Динамика твердого тела

Изучение воздействия сил на недеформируемые тела

Движение каждого из компонентов паровой машины Болтона и Уатта (1784) можно описать системой уравнений кинематики и кинетики.

В физической науке динамики динамика твердого тела изучает движение систем взаимосвязанных тел под действием внешних сил . Предположение, что тела являются жесткими (т.е. они не деформируются под действием приложенных сил), упрощает анализ, сводя параметры, описывающие конфигурацию системы, к перемещению и вращению систем отсчета, прикрепленных к каждому телу. ^{[1] [2]} Это исключает тела, которые демонстрируют жидкое , высокоэластичное и пластичное поведение .

Динамика системы твердого тела описывается законами кинематики и применением второго закона Ньютона ( кинетики ) или их производной формы, механики Лагранжа . Решение этих уравнений движения дает описание положения, движения и ускорения отдельных компонентов системы, а также всей системы в целом как функции времени . Формулировка и решение динамики твердого тела являются важным инструментом в компьютерном моделировании механических систем .

Динамика плоского твердого тела

Если система частиц движется параллельно неподвижной плоскости, говорят, что система ограничена плоским движением. В этом случае законы Ньютона (кинетика) для жесткой системы из N частиц, P _i , i =1,..., N , упрощаются, поскольку нет движения в направлении k . Определите результирующую силу и крутящий момент в опорной точке R , чтобы получить $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}\mathbf {A} _{i},}$$

где r _i обозначает плоскую траекторию каждой частицы.

Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы P _i через положение R и ускорение A опорной частицы , а также вектор угловой скорости ω и вектор углового ускорения α жесткой системы частиц в виде: $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .}$$

Для систем, ограниченных плоским движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены вдоль k перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения можно упростить, введя единичные векторы e _i из опорной точки R в точку r _i и единичные векторы , так что ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .}$$

Это дает результирующую силу в системе как и крутящий момент как $${\displaystyle \mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i}\right)-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\right)\mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ={}&\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \left(\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} \right)\\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

где и — единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц P _i . ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$

Используйте центр масс C в качестве точки отсчета, поэтому эти уравнения для законов Ньютона упрощаются и становятся $${\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{\textbf {C}}\alpha \mathbf {k} ,}$$

где M — полная масса, а I _C — момент инерции относительно оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс.

Твёрдое тело в трёх измерениях

Описания ориентации или отношения

Разработано несколько методов описания ориентаций твердого тела в трех измерениях. Они обобщены в следующих разделах.

Углы Эйлера

Первая попытка представить ориентацию приписывается Леонарду Эйлеру . Он представил себе три системы отсчета, которые могли вращаться одна вокруг другой, и понял, что, начав с фиксированной системы отсчета и выполнив три вращения, он может получить любую другую систему отсчета в пространстве (используя два вращения для фиксации вертикальной оси и одно для фиксации двух других осей). Значения этих трех вращений называются углами Эйлера . Обычно используется для обозначения прецессии, нутации и собственного вращения. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

• 
  Диаграмма углов Эйлера
• 
  Внутреннее вращение шара вокруг неподвижной оси
• 
  Движение волчка в углах Эйлера

Углы Тейта–Брайана

Углы Тейта-Брайана, еще один способ описания ориентации

Это три угла, также известные как рыскание, тангаж и крен, навигационные углы и карданные углы. Математически они составляют набор из шести возможностей внутри двенадцати возможных наборов углов Эйлера, причем порядок является наилучшим для описания ориентации транспортного средства, такого как самолет. В аэрокосмической технике их обычно называют углами Эйлера.

Вектор ориентации

Эйлер также понял, что композиция двух вращений эквивалентна одному вращению вокруг другой фиксированной оси ( теорема вращения Эйлера ). Поэтому композиция первых трех углов должна быть равна только одному вращению, ось которого было сложно вычислить, пока не были разработаны матрицы.

На основании этого факта он ввел векторный способ описания любого вращения с вектором на оси вращения и модулем, равным значению угла. Таким образом, любая ориентация может быть представлена ​​вектором вращения (также называемым вектором Эйлера), который приводит к ней из системы отсчета. При использовании для представления ориентации вектор вращения обычно называется вектором ориентации или вектором отношения.

