Интеграция путем подстановки

Technique in integral evaluation

В исчислении интегрирование путем подстановки , также известное как u -подстановка , правило обратной цепочки или замена переменных , ^[1] является методом оценки интегралов и первообразных . Это аналог правила цепочки для дифференцирования , и его можно в общих чертах рассматривать как использование правила цепочки «назад».

Замена одной переменной

Введение (неопределенные интегралы)

Прежде чем строго сформулировать результат , рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов .

Вычислить ^[2] ${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

Задайте Это означает или как дифференциальную форму , Теперь: где - произвольная постоянная интегрирования . ${\displaystyle u=2x^{3}+1.}$ ${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$ ${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle C}$

Эта процедура часто используется, но не все интегралы имеют форму, которая позволяет ее использовать. В любом случае результат должен быть проверен путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением. Для определенных интегралов пределы интегрирования также должны быть скорректированы, но процедура в основном та же самая. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}$$

Утверждение для определенных интегралов

Пусть — дифференцируемая функция с непрерывной производной, где — интервал . Предположим, что — непрерывная функция . Тогда: ^[3] ${\displaystyle g:[a,b]\to I}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}$$

В обозначениях Лейбница подстановка дает: Эвристическая работа с бесконечно малыми величинами дает уравнение , которое предполагает приведенную выше формулу подстановки. (Это уравнение можно строго обосновать, интерпретируя его как утверждение о дифференциальных формах .) Можно рассматривать метод интегрирования путем подстановки как частичное обоснование обозначений Лейбница для интегралов и производных. ${\displaystyle u=g(x)}$ $${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}$$ $${\displaystyle du=g'(x)\,dx,}$$

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой интеграл, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить заданный интеграл. При использовании в первом способе ее иногда называют u -подстановкой или w -подстановкой , в которой новая переменная определяется как функция исходной переменной, найденной внутри сложной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется в тригонометрической подстановке , заменяя исходную переменную тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал — дифференциалом тригонометрической функции.

Доказательство

Интеграция подстановкой может быть выведена из основной теоремы исчисления следующим образом. Пусть и — две функции, удовлетворяющие приведенной выше гипотезе, непрерывные на и интегрируемые на замкнутом интервале . Тогда функция также интегрируема на . Следовательно, интегралы и фактически существуют, и остается показать, что они равны. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx}$$ $${\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$

Так как является непрерывным, то имеет первообразную . Затем определяется составная функция . Так как является дифференцируемой, объединение цепного правила и определения первообразной дает: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\circ g}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}$$

Применив основную теорему исчисления дважды, получаем: что является правилом подстановки. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}$$

Примеры: первообразные (неопределенные интегралы)

Подстановка может быть использована для определения первообразных . Выбирается отношение между и определяется соответствующее отношение между и путем дифференцирования, и выполняются подстановки. Первообразная для подставленной функции, как можно надеяться, может быть определена; исходная подстановка между и затем отменяется. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$

Пример 1

Рассмотрим интеграл: Сделайте замену , чтобы получить значение Следовательно: где — произвольная постоянная интегрирования . $${\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.}$$ ${\textstyle u=x^{2}+1}$ ${\displaystyle du=2x\ dx,}$ ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle C}$

Пример 2: Первообразные тангенса и котангенса

Функцию тангенса можно проинтегрировать с помощью подстановки, выразив ее через синус и косинус: . ${\displaystyle \tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}$

Используя замену, получаем и ${\displaystyle u=\cos x}$ ${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}}$$

Функцию котангенса можно интегрировать аналогично, выразив ее как и используя подстановку : ${\displaystyle \cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}}$ ${\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}}$$

Примеры: Определенные интегралы

При оценке определенных интегралов путем подстановки можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены. В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл (см. выше), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным, когда используются множественные подстановки.

Пример 1

Рассмотрим интеграл: Сделайте замену, чтобы получить значение Следовательно: Поскольку нижний предел был заменен на , а верхний предел на , преобразование обратно в термины было ненужным. $${\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.}$$ ${\textstyle u=x^{2}+1}$ ${\displaystyle du=2x\ dx,}$ ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle u=1,}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle 2^{2}+1=5,}$ ${\displaystyle x}$

Пример 2:Тригонометрическая замена

Для интеграла требуется вариация вышеприведенной процедуры. Подстановка, подразумевающая , полезна, поскольку Таким образом, мы имеем: $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}$$ ${\displaystyle x=\sin u}$ ${\displaystyle dx=\cos u\,du}$ ${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$$

Полученный интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла , за которой следует еще одна подстановка. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом один, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}$

Замена нескольких переменных

При интегрировании функций нескольких переменных можно также использовать подстановку .

Здесь функция подстановки ( v ₁ ,..., v _n ) = φ ( u ₁ , ..., u _n ) должна быть инъективной и непрерывно дифференцируемой, а дифференциалы преобразуются как: где det( Dφ )( u ₁ , ..., u _n ) обозначает определитель матрицы Якоби частных производных φ в точке ( u ₁ , ..., u _n ) . Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра , натянутого на ее столбцы или строки. $${\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}$$

Точнее, формула замены переменных сформулирована в следующей теореме:

Теорема  —  Пусть U — открытое множество в R ⁿ и φ  : U → R ^{n —} инъективная дифференцируемая функция с непрерывными частными производными, якобиан которой отличен от нуля для каждого x из U. Тогда для любой действительной, компактной, непрерывной функции f с носителем, содержащимся в φ ( U ) : $${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\,\,\left|\!\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}$$

