Теорема Банаха – Алаоглу

Theorem in functional analysis

В функциональном анализе и смежных разделах математики теорема Банаха -Алаоглу (также известная как теорема Алаоглу ) утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства к нормированному векторному пространству компактен в слабой* топологии . ^[1] Общее доказательство идентифицирует единичный шар со слабой топологией как замкнутое подмножество произведения компактных множеств с топологией произведения . Вследствие теоремы Тихонова это произведение и, следовательно, единичный шар внутри него компактны.

Эта теорема имеет приложения в физике, когда описывается набор состояний алгебры наблюдаемых, а именно, что любое состояние можно записать как выпуклую линейную комбинацию так называемых чистых состояний.

История

По словам Лоуренса Наричи и Эдварда Бекенштейна, теорема Алаоглу — это «очень важный результат — возможно, самый важный факт о топологии слабого* — [который] находит отклик во всем функциональном анализе». ^[2] В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного дуального пространства счетно слабо компактен. ^[3] В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве к любому сепарабельному нормированному пространству секвенциально слабо компактен (Банах рассматривал только секвенциальную компактность ). ^[3] Доказательство общего случая было опубликовано в 1940 году математиком Леонидасом Алаоглу . По мнению Питча [2007], есть как минимум двенадцать математиков, которые могут претендовать на эту теорему или на ее важного предшественника. ^[2] ${\displaystyle C([a,b])}$

Теорема Бурбаки –Алаоглу представляет собой обобщение ^{[4] [5]} исходной теоремы Бурбаки на двойственные топологии на локально выпуклых пространствах . Эту теорему также называют теоремой Банаха–Алаоглу или теоремой слабой компактности, и ее обычно называют просто теоремой Алаоглу . ^[2]

Заявление

Если - векторное пространство над полем , то оно будет обозначать алгебраическое двойственное пространство , и эти два пространства отныне связаны с билинейной оценочной картой , определяемой тем, что тройка образует двойственную систему , называемую канонической двойственной системой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)}$$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle }$

Если это топологическое векторное пространство (TVS), то его непрерывное двойственное пространство будет обозначаться где всегда выполняется. Обозначим топологию слабого* на и обозначим топологию слабого* на через. Топологию слабого* также называют топологией поточечной сходимости, поскольку для данного карты и сети отображений сеть сходится в этой топологии тогда и только тогда, когда для каждой точки области сеть значений сходится к значению ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f(x).}$

Теорема Алаоглу ^[3]  —  Для любого топологического векторного пространства (TVS) ( не обязательно Хаусдорфа или локально выпуклого ) с непрерывным дуальным пространством поляра любой окрестности начала координат в компактна в топологии слабого* ^{[примечание 1]} на Кроме того, равна поляре относительно канонической системы и также является компактным подмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ $${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$

Доказательство с использованием теории двойственности

Доказательство

Обозначим базовым полем, по которому являются либо действительные числа , либо комплексные числа. В этом доказательстве будут использоваться некоторые основные свойства, перечисленные в статьях: полярное множество , двойственная система и непрерывный линейный оператор . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Для начала доказательства напомним некоторые определения и легко проверяемые результаты. Если оно наделено слабой топологией , то это хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство обозначается как Пространство всегда является полным TVS ; однако может не быть полным пространством, и именно поэтому в этом доказательстве задействовано это пространство. В частности, в этом доказательстве будет использоваться тот факт, что подмножество полного хаусдорфова пространства компактно, если (и только если) оно замкнуто и полностью ограничено. . Важно отметить, что топология подпространства , наследуемая от, равна Это можно легко проверить , показав, что любая сеть в сходится к в одной из этих топологий тогда и только тогда, когда она также сходится к в другой топологии (вывод следует, поскольку две топологии равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые сходящиеся сети). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Тройка представляет собой двойную пару , хотя в отличие от нее, как правило, не гарантируется, что она будет двойной системой. Везде, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонического спаривания. ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Пусть – окрестность начала координат в и пусть: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$быть поляром относительно канонического спаривания ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$быть биполярным ${\displaystyle U}$ относительно ; ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$быть поляром относительно канонической дуальной системы. Заметим, что ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}$

Хорошо известный факт о полярных множествах заключается в том, что ${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}$

