Эйлерова характеристика

Топологический инвариант в математике

В математике , а точнее в алгебраической топологии и полиэдральной комбинаторике , характеристика Эйлера (или число Эйлера , или характеристика Эйлера–Пуанкаре ) — это топологический инвариант , число, описывающее форму или структуру топологического пространства независимо от способа его изгиба. Обычно обозначается ( греческая строчная буква хи ). ${\displaystyle \chi }$

Характеристика Эйлера была первоначально определена для многогранников и использовалась для доказательства различных теорем о них, включая классификацию Платоновых тел . Она была сформулирована для Платоновых тел в 1537 году в неопубликованной рукописи Франческо Мауролико . ^[1] Леонард Эйлер , в честь которого названо это понятие, ввел его для выпуклых многогранников в более общем виде, но не смог строго доказать, что это инвариант. В современной математике характеристика Эйлера возникает из гомологии и, более абстрактно, из гомологической алгебры .

Многогранники

Вершина, ребро и грань куба

Эйлерова характеристика χ классически определялась для поверхностей многогранников по формуле

${\displaystyle \chi =V-E+F}$

где V , E , и F — соответственно числа вершин (углов), ребер и граней в данном многограннике. Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

${\displaystyle \ \chi =V-E+F=2~.}$

Это уравнение, сформулированное Эйлером в 1758 году, ^[2] известно как формула многогранника Эйлера . ^[3] Оно соответствует эйлеровой характеристике сферы ( т.е. ), и идентично применимо к сферическим многогранникам . Иллюстрация формулы для всех платоновых многогранников приведена ниже. ${\displaystyle \ \chi =2\ }$

Поверхности невыпуклых многогранников могут иметь различные эйлеровы характеристики:

Для правильных многогранников Артур Кэли вывел модифицированную форму формулы Эйлера, используя плотность D , плотность вершинных фигур и плотность граней. ${\displaystyle \ d_{v}\ ,}$ ${\displaystyle \ d_{f}\ :}$

${\displaystyle \ d_{v}V-E+d_{f}F=2D~.}$

Эта версия справедлива как для выпуклых многогранников (где все плотности равны 1), так и для невыпуклых многогранников Кеплера–Пуансо .

Все проективные многогранники имеют эйлерову характеристику 1, как и действительная проективная плоскость , в то время как поверхности тороидальных многогранников имеют эйлерову характеристику 0, как и тор .

Плоские графы

Характеристику Эйлера можно определить для связных плоских графов по той же формуле, что и для многогранных поверхностей, где F — число граней в графе, включая внешнюю грань. ${\displaystyle \ V-E+F\ }$

Характеристика Эйлера любого плоского связного графа G равна 2. Это легко доказывается индукцией по числу граней, определяемых G, начиная с дерева в качестве базового случая. Для деревьев и Если G имеет компоненты C ( несвязные графы ), то же самое рассуждение индукцией по F показывает, что Одна из немногих статей Коши по теории графов также доказывает этот результат. ${\displaystyle \ E=V-1\ }$ ${\displaystyle \ F=1~.}$ ${\displaystyle \ V-E+F-C=1~.}$

С помощью стереографической проекции плоскость отображается в 2-сферу, так что связный граф отображается в полигональное разложение сферы, имеющее эйлерову характеристику 2. Эта точка зрения подразумевается в доказательстве Коши формулы Эйлера, приведенном ниже.

Доказательство формулы Эйлера

Первые шаги доказательства в случае куба

Существует много доказательств формулы Эйлера. Одно из них было дано Коши в 1811 году, а именно: оно применимо к любому выпуклому многограннику, и, в более общем смысле, к любому многограннику, граница которого топологически эквивалентна сфере, а грани топологически эквивалентны дискам.

Удалим одну грань многогранной поверхности. Оттягивая ребра отсутствующей грани друг от друга, деформируем все остальные в плоский граф точек и кривых таким образом, чтобы периметр отсутствующей грани был расположен снаружи, окружая полученный граф, как показано на первом из трех графиков для частного случая куба. (Предположение о том, что многогранная поверхность гомеоморфна сфере в начале, делает это возможным.) После этой деформации правильные грани, как правило, больше не являются правильными. Количество вершин и ребер осталось прежним, но количество граней уменьшилось на 1. Поэтому доказательство формулы Эйлера для многогранника сводится к доказательству для этого деформированного плоского объекта. ${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$

