Теорема математического анализа
В математике теорема Сарда , также известная как лемма Сарда или теорема Морса-Сарда , является результатом математического анализа , который утверждает, что набор критических значений (то есть образ множества критических точек ) гладкой функции f из одного евклидова пространства или многообразия в другое есть нулевое множество , т. е. оно имеет меру Лебега 0. Это делает множество критических значений «малым» в смысле родового свойства . Теорема названа в честь Энтони Морса и Артура Сарда .
Заявление
Более явно, [1] пусть
![{\displaystyle е\двоеточие \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
быть , (то есть времена непрерывно дифференцируемы ), где . Обозначим критическое множество , в котором есть множество точек , в которых матрица Якоби имеет ранг . Тогда изображение имеет меру Лебега 0 в .![{\displaystyle C^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq \max\{nm+1,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Интуитивно говоря, это означает, что, хотя его образ может быть большим, он должен быть малым в смысле меры Лебега: хотя он может иметь много критических точек в области , он должен иметь мало критических значений в образе .![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В более общем смысле этот результат справедлив и для отображений между дифференцируемыми многообразиями и размерностей и соответственно. Критический набор функции![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle м}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е: N\rightarrow M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
состоит из тех точек, в которых дифференциал
![{\displaystyle df:TN\rightarrow TM}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
имеет ранг меньше, чем линейное преобразование. Если , то теорема Сарда утверждает, что образ имеет нулевую меру как подмножество . Эта формулировка результата следует из версии для евклидовых пространств с использованием счетного набора координатных участков. Заключение теоремы является локальным утверждением, поскольку счетное объединение множеств меры нуль является множеством меры нуль, а свойство подмножества координатного участка, имеющего нулевую меру, инвариантно относительно диффеоморфизма .![{\displaystyle м}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq \max\{nm+1,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Варианты
Существует множество вариантов этой леммы, которая играет основную роль в теории особенностей, среди других областей. Этот случай был доказан Энтони П. Морсом в 1939 году [2] , а общий случай - Артуром Сардом в 1942 году. [1]![{\displaystyle м=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Версия для бесконечномерных банаховых многообразий была доказана Стивеном Смейлом . [3]
Это утверждение весьма убедительно, и доказательство требует анализа. В топологии его часто цитируют — например, в теореме Брауэра о неподвижной точке и некоторых приложениях в теории Морса — чтобы доказать более слабое следствие, что «непостоянное гладкое отображение имеет хотя бы одно регулярное значение».
В 1965 году Сард далее обобщил свою теорему, заявив, что если для и если набор точек такой, что имеет ранг строго меньше , то r -мерная мера Хаусдорфа равна нулю. [4] В частности, размерность Хаусдорфа не превосходит r . Предостережение: размерность Хаусдорфа может быть сколь угодно близкой к r . [5]![{\displaystyle е: N\rightarrow M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq \max\{nm+1,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{r}\subseteq N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle df_ {x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (A_ {r})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (A_ {r})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (A_ {r})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ аб Сард, Артур (1942), «Мера критических значений дифференцируемых карт», Бюллетень Американского математического общества , 48 (12): 883–890, doi : 10.1090/S0002-9904-1942-07811-6 , МР 0007523, Збл 0063.06720.
- ^ Морс, Энтони П. (январь 1939 г.), «Поведение функции на ее критическом множестве», Annals of Mathematics , 40 (1): 62–70, Бибкод : 1939AnMat..40...62M, doi : 10.2307 /1968544, JSTOR 1968544, MR 1503449.
- ^ Смейл, Стивен (1965), «Бесконечномерная версия теоремы Сарда», American Journal of Mathematics , 87 (4): 861–866, doi : 10.2307/2373250, JSTOR 2373250, MR 0185604, Zbl 0143.35301.
- ^ Сард, Артур (1965), «Хаусдорфова мера критических изображений на банаховых многообразиях», Американский журнал математики , 87 (1): 158–174, doi : 10.2307/2373229, JSTOR 2373229, MR 0173748, Zbl 0137.42501а также Сард, Артур (1965), «Ошибки по мерам Хаусдорфа критических образов на банаховых многообразиях », American Journal of Mathematics , 87 (3): 158–174, doi : 10.2307/2373229, JSTOR 2373074, MR 0180649, Zbl 0137.42501 .
- ^ «Покажите, что f(C) имеет размерность Хаусдорфа не более нуля», Stack Exchange , 18 июля 2013 г.
дальнейшее чтение
- Хирш, Моррис В. (1976), Дифференциальная топология , Нью-Йорк: Springer, стр. 67–84, ISBN 0-387-90148-5.
- Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл , MR 0193578, Zbl 0129.13102.