1. Покажите, что это -замкнутое подмножество Let , и предположим, что это сеть в , которая сходится к в. Чтобы сделать вывод, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого Потому что в скалярном поле и каждое значение принадлежит замкнутому (в ) подмножество , поэтому предел этой сети тоже должен принадлежать этому множеству. Таким образом ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle f\in X^{\#}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle f\in U^{\#},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f_{i}(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle f(u)}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. Покажите это, а затем сделайте вывод, что это замкнутое подмножество обоих и Включение справедливо, потому что каждый непрерывный линейный функционал является (в частности) линейным функционалом. Для обратного включения пусть так будет то, что в точности утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности ; таким образом, является непрерывным линейным функционалом (то есть ), и так по желанию. Из (1) и того факта, что пересечение замкнуто в топологии подпространства, следует утверждение о замкнутости. ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}$ ${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ ${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$
3. Покажите, что это - вполне ограниченное подмножество. По биполярной теореме , где, поскольку окрестность является поглощающим подмножеством того же самого, должно быть верно для множества, можно доказать, что из этого следует, что это -ограниченное подмножество . Потому что различает точки подмножество -ограничено тогда и только тогда, когда оно -вполне ограничено . В частности, также -тотально ограничено. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U^{\circ \circ };}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
4. Заключите, что это также -тотально ограниченное подмножество. Напомним, что топология на идентична топологии подпространства, наследуемой от. Из этого факта вместе с (3) и определением «тотально ограниченного» следует, что это -тотально ограниченное подмножество ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$
5. Наконец, выведите, что это -компактное подмножество множества. Поскольку оно является полным TVS и является его замкнутым (в силу (2)) и вполне ограниченным (в силу (4)) подмножеством, которое является компактным. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Если — нормированное векторное пространство , то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в двойственном пространстве. В частности, если – открытый (или замкнутый) единичный шар, то поляра – это замкнутый единичный шар в непрерывном дуальном пространстве ( с обычной двойственной нормой ). Следовательно, эта теорема может быть специализирована для: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Банаха – Алаоглу  .  Если это нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве (наделенный своей обычной операторной нормой ) компактен относительно слабой топологии . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Если непрерывное двойственное пространство является бесконечномерным нормированным пространством, то замкнутый единичный шар не может быть компактным подмножеством, если он имеет свою обычную топологию нормы. Это связано с тем, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (см. теорему Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия разных топологий в одном и том же векторном пространстве. ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Следует предостеречь, что, несмотря на видимость, теорема Банаха–Алаоглу не означает, что топологияweak-* локально компактна . Это связано с тем, что замкнутый единичный шар является лишь окрестностью начала координат в сильной топологии , но обычно не является окрестностью начала координат в слабой* топологии, поскольку в слабой* топологии он имеет пустую внутреннюю часть, если только пространство не конечномерный. Фактически, это результат Вейля , что все локально компактные топологические векторные пространства Хаусдорфа должны быть конечномерными.

Элементарное доказательство

Следующее элементарное доказательство не использует теорию двойственности и требует только основных понятий теории множеств, топологии и функционального анализа. Что необходимо от топологии, так это практические знания сетевой сходимости в топологических пространствах и знание того факта, что линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в окрестности начала координат (см. статьи о непрерывных линейных функционалах и сублинейных функционалах подробности). Также требуется правильное понимание технических деталей того, как пространство всех функций формы идентифицируется как декартово произведение, и взаимосвязи между поточечной сходимостью , топологией произведения и топологиями подпространств, которые они индуцируют на подмножествах, таких как алгебраическое двойственное пространство. и продукты подпространств, таких как Объяснение этих деталей теперь дано заинтересованным читателям. ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$ ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

Суть теоремы Банаха–Алаоглу можно найти в следующем предложении, из которого следует теорема Банаха–Алаоглу. В отличие от теоремы Банаха–Алаоглу, это предложение не требует, чтобы векторное пространство было наделено какой-либо топологией. ${\displaystyle X}$

Предложение ^[3]  —  Пусть будет подмножеством векторного пространства над полем (где ) и для каждого действительного числа наделите замкнутый шар его обычной топологией ( не обязательно наделять его какой-либо топологией, но он имеет свою обычную евклидову топологию ). Определять ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle r,}$ ${\textstyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}.}$$

