Теорема Ферма (стационарные точки)

Метод поиска локальных максимумов и минимумов дифференцируемых функций на открытых множествах

В математике теорема Ферма (также известная как теорема о внутреннем экстремуме ) — это метод поиска локальных максимумов и минимумов дифференцируемых функций на открытых множествах , показывающий, что каждый локальный экстремум функции является стационарной точкой ( производная функции равна нулю в этой точке) . ). Теорема Ферма — теорема реального анализа , названная в честь Пьера де Ферма .

Используя теорему Ферма, потенциальные экстремумы функции с производной находятся путем решения уравнения в . Теорема Ферма дает лишь необходимое условие для экстремальных значений функции, поскольку некоторые стационарные точки являются точками перегиба (а не максимумом или минимумом). Вторая производная функции , если она существует, иногда может использоваться для определения того, является ли стационарная точка максимумом или минимумом. ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$

Заявление

Один из способов сформулировать теорему Ферма состоит в том, что если функция имеет локальный экстремум в какой-то точке и дифференцируема там, то производная функции в этой точке должна быть равна нулю. Выражаясь точным математическим языком:

Пусть — функция и предположим, что это точка, в которой имеется локальный экстремум. Если дифференцируемо при , то . ${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

Другой способ понять теорему — использовать противоположное утверждение: если производная функции в любой точке не равна нулю, то в этой точке не существует локального экстремума. Формально:

Если дифференцируемо при , и , то не является локальным экстремумом . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Следствие

Глобальные экстремумы функции f в области A встречаются только на границах , недифференцируемых точках и стационарных точках. Если – глобальный экстремум f , то верно одно из следующих условий: ${\displaystyle x_{0}}$

• граница: находится на границе A ${\displaystyle x_{0}}$
• недифференцируемый: f не дифференцируемо в ${\displaystyle x_{0}}$
• стационарная точка: является стационарной точкой f ${\displaystyle x_{0}}$

Расширение

В более высоких измерениях справедливо то же самое утверждение; однако доказательство несколько сложнее. Сложность заключается в том, что в одном измерении можно двигаться влево или вправо от точки, тогда как в более высоких измерениях можно двигаться во многих направлениях. Таким образом, если производная не обращается в нуль, нужно утверждать, что существует какое-то направление, в котором функция возрастает – и, следовательно, в противоположном направлении функция убывает. Это единственное изменение в доказательстве или анализе.

Это утверждение можно распространить и на дифференцируемые многообразия . Если - дифференцируемая функция на многообразии , то ее локальные экстремумы должны быть критическими точками , в частности точками, где внешняя производная равна нулю. ^{[1] [ нужен лучший источник ]} ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$

Приложения

Теорема Ферма занимает центральное место в методе исчисления определения максимумов и минимумов: в одном измерении можно найти экстремумы, просто вычисляя стационарные точки (путем вычисления нулей производной ), недифференцируемые точки и граничные точки, а также затем исследуем этот набор для определения экстремумов.

Это можно сделать либо путем оценки функции в каждой точке и взятия максимума, либо путем дальнейшего анализа производных, используя тест первой производной , тест второй производной или тест производной более высокого порядка .

