Теорема Хана–Банаха

Теорема о расширении ограниченных линейных функционалов

Теорема Хана–Банаха является центральным инструментом в функциональном анализе . Она позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на векторном подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение сопряженного пространства «интересным». Другая версия теоремы Хана–Банаха известна как теорема Хана–Банаха о разделении или теорема о разделении гиперплоскостей и имеет многочисленные применения в выпуклой геометрии .

История

Теорема названа в честь математиков Ганса Хана и Стефана Банаха , которые доказали ее независимо в конце 1920-х годов. Частный случай теоремы для пространства непрерывных функций на интервале был доказан ранее (в 1912 году) Эдуардом Хелли ^[1] , а более общая теорема о расширении, теорема о расширении М. Рисса , из которой может быть выведена теорема Хана–Банаха, была доказана в 1923 году Марселем Риссом ^[2] . ${\displaystyle C[a,b]}$

Первая теорема Хана–Банаха была доказана Эдуардом Хелли в 1912 году, который показал, что некоторые линейные функционалы, определенные на подпространстве определенного типа нормированного пространства ( ), имеют расширение той же нормы. Хелли сделал это с помощью техники, сначала доказав, что существует одномерное расширение (где линейный функционал имеет свою область определения, расширенную на одно измерение), а затем используя индукцию . В 1927 году Хан определил общие банаховы пространства и использовал технику Хелли для доказательства сохраняющей норму версии теоремы Хана–Банаха для банаховых пространств (где ограниченный линейный функционал на подпространстве имеет ограниченное линейное расширение той же нормы на все пространство). В 1929 году Банах, который не знал о результате Хана, обобщил его, заменив сохраняющую норму версию версией доминируемого расширения, которая использует сублинейные функции . В то время как доказательство Хелли использовало математическую индукцию, Хан и Банах оба использовали трансфинитную индукцию . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$

Теорема Хана–Банаха возникла из попыток решить бесконечные системы линейных уравнений. Это необходимо для решения таких задач, как проблема моментов , в которой при наличии всех потенциальных моментов функции необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти моменты, и, если да, найти ее в терминах этих моментов. Другая такая задача — задача о рядах косинусов Фурье , в которой при наличии всех потенциальных коэффициентов косинуса Фурье необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти коэффициенты, и, опять же, найти ее, если да.

Рисс и Хелли решили проблему для определенных классов пространств (таких как и ), где они обнаружили, что существование решения эквивалентно существованию и непрерывности определенных линейных функционалов. По сути, им нужно было решить следующую проблему: ^[3] ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle C([a,b])}$

(Векторная задача . Дан наборограниченных линейных функционалов нанормированном пространствеи набор скаляров.Определите, существует литакое, чтодля всех ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}(x)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Если пространство является рефлексивным , то для решения векторной задачи достаточно решить следующую двойственную задачу: ^[3] ${\displaystyle X}$

( Функциональная задача ) Дан набор векторов в нормированном пространстве и набор скаляров. Определите, существует ли ограниченный линейный функционал на такой, что для всех ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}\right)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Рисс продолжил определять пространство ( ) в 1910 году и пространства в 1913 году. Исследуя эти пространства, он доказал частный случай теоремы Хана–Банаха. Хелли также доказал частный случай теоремы Хана–Банаха в 1912 году. В 1910 году Рисс решил функциональную задачу для некоторых конкретных пространств, а в 1912 году Хелли решил ее для более общего класса пространств. Только в 1932 году Банах в одном из первых важных приложений теоремы Хана–Банаха решил общую функциональную задачу. Следующая теорема формулирует общую функциональную задачу и характеризует ее решение. ^[3] ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Теорема ^[3]  (Функциональная задача)  —  Пусть будут векторами в действительном или комплексном нормированном пространстве и пусть будут скалярами, также индексированными ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing .}$

Существует непрерывный линейный функционал на такой, что для всех тогда и только тогда, когда существует такой , что для любого выбора скаляров , где все, кроме конечного числа, имеют место следующие соотношения: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}\right)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$ $${\displaystyle \left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.}$$

Теорема Хана–Банаха может быть выведена из приведенной выше теоремы. ^[3] Если рефлексивно , то эта теорема решает векторную задачу. ${\displaystyle X}$