Если для каждого действительное число такое, что то является замкнутым и компактным подпространством пространства произведений (где, поскольку эта топология произведения идентична топологии поточечной сходимости , которая также называется топологией слабого* в функциональном анализе, это означает который компактен в топологииweak-* или для краткости «weak-* компакт»). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U,}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$

Прежде чем доказывать приведенное выше предложение, сначала показано, как из него следует теорема Банаха–Алаоглу (в отличие от предложения, Банах–Алаоглу предполагает, что это топологическое векторное пространство (TVS) и это окрестность начала координат). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

Доказательство того, что Банах-Алаоглу следует из предыдущего предложения.

Предположим, что это топологическое векторное пространство с непрерывным двойственным пространством и это окрестность начала координат. Так как окрестность начала координат в нем также является поглощающим подмножеством , то для каждого существует действительное число такое, что Таким образом, условия предыдущего предложения выполняются, и поэтому множество, следовательно, компактно в топологии слабого* . Доказательство теоремы Банаха–Алаоглу будет полным, как только будет показано, что ^{[примечание 2]} где, напомним, определялось как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U.}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ $${\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}$$

Доказательство того, что ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}$ вывод эквивалентен выводу If then , который точно утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности, поэтому является непрерывным линейным функционалом (то есть ), как и хотелось. ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Доказательство предложения

Пространство произведений компактно по теореме Тихонова (поскольку каждый замкнутый шар является хаусдорфовым ^{[примечание 3]} компактом ). Поскольку замкнутое подмножество компакта компактно, доказательство предложения будет полным, как только будет показано, что оно является замкнутым подмножеством. Следующие утверждения гарантируют этот вывод: ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}}$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

1. ${\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$
2. ${\displaystyle U^{\#}}$представляет собой закрытое подмножество пространства продуктов ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}$

Доказательство (1) :

Для любой через обозначим проекцию на ^i-ю координату (определенную выше). Чтобы доказать, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого So зафиксируйте и позвольте. Потому что остается показать, что Recall, который был определен в утверждении предложения как любое положительное действительное число, которое удовлетворяет (например, было бы действительным выбор для каждого ), из чего следует, что поскольку является положительной однородной функцией, удовлетворяющей условию ${\displaystyle z\in X,}$ ${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}.}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U}$ ${\displaystyle r_{u}:=1}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$$

Таким образом , который показывает, что по желанию. ${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$

Доказательство (2) :

Алгебраическое дуальное пространство всегда является замкнутым подмножеством (это доказывается в лемме ниже для читателей, не знакомых с этим результатом). Множество замкнуто в топологии произведения на, поскольку оно является произведением замкнутых подмножеств Таким образом, является пересечением двух замкнутых подмножеств, из которых доказывается (2). ^{[примечание 4]} ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

К выводу о замкнутости множества можно также прийти, применив следующий более общий результат, доказанный на этот раз с помощью сетей, к частному случаю и ${\displaystyle U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle B:=B_{1}.}$

Наблюдение : Если есть любое множество и если оно является замкнутым подмножеством топологического пространства, то оно является замкнутым подмножеством в топологии поточечной сходимости. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Доказательство наблюдения : пусть и предположим, что это сеть в , которая сходится поточечно к. Осталось показать то, что по определению означает. Для любого , поскольку in и каждое значение принадлежит закрытому (in ) подмножеству, предел этой сети тоже должен принадлежать этому замкнутому набор; что и завершает доказательство. ${\displaystyle f\in Y^{X}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U_{B}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f\in U_{B},}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B.}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f(u)\in B,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Лемма ( замкнута в ) ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ —  Алгебраическое дуальное пространство любого векторного пространства над полем (где есть или ) является замкнутым подмножеством в топологии поточечной сходимости. (Векторное пространство не обязательно должно быть наделено какой-либо топологией). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$

Приведенная выше лемма фактически также следует из ее следствия ниже, поскольку является хаусдорфовым полным равномерным пространством и любое подмножество такого пространства (в частности ) замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Следствие из леммы ( слабо* полное) ${\displaystyle X^{\#}}$ .  Когда алгебраическое двойственное пространство к векторному пространству снабжено топологией поточечной сходимости (также известной как слабая* топология), то полученное топологическое пространство является полным Хаусдорфовым локально выпуклым топологическим пространством . векторное пространство . ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$