Похожий метод, называемый представлением оси и угла , описывает вращение или ориентацию с помощью единичного вектора, совмещенного с осью вращения, и отдельного значения для указания угла (см. рисунок).

Матрица ориентации

С введением матриц теоремы Эйлера были переписаны. Вращения описывались ортогональными матрицами, называемыми матрицами вращения или матрицами направляющих косинусов. При использовании для представления ориентации матрица вращения обычно называется матрицей ориентации или матрицей отношения.

Вышеупомянутый вектор Эйлера является собственным вектором матрицы вращения (матрица вращения имеет единственное действительное собственное значение ). Произведение двух матриц вращения является композицией вращений. Поэтому, как и прежде, ориентация может быть задана как вращение от исходной системы отсчета для достижения системы отсчета, которую мы хотим описать.

Конфигурационное пространство несимметричного объекта в n -мерном пространстве равно SO( n ) × R n . Ориентацию можно визуализировать, прикрепив к объекту базис касательных векторов . Направление, в котором указывает каждый вектор , определяет его ориентацию.

Ориентационный кватернион

Другой способ описания вращений — использование кватернионов вращения , также называемых версорами. Они эквивалентны матрицам вращения и векторам вращения. Что касается векторов вращения, их можно легче преобразовать в матрицы и из матриц. При использовании для представления ориентаций кватернионы вращения обычно называются кватернионами ориентации или кватернионами отношения.

Второй закон Ньютона в трех измерениях

Чтобы рассмотреть динамику твердого тела в трехмерном пространстве, необходимо расширить второй закон Ньютона, чтобы определить связь между движением твердого тела и системой сил и моментов, действующих на него.

Ньютон сформулировал свой второй закон для частицы как: «Изменение движения объекта пропорционально приложенной силе и происходит в направлении прямой линии, по которой приложена сила». ^[3] Поскольку Ньютон обычно называл массу, умноженную на скорость, «движением» частицы, фраза «изменение движения» относится к массе, умноженной на ускорение частицы, и поэтому этот закон обычно записывается как где F понимается как единственная внешняя сила, действующая на частицу, m — масса частицы, а a — вектор ее ускорения. Распространение второго закона Ньютона на твердые тела достигается путем рассмотрения жесткой системы частиц. $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

Жесткая система частиц

Если система из N частиц, P _i , i=1,..., N , собрана в твердое тело, то второй закон Ньютона может быть применен к каждой из частиц тела. Если F _i — внешняя сила, приложенная к частице P _i с массой m _i , то где F _ij — внутренняя сила частицы P _{j ,} действующая на частицу P _{i ,} которая поддерживает постоянное расстояние между этими частицами. $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$$

Человеческое тело смоделировано как система жестких тел геометрических тел. Для лучшей визуализации идущего человека были добавлены репрезентативные кости.

Важное упрощение этих уравнений силы достигается путем введения результирующей силы и крутящего момента, которые действуют на жесткую систему. Эта результирующая сила и крутящий момент получаются путем выбора одной из частиц в системе в качестве опорной точки, R , где каждая из внешних сил применяется с добавлением соответствующего крутящего момента. Результирующая сила F и крутящий момент T определяются формулами, где R _i — вектор, определяющий положение частицы P _i . $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$$

Второй закон Ньютона для частицы объединяется с этими формулами для результирующей силы и крутящего момента, чтобы получить, где внутренние силы F _ij сокращаются попарно. Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы P _i в терминах положения R и ускорения a исходной частицы, а также вектора угловой скорости ω и вектора углового ускорения α жесткой системы частиц как, $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$$

Массовые свойства

Массовые свойства твердого тела представлены его центром масс и матрицей инерции . Выберем опорную точку R так, чтобы она удовлетворяла условию $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$$

тогда он известен как центр масс системы.

