stringtranslate.com

Дельта-функция Дирака

Схематическое изображение дельта-функции Дирака линией, увенчанной стрелкой. Высота стрелки обычно предназначена для указания значения любой мультипликативной константы, которая даст площадь под функцией. Другое соглашение заключается в том, чтобы записывать площадь рядом с наконечником стрелки.
Дельта Дирака как предел (в смысле распределений ) последовательности нормальных распределений с нулевым центром

В математическом анализе дельта -функция Дирака (или δ- распределение ), также известная как единичный импульс , [1] является обобщенной функцией действительных чисел , значение которой равно нулю везде, кроме нуля, и интеграл которой по всей действительной оси равен единице. [2] [3] [4] Таким образом, ее можно эвристически представить как

такой что

Поскольку функции, обладающей таким свойством, не существует, строгое моделирование дельта-«функции» предполагает использование пределов или, как это принято в математике, теории меры и теории распределений .

Дельта-функция была введена физиком Полем Дираком и с тех пор регулярно применяется в физике и инженерии для моделирования точечных масс и мгновенных импульсов. Она называется дельта-функцией, потому что является непрерывным аналогом дельта- функции Кронекера , которая обычно определяется в дискретной области и принимает значения 0 и 1. Математическая строгость дельта-функции оспаривалась до тех пор, пока Лоран Шварц не разработал теорию распределений, где она определяется как линейная форма, действующая на функции.

Мотивация и обзор

График дельты Дирака обычно рассматривается как следующий за всей осью x и положительной осью y . [5] : 174  Дельта Дирака используется для моделирования функции высокого узкого спайка ( импульса ) и других подобных абстракций, таких как точечный заряд , точечная масса или электронная точка. Например, чтобы рассчитать динамику ударяемого бильярдного шара, можно аппроксимировать силу удара дельтой Дирака. При этом не только упрощаются уравнения, но и появляется возможность рассчитать движение шара , рассматривая только полный импульс столкновения, без подробной модели всей передачи упругой энергии на субатомных уровнях (например).

Для определенности предположим, что бильярдный шар находится в состоянии покоя. В момент времени его ударяет другой шар, сообщая ему импульс P , с единицами измерения кг⋅м⋅с −1 . Обмен импульсом на самом деле не мгновенный, поскольку осуществляется упругими процессами на молекулярном и субатомном уровне, но для практических целей удобно считать, что передача энергии фактически мгновенная. Таким образом, сила равна P δ ( t ) ; единицами измерения δ ( t ) являются с −1 .

Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что сила вместо этого равномерно распределена в течение небольшого интервала времени . То есть,

Тогда импульс в любой момент времени t находится путем интегрирования:

Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела при Δt → 0 , что дает результат везде , кроме 0 :

Здесь функции рассматриваются как полезные приближения к идее мгновенной передачи импульса.

Функция дельта позволяет нам построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, фактический предел функций (в смысле поточечной сходимости ) равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы правильно понять дельта Дирака, мы должны вместо этого настаивать на том, что свойство

которое справедливо для всех , должно продолжать справедливо и в пределе. Таким образом, в уравнении подразумевается , что предел всегда берется вне интеграла .

В прикладной математике, как мы это сделали здесь, дельта-функция часто рассматривается как своего рода предел ( слабый предел ) последовательности функций , каждый член которой имеет высокий пик в начале координат: например, последовательность гауссовых распределений с центром в начале координат и дисперсией, стремящейся к нулю.

Дельта Дирака не является истинной функцией, по крайней мере, не является обычной функцией с областью определения и диапазоном в действительных числах . Например, объекты f ( x ) = δ ( x ) и g ( x ) = 0 равны всюду, за исключением x = 0, но имеют различные интегралы. Согласно теории интегрирования Лебега , если f и g являются функциями такими, что f = g почти всюду , то f интегрируема тогда и только тогда, когда g интегрируема, а интегралы f и g идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как самостоятельного математического объекта требует теории меры или теории распределений .

История

Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется интегральной теоремой Фурье, в своем трактате «Аналитическая теория тепла» в форме: [6]

что равносильно введению δ -функции в виде: [7]

Позднее Огюстен Коши выразил теорему с помощью экспонент: [8] [9]

Коши указал, что в некоторых обстоятельствах порядок интегрирования имеет значение в этом результате (в отличие от теоремы Фубини ). [10] [11]

Как подтверждается теорией распределений , уравнение Коши можно переформулировать так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье, и представить δ -функцию как

где δ -функция выражается как

Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различные ограничения на функцию f, необходимые для ее применения, продолжались в течение нескольких столетий. Проблемы с классической интерпретацией объясняются следующим образом: [12]

Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых его можно эффективно вычислить. А именно, необходимо, чтобы эти функции достаточно быстро уменьшались до нуля (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразование Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс функций, которые можно было преобразовать, и это устранило многие препятствия.

Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье, «начавшееся с новаторской L 2 -теории Планшереля (1910 г.), продолжившееся работами Винера и Бохнера (около 1930 г.) и завершившееся объединением в теорию распределений Л. Шварца (1945 г.)...» [13] и приведшее к формальной разработке дельта-функции Дирака.

Бесконечно малая формула для бесконечно высокой единичной импульсной дельта-функции (бесконечно малая версия распределения Коши ) явно появляется в тексте 1827 года Огюстена-Луи Коши . [14] Симеон Дени Пуассон рассматривал этот вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввели единичный импульс как предел гауссианов , что также соответствовало понятию лорда Кельвина о точечном источнике тепла. В конце 19-го века Оливер Хевисайд использовал формальные ряды Фурье для манипулирования единичным импульсом. [15] Дельта-функция Дирака как таковая была введена Полем Дираком в его статье 1927 года «Физическая интерпретация квантовой динамики» [16] и использовалась в его учебнике «Принципы квантовой механики» . [3] Он назвал ее «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной дельты Кронекера .