Если есть грань с более чем тремя сторонами, проведите диагональ, то есть кривую через грань, соединяющую две вершины, которые еще не соединены. Каждая новая диагональ добавляет одно ребро и одну грань и не меняет количество вершин, поэтому она не меняет количество (предположение, что все грани являются дисками, здесь необходимо, чтобы показать с помощью теоремы о кривой Жордана , что эта операция увеличивает количество граней на одну.) Продолжайте добавлять ребра таким образом, пока все грани не станут треугольными. ${\displaystyle \ V-E+F~.}$

Повторно примените одно из следующих двух преобразований, сохраняя неизменность того, что внешняя граница всегда является простым циклом :

1. Удалите треугольник, у которого только одно ребро примыкает к внешней стороне, как показано на втором графике. Это уменьшает количество ребер и граней на одно и не меняет количество вершин, поэтому сохраняет ${\displaystyle \ V-E+F~.}$
2. Удалите треугольник с двумя ребрами, общими для внешней части сети, как показано на третьем графике. Каждое удаление треугольника удаляет вершину, два ребра и одну грань, поэтому оно сохраняет ${\displaystyle \ V-E+F~.}$

Эти преобразования в конечном итоге сводят планарный граф к одному треугольнику. (Без инварианта простого цикла удаление треугольника может разъединить оставшиеся треугольники, сделав недействительным оставшуюся часть аргумента. Допустимый порядок удаления является элементарным примером шелушения . )

В этой точке одинокий треугольник имеет и так что Поскольку каждый из двух вышеприведенных шагов преобразования сохранил эту величину, мы показали для деформированного плоского объекта, таким образом, продемонстрировав для многогранника. Это доказывает теорему. ${\displaystyle \ V=3\ ,}$ ${\displaystyle \ E=3\ ,}$ ${\displaystyle \ F=1\ ,}$ ${\displaystyle \ V-E+F=1~.}$ ${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$ ${\displaystyle \ V-E+F=2\ }$

Дополнительные доказательства см. в Eppstein (2013). ^[4] Множественные доказательства, включая их недостатки и ограничения, используются в качестве примеров в работе « Доказательства и опровержения» Лакатоса (1976). ^[5]

Топологическое определение

Многогранные поверхности, рассмотренные выше, являются, на современном языке, двумерными конечными CW-комплексами . (Когда используются только треугольные грани, они являются двумерными конечными симплициальными комплексами .) В общем случае для любого конечного CW-комплекса эйлерову характеристику можно определить как знакопеременную сумму

${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots ,}$

где k _n обозначает количество ячеек размерности n в комплексе.

Аналогично, для симплициального комплекса эйлерова характеристика равна знакопеременной сумме

${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots ,}$

где k _n обозначает число n -симплексов в комплексе.

Альтернатива числу Бетти

Еще более общо, для любого топологического пространства мы можем определить n-е число Бетти b _n как ранг n -й сингулярной группы гомологий . Тогда характеристика Эйлера может быть определена как знакопеременная сумма

${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .}$

Эта величина хорошо определена, если все числа Бетти конечны и если они равны нулю за пределами определенного индекса  n ₀ . Для симплициальных комплексов это не то же самое определение, что в предыдущем абзаце, но вычисление гомологии показывает, что два определения дадут одно и то же значение для . ${\displaystyle \chi }$

Характеристики

Характеристика Эйлера хорошо ведет себя по отношению ко многим основным операциям в топологических пространствах, как показано ниже.

Гомотопическая инвариантность

Гомология является топологическим инвариантом, и более того, гомотопическим инвариантом : два топологических пространства, которые гомотопически эквивалентны, имеют изоморфные группы гомологии. Отсюда следует, что эйлерова характеристика также является гомотопическим инвариантом.

Например, любое стягиваемое пространство (то есть одна гомотопия, эквивалентная точке) имеет тривиальную гомологию, что означает, что 0-е число Бетти равно 1, а остальные 0. Следовательно, его эйлерова характеристика равна 1. Этот случай включает евклидово пространство любой размерности, а также сплошной единичный шар в любом евклидовом пространстве — одномерный интервал, двумерный диск, трехмерный шар и т. д. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Другой пример: любой выпуклый многогранник гомеоморфен трехмерному шару , поэтому его поверхность гомеоморфна (следовательно, гомотопически эквивалентна) двумерной сфере , которая имеет эйлерову характеристику 2. Это объясняет, почему поверхность выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику 2.