Приведенное выше элементарное доказательство теоремы Банаха–Алаоглу на самом деле показывает, что если какое-либо подмножество удовлетворяет условиям (например, любое поглощающее подмножество ) , то оно является слабо* компактным подмножеством ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

В качестве примечания: с помощью приведенного выше элементарного доказательства можно показать (см. эту сноску) ^{[доказательство 1]} , что существуют -индексированные неотрицательные действительные числа такие, что эти действительные числа также можно выбрать как " минимальное» в следующем смысле: использование (как и в доказательстве) и определение обозначений для любого «если то» и для каждого , показывающих, что эти числа единственны; действительно, эту формулу нижней границы можно использовать для их определения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }}$ ${\displaystyle P=U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},}$ $${\displaystyle T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$

Фактически, если обозначает множество всех таких произведений замкнутых шаров, содержащих полярное множество, то где обозначает пересечение всех множеств, принадлежащих ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle P,}$ $${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},}$$ ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}}$ ${\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}.}$

Это подразумевает (среди прочего ^{[примечание 5]} ), что единственный по отношению к этому наименьший элемент может использоваться как альтернативное определение этого (обязательно выпуклого и сбалансированного ) множества. Функция является полунормой и не меняется, если ее заменить выпуклой сбалансированной оболочкой ( потому что ). Аналогично, потому что также не меняется, если заменить его замыканием в ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq ;}$ ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Последовательная теорема Банаха – Алаоглу

Частным случаем теоремы Банаха–Алаоглу является секвенциальная версия теоремы, которая утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства сепарабельному нормированному векторному пространству секвенциально компактен в слабой топологии. Фактически, слабая* топология на замкнутом единичном шаре двойственного к сепарабельному пространству метризуема , и, таким образом, компактность и секвенциальная компактность эквивалентны.

В частности, пусть — сепарабельное нормированное пространство и замкнутый единичный шар в Поскольку сепарабельно, пусть — счетное плотное подмножество. Тогда следующее определяет метрику, где для любого где обозначает спаривание двойственности с Секвенциальная компактность в этой метрике может быть показана с помощью аргумента диагонализации, аналогичного тому, который использовался при доказательстве теоремы Арзела-Асколи . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ $${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$

Благодаря конструктивному характеру доказательства (в отличие от общего случая, основанного на аксиоме выбора), секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу часто используется в области уравнений в частных производных для построения решений УЧП или вариационных задач. . Например, если кто-то хочет минимизировать функционал в двойственном сепарабельному нормированному векторному пространству, одна общая стратегия состоит в том, чтобы сначала построить минимизирующую последовательность , которая приближается к нижней грани, или использовать последовательную теорему Банаха – Алаоглу для извлечения подпоследовательности, которая сходится в слабом * топологию до предела , а затем установить, что она является минимизатором. Последний шаг часто требует соблюдения (последовательного) свойства полунепрерывности снизу в слабой* топологии. ${\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Когда пространство конечных мер Радона находится на действительной прямой (так что это пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности по теореме о представлении Рисса ), секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу эквивалентна теореме выбора Хелли . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}$

Доказательство

Для каждого пусть и пусть будет наделена топология произведения . Поскольку каждое является компактным подмножеством комплексной плоскости, теорема Тихонова гарантирует, что их произведение компактно. ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}}$$ $${\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}}$$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle D}$

Замкнутый единичный шар в, обозначаемый как, можно естественным образом идентифицировать как подмножество : ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime },}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}$$

Это отображение инъективно и непрерывно, если имеет топологию слабого* . Обратная карта, определенная на ее изображении, также непрерывна. ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$

Теперь будет показано, что образ приведенного выше отображения замкнут, что завершит доказательство теоремы. Дана точка и сеть в образе индексированной так, что функционал , определенный через, лежит в и ${\displaystyle \lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,}$$ ${\displaystyle g:X\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,}$$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$ ${\displaystyle F(g)=\lambda _{\bullet }.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Последствия

Следствия для нормированных пространств

Предположим, что это нормированное пространство , и снабдим его непрерывное двойственное пространство обычной двойственной нормой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