Определения

Дельта-функцию Дирака можно условно рассматривать как функцию на действительной прямой, которая равна нулю всюду, кроме начала координат, где она бесконечна.

и который также ограничен, чтобы удовлетворять тождеству [17]

Это всего лишь эвристическая характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку ни одна расширенная функция со значением действительного числа , определенная на действительных числах, не обладает этими свойствами. [18]

В качестве меры

Один из способов строго описать понятие дельта-функции Дирака — определить меру , называемую мерой Дирака , которая принимает подмножество A действительной прямой R в качестве аргумента и возвращает δ ( A ) = 1, если 0 ∈ A , и δ ( A ) = 0 в противном случае. [19] Если дельта-функция концептуализирована как моделирование идеализированной точечной массы в точке 0, то δ ( A ) представляет массу, содержащуюся во множестве A . Затем можно определить интеграл по δ как интеграл функции по этому распределению масс. Формально интеграл Лебега обеспечивает необходимый аналитический прием. Интеграл Лебега относительно меры δ удовлетворяет

для всех непрерывных функций с компактным носителем f . Мера δ не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега — на самом деле, это сингулярная мера . Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона–Никодима (относительно меры Лебега) — нет истинной функции, для которой свойство

[20] В результате последняя запись является удобным злоупотреблением обозначениями , а не стандартным ( Римановым или Лебеговым ) интегралом.

Как вероятностная мера на R , дельта-мера характеризуется своей кумулятивной функцией распределения , которая является функцией единичного шага . [21]

Это означает, что H ( x ) является интегралом кумулятивной индикаторной функции 1 (−∞, x ] относительно меры δ ; а именно,

последний является мерой этого интервала. Таким образом, в частности, интегрирование дельта-функции против непрерывной функции может быть правильно понято как интеграл Римана–Стилтьеса : [22]

Все высшие моменты δ равны нулю. В частности, характеристическая функция и функция , производящая моменты, обе равны единице.

Как распределение

В теории распределений обобщенная функция рассматривается не как функция сама по себе, а только через то, как она влияет на другие функции, когда «интегрируется» по ним. [23] В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, чему равен «интеграл» дельта-функции по достаточно «хорошей» тестовой функции φ . Тестовые функции также известны как функции выпуклости . Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега тестовой функции по этой мере дает необходимый интеграл.

Типичное пространство тестовых функций состоит из всех гладких функций на R с компактным носителем , которые имеют столько производных, сколько требуется. Как распределение, дельта Дирака является линейным функционалом на пространстве тестовых функций и определяется как [24]

для каждой тестовой функции φ .

Для того, чтобы δ было распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии на пространстве тестовых функций. В общем случае, для того, чтобы линейный функционал S на пространстве тестовых функций определял распределение, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N существовало целое число M N и константа C N такие, что для каждой тестовой функции φ выполняется неравенство [25]

где sup представляет супремум . С распределением δ такое неравенство (с C N = 1) имеет место при M N = 0 для всех N. Таким образом , δ является распределением нулевого порядка. Более того, это распределение с компактным носителем ( носителем является {0} ).

Распределение дельта также может быть определено несколькими эквивалентными способами. Например, это производная распределения ступенчатой ​​функции Хевисайда . Это означает, что для каждой тестовой функции φ имеем

Интуитивно понятно, что если бы интегрирование по частям было разрешено, то последний интеграл должен был бы упроститься до

и действительно, для интеграла Стилтьеса допускается форма интегрирования по частям, и в этом случае мы имеем

В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. Наоборот, уравнение ( 1 ) определяет интеграл Даниэля на пространстве всех непрерывных функций с компактным носителем φ , который по теореме Рисса о представлении может быть представлен как интеграл Лебега от φ относительно некоторой меры Радона .

Обычно, когда термин дельта-функция Дирака используется, он имеет в виду распределения, а не меры, мера Дирака является одним из нескольких терминов для соответствующего понятия в теории меры. Некоторые источники могут также использовать термин дельта-распределение Дирака .

Обобщения

Дельта-функция может быть определена в n -мерном евклидовом пространстве R n как мера такая, что

для каждой компактно поддерживаемой непрерывной функции f . Как мера, n -мерная дельта-функция является мерой произведения 1-мерных дельта-функций по каждой переменной в отдельности. Таким образом, формально, при x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) , имеем [26]

Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как и выше в одномерном случае. [27] Однако, несмотря на широкое использование в инженерных контекстах, ( 2 ) следует использовать с осторожностью, поскольку произведение распределений может быть определено только при довольно узких обстоятельствах. [28] [29]

Понятие меры Дирака имеет смысл на любом множестве. [30] Таким образом, если X — множество, x 0X — отмеченная точка, а Σ — любая сигма-алгебра подмножеств X , то мера, определенная на множествах A ∈ Σ как

это дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в точке x 0 .

Другое распространенное обобщение дельта-функции — это дифференцируемое многообразие , где большинство ее свойств как распределения также могут быть использованы из-за дифференцируемой структуры . Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x 0M определяется как следующее распределение:

для всех гладких вещественных функций φ с компактным носителем на M. [ 31 ] Обычным частным случаем этой конструкции является случай, когда M является открытым множеством в евклидовом пространстве Rn .

На локально компактном хаусдорфовом пространстве X дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке x, является мерой Радона , связанной с интегралом Даниэля ( 3 ) на компактно содержащихся непрерывных функциях φ . [32] На этом уровне общности исчисление как таковое уже невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение является непрерывным вложением X в пространство конечных мер Радона на X , снабженное его нечеткой топологией . Более того, выпуклая оболочка образа X при этом вложении плотна в пространстве вероятностных мер на X. [ 33]

Характеристики

Масштабирование и симметрия

Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α : [34]

и так

Доказательство свойства масштабирования: где используется замена переменной x′ = ax . Если a отрицательно, т.е. a = −| a | , то Таким образом, .