Принцип включения-исключения

Если M и N — любые два топологических пространства, то эйлерова характеристика их несвязного объединения равна сумме их эйлеровых характеристик, поскольку гомологии аддитивны относительно несвязного объединения:

${\displaystyle \chi (M\sqcup N)=\chi (M)+\chi (N).}$

В более общем смысле, если M и N являются подпространствами большего пространства X , то их объединение и пересечение также являются таковыми. В некоторых случаях характеристика Эйлера подчиняется версии принципа включения-исключения :

${\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).}$

Это справедливо в следующих случаях:

• если M и N являются эксцизионной парой. В частности, если внутренности M и N внутри объединения все еще покрывают объединение. ^[6]
• Если X — локально компактное пространство и используются эйлеровы характеристики с компактными носителями , то никаких предположений относительно M или N не требуется.
• если X — стратифицированное пространство, все страты которого четномерны, принцип включения-исключения выполняется, если M и N — объединения стратов. Это применимо, в частности, если M и N — подмногообразия комплексного алгебраического многообразия . ^[7]

В общем случае принцип включения-исключения ложен. Контрпример дается, если взять X как действительную прямую , M как подмножество, состоящее из одной точки, а N как дополнение к M.

Связанная сумма

Для двух связных замкнутых n-многообразий можно получить новое связное многообразие с помощью операции связной суммы . Эйлерова характеристика связана формулой ^[8] ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle M\#N}$

${\displaystyle \chi (M\#N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (S^{n}).}$

Свойство продукта

Кроме того, эйлерова характеристика любого пространства произведений M × N равна

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}$

Эти свойства сложения и умножения также присущи мощности множеств . Таким образом, характеристику Эйлера можно рассматривать как обобщение мощности; см. [1] .

Покрытие пространств

Аналогично, для k -листного накрывающего пространства имеем ${\displaystyle {\tilde {M}}\to M,}$

${\displaystyle \chi ({\tilde {M}})=k\cdot \chi (M).}$

В более общем случае для разветвленного накрывающего пространства эйлерову характеристику накрытия можно вычислить из вышеизложенного с поправочным коэффициентом для точек разветвления, что дает формулу Римана–Гурвица .

Свойство волокнистости

Свойство произведения справедливо в гораздо более общем случае для расслоений с определенными условиями.

Если — расслоение со слоем F, с базой B, линейно связной , и расслоение ориентируемо над полем K, то эйлерова характеристика с коэффициентами в поле K удовлетворяет свойству произведения: ^[9] ${\displaystyle p\colon E\to B}$

${\displaystyle \chi (E)=\chi (F)\cdot \chi (B).}$

Это включает в себя пространства произведений и накрывающие пространства как частные случаи и может быть доказано с помощью спектральной последовательности Серра по гомологии расслоения.

Для расслоений волокон это также можно понять в терминах отображения переноса (заметим, что это поднятие, идущее «не в ту сторону»), чья композиция с отображением проекции представляет собой умножение на класс Эйлера волокна: ^[10] ${\displaystyle \tau \colon H_{*}(B)\to H_{*}(E)}$ ${\displaystyle p_{*}\colon H_{*}(E)\to H_{*}(B)}$

${\displaystyle p_{*}\circ \tau =\chi (F)\cdot 1.}$

Примеры

Поверхности

Эйлерову характеристику можно легко вычислить для общих поверхностей, найдя полигонизацию поверхности (то есть описание как CW-комплекса ) и используя приведенные выше определения.

Футбольный мяч

Обычно футбольные мячи строят , сшивая вместе пятиугольные и шестиугольные части, с тремя частями, встречающимися в каждой вершине (см., например, Adidas Telstar ). Если используются пятиугольники P и шестиугольники H , то есть  грани,  вершины и  ребра. Таким образом, характеристика Эйлера равна ${\displaystyle \ F=P+H\ }$ ${\displaystyle \ V={\tfrac {1}{3}}\left(\ 5P+6H\ \right)\ }$ ${\displaystyle \ E={\tfrac {1}{2}}\left(\ 5P+6H\ \right)\ }$

${\displaystyle V-E+F={\tfrac {1}{3}}\left(\ 5P+6H\ \right)-{\tfrac {1}{2}}\left(\ 5P+6H\ \right)+P+H={\tfrac {1}{6}}P~.}$