Интуитивный аргумент

Интуитивно дифференцируемая функция аппроксимируется своей производной – дифференцируемая функция ведет себя бесконечно мало, как линейная функция или, точнее, таким образом, с точки зрения того, что «если f дифференцируема и имеет ненулевую производную при, то она не достигает экстремума при Интуиция заключается в том, что если производная при положительной, функция возрастает вблизи , а если производная отрицательна, функция убывает . В обоих случаях она не может достичь максимума или минимума , потому что ее значение меняется. Он может достичь максимума или минимума только в том случае, если «остановится» — если производная обращается в нуль (или если она не дифференцируема, или если она упирается в границу и не может продолжаться). Однако точность «ведет себя как линейная функция» требует тщательного аналитического доказательства. ${\displaystyle a+bx,}$ ${\displaystyle f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Точнее, интуицию можно сформулировать так: если производная положительна, существует некоторая точка справа от того, где f больше, и некоторая точка слева от того, где f меньше, и, таким образом, f не достигает ни максимума, ни a. минимум в И наоборот, если производная отрицательна, есть точка справа, которая меньше, и точка слева, которая больше. Таким образом, доказательство просто переводит это в уравнения и проверяет, «насколько больше или меньше». ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Интуиция основана на поведении полиномиальных функций . Предположим, что функция f имеет максимум в точке _x0 ; рассуждения для минимума функции аналогичны. Если это локальный максимум, то, грубо говоря, существует (возможно, небольшая) окрестность такой функции, как функция «растет до» и «убывает после» ^{[примечание 1]} . Поскольку производная положительна для возрастающей функции и отрицательна для убывающей функции, она положительна до и отрицательна после . не пропускает значения (по теореме Дарбу ), поэтому в какой-то момент между положительным и отрицательным значениями он должен быть равен нулю. Единственная точка в округе, где это возможно, — это . ${\displaystyle \displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Теорема (и ее доказательство ниже) является более общей, чем интуиция, поскольку она не требует, чтобы функция была дифференцируемой в окрестности вокруг . Достаточно, чтобы функция была дифференцируемой только в крайней точке. ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Доказательство

Доказательство 1: неисчезающие производные не предполагают экстремума.

Предположим, что f дифференцируема при точке с производной К, и без ограничения общности предположим , что касательная линия при имеет положительный наклон (растет). Тогда существует окрестность, в которой все секущие линии имеют положительный наклон, и, таким образом, справа от f больше, а слева от f меньше. ${\displaystyle x_{0}\in (a,b),}$ ${\displaystyle K>0,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0},}$

Схема доказательства такова:

• бесконечно малое утверждение о производной (касательной линии) при подразумевает ${\displaystyle x_{0}}$
• локальное утверждение о разностных коэффициентах (секущих линиях), вблизи которого подразумевается ${\displaystyle x_{0},}$
• локальное утверждение о значении f вблизи ${\displaystyle x_{0}.}$

Формально по определению производная означает, что ${\displaystyle f'(x_{0})=K}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}=K.}$

В частности, для достаточно малых (меньше некоторых ) частное должно быть не меньше по определению предела. Таким образом, на интервале имеем: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle K/2,}$ ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}>K/2;}$

заменили равенство в пределе (бесконечно малое утверждение) неравенством в окрестности (локальное утверждение). Таким образом, переставляя уравнение, если тогда: ${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )>f(x_{0})+(K/2)\varepsilon >f(x_{0}),}$

поэтому на интервале справа f больше, чем и если тогда: ${\displaystyle f(x_{0}),}$ ${\displaystyle \varepsilon <0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )<f(x_{0})+(K/2)\varepsilon <f(x_{0}),}$

поэтому на интервале слева f меньше, чем ${\displaystyle f(x_{0}).}$

Таким образом, это не локальный или глобальный максимум или минимум f. ${\displaystyle x_{0}}$

Доказательство 2: экстремум означает, что производная обращается в нуль.

В качестве альтернативы можно начать с предположения, что это локальный максимум, а затем доказать, что производная равна 0. ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Предположим, что это локальный максимум (аналогичное доказательство применимо, если это локальный минимум). Тогда существует такое и такое, что мы имеем для всех с . Следовательно, для любого, что мы имеем ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subset (a,b)}$ ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle h\in (0,\delta )}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

Поскольку предел этого отношения при приближении сверху к 0 существует и равен , заключаем, что . С другой стороны, поскольку мы замечаем, что ${\displaystyle \displaystyle h}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\leq 0}$ ${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

но опять же предел, приближающийся к 0 снизу, существует и равен, поэтому мы также имеем . ${\displaystyle \displaystyle h}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\geq 0}$

Отсюда мы заключаем, что ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Предостережения

Тонкое заблуждение, которого часто придерживаются в контексте теоремы Ферма, заключается в предположении, что она делает более сильное утверждение о локальном поведении, чем оно есть на самом деле. Примечательно, что теорема Ферма не говорит, что функции (монотонно) «возрастают до» или «уходят вниз» от локального максимума. Это очень похоже на ошибочное представление о том, что предел означает «монотонное приближение к точке». Для «хороших функций» (что здесь означает « непрерывно дифференцируемые ») некоторые интуиции верны, но в целом функции могут вести себя плохо, как показано ниже. Мораль в том, что производные определяют бесконечно малое поведение, а непрерывные производные определяют локальное поведение.