В частности, дельта-функция является равномерным распределением (симметрией) в том смысле, что

которая является однородной степени −1 .

Алгебраические свойства

Распределительное произведение δ на x равно нулю :

В более общем смысле, для всех положительных целых чисел .

Наоборот, если xf ( x ) = xg ( x ) , где f и g — распределения, то

для некоторой константы c . [35]

Перевод

Интеграл любой функции, умноженной на задержанную по времени дельту Дирака, равен

Иногда это называют свойством просеивания [36] или свойством выборки . [37] Говорят , что дельта-функция «отсеивает» значение f(t) при t = T. [38]

Отсюда следует, что эффект свертки функции f ( t ) с задержанной по времени дельтой Дирака заключается в задержке по времени f ( t ) на ту же величину: [39]

Свойство просеивания выполняется при точном условии, что f является умеренным распределением (см. обсуждение преобразования Фурье ниже). В качестве особого случая, например, мы имеем тождество (понимаемое в смысле распределения)

Композиция с функцией

В более общем случае дельта-распределение может быть составлено с помощью гладкой функции g ( x ) таким образом, чтобы соблюдалась известная формула замены переменных:

при условии, что g является непрерывно дифференцируемой функцией с g′ нигде не равным нулю. [40] То есть, существует единственный способ придать распределение значение так, чтобы это тождество выполнялось для всех компактно поддерживаемых тестовых функций f . Следовательно, область должна быть разбита, чтобы исключить точку g′ = 0. Это распределение удовлетворяет δ ( g ( x )) = 0 , если g нигде не равна нулю, и в противном случае, если g имеет действительный корень в точке x 0 , то

Поэтому естественно определить композицию δ ( g ( x )) для непрерывно дифференцируемых функций g следующим образом:

где сумма распространяется на все корни g ( x ) , которые предполагаются простыми . Таким образом, например,

В интегральной форме обобщенное свойство масштабирования можно записать как

Неопределенный интеграл

Для константы и «хорошо себя ведущей» произвольной действительной функции y ( x ) , где H ( x )ступенчатая функция Хевисайда , а c — константа интегрирования.

Недвижимость внразмеры

Вместо этого дельта-распределение в n -мерном пространстве удовлетворяет следующему свойству масштабирования, так что δ является однородным распределением степени n .

При любом отражении или повороте ρ дельта-функция инвариантна,

Как и в случае с одной переменной, можно однозначно определить композицию δ с билипшицевой функцией [41] g : Rn Rn так , что для всех функций f с компактным носителем выполняется следующее .

Используя формулу коплощади из геометрической теории меры , можно также определить композицию дельта-функции с погружением из одного евклидова пространства в другое с другой размерностью; результатом является тип тока . В частном случае непрерывно дифференцируемой функции g  : R nR такой, что градиент g нигде не равен нулю, выполняется следующее тождество [42] , где интеграл справа берется по g −1 ( 0) , ( n − 1) -мерной поверхности, определяемой g ( x ) = 0 относительно меры содержания Минковского . Это известно как простой интеграл слоя .

В более общем случае, если S — гладкая гиперповерхность Rn , то мы можем связать с S распределение, которое интегрирует любую компактно содержащую гладкую функцию g над S :

где σ — гиперповерхностная мера, связанная с S. Это обобщение связано с потенциальной теорией потенциалов простого слоя на S. Если Dобласть в Rn с гладкой границей S , то δ S равно нормальной производной индикаторной функции D в смысле распределения ,

где n — внешняя нормаль. [43] [44] Доказательство см., например, в статье о поверхностной дельта-функции .

В трех измерениях дельта-функция представлена ​​в сферических координатах следующим образом:

преобразование Фурье

Функция дельта является умеренным распределением , и поэтому она имеет хорошо определенное преобразование Фурье . Формально, можно найти [45]

Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется путем наложения самосопряженности преобразования Фурье при дуальном сопряжении умеренных распределений с функциями Шварца . Таким образом, определяется как единственное умеренное распределение, удовлетворяющее

для всех функций Шварца φ . И действительно, из этого следует, что

В результате этого тождества свертка дельта-функции с любым другим темперированным распределением S равна просто S :

То есть, δ является элементом тождества для свертки на умеренных распределениях, и фактически, пространство распределений с компактным носителем при свертке является ассоциативной алгеброй с тождеством дельта-функции. Это свойство является фундаментальным в обработке сигналов , поскольку свертка с умеренным распределением является линейной стационарной системой , и применение линейной стационарной системы измеряет ее импульсный отклик . Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ , и как только он известен, он полностью характеризует систему. См. Теория систем LTI § Импульсный отклик и свертка .

Обратное преобразование Фурье темперированного распределения f ( ξ ) = 1 есть дельта-функция. Формально это выражается как и более строго, это следует из того, что для всех функций Шварца f .

В этих терминах дельта-функция обеспечивает наводящее утверждение о свойстве ортогональности ядра Фурье на R. Формально, можно иметь

Это, конечно, является сокращением утверждения о том, что преобразование Фурье умеренного распределения равно , что снова следует из условия самосопряженности преобразования Фурье.

Аналитически продолжая преобразование Фурье, получаем преобразование Лапласа дельта-функции [46]

Производные

Производная дельта-распределения Дирака, обозначаемая δ′ и также называемая дельта-штрихом Дирака или дельта-производной Дирака , как описано в Лапласиане индикатора , определяется на компактно поддерживаемых гладких тестовых функциях φ по формуле [47]

Первое равенство здесь является своего рода интегрированием по частям , поскольку если бы δ было истинной функцией, то

По математической индукции k -я производная δ определяется аналогично распределению, заданному на тестовых функциях:

В частности, δ — бесконечно дифференцируемое распределение.

