Теорема Коммандино

Четыре медианы тетраэдра совпадают.

Медианы тетраэдра, пересекающиеся в точке (его центроиде), такие, что ${\displaystyle S}$
${\displaystyle {\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}}$

Теорема Коммандино , названная в честь Федерико Коммандино (1509–1575), утверждает , что четыре медианы тетраэдра совпадают в точке S , которая делит их в соотношении 3:1. В тетраэдре медиана — это отрезок, соединяющий вершину с центроидом противоположной грани , то есть с центроидом противоположного треугольника. Точка S также является центром тяжести тетраэдра. ^{[1] [2] [3]}

История

Теорему приписывают Коммандино, который в своей работе De Centro Gravitatis Solidorum («Центр тяжести твердых тел», 1565 г.) заявил, что четыре медианы тетраэдра совпадают. Однако, по словам ученого XIX века Гийома Либри, Франческо Мауролико (1494–1575) утверждал, что нашел результат раньше. Либри тем не менее думал, что оно было известно еще раньше Леонардо да Винчи , который, похоже, использовал его в своем творчестве. Джулиан Кулидж разделял эту оценку, но отметил, что не смог найти явного описания или математической обработки теоремы в работах да Винчи. ^[4] Другие ученые предположили, что результат, возможно, был уже известен греческим математикам в древности. ^[5]

Обобщения

Теорема Коммандино имеет прямой аналог для симплексов любой размерности : ^[6]

Пусть – -симплекс некоторой размерности в и – его вершины. Кроме того, пусть , будет медианами , линиями, соединяющими каждую вершину с центроидом противоположной -мерной грани . Затем эти прямые пересекаются в точке в отношении . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}}$ ${\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d:1}$

Полная общность

Первый аналог легко доказать с помощью следующего, более общего результата, аналогичного тому, как работают рычаги в физике: ^[7]

Пусть и - натуральные числа , так что в -векторном пространстве заданы попарно различные точки . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle m+k}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$

Пусть будет центроид точек , пусть будет центроид точек и пусть будет центроид всех этих точек. ${\displaystyle S_{X}}$ ${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$ ${\displaystyle S_{Y}}$ ${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m+k}$

Тогда у человека есть

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}$

В частности, центр тяжести лежит на прямой и делит ее в отношении . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$ ${\displaystyle k:m}$

Теорема Ройша

Предыдущая теорема имеет и другие интересные следствия, помимо вышеупомянутого обобщения теоремы Коммандино. Его можно использовать для доказательства следующей теоремы о центроиде тетраэдра, впервые описанной в Mathematische Unterhaltungen немецким физиком Фридрихом Эдуардом Ройшем  [de] : ^{[8] [9]}

Центр тяжести тетраэдра можно найти, взяв середины двух пар двух его противоположных ребер и соединив соответствующие середины через соответствующие средние линии. Точка пересечения обеих средних линий будет центроидом тетраэдра.

Поскольку тетраэдр имеет шесть ребер в трех противоположных парах, получаем следующее следствие: ^[8]

В тетраэдре три средние линии, соответствующие средним точкам противоположных ребер, совпадают , а точка их пересечения является центроидом тетраэдра.

Теорема Вариньона

Конкретный случай теоремы Ройша, когда все четыре вершины тетраэдра лежат в одной плоскости и лежат в одной плоскости, тем самым вырождаясь в четырехугольник , теорема Вариньона, названная в честь Пьера Вариньона , утверждает следующее: ^{[10] [11]}

Пусть дан четырехугольник . Тогда две средние линии, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в центре тяжести четырехугольника и делятся им пополам. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Рекомендации

1. Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Математическая космическая одиссея: твердая геометрия в 21 веке . Математическая ассоциация Америки, 2015, ISBN  9780883853580 , стр. 97–98.
2. Натан Альтшиллер-Корт: Тетраэдр и его описанный параллелепипед . Учитель математики, Vol. 26, № 1 (ЯНВАРЬ 1933 г.), стр. 46–52 (JSTOR)
3. Норман Шаумбергер: Теорема Коммандино . Двухлетний математический журнал колледжа, Vol. 13, № 5 (ноябрь 1982 г.), с. 331 (ДЖСТОР)
4. Натан Альтшиллер Корт: Заметки о центроиде . Учитель математики, Vol. 53, № 1 (ЯНВАРЬ 1960 г.), стр. 34 (JSTOR)
5. Говард Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.) . МАА, 1983, ISBN 9780883853108 , с. 225 
6. Эгберт Харцхайм (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (на немецком языке). Дармштадт: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. п. 33. ISBN 3-534-07016-Х.
7. Эгберт Харцхайм (1978), Einführung in die Kombinatorische Topologie (на немецком языке), Дармштадт, стр. 31, ISBN 3-534-07016-Х{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
8. Фридрих Йозеф Пифагор Рике (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Цвайтес Хефт. 1973, С. 100, 128.
9. In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
10. Коксетер, соч. соч., С. 242
11. ДУДЕН: Rechnen und Mathematik. 1985, С. 652

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коммандино». Математический мир .
• Пара хороших расширений медианных свойств