Теорема Хана–Банаха

Действительная функция, определенная на подмножестве , называется ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$доминируется (выше) функцией, еслидля каждого Отсюда причина, по которой следующая версия теоремы Хана–Банаха называетсятеоремойо доминируемом расширении . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(m)\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M.}$

Теорема Хана–Банаха о доминируемом расширении (для действительных линейных функционалов) ^{[4] [5] [6]}  — Если—сублинейная функция(например,нормаилиполунорма), определенная на действительном векторном пространстве, то любойлинейный функционал,определенный на векторном подпространстве ,которое доминируется выше,имеет по крайней мере однолинейное расширениена все, которое также доминируется выше. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

Явно, если — сублинейная функция , что по определению означает, что она удовлетворяет , и если — линейный функционал, определенный на векторном подпространстве , такой что , то существует линейный функционал, такой что Более того, если — полунорма , то обязательно выполняется для всех ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)\quad {\text{ and }}\quad p(tx)=tp(x)\qquad {\text{ for all }}\;x,y\in X\;{\text{ and all real }}\;t\geq 0,}$$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f(m)\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M}$$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F(m)=f(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,}$$ $${\displaystyle F(x)\leq p(x)\quad ~\;\,{\text{ for all }}x\in X.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Теорема остается верной, если требования к смягчаются и требуют только того, чтобы была выпуклой функцией : ^{[7] [8]} Функция является выпуклой и удовлетворяет тогда и только тогда, когда для всех векторов и всех неотрицательных действительных чисел таких, что Каждая сублинейная функция является выпуклой функцией. С другой стороны, если является выпуклой с то функция, определяемая с помощью , положительно однородна (потому что для всех и имеет место ), следовательно, будучи выпуклой, она является сублинейной . Она также ограничена сверху с помощью и удовлетворяет для каждого линейного функционала Таким образом, расширение теоремы Хана–Банаха на выпуклые функционалы не имеет намного большего содержания, чем классическое, сформулированное для сублинейных функционалов. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.}$$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle a,b\geq 0}$ ${\displaystyle a+b\leq 1.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\geq 0,}$ ${\displaystyle p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}})=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}\leq p,}$ ${\displaystyle F\leq p_{0}}$ ${\displaystyle F\leq p.}$

Если линейна, то тогда и только тогда, когда ^[4], что является (эквивалентным) заключением, которое некоторые авторы ^[4] пишут вместо Из этого следует, что если также симметрична , то есть справедливо для всех , то тогда и только тогда Каждая норма является полунормой , и обе являются симметричными сбалансированными сублинейными функциями. Сублинейная функция является полунормой, если и только если она является сбалансированной функцией . На действительном векторном пространстве (хотя и не на комплексном векторном пространстве) сублинейная функция является полунормой, если и только если она симметрична. Тождественная функция на является примером сублинейной функции, которая не является полунормой. ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F\leq p}$ $${\displaystyle -p(-x)\leq F(x)\leq p(x)\quad {\text{ for all }}x\in X,}$$ ${\displaystyle F\leq p.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle |F|\leq p.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$

Для комплексных или действительных векторных пространств

Теорема о доминируемом расширении для действительных линейных функционалов подразумевает следующее альтернативное утверждение теоремы Хана–Банаха, которое может быть применено к линейным функционалам на действительных или комплексных векторных пространствах.

Теорема Хана–Банаха ^{[3] [9]}  — Предположим,что полунорманавекторном пространственад полемявляется либо ,либо Если— линейный функционал на векторном подпространстветакой, что то существует линейный функционалтакой, что ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,}$$ ${\displaystyle F:X\to \mathbf {K} }$ $${\displaystyle F(m)=f(m)\quad \;{\text{ for all }}m\in M,}$$ $${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)\quad \;\,{\text{ for all }}x\in X.}$$

Теорема остается верной, если требования к смягчаются и требуют только того, чтобы для всех скаляров и удовлетворяющих ^[8] Это условие выполняется тогда и только тогда, когда является выпуклой и сбалансированной функцией, удовлетворяющей или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда она выпукла, удовлетворяет и для всех скаляров единичной длины ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1,}$ $${\displaystyle p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y).}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0,}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0,}$ ${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle u.}$