Первая производная дельта-функции представляет собой предел распределения разностных коэффициентов: [48]

Точнее, где τ h — оператор сдвига, определенный на функциях как τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) , а на распределении S как

В теории электромагнетизма первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь, расположенный в начале координат. Соответственно, ее называют дипольной или дублетной функцией . [49]

Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, включая: [50] что можно показать, применив тестовую функцию и выполнив интегрирование по частям.

Последнее из этих свойств можно также продемонстрировать, применив определение распределительной производной, теорему Лейбница и линейность скалярного произведения: [51]

Более того, свертка δ′ с компактной гладкой функцией f равна

что следует из свойств распределительной производной свертки.

Более высокие измерения

В более общем случае, на открытом множестве U в n -мерном евклидовом пространстве дельта-распределение Дирака с центром в точке aU определяется формулой [52] для всех , пространства всех гладких функций с компактным носителем на U. Если — любой мультииндекс с и обозначает связанный смешанный оператор частной производной , то α -я производная α δ a от δ a задается формулой [52]

То есть, α -я производная δ a — это распределение, значение которого на любой тестовой функции φ является α -й производной φ в точке a (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).

Первые частные производные дельта-функции рассматриваются как двойные слои вдоль координатных плоскостей. В более общем смысле нормальная производная простого слоя, поддерживаемого поверхностью, является двойным слоем, поддерживаемым этой поверхностью, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как мультиполи .

Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной поддержкой. Если S — это любое распределение на U , поддерживаемое на множестве { a }, состоящем из одной точки, то существует целое число m и коэффициенты c α такие, что [52] [53]

Представления дельта-функции

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций

где η ε ( x ) иногда называют зарождающейся дельта-функцией. Этот предел подразумевается в слабом смысле: либо то, что

для всех непрерывных функций f, имеющих компактный носитель , или что этот предел выполняется для всех гладких функций f с компактным носителем. Разница между этими двумя немного разными режимами слабой сходимости часто тонка: первый — это сходимость в неопределенной топологии мер, а второй — это сходимость в смысле распределений .

Приближения к тождеству

Обычно зарождающаяся дельта-функция η ε может быть построена следующим образом. Пусть η — абсолютно интегрируемая функция на R полного интеграла 1 , и определим

В n измерениях вместо этого используется масштабирование

Тогда простая замена переменных показывает, что η ε также имеет интеграл 1. Можно показать, что ( 5 ) справедливо для всех непрерывных функций f с компактным носителем [54] , и поэтому η ε слабо сходится к δ в смысле мер.

Построенные таким образом η ε известны как приближение к тождеству . [55] Эта терминология обусловлена ​​тем, что пространство L 1 ( R ) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно операции свертки функций: fgL 1 ( R ) всякий раз, когда f и g находятся в L 1 ( R ) . Однако в L 1 ( R ) нет тождества для сверточного произведения: нет элемента h такого, что fh = f для всех f . Тем не менее, последовательность η ε приближает такое тождество в том смысле, что

Этот предел выполняется в смысле средней сходимости (сходимости в L 1 ). Дополнительные условия на η ε , например, чтобы он был смягчающим фактором, связанным с функцией с компактным носителем, [56] необходимы для обеспечения поточечной сходимости почти всюду .

Если начальное η = η 1 само по себе гладкое и компактно поддерживаемое, то последовательность называется смягчителем . Стандартный смягчитель получается путем выбора η в качестве надлежащим образом нормализованной функции выпуклости , например

В некоторых ситуациях, таких как численный анализ , желательно кусочно-линейное приближение к тождеству. Это можно получить, взяв η 1 в качестве функции шляпы . При таком выборе η 1 можно иметь

которые все непрерывны и компактно опираются, хотя и не гладкие и, следовательно, не являются смягчающими.

Вероятностные соображения

В контексте теории вероятностей естественно наложить дополнительное условие, что начальное η 1 в приближении к тождеству должно быть положительным, поскольку такая функция затем представляет собой распределение вероятностей . Свертка с распределением вероятностей иногда благоприятна, поскольку она не приводит к выбросу или недобору, поскольку выход является выпуклой комбинацией входных значений и, таким образом, попадает между максимумом и минимумом входной функции. Принимая η 1 за любое распределение вероятностей вообще и полагая η ε ( x ) = η 1 ( x / ε )/ ε , как указано выше, получим приближение к тождеству. В общем случае это быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и имеет малые высшие моменты. Например, если η 1 является равномерным распределением на , также известным как прямоугольная функция , то: [57]

Другой пример — распределение полукруга Вигнера.

Это непрерывно и компактно поддерживается, но не смягчает ситуацию, поскольку не является гладким.

Полугруппы

Возникающие дельта-функции часто возникают как полугруппы свертки . [58] Это равносильно дальнейшему ограничению, что свертка η ε с η δ должна удовлетворять

для всех ε , δ > 0. Сверточные полугруппы в L1 , образующие зарождающуюся дельта-функцию, всегда являются приближением к тождеству в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.

На практике полугруппы, аппроксимирующие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или функции Грина физически мотивированных эллиптических или параболических уравнений в частных производных . В контексте прикладной математики полугруппы возникают как выход линейной инвариантной во времени системы . Абстрактно, если A — линейный оператор, действующий на функции x , то полугруппа свертки возникает путем решения задачи начального значения

в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Установка η ε ( x ) = η ( ε , x ) дает соответствующую зарождающуюся дельта-функцию.

Вот некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих из такого фундаментального решения.

Тепловое ядро

Тепловое ядро , определяемое как

представляет собой температуру в бесконечном проводе в момент времени t > 0 , если единица тепловой энергии запасена в начале провода в момент времени t = 0. Эта полугруппа развивается согласно одномерному уравнению теплопроводности :

В теории вероятностей η ε ( x ) — это нормальное распределение дисперсии ε и среднего значения 0 . Оно представляет собой плотность вероятности в момент времени t = ε положения частицы, начинающейся в начале координат после стандартного броуновского движения . В этом контексте полугрупповое условие является выражением марковского свойства броуновского движения.