Матрица инерции [I _R ] системы относительно точки отсчета R определяется выражением $${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}$$

где — вектор-столбец R _i − R ; — его транспонированная матрица, — единичная матрица размером 3 на 3. ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}}$— скалярное произведение самого себя, а — тензорное произведение самого себя. ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$

Уравнения силы-крутящего момента

Используя матрицу центра масс и инерции, уравнения силы и крутящего момента для одного твердого тела принимают вид и известны как второй закон движения Ньютона для твердого тела. $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$$

Динамика взаимосвязанной системы твердых тел, B _i , j = 1, ..., M , формулируется путем изоляции каждого твердого тела и введения сил взаимодействия. Результирующая внешних и сил взаимодействия на каждом теле дает уравнения силы-момента $${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$$

Формулировка Ньютона дает 6 M уравнений, которые определяют динамику системы из M твердых тел. ^[4]

Вращение в трех измерениях

Вращающийся объект, независимо от того, находится ли он под воздействием моментов или нет, может демонстрировать поведение прецессии и нутации . Основным уравнением, описывающим поведение вращающегося твердого тела, является уравнение движения Эйлера : где псевдовекторы τ и L являются соответственно моментами сил на теле и его моментом импульса , скаляр I является его моментом инерции , вектор ω является его угловой скоростью, вектор α является его угловым ускорением, D является дифференциалом в инерциальной системе отсчета, а d является дифференциалом в относительной системе отсчета, связанной с телом. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$$

Решение этого уравнения при отсутствии приложенного крутящего момента обсуждается в статьях Уравнение движения Эйлера и Эллипсоид Пуансо .

Из уравнения Эйлера следует, что крутящий момент τ , приложенный перпендикулярно оси вращения и, следовательно, перпендикулярный L , приводит к вращению вокруг оси, перпендикулярной как τ, так и L. Это движение называется прецессией . Угловая скорость прецессии Ω _P определяется векторным произведением : ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$$

Прецессия гироскопа

Прецессию можно продемонстрировать, поместив вращающийся волчок с горизонтальной осью и свободно поддерживаемой (без трения в направлении прецессии) на одном конце. Вместо того чтобы падать, как можно было бы ожидать, волчок, по-видимому, бросает вызов гравитации, оставаясь с горизонтальной осью, когда другой конец оси остается без поддержки, а свободный конец оси медленно описывает окружность в горизонтальной плоскости, в результате чего прецессия поворачивается. Этот эффект объясняется приведенными выше уравнениями. Крутящий момент на волчке создается парой сил: гравитацией, действующей вниз на центр масс устройства, и равной силой, действующей вверх, чтобы поддерживать один конец устройства. Вращение, возникающее в результате этого крутящего момента, направлено не вниз, как можно было бы интуитивно ожидать, заставляя устройство падать, а перпендикулярно как гравитационному крутящему моменту (горизонтальному и перпендикулярному оси вращения), так и оси вращения (горизонтальному и направленному наружу от точки опоры), т. е. вокруг вертикальной оси, заставляя устройство медленно вращаться вокруг точки опоры.

При постоянном крутящем моменте величиной τ скорость прецессии Ω _P обратно пропорциональна L , величине его углового момента: где θ — угол между векторами Ω _P и L . Таким образом, если вращение волчка замедляется (например, из-за трения), его угловой момент уменьшается, и поэтому скорость прецессии увеличивается. Это продолжается до тех пор, пока устройство не сможет вращаться достаточно быстро, чтобы поддерживать собственный вес, когда оно прекратит прецессию и упадет со своей опоры, в основном потому, что трение о прецессию вызовет другую прецессию, которая и станет причиной падения. $${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}$$

По соглашению, эти три вектора — крутящий момент, вращение и прецессия — ориентированы относительно друг друга в соответствии с правилом правой руки .

Виртуальная работа сил, действующих на твердое тело

Альтернативная формулировка динамики твердого тела, имеющая ряд удобных особенностей, получается путем рассмотрения виртуальной работы сил, действующих на твердое тело.

Виртуальную работу сил, действующих в различных точках на одно твердое тело, можно вычислить, используя скорости их точек приложения и результирующие силу и момент . Чтобы увидеть это, пусть силы F ₁ , F ₂ ... F _n действуют на точки R ₁ , R ₂ ... R _n в твердом теле.

