В геометрии ( угловой ) дефект (или дефицит или недостаточность ) означает неспособность некоторых углов в сумме составить ожидаемую сумму 360° или 180°, когда такие углы в евклидовой плоскости должны были бы. Противоположное понятие — избыток .
Классически дефект возникает двумя способами:
и избыток также возникает двумя способами:
На евклидовой плоскости углы относительно точки составляют 360°, тогда как внутренние углы в треугольнике составляют 180° (эквивалентно, внешние углы составляют 360°). Однако на выпуклом многограннике углы при вершине составляют менее 360°, на сферическом треугольнике внутренние углы всегда составляют более 180° (внешние углы составляют менее 360° ) , а углы в гиперболическом треугольнике всегда составляют менее 180° (внешние углы составляют более 360 °).
В современных терминах дефект в вершине представляет собой дискретную версию кривизны многогранной поверхности, сосредоточенной в этой точке , а теорема Гаусса–Бонне дает общую кривизну как произведение характеристики Эйлера , поэтому сумма дефектов равна . Отрицательный дефект указывает на то, что вершина напоминает седловую точку (отрицательная кривизна), тогда как положительный дефект указывает на то, что вершина напоминает локальный максимум или минимум (положительная кривизна).
Для многогранника дефект в вершине равен 2π минус сумма всех углов в вершине (все грани в вершине включены). Если многогранник выпуклый, то дефект каждой вершины всегда положительный. Если сумма углов превышает полный оборот , как это происходит в некоторых вершинах многих невыпуклых многогранников, то дефект отрицательный.
Понятие дефекта распространяется на более высокие измерения как величину , на которую сумма двугранных углов ячеек на вершине не дотягивает до полного круга.
Дефект любой из вершин правильного додекаэдра (в котором три правильных пятиугольника сходятся в каждой вершине) составляет 36°, или π/5 радиан, или 1/10 окружности. Каждый из углов имеет размер 108°; три из них сходятся в каждой вершине, поэтому дефект составляет 360° − (108° + 108° + 108°) = 36°.
Эту же процедуру можно выполнить для других Платоновых тел :
Теорема Декарта о «полном дефекте» многогранника гласит, что если многогранник гомеоморфен сфере (т. е. топологически эквивалентен сфере, так что его можно деформировать в сферу путем растяжения без разрыва), то «полный дефект», т. е. сумма дефектов всех вершин, составляет два полных круга (или 720° или 4π радиан ). Многогранник не обязательно должен быть выпуклым. [1]
Обобщение гласит, что число окружностей в общем дефекте равно эйлеровой характеристике многогранника. Это частный случай теоремы Гаусса–Бонне , которая связывает интеграл гауссовой кривизны с эйлеровой характеристикой. Здесь гауссова кривизна сосредоточена в вершинах: на гранях и ребрах кривизна равна нулю, а интеграл кривизны в вершине равен дефекту там (по определению).
Это можно использовать для вычисления числа вершин V многогранника путем суммирования углов всех граней и добавления общего дефекта. Эта сумма будет иметь одну полную окружность для каждой вершины многогранника. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильную эйлерову характеристику для многогранника.
Обратной теоремой к этой теореме является теорема единственности Александрова , согласно которой метрическое пространство, локально евклидово (следовательно, имеющее нулевую кривизну) за исключением конечного числа точек положительного углового дефекта, в сумме дающего 4π , может быть единственным образом реализовано как поверхность выпуклого многогранника.
Возникает соблазн думать, что каждый невыпуклый многогранник должен иметь некоторые вершины, дефект которых отрицателен, но это не обязательно так, если эйлерова характеристика положительна (топологическая сфера). Два контрпримера к этому — малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр , которые имеют двенадцать выпуклых точек, каждая с положительными дефектами.
Контрпример, который не пересекает сам себя, дается кубом , где одна грань заменена квадратной пирамидой : эта удлиненная квадратная пирамида выпуклая, и дефекты в каждой вершине положительны. Теперь рассмотрим тот же куб, где квадратная пирамида переходит в куб: он вогнутый, но дефекты остаются теми же, и поэтому все положительны.