В многомерном евклидовом пространстве R n тепловое ядро ​​имеет ту же физическую интерпретацию, mutatis mutandis . Оно также представляет собой зарождающуюся дельта-функцию в том смысле, что η εδ в смысле распределения при ε → 0 .

Ядро Пуассона

Ядро Пуассона

является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. [59] Он представляет электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал вдоль края которой удерживается на фиксированном значении дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с распределением Коши и функциями ядра Епанечникова и Гаусса . [60] Эта полугруппа развивается согласно уравнению

где оператор строго определен как множитель Фурье

Колебательные интегралы

В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика , соответствующие уравнения являются гиперболическими и поэтому могут иметь больше сингулярных решений. В результате зарождающиеся дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных задач Коши, обычно являются осциллирующими интегралами . Примером, который исходит из решения уравнения Эйлера–Трикоми околозвуковой газовой динамики , [61] является перемасштабированная функция Эйри

Хотя с помощью преобразования Фурье легко увидеть, что это порождает полугруппу в некотором смысле — она не является абсолютно интегрируемой и, таким образом, не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие зарождающиеся дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (примером является ядро ​​Дирихле ниже), а не в смысле мер.

Другим примером является задача Коши для волнового уравнения в R 1+1 : [62]

Решение u представляет собой смещение из положения равновесия бесконечной упругой струны с начальным возмущением в начале координат.

Другие приближения к тождеству такого рода включают функцию sinc (широко используемую в электронике и телекоммуникациях)

и функция Бесселя

Разложение плоской волны

Один из подходов к изучению линейного уравнения в частных производных

где Lдифференциальный оператор на Rn , заключается в поиске сначала фундаментального решения, которое является решением уравнения

Когда L особенно прост, эту проблему часто можно решить, используя преобразование Фурье напрямую (как в случае ядра Пуассона и теплового ядра, о которых уже упоминалось). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида

где hплоская волновая функция, то есть она имеет вид

для некоторого вектора ξ . Такое уравнение можно разрешить (если коэффициенты L являются аналитическими функциями ) теоремой Коши–Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) квадратурой. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решить линейные уравнения в частных производных.

Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей техники, впервые введенной по существу Иоганном Радоном , а затем развитой в этой форме Фрицем Джоном (1955). [63] Выберем k так, чтобы n + k было четным целым числом, и для действительного числа s положим

Тогда δ получается путем применения степени Лапласа к интегралу по единичной сферической мере от g ( x · ξ ) для ξ в единичной сфере S n −1 :

Лапласиан здесь интерпретируется как слабая производная, так что это уравнение означает, что для любой тестовой функции φ ,

Результат следует из формулы для ньютоновского потенциала (фундаментального решения уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для преобразования Радона , поскольку она восстанавливает значение φ ( x ) из его интегралов по гиперплоскостям. Например, если n нечетно и k = 1 , то интеграл в правой части равен

где ( ξ , p ) — преобразование Радона для φ :

Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны имеет вид: [64]

Ядра Фурье

При изучении рядов Фурье основной вопрос состоит в определении того, сходится ли и в каком смысле ряд Фурье, связанный с периодической функцией , к функции . n -я частичная сумма ряда Фурье функции f периода определяется сверткой (на интервале [−π,π] ) с ядром Дирихле : Таким образом, где Фундаментальный результат элементарных рядов Фурье утверждает, что ядро ​​Дирихле, ограниченное интервалом  [−π,π], стремится к кратному дельта-функции при N → ∞ . Это интерпретируется в смысле распределения, что для любой гладкой функции f с компактным носителем . Таким образом, формально на интервале [−π,π] .

Несмотря на это, результат не справедлив для всех компактно поддерживаемых непрерывных функций: то есть D N не сходится слабо в смысле мер. Отсутствие сходимости ряда Фурье привело к введению различных методов суммирования для получения сходимости. Метод суммирования Чезаро приводит к ядру Фейера [65]

Ядра Фейера стремятся к дельта-функции в более сильном смысле, чем [66]

для каждой компактно поддерживаемой непрерывной функции f . Подразумевается, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро к значению функции в каждой точке.

Теория Гильбертова пространства

Распределение дельта Дирака — это плотно определенный неограниченный линейный функционал на гильбертовом пространстве L 2 квадратично интегрируемых функций . Действительно, гладкие функции с компактным носителем плотны в L 2 , и действие распределения дельта на такие функции хорошо определено. Во многих приложениях можно выделить подпространства L 2 и задать более сильную топологию, на которой функция дельта определяет ограниченный линейный функционал .

Соболевские пространства

Теорема вложения Соболева для пространств Соболева на вещественной прямой R подразумевает, что любая квадратично интегрируемая функция f такая, что

автоматически непрерывен и удовлетворяет, в частности,

Таким образом, δ является ограниченным линейным функционалом на пространстве Соболева H 1 . Эквивалентно δ является элементом непрерывного сопряженного пространства H −1 к H 1 . Более общо, в n измерениях, δH s ( R n ) при условии s > н/2 .