Говорят, что комплекснозначный функционал ${\displaystyle F}$доминируется, ${\displaystyle p}$ еслидля всехв области Используя эту терминологию, приведенные выше утверждения теоремы Хана–Банаха можно переформулировать более кратко: ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$

Теорема Хана–Банаха о доминируемом расширении : Если — полунорма, определенная на действительном или комплексном векторном пространстве , то каждый доминируемый линейный функционал, определенный на векторном подпространстве, имеет доминируемое линейное расширение на все В случае, когда — действительное векторное пространство, а — просто выпуклая или сублинейная функция , этот вывод останется верным, если оба случая «доминируемого» (значение ) ослабить, чтобы вместо этого означать «доминируемое выше» (значение ). ^{[7] [8]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle F\leq p}$

Доказательство

Следующие наблюдения позволяют применить теорему Хана–Банаха для действительных векторных пространств к (комплекснозначным) линейным функционалам на комплексных векторных пространствах.

Каждый линейный функционал на комплексном векторном пространстве полностью определяется своей действительной частью посредством формулы ^{[6] [доказательство 1]} и, более того, если является нормой на , то их дуальные нормы равны: ^[10] В частности, линейный функционал на расширяет другой, определенный на , тогда и только тогда, когда их действительные части равны на (другими словами, линейный функционал расширяется тогда и только тогда, когда расширяется ). Действительная часть линейного функционала на всегда является ${\displaystyle F:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \;\operatorname {Re} F:X\to \mathbb {R} \;}$ $${\displaystyle F(x)\;=\;\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix)\qquad {\text{ for all }}x\in X}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|F\|=\|\operatorname {Re} F\|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle X}$действительно-линейный функционал (это означает, что он линеен, когдарассматривается как действительное векторное пространство), и еслиявляется действительно-линейным функционалом на комплексном векторном пространстве, тоопределяет единственный линейный функционал, накотором действительная часть равна ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto R(x)-iR(ix)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$

Если — линейный функционал на (комплексном или действительном) векторном пространстве , а если — полунорма, то ^{[6] [доказательство 2]} Говоря проще, линейный функционал доминируется полунормой тогда и только тогда, когда его действительная часть доминируется сверху ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle |F|\,\leq \,p\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Re} F\,\leq \,p.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

Доказательство Хана–Банаха для комплексных векторных пространств путем сведения к действительным векторным пространствам ^[3]

Предположим, что является полунормой на комплексном векторном пространстве , а пусть — линейный функционал, определенный на векторном подпространстве , удовлетворяющем на Рассмотрим как действительное векторное пространство и применим теорему Хана–Банаха для действительных векторных пространств к действительно-линейному функционалу, чтобы получить действительно-линейное расширение , которое также доминируется выше , так что оно удовлетворяет на и на Отображение, определенное с помощью , является линейным функционалом на , который расширяется (потому что их действительные части совпадают на ) и удовлетворяет на (потому что и является полунормой). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} \;}$ ${\displaystyle R:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle R\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=\operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F(x)\;=\;R(x)-iR(ix)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Приведенное выше доказательство показывает, что когда является полунормой, то существует взаимно-однозначное соответствие между доминируемыми линейными расширениями и доминируемыми вещественно-линейными расширениями доказательства; оно даже дает формулу для явного построения линейного расширения из любого заданного вещественно-линейного расширения его вещественной части. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывность

Линейный функционал на топологическом векторном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда это верно для его действительной части , если область определения является нормированным пространством, то (где одна сторона бесконечна тогда и только тогда, когда другая сторона бесконечна). ^[10] Предположим, что является топологическим векторным пространством и является сублинейной функцией . Если является непрерывная сублинейная функция, которая доминирует линейный функционал , то обязательно является непрерывным. ^[6] Более того, линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его абсолютное значение (которое является полунормой , которая доминирует ) является непрерывным. ^[6] В частности, линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он доминируется некоторой непрерывной сублинейной функцией. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F;}$ ${\displaystyle \|F\|=\|\operatorname {Re} F\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |F|}$ ${\displaystyle F}$

Доказательство

Теорема Хана–Банаха для вещественных векторных пространств в конечном итоге следует из первоначального результата Хелли для частного случая, когда линейный функционал расширяется с до большего векторного пространства, в котором имеет коразмерность ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1.}$