Поскольку сфера имеет эйлерову характеристику 2, то отсюда следует, что То есть футбольный мяч, построенный таким образом, всегда имеет 12 пятиугольников. Количество шестиугольников может быть любым неотрицательным целым числом, кроме 1. ^[11] Этот результат применим к фуллеренам и многогранникам Голдберга . ${\displaystyle \ P=12~.}$

Произвольные размеры

Сравнение эйлеровых характеристик гиперкубов и симплексов размерностей от 1 до 4

n- мерная сфера  имеет сингулярные группы гомологии, равные

${\displaystyle H_{k}(\mathrm {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ~&k=0~~{\mathsf {or}}~~k=n\\\{0\}&{\mathsf {otherwise}}\ ,\end{cases}}}$

следовательно, имеет число Бетти 1 в размерностях 0 и n , а все остальные числа Бетти равны 0. Тогда его эйлерова характеристика равна χ = 1 + (−1) ⁿ  ; то есть либо 0, если n нечетное , либо 2, если n четное .

n -  мерное действительное проективное пространство является фактором n-мерной  сферы по антиподальному отображению . Отсюда следует, что его эйлерова характеристика равна ровно половине соответствующей сферы — либо 0, либо 1.

n -  мерный тор — это произведение n  окружностей. Его эйлерова характеристика равна 0 по свойству произведения. В более общем смысле, любое компактное параллелизуемое многообразие , включая любую компактную группу Ли , имеет эйлерову характеристику 0. ^[12]

Эйлерова характеристика любого замкнутого нечетномерного многообразия также равна 0. ^[13] Случай ориентируемых примеров является следствием двойственности Пуанкаре . Это свойство применимо в более общем смысле к любому компактному стратифицированному пространству, все страты которого имеют нечетную размерность. Оно также применимо к замкнутым нечетномерным неориентируемым многообразиям через ориентируемое двойное покрытие два к одному .

Отношения к другим инвариантам

Эйлерову характеристику замкнутой ориентируемой поверхности можно вычислить из ее рода g (числа торов в связном суммарном разложении поверхности; интуитивно, числа «ручек») как

${\displaystyle \chi =2-2g~.}$

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности может быть вычислена из ее неориентируемого рода k (числа действительных проективных плоскостей в связном суммарном разложении поверхности) как

${\displaystyle \chi =2-k~.}$

Для замкнутых гладких многообразий эйлерова характеристика совпадает с числом Эйлера , т. е. классом Эйлера его касательного расслоения, вычисленным на фундаментальном классе многообразия. Класс Эйлера, в свою очередь, относится ко всем другим характеристическим классам векторных расслоений .

Для замкнутых римановых многообразий эйлерову характеристику можно также найти, интегрируя кривизну; см. теорему Гаусса–Бонне для двумерного случая и обобщенную теорему Гаусса–Бонне для общего случая.

Дискретным аналогом теоремы Гаусса–Бонне является теорема Декарта о том, что «полный дефект » многогранника , измеренный в полных окружностях, является эйлеровой характеристикой многогранника.

Теорема Хадвигера характеризует эйлерову характеристику как единственную ( с точностью до скалярного умножения ) трансляционно-инвариантную, конечно-аддитивную, не обязательно неотрицательную функцию множеств, определенную на конечных объединениях компактных выпуклых множеств в ℝ ^{n ,} которая является «однородной степени 0».

Обобщения

Для каждого комбинаторного клеточного комплекса определяется эйлерова характеристика как число 0-клеток, минус число 1-клеток, плюс число 2-клеток и т. д., если эта чередующаяся сумма конечна. В частности, эйлерова характеристика конечного множества — это просто его мощность, а эйлерова характеристика графа — это число вершин минус число ребер. (Олаф Пост называет это «известной формулой». ^[14] )

В более общем смысле можно определить эйлерову характеристику любого цепного комплекса как знакопеременную сумму рангов групп гомологии цепного комплекса, предполагая, что все эти ранги конечны. ^[15]

Версия характеристики Эйлера, используемая в алгебраической геометрии, выглядит следующим образом. Для любого когерентного пучка на собственной схеме X его характеристика Эйлера определяется как ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {F}})\ ,}$

где — размерность i -й группы когомологий пучка . В этом случае все размерности конечны по теореме Гротендика о конечности . Это пример эйлеровой характеристики цепного комплекса, где цепной комплекс является конечным разрешением ациклическими пучками. ${\displaystyle \ h^{i}(X,{\mathcal {F}})\ }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {F}}\ }$

Другое обобщение концепции эйлеровой характеристики на многообразиях происходит из орбифолдов (см. Эйлерова характеристика орбифолда ). В то время как каждое многообразие имеет целочисленную эйлерову характеристику, орбифолд может иметь дробную эйлерову характеристику. Например, каплевидный орбифолд имеет эйлерову характеристику 1 + ⁠1/ п ⁠ , где p — простое число, соответствующее углу конуса ⁠ 2π​ / п ⁠ .