Пространства голоморфных функций

В комплексном анализе дельта-функция входит через интегральную формулу Коши , которая утверждает, что если D — область в комплексной плоскости с гладкой границей, то

для всех голоморфных функций f в D , непрерывных на замыкании D. В результате дельта-функция δ z представляется в этом классе голоморфных функций интегралом Коши:

Более того, пусть H 2 (∂ D )пространство Харди , состоящее из замыкания в L 2 (∂ D ) всех голоморфных функций в D , непрерывных вплоть до границы D . Тогда функции в H 2 (∂ D ) однозначно продолжаются до голоморфных функций в D , и интегральная формула Коши продолжает выполняться. В частности, при zD дельта-функция δ z является непрерывным линейным функционалом на H 2 (∂ D ) . Это частный случай ситуации в нескольких комплексных переменных , в которой для гладких областей D ядро ​​Сегё играет роль интеграла Коши. [67]

Другое представление дельта-функции в пространстве голоморфных функций находится на пространстве квадратично-интегрируемых голоморфных функций в открытом множестве . Это замкнутое подпространство , и, следовательно, является гильбертовым пространством. С другой стороны, функционал, который вычисляет голоморфную функцию в в точке , является непрерывным функционалом, и, таким образом, по теореме Рисса о представлении, представляется интегрированием по ядру , ядру Бергмана . Это ядро ​​является аналогом дельта-функции в этом гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство, имеющее такое ядро, называется воспроизводящим ядром гильбертового пространства . В частном случае единичного круга имеем

Резолюции идентичности

При наличии полного ортонормированного базисного набора функций { φ n } в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормализованных собственных векторов компактного самосопряженного оператора , любой вектор f может быть выражен как Коэффициенты {α n } находятся как которые могут быть представлены обозначением: форма обозначения Дирака скобками . [68] Принимая это обозначение, разложение f принимает диадическую форму: [69]

Обозначим через I оператор тождества в гильбертовом пространстве, выражение

называется разрешением тождества . Когда гильбертово пространство является пространством L 2 ( D ) квадратично-интегрируемых функций в области D , величина:

является интегральным оператором, и выражение для f можно переписать

Правая часть сходится к f в смысле L 2. Она не обязательно должна быть точечно-поточечной, даже когда f — непрерывная функция. Тем не менее, часто злоупотребляют обозначениями и пишут

в результате чего получается представление дельта-функции: [70]

При наличии подходящего оснащенного гильбертова пространства (Φ, L 2 ( D ), Φ*) , где Φ ⊂ L 2 ( D ) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ* , в зависимости от свойств базиса φ n . В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис получается из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в смысле распределения . [71]

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую α , чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ α, удовлетворяющую в ряде статей в 1827 году. [72] Коши определил бесконечно малую в Cours d'Analyse (1827) в терминах последовательности, стремящейся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазаря Карно .

Нестандартный анализ позволяет строго обрабатывать бесконечно малые. Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию по современным дельта-функциям Дирака в контексте обогащенного бесконечно малыми континуума, предоставляемого гиперреальными числами . Здесь дельта Дирака может быть задана действительной функцией, обладающей свойством, что для каждой действительной функции F она имеет место, как и предполагали Фурье и Коши.

гребень Дирака

Гребень Дирака — это бесконечный ряд дельта-функций Дирака, расположенных с интервалом T

Так называемая равномерная «импульсная последовательность» мер дельта Дирака, известная как гребень Дирака или распределение Ша , создает функцию выборки , часто используемую в цифровой обработке сигналов (ЦОС) и анализе дискретных сигналов во времени. Гребень Дирака задается как бесконечная сумма , предел которой понимается в смысле распределения,

которая представляет собой последовательность точечных масс в каждом из целых чисел.

С точностью до общей нормализующей константы гребень Дирака равен своему собственному преобразованию Фурье. Это важно, поскольку если f — любая функция Шварца , то периодизация f задается сверткой В частности, — это в точности формула суммирования Пуассона . [73] [74] В более общем смысле эта формула остается верной, если f — умеренное распределение быстрого спуска или, что эквивалентно, если медленно растущая обычная функция в пространстве умеренного распределения.

Теорема Сохоцкого–Племеля

Теорема Сохоцкого–Племеля , важная в квантовой механике, связывает дельта-функцию с распределением pv 1/х , главное значение Коши функции1/х , определяется

Формула Сохоцкого утверждает, что [75]

Здесь предел понимается в смысле распределения, то есть для всех гладких функций f с компактным носителем ,

Связь с дельтой Кронекера

Дельта Кронекера δ ij это величина, определяемая как

для всех целых чисел i , j . Эта функция тогда удовлетворяет следующему аналогу свойства просеивания: если a i (для i в множестве всех целых чисел) является любой дважды бесконечной последовательностью , то

Аналогично, для любой действительной или комплекснозначной непрерывной функции f на R дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания

Это демонстрирует дельта-функцию Кронекера как дискретный аналог дельта-функции Дирака. [76]

Приложения

Теория вероятностей

В теории вероятностей и статистике дельта-функция Дирака часто используется для представления дискретного распределения или частично дискретного, частично непрерывного распределения с использованием функции плотности вероятности (которая обычно используется для представления абсолютно непрерывных распределений). Например, функция плотности вероятности f ( x ) дискретного распределения, состоящего из точек x = { x 1 , ..., x n } , с соответствующими вероятностями p 1 , ..., p n , может быть записана как

В качестве другого примера рассмотрим распределение, в котором 6/10 времени возвращает стандартное нормальное распределение , а 4/10 времени возвращает точное значение 3,5 (т.е. частично непрерывное, частично дискретное смешанное распределение ). Плотность распределения этого распределения можно записать как

Дельта-функция также используется для представления результирующей функции плотности вероятности случайной величины, преобразованной непрерывно дифференцируемой функцией. Если Y = g( X ) — непрерывно дифференцируемая функция, то плотность Y можно записать как

Дельта-функция также используется совершенно иным образом для представления локального времени процесса диффузии (например, броуновского движения ). Локальное время стохастического процесса B ( t ) задается как и представляет собой количество времени, которое процесс проводит в точке x в диапазоне процесса. Точнее, в одном измерении этот интеграл можно записать как где — индикаторная функция интервала

Квантовая механика

Дельта-функция целесообразна в квантовой механике . Волновая функция частицы дает амплитуду вероятности нахождения частицы в заданной области пространства. Предполагается, что волновые функции являются элементами гильбертова пространства L 2 квадратично -интегрируемых функций , а полная вероятность нахождения частицы в заданном интервале является интегралом величины квадрата волновой функции по интервалу. Набор { | φ n } волновых функций является ортонормированным, если