Траектории R _i , i = 1, ..., n определяются движением твердого тела. Скорость точек R _i вдоль их траекторий равна где ω — вектор угловой скорости тела. $${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

Виртуальная работа

Работа вычисляется из скалярного произведения каждой силы на перемещение ее точки контакта. Если траектория твердого тела определяется набором обобщенных координат q _j , j = 1, ..., m , то виртуальные перемещения δ r _i определяются выражением Виртуальная работа этой системы сил, действующих на тело в терминах обобщенных координат, становится $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$$ $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$$ $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$$

или собирая коэффициенты δq _j $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$$

Обобщенные силы

Для простоты рассмотрим траекторию твердого тела, заданную одной обобщенной координатой q, например углом поворота, тогда формула примет вид $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

Введем результирующую силу F и крутящий момент T, так что это уравнение примет вид $${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

Величина Q определяется как $${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$$

известна как обобщенная сила, связанная с виртуальным смещением δq. Эта формула обобщается на движение твердого тела, определяемое более чем одной обобщенной координатой, то есть где $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ $${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Полезно отметить, что консервативные силы, такие как сила тяжести и сила упругости, выводятся из потенциальной функции V ( q ₁ , ..., q _n ) , известной как потенциальная энергия . В этом случае обобщенные силы задаются как $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера

Уравнения движения для механической системы твердых тел могут быть определены с использованием формы принципа виртуальной работы Даламбера. Принцип виртуальной работы используется для изучения статического равновесия системы твердых тел, однако введение членов ускорения в законы Ньютона обобщает этот подход для определения динамического равновесия.

Статическое равновесие

Статическое равновесие механической системы твердых тел определяется условием, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю для любого виртуального смещения системы. Это известно как принцип виртуальной работы. ^[5] Это эквивалентно требованию, что обобщенные силы для любого виртуального смещения равны нулю, то есть Q _i =0.

Пусть механическая система состоит из n твердых тел, B _i , i = 1, ..., n , и пусть результирующей приложенных к каждому телу сил являются пары сила-момент, F _i и T _i , i = 1, ..., n . Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции, где тела соединены. Наконец, предположим, что скорость V _i и угловые скорости ω _i , i = 1, ..., n , для каждого твердого тела определяются одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет одну степень свободы .

Виртуальная работа сил и моментов, F _i и T _i , приложенных к этой системе с одной степенью свободы, определяется выражением , где — обобщенная сила, действующая на эту систему с одной степенью свободы. $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,}$$ $${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}$$

Если механическая система определяется m обобщенными координатами, q _j , j = 1, ..., m , то система имеет m степеней свободы, а виртуальная работа определяется как, где - обобщенная сила, связанная с обобщенной координатой q _j . Принцип виртуальной работы гласит, что статическое равновесие наступает, когда эти обобщенные силы, действующие на систему, равны нулю, то есть $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$ $${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Эти m уравнений определяют статическое равновесие системы твердых тел.

Обобщенные силы инерции

Рассмотрим одно твердое тело, которое движется под действием результирующей силы F и крутящего момента T , с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q . Предположим, что точкой отсчета для результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q*, связанная с обобщенной координатой q, определяется как $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

Эту силу инерции можно вычислить из кинетической энергии твердого тела, используя формулу $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$ $${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Система из n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию , которую можно использовать для вычисления m обобщенных сил инерции ^[6] $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Динамическое равновесие

Форма принципа виртуальной работы Даламбера гласит, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального смещения системы. Таким образом, динамическое равновесие системы из n твердых тел с m обобщенными координатами требует, чтобы для любого набора виртуальных смещений δq _j . Это условие дает m уравнений, которые также можно записать как Результатом является набор из m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердых тел. $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Уравнения Лагранжа

Если обобщенные силы Q _j выводятся из потенциальной энергии V ( q ₁ , ..., q _m ) , то эти уравнения движения принимают вид $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

В этом случае введем лагранжиан , L = T − V , так что эти уравнения движения станут такими: Они известны как уравнения движения Лагранжа . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Линейный и угловой момент

Система частиц

Линейный и угловой импульс жесткой системы частиц формулируется путем измерения положения и скорости частиц относительно центра масс. Пусть система частиц P _i , i = 1, ..., n находится в координатах r _i и скоростях v _i . Выберите точку отсчета R и вычислите векторы относительного положения и скорости, $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$$

Векторы полного линейного и углового импульса относительно точки отсчета R равны и $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}$$