Непрерывно дифференцируемые функции

Если f непрерывно дифференцируема в открытой окрестности точки , то это означает, что f возрастает в окрестности следующим образом. ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f'(x_{0})>0}$ ${\displaystyle x_{0},}$

Если и то по непрерывности производной существует такая, что для всех . Тогда f увеличивается на этом интервале по теореме о среднем значении : наклон любой секущей линии равен наклону некоторой касательной линии. ${\displaystyle f'(x_{0})=K>0}$ ${\displaystyle f\in C^{1},}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ ${\displaystyle f'(x)>K/2}$ ${\displaystyle x\in (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle K/2,}$

Однако в общей формулировке теоремы Ферма, где указано только, что производная at положительна, можно только заключить, что секущие линии, проходящие через нее , будут иметь положительный наклон для секущих линий между достаточным количеством точек и вблизи них. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

И наоборот, если производная f в точке равна нулю ( является стационарной точкой), вообще нельзя ничего заключить о локальном поведении f – она может увеличиваться в одну сторону и уменьшаться в другую (как в ), увеличиваться до обе стороны (как в ), уменьшаются в обе стороны (как в ) или ведут себя более сложным образом, например, колеблясь (как в , как обсуждается ниже). ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle -x^{4}}$ ${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$

Можно проанализировать бесконечно малое поведение с помощью второго теста производной и теста производной более высокого порядка , если функция достаточно дифференцируема и если первая ненулевая производная at является непрерывной функцией , то можно сделать вывод о локальном поведении (т. е. если первая ненулевая производная и непрерывна, поэтому ), то можно рассматривать f как локально близкое к многочлену степени k, поскольку оно ведет себя примерно так, но если k -я производная не является непрерывной, такие выводы сделать нельзя , и он может вести себя совсем по-другому. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle f\in C^{k}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},}$

Патологические функции

Функция колеблется все быстрее между и по мере того, как x приближается к 0. Следовательно, функция колеблется все быстрее между 0 и по мере того, как x приближается к 0. Если расширить эту функцию путем определения, то расширенная функция будет непрерывной и всюду дифференцируемой (она дифференцируема в 0 с производная 0), но ведет себя довольно неожиданно вблизи 0: в любой окрестности 0 она достигает 0 бесконечно много раз, но также бесконечно часто равна (положительному числу). ${\displaystyle \sin(1/x)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2}}$ ${\displaystyle 2x^{2}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 2x^{2}}$

Продолжая в том же духе, можно определить , который колеблется между и . Функция имеет свой локальный и глобальный минимум при , но ни в одной окрестности 0 она не уменьшается до 0 и не увеличивается от 0 – она сильно колеблется вблизи 0. ${\displaystyle g(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle x=0}$

Эту патологию можно понять, потому что, хотя функция g всюду дифференцируема, она не является непрерывно дифференцируемой: предела as не существует, поэтому производная не является непрерывной при 0. Это отражает колебание между возрастающими и уменьшающимися значениями по мере приближения к 0. ${\displaystyle g'(x)}$ ${\displaystyle x\to 0}$

Смотрите также

• Оптимизация (математика)
• Максимумы и минимумы
• Производная
• Экстремальная ценность
• аргумент макс.
• Адекватность

Примечания

1. Эта интуиция верна только для непрерывно дифференцируемых функций, хотя в целом она не совсем верна - функция не обязательно увеличивается до локального максимума: вместо этого она может колебаться, поэтому не увеличивается и не убывает, а просто локальный максимум больше, чем любые значения в небольшой окрестности слева или справа от него. Подробности смотрите в патологиях. ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$

Рекомендации

1. «Верна ли теорема Ферма о локальных экстремумах для гладких многообразий?». Обмен стеками . 11 августа 2015 года . Проверено 21 апреля 2017 г.

Внешние ссылки

• «Теорема Ферма (стационарные точки)». ПланетаМатематика .
• «Доказательство теоремы Ферма (стационарные точки)». ПланетаМатематика .