Лемма ^[6]  (Теорема одномерного доминируемого расширения ) — Пустьбудетсублинейной функциейна действительном векторном пространстве,пусть будетлинейнымфункционаломнасобственномвекторном подпространстве,таким, чтона(то естьдля всех), и пустьбудет вектором,не содержащимсяв(так что). Существует линейное расширениетакое, чтона ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\subsetneq X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(m)\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x=\operatorname {span} \{M,x\}}$ ${\displaystyle F:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x.}$

Доказательство ^[6]

При наличии любого действительного числа отображение, определяемое с помощью , всегда является линейным расширением до ^{[примечание 1],} но оно может не удовлетворять Будет показано, что всегда можно выбрать так, чтобы гарантировать то, что завершит доказательство. ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{b}(m+rx)=f(m)+rb}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p,}$

Если то, что подразумевает Так определить, где действительные числа. Чтобы гарантировать это, достаточно, что (на самом деле, это также необходимо ^{[примечание 2]} ), поскольку тогда удовлетворяет "решающему неравенству" ^[6] ${\displaystyle m,n\in M}$ $${\displaystyle f(m)-f(n)=f(m-n)\leq p(m-n)=p(m+x-x-n)\leq p(m+x)+p(-x-n)}$$ $${\displaystyle -p(-n-x)-f(n)~\leq ~p(m+x)-f(m).}$$ $${\displaystyle a=\sup _{n\in M}[-p(-n-x)-f(n)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)]}$$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p,}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle -p(-n-x)-f(n)~\leq ~b~\leq ~p(m+x)-f(m)\qquad {\text{ for all }}\;m,n\in M.}$$

Чтобы увидеть это , ^{[примечание 3]} предположим и подставим вместо обоих и получим Если (соответственно, если ), то правая (соответственно, левая) часть равна, так что умножение на дает ${\displaystyle f(m)+rb\leq p(m+rx)}$ ${\displaystyle r\neq 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle -p\left(-{\tfrac {1}{r}}m-x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right)~\leq ~b~\leq ~p\left({\tfrac {1}{r}}m+x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right).}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\left[p(m+rx)-f(m)\right]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle rb\leq p(m+rx)-f(m).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Эта лемма остается верной, если — просто выпуклая функция, а не сублинейная функция. ^{[7] [8]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Приведенная выше лемма является ключевым шагом в выводе теоремы о доминируемом расширении из леммы Цорна .

Доказательство теоремы о доминируемом расширении с использованием леммы Цорна

Множество всех возможных доминируемых линейных расширений частично упорядочено по расширению друг друга, поэтому существует максимальное расширение Согласно результату коразмерности 1, если не определено на всех из , то его можно расширить дальше. Таким образом, должно быть определено везде, как и утверждается. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Когда имеет счетную коразмерность, то использование индукции и леммы завершает доказательство теоремы Хана–Банаха. Стандартное доказательство общего случая использует лемму Цорна, хотя вместо нее можно использовать строго более слабую лемму об ультрафильтре ^[11] (которая эквивалентна теореме о компактности и теореме о простом булевом идеале ). Теорему Хана–Банаха можно также доказать с помощью теоремы Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств ^[12] (которая также эквивалентна лемме об ультрафильтре) ${\displaystyle M}$

Проект Mizar полностью формализовал и автоматически проверил доказательство теоремы Хана–Банаха в файле HAHNBAN. ^[13]

Теорема о непрерывном расширении

Теорему Хана–Банаха можно использовать для гарантии существования непрерывных линейных расширений непрерывных линейных функционалов .

Теорема Хана–Банаха о непрерывном расширении ^[14]  — Каждый непрерывный линейный функционал,определенный на векторном подпространстве(действительного или комплексного)локально выпуклоготопологического векторного пространства,имеет непрерывное линейное расширениена всеЕсли, кроме того,являетсянормированным пространством, то это расширение можно выбрать так, чтобы егодвойственная нормабыла равна норме ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

В терминах теории категорий базовое поле векторного пространства является инъективным объектом в категории локально выпуклых векторных пространств.