Условия теоремы можно ослабить различными способами. Во-первых, требование, чтобы φ была непрерывно дифференцируемой, можно заменить более слабым предположением, что φ должна быть просто дифференцируемой и иметь непрерывную обратную функцию. ^[4] Это гарантированно выполняется, если φ непрерывно дифференцируема по теореме об обратной функции . В качестве альтернативы, требование, чтобы det( Dφ ) ≠ 0, можно устранить, применив теорему Сарда . ^[5]

Для измеримых по Лебегу функций теорему можно сформулировать в следующем виде: ^[6]

Теорема  —  Пусть U — измеримое подмножество R ⁿ и φ  : U → R ^{n —} инъективная функция , и предположим, что для каждого x в U существует φ ′( x ) в R ^{n , n} такой, что φ ( y ) = φ ( x ) + φ′ ( x )( y − x ) + o (‖ y − x ‖) при y → x (здесь o — обозначение с небольшим о ). Тогда φ ( U ) измерима, и для любой действительной функции f, определенной на φ ( U ) : в том смысле, что если существует любой из интегралов (включая возможность быть собственно бесконечным), то существует и другой, и они имеют одинаковое значение. $${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\,\,\left|\!\det \varphi '(u)\right|\,du}$$

Другая очень общая версия в теории меры такова: ^[7]

Теорема  —  Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство , снабженное конечной мерой Радона μ , и пусть Y — σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной мерой Радона ρ . Пусть φ  : X → Y — абсолютно непрерывная функция (где последнее означает, что ρ ( φ ( E )) = 0 всякий раз, когда μ ( E ) = 0 ). Тогда существует вещественнозначная измеримая по Борелю функция w на X такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции f  : Y → R функция ( f ∘ φ ) ⋅ w интегрируема по Лебегу на X , и Более того, можно записать для некоторой измеримой по Борелю функции g на Y . $${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).}$$ $${\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}$$

В геометрической теории меры интегрирование путем подстановки используется с липшицевыми функциями . Билипшицева функция — это липшицева функция φ  : U → R ⁿ , которая инъективна и обратная функция которой φ ⁻¹  : φ ( U ) → U также является липшицевой. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду . В частности, определитель Якоби билипшицева отображения det Dφ корректно определен почти всюду. Тогда справедлив следующий результат:

Теорема  —  Пусть U — открытое подмножество R ⁿ и φ  : U → R ⁿ — билипшицево отображение. Пусть f  : φ ( U ) → R измеримо. Тогда в том смысле, что если один из интегралов существует (или собственно бесконечен), то существует и другой, и они имеют одинаковое значение. $${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)\,\,\left|\!\det D\varphi (x)\right|\,dx}$$

Вышеуказанная теорема была впервые предложена Эйлером , когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя она была обобщена на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году и использовалась Лежандром , Лапласом и Гауссом , а также впервые обобщена на n переменных Михаилом Остроградским в 1836 году, она удивительно долго сопротивлялась полностью строгому формальному доказательству и была впервые удовлетворительно решена 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начавшихся в середине 1890-х годов. ^{[8] [9]}

Применение в теории вероятностей

Подстановку можно использовать для ответа на следующий важный вопрос теории вероятности: если дана случайная величина X с плотностью вероятности p _X и другая случайная величина Y такая, что Y = ϕ ( X ) для инъективного (один к одному) ϕ , какова плотность вероятности для Y ?

Проще всего ответить на этот вопрос, сначала ответив на немного другой вопрос: какова вероятность того, что Y принимает значение в некотором конкретном подмножестве S ? Обозначим эту вероятность P ( Y ∈ S ). Конечно, если Y имеет плотность вероятности p _Y , то ответ будет: но это не очень полезно, потому что мы не знаем p _Y ; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем продвинуться вперед, рассмотрев задачу в переменной X . Y принимает значение в S всякий раз, когда X принимает значение в , так что: $${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}$$ ${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$ $${\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}$$

Переход от переменной x к y дает: Объединение этого с нашим первым уравнением дает: итак: $${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}$$ $${\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}$$ $${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$$

В случае, когда X и Y зависят от нескольких некоррелированных переменных (т.е. и ), можно найти путем подстановки в несколько переменных, обсуждавшихся выше. Результат: ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle y=\phi (x)}$ ${\displaystyle p_{Y}}$ $${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}$$

Смотрите также

• Математический портал

• Функция плотности вероятности
• Замена переменных
• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса
• Подстановка Эйлера
• Основная теорема Глассера
• Мера продвижения вперед

Примечания

1. Своковски 1983, стр. 257
2. Своковски 1983, стр. 258
3. Бриггс и Кохран 2011, стр. 361
4. Рудин 1987, Теорема 7.26
5. Спивак 1965, стр. 72
6. Фремлин 2010, Теорема 263D
7. Хьюитт и Стромберг 1965, Теорема 20.3
8. Кац 1982
9. Ферзола 1994

Ссылки

• Бриггс, Уильям; Кохран, Лайл (2011), Исчисление/Ранние трансцендентали (ред. с одной переменной), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Ferzola, Anthony P. (1994), «Эйлер и дифференциалы», The College Mathematics Journal , 25 (2): 102–111, doi : 10.2307/2687130, JSTOR  2687130, архивировано из оригинала 2012-11-07 , извлечено 2008-12-24
• Фремлин, Д. Х. (2010), Теория меры, Том 2 , Торрес Фремлин, ISBN 978-0-9538129-7-4.
• Хьюитт, Эдвин ; Штромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
• Кац, В. (1982), «Замена переменных в кратных интегралах: от Эйлера к Картану», Mathematics Magazine , 55 (1): 3–11, doi :10.2307/2689856, JSTOR  2689856
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативная редакция), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

Внешние ссылки

• Интеграция путем подстановки в Encyclopedia of Mathematics
• Формула площади в Энциклопедии математики