где δ nm — символ Кронекера. Набор ортонормированных волновых функций является полным в пространстве квадратично-интегрируемых функций, если любая волновая функция |ψ⟩ может быть выражена как линейная комбинация { | φ n } с комплексными коэффициентами:

где c n = φ n | ψ . Полные ортонормированные системы волновых функций естественным образом появляются как собственные функции гамильтониана (связанной системы ) в квантовой механике , которая измеряет уровни энергии, которые называются собственными значениями. Набор собственных значений, в этом случае, известен как спектр гамильтониана . В скобках–обозначениях это равенство подразумевает разрешение тождества :

Здесь собственные значения предполагаются дискретными, но набор собственных значений наблюдаемой величины также может быть непрерывным. Примером является оператор положения , ( x ) = x ψ( x ) . Спектр положения (в одном измерении) представляет собой всю вещественную прямую и называется непрерывным спектром . Однако, в отличие от гамильтониана, оператор положения не имеет собственных собственных функций. Обычный способ преодоления этого недостатка — расширить класс доступных функций, разрешив также распределения, т. е. заменить гильбертово пространство на оснащенное гильбертово пространство . [77] В этом контексте оператор положения имеет полный набор «обобщенных собственных функций», помеченных точками y вещественной прямой, заданными как

Обобщенные собственные функции оператора положения называются собственными функциями и обозначаются как φ y = | y . [78]

Аналогичные соображения применимы к любому другому (неограниченному) самосопряженному оператору с непрерывным спектром и без вырожденных собственных значений, такому как оператор импульса P. В этом случае существует множество Ω действительных чисел (спектр) и набор распределений φ y с y ∈ Ω, такой что

То есть, φ y являются обобщенными собственными векторами P. Если они образуют «ортонормальный базис» в смысле распределения, то есть:

тогда для любой тестовой функции ψ ,

где c ( y ) = ψ , φ y . То есть, существует разрешение тождества

где операторнозначный интеграл снова понимается в слабом смысле. Если спектр P имеет как непрерывную, так и дискретную части, то разрешение тождества включает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру.

Дельта-функция также имеет множество более специализированных приложений в квантовой механике, таких как модели дельта-потенциала для одинарной и двойной потенциальной ямы.

Строительная механика

Дельта-функция может использоваться в строительной механике для описания переходных нагрузок или точечных нагрузок, действующих на конструкции. Управляющее уравнение простой системы масса-пружина, возбужденной внезапным импульсом силы I в момент времени t = 0, можно записать

где m — масса, ξ — прогиб, а kкоэффициент жесткости пружины .

В качестве другого примера, уравнение, описывающее статический прогиб тонкой балки , согласно теории Эйлера–Бернулли , имеет вид:

где EI — жесткость балки на изгиб , wпрогиб , x — пространственная координата, а q ( x ) — распределение нагрузки. Если балка нагружена точечной силой F при x = x 0 , распределение нагрузки записывается как

Поскольку интегрирование дельта-функции приводит к ступенчатой ​​функции Хевисайда , следует, что статический прогиб тонкой балки, подверженной действию нескольких точечных нагрузок, описывается набором кусочно- многочленов .

Также точечный момент, действующий на балку, можно описать дельта-функциями. Рассмотрим две противоположные точечные силы F на расстоянии d друг от друга. Затем они создают момент M = Fd, действующий на балку. Теперь пусть расстояние d приближается к предельному нулю, в то время как M остается постоянным. Распределение нагрузки, предполагающее момент по часовой стрелке, действующий в точке x = 0 , записывается