• Замкнутый единичный шар в слабо* компактен. ^[3] Таким образом, если шар бесконечномерен, то его замкнутый единичный шар обязательно не компактен в топологии нормы по теореме Ф. Рисса (несмотря на то, что он слабо компактен). ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда его замкнутый единичный шар -компакт; это известно как теорема Джеймса . ^[3] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
• Если — рефлексивное банахово пространство , то каждая ограниченная последовательность в имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха–Алаоглу к слабо метризуемому подпространству ; или, более кратко, путем применения теоремы Эберлейна–Шмулиана .) Например, предположим, что это пространство Lp , где и пусть удовлетворяют Пусть будет ограниченная последовательность функций в Тогда существует подпоследовательность и такое, что Соответствующий результат для неверен, поскольку не рефлексивен. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in X}$ $${\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Следствия для гильбертовых пространств

• В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, следовательно, каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертово пространство рефлексивно ) .
• Как замкнутые по норме выпуклые множества слабо замкнуты ( теорема Хана–Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых пространствах или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
• Замкнутые и ограниченные множества в предкомпактны относительно слабой операторной топологии (слабая операторная топология слабее сверхслабой топологии , которая, в свою очередь , является слабой топологией относительно предуала ядерных операторов). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, обладает свойством Гейне – Бореля , если снабжен либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией. ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B(H),}$ ${\displaystyle B(H)}$

Связь с аксиомой выбора и другими утверждениями

Банаха-Алаоглу можно доказать с помощью теоремы Тихонова , которая в рамках аксиоматической структуры теории множеств Цермело-Френкеля ( ZF ) эквивалентна аксиоме выбора . Большая часть основного функционального анализа опирается на ZF + аксиому выбора, которую часто обозначают ZFC . Однако в сепарабельном случае теорема не опирается на аксиому выбора (см. выше): в этом случае конструктивное доказательство действительно существует. В общем случае произвольного нормированного пространства лемма об ультрафильтре , которая строго слабее аксиомы выбора и эквивалентна теореме Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств, достаточна для доказательства теоремы Банаха–Алаоглу и фактически эквивалентна это.

Теорема Банаха–Алаоглу эквивалентна лемме об ультрафильтре , из которой следует теорема Хана–Банаха для вещественных векторных пространств ( HB ), но не эквивалентна ей (иными словами, Банаха–Алаоглу также строго сильнее, чем HB ). Однако теорема Хана–Банаха эквивалентна следующей слабой версии теоремы Банаха–Алаоглу для нормированного пространства ^[6] , в которой вывод о компактности (в слабой топологии замкнутого единичного шара дуального пространства) равен заменен выводом о квазикомпактности (также иногда называемой выпуклой компактностью );

Слабая версия теоремы Алаоглу ^[6]  . Пустьэто нормированное пространство и пустьобозначает замкнутый единичный шар егонепрерывного двойственного пространства.Тогдаоно обладает следующим свойством, которое называется (слабое-*) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle B}$квазикомпактность иливыпуклая компактность : всякий раз, когдаестьпокрытиевыпуклымислабозамкнутымиподмножествамитакого, чтообладаетсвойством конечного пересечения, тооно не пусто. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \{B\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle B\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}$

Компактность подразумевает выпуклую компактность, поскольку топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств, обладающее свойством конечного пересечения (FIP), имеет непустое пересечение. Определение выпуклой компактности аналогично этой характеристике компактных пространств в терминах FIP, за исключением того, что оно включает только те замкнутые подмножества, которые также являются выпуклыми (а не все замкнутые подмножества).

Смотрите также

• Теорема Бишопа – Фелпса
• Теорема Банаха–Мазура
• Теорема о дельта-компактности
• Теорема Диксмье–Нга
• Теорема Эберлейна – Шмулиана  - связывает три различных вида слабой компактности в банаховом пространстве.
• Теорема Голдстайна
• Теорема Джеймса  - теорема по математикеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема Крейна-Мильмана  - Когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точек.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Лемма Мазура  - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве.
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Примечания

