1819 года. «Чумашские числительные» Мэдисон С. Билер в книге «Математика коренных американцев » под редакцией Майкла П. Клосса (1986), ISBN 0-292-75531-7 . 
44. Hammarström, Harald (17 мая 2007 г.). "Rarities in Numeral Systems". В Wohlgemuth, Jan; Cysouw, Michael (ред.). Rethinking Universals: How rarities affected the language theory (PDF) . Empirical Approaches to Language Typology. Vol. 45. Berlin: Mouton de Gruyter (опубликовано в 2010 г.). Архивировано из оригинала (PDF) 19 августа 2007 г.
45. Харрис, Джон (1982). Харгрейв, Сюзанна (ред.). «Факты и заблуждения аборигенных систем счисления» (PDF) . Рабочие документы SIL-AAB Series B. 8 : 153–81. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-08-31.
46. Доусон, Дж. «Австралийские аборигены: языки и обычаи нескольких племен аборигенов в западном округе Виктории» (1881), стр. xcviii.
47. Matsushita, Shuji (1998). Десятичная против двенадцатеричной: взаимодействие двух систем исчисления. 2-е заседание AFLANG, октябрь 1998 г., Токио. Архивировано из оригинала 2008-10-05 . Получено 2011-05-29 .
48. Мазодон, Мартина (2002). «Принципы строительства номеров на тибето-бирманских языках». У Франсуа, Жак (ред.). Многообразие (PDF) . Левен: Питерс. стр. 91–119. ISBN 90-429-1295-2. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-28 . Получено 2014-09-12 .
49. Читам, Брайан (1978). «Счет и число в языке хули». Журнал образования Папуа-Новой Гвинеи . 14 : 16–35. Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 г.
50. Боуэрс, Нэнси; Лепи, Пундия (1975). "Системы исчисления долины Каугель" (PDF) . Журнал полинезийского общества . 84 (3): 309–24. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-06-04.
51. Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина по системам подсчета Папуа-Новой Гвинеи и Океании», Журнал исследований математического образования , 13 (1): 47–71, Bibcode : 2001MEdRJ..13...47O, doi : 10.1007/BF03217098, S2CID  161535519, архивировано из оригинала 26.09.2015