На нормированном (или полунормированном ) пространстве линейное расширение ограниченного линейного функционала называется ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$сохраняющий норму, если он имеет ту жедуальную норму, что и исходный функционал: Из-за этой терминологии вторая часть вышеприведенной теоремы иногда упоминается как «сохраняющая норму» версия теоремы Хана–Банаха.^[15]Явно: ${\displaystyle \|F\|=\|f\|.}$

Теорема Хана–Банаха о непрерывном расширении, сохраняющая норму ^[15]  — Каждый непрерывный линейный функционал,определенный на векторном подпространстве(действительного или комплексного) нормированного пространства,имеет непрерывное линейное расширениена все, которое удовлетворяет ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|.}$

Доказательство теоремы о непрерывном продолжении

Следующие наблюдения позволяют вывести теорему о непрерывном расширении из теоремы Хана–Банаха. ^[16]

Абсолютное значение линейного функционала всегда является полунормой. Линейный функционал на топологическом векторном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда его абсолютное значение непрерывно, что происходит тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма на такая, что на области определения ^[17] Если — локально выпуклое пространство, то это утверждение остается верным, когда линейный функционал определен на собственном векторном подпространстве ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательство теоремы о непрерывном расширении для локально выпуклых пространств ^[16]

Пусть — непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве локально выпуклого топологического векторного пространства Поскольку является локально выпуклым, то существует непрерывная полунорма на , которая доминирует (имея в виду, что для всех ). По теореме Хана–Банаха существует линейное расширение , чтобы назвать его , которое удовлетворяет на Этот линейный функционал непрерывен, поскольку и является непрерывной полунормой. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle p}$

Доказательство для нормированных пространств

Линейный функционал на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , что означает, что его дуальная норма конечна, и в этом случае выполняется для каждой точки в его области определения. Более того, если таково, что для всех в области определения функционала, то обязательно Если является линейным расширением линейного функционала , то их дуальные нормы всегда удовлетворяют ^{[доказательство 3],} так что равенство эквивалентно тому , что выполняется тогда и только тогда, когда для каждой точки в области определения расширения. Это можно переформулировать в терминах функции, определяемой тем, что всегда является полунормой : ^{[примечание 4]} ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}}$$ ${\displaystyle |f(m)|\leq \|f\|\|m\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c\geq 0}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq c\|m\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \|f\|\leq c.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|}$ ${\displaystyle \|F\|\leq \|f\|,}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq \|f\|\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \|f\|\,\|x\|,}$

Линейное расширение ограниченного линейного функционала сохраняет норму тогда и только тогда, когда расширение доминируется полунормой ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|.}$

Применение теоремы Хана–Банаха к этой полунорме приводит к доминируемому линейному расширению, норма которого (обязательно) равна норме , что и доказывает теорему: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|}$ ${\displaystyle f,}$

Доказательство теоремы Хана–Банаха о непрерывном расширении, сохраняющей норму ^[15]

Пусть — непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве нормированного пространства Тогда функция , определяемая формулой, является полунормой на , которая доминирует, означая, что справедливо для каждого По теореме Хана–Банаха существует линейный функционал на , который расширяется (что гарантирует ) и который также доминируется, означая, что для каждого Тот факт, что — действительное число, такое что для каждого гарантирует Поскольку является конечным, линейный функционал ограничен и, следовательно, непрерывен. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x)=\|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq \|f\|\|x\|}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \|F\|\leq \|f\|.}$ ${\displaystyle \|F\|=\|f\|}$ ${\displaystyle F}$