1. Явно, подмножество называется «компактным (соответственно полностью ограниченным и т. д.) в топологии слабого *», если когда задана топология слабого * и подмножеству задана топология подпространства , унаследованная от этого, то оно является компактным . (соответственно полностью ограниченное и т. д.) пространство. ${\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$
2. Если обозначает топологию, которая (изначально) наделена , то равенство показывает , что поляра зависит только от (и ) и что остальную часть топологии можно игнорировать. Чтобы прояснить, что имеется в виду, предположим, что существует любая TVS-топология на такой, что множество является (также) окрестностью начала координат в. Обозначим непрерывное двойственное пространство by и обозначим поляру по отношению к by так, чтобы это было просто множество сверху. . Тогда , поскольку оба этих набора равны Саиду по-разному, определяющее «требование» полярного набора, который должен быть подмножеством непрерывного дуального пространства , несущественно и может быть проигнорировано, поскольку оно не оказывает никакого влияния на результирующий набор линейных функционалов. . Однако, если TVS-топология не является окрестностью начала координат, тогда полярность относительно не гарантированно равна, и поэтому топологию нельзя игнорировать. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }={\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma ).}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ $${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\#}.}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\nu }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \nu }$
3. Поскольку каждое также является хаусдорфовым пространством , для заключения о компактности требуется только так называемая «теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтре и строго слабее, чем аксиома выбора . ${\displaystyle B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$
4. Заключение можно записать как Таким образом , множество может быть эквивалентно определено путем Переписывание определения таким образом помогает сделать очевидным, что множество замкнуто, потому что это верно для X # . {\displaystyle X^{\#}.} ${\displaystyle U_{B_{1}}=\prod _{x\in X}C_{x}}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}~=~{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$
5. Этот кортеж является наименьшим элементом относительно естественного индуцированного поточечного частичного порядка , определяемого тогда и только тогда, когда для каждого. Таким образом, каждая окрестность начала координат в может быть связана с этой уникальной (минимальной) функцией. Для любого if таково, что тогда так что в частности и для каждого ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }\leq S_{\bullet }}$ ${\displaystyle R_{x}\leq S_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }:X\to [0,\infty ).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rU}$ ${\displaystyle m_{x}\leq r}$ ${\displaystyle m_{0}=0}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$

Доказательства

1. Для любого непустого подмножества равенство сохраняется (пересечение слева представляет собой закрытый, а не открытый диск - возможно, радиуса - потому что оно является пересечением замкнутых подмножеств и поэтому само должно быть замкнутым). Для каждого пусть так, что из равенства предыдущего множества следует Из этого следует, что и тем самым делая наименьший элемент относительно ( Фактически , семейство замкнуто относительно ( ненулевых ) произвольных пересечений, а также относительно конечных объединений хотя бы одного множества ). Элементарное доказательство показало, что и не пусты, и, более того, оно даже показало, что имеет элемент , удовлетворяющий для каждого , из чего следует, что для каждого Включение является непосредственным; Чтобы доказать обратное включение, пусть По определению, если и только если это так, пусть и остается показать, что Из него следует то , из чего следует то, что и требуется. ${\displaystyle A\subseteq [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \cap \left\{B_{a}:a\in A\right\}=B_{\inf _{}A}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf _{}\left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}=\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}\prod _{x\in X}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}.}$ ${\displaystyle P\subseteq \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P},}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle r_{u}=1}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle P~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\prime }~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}}$ ${\displaystyle f\in \left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}.}$ ${\displaystyle f\in P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\#}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$ ${\displaystyle f\in \cap \operatorname {Box} _{P}=\prod B_{m_{\bullet }},}$ ${\displaystyle f(u)=\Pr {}_{u}(f)\in \Pr {}_{u}\left(\prod _{x\in X}B_{m_{x}}\right)=B_{m_{u}},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq m_{u}\leq 1,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Рудин 1991, Теорема 3.15.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 235–240.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
4. Кёте 1983, Теорема (4) в §20.9.
5. Мейзе и Фогт 1997, Теорема 23.5.
6. Белл, Дж.; Фремлин, Дэвид (1972). «Геометрическая форма аксиомы выбора» (PDF) . Фундамента Математика . 77 (2): 167–170. дои : 10.4064/fm-77-2-167-170 . Проверено 26 декабря 2021 г.

Рекомендации

• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Мейзе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). «Теорема 23.5». Введение в функциональный анализ . Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 264. ИСБН 0-19-851485-9.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277. См. теорему 3.15, с. 68.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.

дальнейшее чтение

• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Проверено 22 июля 2020 г.