Если R выбран в качестве центра масс, эти уравнения упрощаются до $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}$$

Жесткая система частиц

Чтобы специфицировать эти формулы для твердого тела, предположим, что частицы жестко связаны друг с другом, так что P _i , i=1,...,n расположены по координатам r _i и скоростям v _i . Выберите точку отсчета R и вычислите относительное положение и векторы скорости, где ω — угловая скорость системы. ^{[7] [8] [9]} $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

Линейный импульс и момент импульса этой жесткой системы, измеренные относительно центра масс R, равны $${\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$$

Эти уравнения упрощаются и становятся такими, где M — полная масса системы, а [I _R ] — матрица моментов инерции , определяемая как , где [ri ₋ R] — кососимметричная матрица, построенная из вектора r _i − R . $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$$ $${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$$

Приложения

• Для анализа робототехнических систем
• Для биомеханического анализа животных, людей или гуманоидных систем
• Для анализа космических объектов
• Для понимания странных движений твердых тел. ^[10]
• За проектирование и разработку динамических датчиков, таких как гироскопические датчики.
• За проектирование и разработку различных устройств повышения устойчивости автомобилей.
• Для улучшения графики видеоигр, в которых задействованы твердые тела

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Аналитическая динамика
• Вариационное исчисление
• Классическая механика
• Динамика (механика)
• История классической механики
• Лагранжева механика
• Лагранжиан
• Гамильтонова механика
• Твёрдое тело
• Жесткая трансформация
• Жесткий ротор
• Динамика мягкого тела
• Многокомпонентная система
• Полходе
• Герпольоде
• Прецессия
• Эллипсоид Пуансо
• Гироскоп
• Физический движок
• Физический процессор
• Физический абстракционный слой – унифицированный многотельный симулятор
• RigidChips – японский симулятор твердого тела
• Уравнение Эйлера

Ссылки

1. Б. Пол, Кинематика и динамика плоских машин, Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1979
2. LW Tsai, Анализ роботов: механика последовательных и параллельных манипуляторов, John-Wiley, Нью-Йорк, 1999.
3. Энциклопедия Британника, Законы движения Ньютона.
4. К. Дж. Уолдрон и Г. Л. Кинзель, Кинематика и динамика, и проектирование машин, 2-е изд., John Wiley and Sons, 2004.
5. Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics for Engineers . Серия HRW по машиностроению. Соединенные Штаты Америки: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
6. TR Kane и DA Levinson, Динамика, теория и приложения, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 2005.
7. Мэрион, Дж. Б.; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика систем и частиц (4-е изд.). Томсон. ISBN 0-03-097302-3..
8. Symon, KR (1971). Механика (3-е изд.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7..
9. Тененбаум, РА (2004). Основы прикладной динамики. Springer. ISBN 0-387-00887-X..
10. Gomez, RW; Hernandez-Gomez, JJ; Marquina, V (25 июля 2012 г.). "Прыгающий цилиндр на наклонной плоскости". Eur. J. Phys . 33 (5). IOP: 1359–1365. arXiv : 1204.0600 . Bibcode : 2012EJPh...33.1359G. doi : 10.1088/0143-0807/33/5/1359. S2CID  55442794. Получено 25 апреля 2016 г.

Дальнейшее чтение

• Э. Лейманис (1965). Общая задача о движении связанных твердых тел вокруг неподвижной точки. ( Springer , Нью-Йорк).
• WB Heard (2006). Механика твердого тела: математика, физика и приложения. ( Wiley-VCH ).

Внешние ссылки

• Информация Криса Хеккера о динамике твердого тела, архивированная 12 марта 2007 г. на Wayback Machine
• Физически обоснованное моделирование: принципы и практика
• База знаний DigitalRune, архивированная 20 ноября 2008 г. на Wayback Machine, содержит магистерскую диссертацию и подборку ресурсов по динамике твердого тела.
• Ф. Клейн, «Заметка о связи между линейной геометрией и механикой твердых тел» (перевод на английский язык)
• Ф. Клейн, «О теории винтов сэра Роберта Болла» (перевод на английский язык)
• Э. Коттон, «Применение геометрии Кэли к геометрическому изучению перемещения твердого тела вокруг неподвижной точки» (перевод на английский язык)