Нелокально выпуклые пространства

Теорема о непрерывном расширении может оказаться недействительной, если топологическое векторное пространство (TVS) не является локально выпуклым . Например, для пространства Лебега есть полное метризуемое TVS ( F-пространство ), которое не является локально выпуклым (фактически, его единственными выпуклыми открытыми подмножествами являются оно само и пустое множество), а единственным непрерывным линейным функционалом на является постоянная функция (Рудин 1991, §1.47). Поскольку является Хаусдорфовым, каждое конечномерное векторное подпространство линейно гомеоморфно евклидову пространству или ( по теореме Ф. Рисса ), и поэтому каждый ненулевой линейный функционал на непрерывен, но ни один из них не имеет непрерывного линейного расширения на все из Однако TVS может не быть локально выпуклым, но тем не менее иметь достаточно непрерывных линейных функционалов, чтобы его непрерывное сопряженное пространство разделяло точки ; для такого TVS непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве, может иметь непрерывное линейное расширение на все пространство. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle M\subseteq L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\dim M}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\dim M}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Если TVS не является локально выпуклым , то может не существовать никакой непрерывной полунормы, определенной на (не только на ), которая доминирует , и в этом случае теорема Хана–Банаха не может быть применена, как это было в приведенном выше доказательстве теоремы о непрерывном расширении. Однако аргумент доказательства можно обобщить, чтобы дать характеристику того, когда непрерывный линейный функционал имеет непрерывное линейное расширение: Если — любой TVS (не обязательно локально выпуклый), то непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве, имеет непрерывное линейное расширение на все из тогда и только тогда, когда существует некоторая непрерывная полунорма на , которая доминирует В частности, если задано непрерывное линейное расширение , то — непрерывная полунорма на , которая доминирует , и наоборот, если задана непрерывная полунорма на , которая доминирует , то любое доминируемое линейное расширение на (существование которого гарантируется теоремой Хана–Банаха) будет непрерывным линейным расширением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:=|F|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f;}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Геометрические теоремы Хана–Банаха (теоремы Хана–Банаха о разделении)

Ключевым элементом теоремы Хана–Банаха является фундаментально результат о разделении двух выпуклых множеств: и Этот вид аргумента широко используется в выпуклой геометрии , ^[18] теории оптимизации и экономике . Леммы с этой целью, выведенные из исходной теоремы Хана–Банаха, известны как теоремы Хана–Банаха о разделении . ^{[19] [20]} Они являются обобщениями теоремы о разделении гиперплоскостей , которая утверждает, что два непересекающихся непустых выпуклых подмножества конечномерного пространства могут быть разделены некоторой аффинной гиперплоскостью , которая является слоем ( множеством уровня ) вида , где — ненулевой линейный функционал, а — скаляр. ${\displaystyle \{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},}$ ${\displaystyle \{p(m+x)-f(m):m\in M\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle s}$

Теорема ^[19]  —  Пусть и — непустые выпуклые подмножества действительного локально выпуклого топологического векторного пространства Если и , то существует непрерывный линейный функционал на такой, что и для всех (такое обязательно отлично от нуля). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {Int} A=\varnothing }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup f(A)\leq \inf f(B)}$ ${\displaystyle f(a)<\inf f(B)}$ ${\displaystyle a\in \operatorname {Int} A}$ ${\displaystyle f}$

Если выпуклые множества обладают дополнительными свойствами, например, такими как открытость или компактность , то вывод можно существенно усилить:

Теорема ^{[3] [21]}  —  Пусть и — выпуклые непустые непересекающиеся подмножества вещественного топологического векторного пространства ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

• Если открыто, то и разделены замкнутой гиперплоскостью . Явно это означает, что существует непрерывное линейное отображение и такое, что для всех Если и открыто, то правую часть можно также взять строго. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a)<s\leq f(b)}$ ${\displaystyle a\in A,b\in B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Если локально выпукло, компактно и замкнуто, то и строго разделены : существует непрерывное линейное отображение и такое, что для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a)<t<s<f(b)}$ ${\displaystyle a\in A,b\in B.}$

Если является комплексным (а не действительным), то те же утверждения справедливы, но для действительной части ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

Тогда следующее важное следствие известно как геометрическая теорема Хана–Банаха или теорема Мазура (также известная как теорема Асколи–Мазура ^[22] ). Оно следует из первого пункта выше и выпуклости ${\displaystyle M.}$

Теорема (Мазур) ^[23]  —  Пусть — векторное подпространство топологического векторного пространства , и предположим, что — непустое выпуклое открытое подмножество с Тогда существует замкнутая гиперплоскость (векторное подпространство коразмерности 1) , которая содержит, но остается непересекающейся с ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\cap M=\varnothing .}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle K.}$

Теорема Мазура поясняет, что векторные подпространства (даже незамкнутые) можно охарактеризовать линейными функционалами.