Понятие эйлеровой характеристики редуцированной гомологии ограниченного конечного частично упорядоченного множества является другим обобщением, важным в комбинаторике . Частично упорядоченное множество является «ограниченным», если оно имеет наименьший и наибольший элементы; назовем их 0 и 1. Эйлерова характеристика такого частично упорядоченного множества определяется как целое число μ (0,1) , где μ — функция Мёбиуса в алгебре инцидентности этого частично упорядоченного множества .

Это можно еще больше обобщить, определив рационально значимую эйлерову характеристику для определенных конечных категорий , понятие, совместимое с эйлеровыми характеристиками графов, орбифолдов и частично упорядоченных множеств, упомянутых выше. В этом случае эйлерова характеристика конечной группы или моноида G равна ⁠1/ | Г |  ⁠ , а эйлерова характеристика конечного группоида равна сумме ⁠1/ | Г _я  |⁠ , где мы выбрали одну представительную группу G _i для каждого связного компонента группоида. ^[16]

Смотрите также

• исчисление Эйлера
• класс Эйлера
• Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера
• Список однородных многогранников

Ссылки

Примечания

1. Фридман, Майкл (2018). История складывания в математике: математизация полей . Научные сети. Исторические исследования. Том 59. Биркхойзер. стр. 71. doi : 10.1007/978-3-319-72487-4. ISBN 978-3-319-72486-7.
2. Эйлер, Л. (1758). «Elementa doctrinae Solidorum». Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни): 109–140 – через U. Pacific , Стоктон, Калифорния.
3. Ричесон (2008)
4. Эппштейн, Дэвид (2013). "Двадцать одно доказательство формулы Эйлера: V − E + F = 2" (акад. лич. сбс.) . Получено 27 мая 2022 г. – через UC Irvine .
5. Лакатос, И. (1976). Доказательства и опровержения . Cambridge Technology Press.
6. Эдвин Спаниер: Алгебраическая топология, Springer 1966, стр. 205.
7. Уильям Фултон: Введение в торические многообразия, 1993, Princeton University Press, стр. 141.
8. "Гомология связной суммы" . Получено 2016-07-13 .
9. Спаниер, Эдвин Генри (1982), Алгебраическая топология, Springer, ISBN 978-0-387-94426-5, Приложения гомологической спектральной последовательности, стр. 481
10. Готтлиб, Дэниел Генри (1975), «Расслоения волокон и характеристика Эйлера» (PDF) , Журнал дифференциальной геометрии , 10 (1): 39–48, doi :10.4310/jdg/1214432674, S2CID  118905134
11. Фаулер, П.В. и Манолопулос, DE (1995). Атлас фуллеренов . п. 32.
12. Милнор, Дж. В. и Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Princeton University Press.
13. Ричесон (2008), стр. 261
14. Пост, Олаф (2009). «Спектральный анализ метрических графов и связанных с ними пространств». Пределы графов в теории групп и информатике . Лозанна, Швейцария: EPFL Press . С. 109–140. arXiv : 0712.1507 . Bibcode : 2007arXiv0712.1507P.
15. Эйлерова характеристика в n Lab
16. Лейнстер, Том (2008). «Эйлерова характеристика категории» (PDF) . Documenta Mathematica . 13 : 21–49. doi :10.4171/dm/240. S2CID  1046313. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-06-06 – через U. Illinois, Urbana-Champaign .

Библиография

• Ричесон, Д.С. (2008). Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Princeton University Press.

Дальнейшее чтение

• Флегг, Х. Грэм; От геометрии к топологии , Довер 2001, стр. 40.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Эйлерова характеристика". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула многогранника». Математический мир .
• Матвеев, С.В. (2001) [1994], "Эйлерова характеристика", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Анимированная версия доказательства формулы Эйлера с использованием сферической геометрии.