Таким образом, точечные моменты могут быть представлены производной дельта -функции. Интеграция уравнения балки снова приводит к кусочно- полиномиальному отклонению.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ atis 2013, единичный импульс.
  2. ^ Арфкен и Вебер 2000, стр. 84.
  3. ^ ab Дирак 1930, §22 Функция δ .
  4. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том I, §1.1.
  5. ^ Чжао, Цзи-Чэн (2011-05-05). Методы определения фазовой диаграммы. Elsevier. ISBN 978-0-08-054996-5.
  6. ^ Фурье, Дж. Б. (1822). Аналитическая теория тепла (английский перевод Александра Фримена, изд. 1878 г.). Издательство Университета. стр. [1]., см. https://books.google.com/books?id=-N8EAAAAYAAJ&pg=PA449 и стр. 546–551. Оригинальный французский текст.
  7. ^ Комацу, Хикосабуро (2002). «Гиперфункции Фурье и псевдодифференциальные операторы Хевисайда». В Такахиро Каваи ; Кейко Фудзита (ред.). Микролокальный анализ и комплексный анализ Фурье . World Scientific. стр. [2]. ISBN 978-981-238-161-3.
  8. ^ Myint-U., Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Springer. стр. [3]. ISBN 978-0-8176-4393-5.
  9. ^ Дебнат, Локенат; Бхатта, Дамбару (2007). Интегральные преобразования и их приложения (2-е изд.). ЦРК Пресс . п. [4]. ISBN 978-1-58488-575-7.
  10. ^ Граттан-Гиннесс, Айвор (2009). Свертки во французской математике, 1800–1840: от исчисления и механики к математическому анализу и математической физике, том 2. Биркхойзер. стр. 653. ISBN 978-3-7643-2238-0.
  11. ^ См., например, Коши, Огюстен-Луи (1789–1857), Auteur du texte (1882–1974). «Des intégrales doubles qui se presentent sous une formme indeterminèe». Завершение произведений Огюстена Коши. Серия 1, том 1 / publiées sous la science de l'Académie des Sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique...{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
  12. ^ Митрович, Драгиша; Зубринич, Дарко (1998). Основы прикладного функционального анализа: распределения, пространства Соболева. ЦРК Пресс. п. 62. ИСБН 978-0-582-24694-2.
  13. ^ Крахт, Манфред; Крейциг, Эрвин (1989). «О сингулярных интегральных операторах и обобщениях». В Themistocles M. Rassias (ред.). Topics in Mathematical Analysis: A Volume Dedicated to the Memory of AL Cauchy . World Scientific. стр. https://books.google.com/books?id=xIsPrSiDlZIC&pg=PA553 553]. ISBN 978-9971-5-0666-7.
  14. ^ Лаугвиц 1989, стр. 230.
  15. ^ Более полный исторический отчет можно найти в van der Pol & Bremmer 1987, §V.4.
  16. ^ Дирак, ПАМ (январь 1927). «Физическая интерпретация квантовой динамики». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 113 (765): 621–641. Bibcode : 1927RSPSA.113..621D. doi : 10.1098/rspa.1927.0012 . ISSN  0950-1207. S2CID  122855515.
  17. Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том I, §1.1, стр. 1.
  18. Дирак 1930, стр. 63.
  19. ^ Рудин 1966, §1.20
  20. ^ Хьюитт и Стромберг 1963, §19.61.
  21. ^ Driggers 2003, стр. 2321 См. также Bracewell 1986, Глава 5 для другой интерпретации. Существуют и другие соглашения о назначении значения функции Хевисайда в нуле, и некоторые из них не согласуются с тем, что следует ниже.
  22. ^ Хьюитт и Стромберг 1963, §9.19.
  23. ^ Хазевинкель 2011, стр. 41.
  24. ^ Стрихартц 1994, §2.2.
  25. ^ Хёрмандер 1983, Теорема 2.1.5.
  26. Брейсвелл 1986, Глава 5.
  27. ^ Хёрмандер 1983, §3.1.
  28. ^ Стрихартц 1994, §2.3.
  29. ^ Хёрмандер 1983, §8.2.
  30. ^ Рудин 1966, §1.20.
  31. ^ Дьедонне 1972, §17.3.3.
  32. ^ Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (2008-12-15). Геометрическая теория интеграции. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4679-0.
  33. Федерер 1969, §2.5.19.
  34. ^ Стрихарц 1994, Задача 2.6.2.
  35. ^ Владимиров 1971, Глава 2, Пример 3 (d).
  36. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Просеивание свойств». MathWorld .
  37. ^ Каррис, Стивен Т. (2003). Сигналы и системы с приложениями MATLAB. Orchard Publications. стр. 15. ISBN 978-0-9709511-6-8.
  38. ^ Роден, Мартин С. (2014-05-17). Введение в теорию коммуникации. Elsevier. стр. [5]. ISBN 978-1-4831-4556-3.
  39. ^ Ротвитт, Карстен; Тидеманд-Лихтенберг, Питер (2014-12-11). Нелинейная оптика: принципы и приложения. CRC Press. стр. [6] 276. ISBN 978-1-4665-6583-8.
  40. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том. 1, §II.2.5.
  41. ^ Дальнейшее уточнение возможно, а именно погружения , хотя это требует более сложной формулы замены переменных.
  42. ^ Хёрмандер 1983, §6.1.
  43. ^ Ланге 2012, стр. 29–30.
  44. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, с. 212.
  45. ^ Числовые коэффициенты зависят от соглашений о преобразовании Фурье.
  46. ^ Брейсвелл 1986.
  47. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, с. 26.
  48. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, §2.1.
  49. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Дублетная функция». MathWorld .
  50. ^ Брейсвелл 2000, стр. 86.
  51. ^ "Комментарий Gugo82 о распределительной производной дельты Дирака". matematicamente.it . 12 сентября 2010 г.
  52. ^ abc Hörmander 1983, стр. 56.
  53. ^ Рудин 1991, Теорема 6.25.
  54. ^ Штейн и Вайс 1971, Теорема 1.18.
  55. ^ Рудин 1991, §II.6.31.
  56. ^ В более общем случае достаточно η = η 1 , чтобы иметь интегрируемую радиально-симметричную убывающую перестройку.
  57. ^ Saichev & Woyczyński 1997, §1.1 «Дельта-функция» с точки зрения физика и инженера, стр. 3.
  58. ^ Милованович, Градимир В.; Рассиас, Майкл Т. (2014-07-08). Аналитическая теория чисел, теория приближений и специальные функции: в честь Хари М. Шриваставы. Springer. стр. 748. ISBN 978-1-4939-0258-3.
  59. ^ Штейн и Вайс 1971, §I.1.
  60. ^ Mader, Heidy M. (2006). Статистика в вулканологии. Геологическое общество Лондона. стр. 81. ISBN 978-1-86239-208-3.
  61. ^ Валле и Соарес 2004, §7.2.
  62. ^ Хёрмандер 1983, §7.8.
  63. Курант и Гильберт 1962, §14.
  64. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, I, §3.10.
  65. ^ Ланг 1997, стр. 312.
  66. ^ В терминологии Ланга (1997) ядро ​​Фейера является последовательностью Дирака, тогда как ядро ​​Дирихле таковой не является.
  67. ^ Хазевинкель 1995, стр. 357.
  68. ^ Развитие этого раздела в скобочной нотации можно найти в (Левин 2002, Координатно-пространственные волновые функции и полнота, стр.=109 и далее )
  69. ^ Дэвис и Томсон 2000, Совершенные операторы, стр. 344.
  70. ^ Дэвис и Томсон 2000, Уравнение 8.9.11, стр. 344.
  71. ^ де ла Мадрид, Бом и Гаделла 2002.
  72. ^ Лаугвиц 1989.
  73. Кордова 1988.
  74. ^ Хёрмандер 1983, §7.2.
  75. ^ Владимиров 1971, §5.7.
  76. ^ Хартманн 1997, стр. 154–155.
  77. ^ Ишем 1995, §6.2.
  78. ^ де ла Мадрид Модино 2001, стр. 96, 106.

Ссылки

Внешние ссылки