Следствие ^[24]  (Разделение подпространства и открытого выпуклого множества)  —  Пусть — векторное подпространство локально выпуклого топологического векторного пространства и — непустое открытое выпуклое подмножество, не пересекающееся с Тогда существует непрерывный линейный функционал на такой, что для всех и на ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f>0}$ ${\displaystyle U.}$

Опорные гиперплоскости

Поскольку точки тривиально выпуклы , геометрическое уравнение Хана–Банаха подразумевает, что функционалы могут обнаружить границу множества. В частности, пусть будет вещественным топологическим векторным пространством и будет выпуклым с Если тогда существует функционал, который равен нулю в , но поддерживается на внутренней стороне ^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} A\neq \varnothing .}$ ${\displaystyle a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A}$ ${\displaystyle a_{0},}$ ${\displaystyle A.}$

Назовем нормированное пространство гладким, если в каждой точке его единичного шара существует единственная замкнутая гиперплоскость к единичному шару в Кёте показал в 1983 году, что нормированное пространство является гладким в точке тогда и только тогда, когда норма дифференцируема по Гато в этой точке. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$

Сбалансированные или дисковые окрестности

Пусть — выпуклая сбалансированная окрестность начала координат в локально выпуклом топологическом векторном пространстве и предположим, что — не является элементом Тогда существует непрерывный линейный функционал на такой, что ^[3] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup |f(U)|\leq |f(x)|.}$

Приложения

Теорема Хана–Банаха является первым признаком важной философии в функциональном анализе : чтобы понять пространство, нужно понять его непрерывные функционалы .

Например, линейные подпространства характеризуются функционалами: если X — нормированное векторное пространство с линейным подпространством M (не обязательно замкнутым) и если — элемент X, не входящий в замыкание M , то существует непрерывное линейное отображение с для всех и (Чтобы увидеть это, отметим, что — сублинейная функция.) Более того, если — элемент X , то существует непрерывное линейное отображение такое, что и Это означает, что естественная инъекция из нормированного пространства X в его двойное сопряженное является изометрической. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle f(z)=1,}$ ${\displaystyle \|f\|=\operatorname {dist} (z,M)^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (\cdot ,M)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f(z)=\|z\|}$ ${\displaystyle \|f\|\leq 1.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle V^{**}}$

Этот последний результат также предполагает, что теорему Хана–Банаха часто можно использовать для поиска «более хорошей» топологии, в которой можно работать. Например, многие результаты в функциональном анализе предполагают, что пространство является хаусдорфовым или локально выпуклым . Однако предположим, что X является топологическим векторным пространством, не обязательно хаусдорфовым или локально выпуклым , но с непустым, собственным, выпуклым, открытым множеством M. Тогда геометрическая теорема Хана–Банаха подразумевает, что существует гиперплоскость, отделяющая M от любой другой точки. В частности, должен существовать ненулевой функционал на X — то есть непрерывное сопряженное пространство нетривиально. ^{[3] [25]} Рассматривая X со слабой топологией, индуцированной тогда X становится локально выпуклым; по второму пункту геометрической теоремы Хана–Банаха слабая топология на этом новом пространстве разделяет точки. Таким образом, X с этой слабой топологией становится хаусдорфовым . Это иногда позволяет применять некоторые результаты, полученные в локально выпуклых топологических векторных пространствах, к нехаусдорфовым и нелокально выпуклым пространствам. ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*},}$

Уравнения с частными производными

Теорема Хана–Банаха часто полезна, когда кто-то хочет применить метод априорных оценок . Предположим, что мы хотим решить линейное дифференциальное уравнение для с заданным в некотором банаховом пространстве X . Если у нас есть контроль над размером в терминах и мы можем думать о как об ограниченном линейном функционале на некотором подходящем пространстве тестовых функций , то мы можем рассматривать как линейный функционал путем присоединения: Сначала этот функционал определен только на образе , но, используя теорему Хана–Банаха, мы можем попытаться расширить его на всю область значений X . Полученный функционал часто определяется как слабое решение уравнения . ${\displaystyle Pu=f}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|f\|_{X}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,g)=(u,P^{*}g).}$ ${\displaystyle P,}$

Характеристика рефлексивных банаховых пространств

Теорема ^[26]  —  Действительное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда любая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью.

Пример из теории Фредгольма

Чтобы проиллюстрировать фактическое применение теоремы Хана–Банаха, мы сейчас докажем результат, который почти полностью следует из теоремы Хана–Банаха.

Предложение  —  Предположим , что есть локально выпуклое TVS Хаусдорфа над полем и есть векторное подпространство TVS , изоморфное TVS для некоторого множества. Тогда есть замкнутое и дополняемое векторное подпространство ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательство

Так как является полным TVS, то является и так как любое полное подмножество Хаусдорфова TVS замкнуто, является замкнутым подмножеством Пусть будет изоморфизмом TVS, так что каждый является непрерывным сюръективным линейным функционалом. По теореме Хана–Банаха мы можем расширить каждый до непрерывного линейного функционала на Пусть так является непрерывной линейной сюръекцией такой, что ее ограничение на равно Пусть которое является непрерывным линейным отображением, ограничение на равно где обозначает тождественное отображение на Это показывает, что является непрерывной линейной проекцией на (то есть, ). Таким образом, дополняется в и в категории TVS. ${\displaystyle \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:=\left(F_{i}\right)_{i\in I}:X\to \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=\left(F_{i}{\big \vert }_{Y}\right)_{i\in I}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}=f.}$ ${\displaystyle P:=f^{-1}\circ F:X\to Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ F{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ f=\mathbf {1} _{Y},}$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{Y}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P\circ P=P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=Y\oplus \ker P}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Приведенный выше результат можно использовать для того, чтобы показать, что каждое замкнутое векторное подпространство является дополняемым, поскольку любое такое пространство либо конечномерно, либо TVS-изоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Обобщения

Общий шаблон

В настоящее время существует множество других версий теоремы Хана–Банаха. Общий шаблон для различных версий теоремы Хана–Банаха, представленный в этой статье, выглядит следующим образом:

${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$является сублинейной функцией (возможно, полунормой ) на векторном пространстве является векторным подпространством (возможно, замкнутым) и является линейным функционалом на удовлетворяющим на (и, возможно, некоторым другим условиям). Затем делается вывод, что существует линейное расширение на такое , что на (возможно, с дополнительными свойствами). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^[3]  —  Если — поглощающий диск в действительном или комплексном векторном пространстве и если — линейный функционал, определенный на векторном подпространстве , такой что на , то существует линейный функционал на , расширяющийся так, что на ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq 1}$ ${\displaystyle M\cap D,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |F|\leq 1}$ ${\displaystyle D.}$

Для полунорм

Теорема Хана–Банаха для полунорм ^{[27] [28]}  — Если—полунорма,определенная на векторном подпространствеиесли— полунорма натакая, чтото существует полунорманатакая,чтоина ${\displaystyle p:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M},}$ ${\displaystyle P:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательство теоремы Хана–Банаха для полунорм

Пусть будет выпуклой оболочкой Поскольку это поглощающий диск в своем функционале Минковского является полунормой. Тогда дальше и дальше ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p=P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$

Так, например, предположим, что — ограниченный линейный функционал , определенный на векторном подпространстве нормированного пространства , так что его операторная норма — неотрицательное действительное число. Тогда абсолютное значение линейного функционала является полунормой на , а отображение, определенное с помощью , является полунормой на , которая удовлетворяет на Теорема Хана–Банаха для полунорм гарантирует существование полунормы , которая равна на ( поскольку ) и ограничена сверху всюду на (поскольку ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle p:=|f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(x)=\|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle P:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p=|f|}$ ${\displaystyle P(x)\leq \|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\leq q}$

Геометрическое разделение

Теорема Хана–Банаха о сэндвиче ^[3]  — Пустьбудет сублинейной функцией на действительном векторном пространстве,пустьбудет любым подмножествоми пустьбудетлюбойкартой. Если существуют положительные действительные числаитакие, что тогда существует линейный функционалнатакой, чтонаина ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle 0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]\qquad {\text{ for all }}x,y\in S,}$$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq F\leq p}$ ${\displaystyle S.}$

Максимально доминируемое линейное расширение

Теорема ^[3]  (Анденеш, 1970)  —  Пусть — сублинейная функция на действительном векторном пространстве, пусть — линейный функционал на векторном подпространстве такого , что на и пусть — любое подмножество из Тогда существует линейный функционал на , который расширяется и удовлетворяет на и является (поточечно) максимальным на в следующем смысле: если — линейный функционал на , который расширяется и удовлетворяет на , то из на следует на ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}\leq p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F\leq {\widehat {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F={\widehat {F}}}$ ${\displaystyle S.}$

Если — одноэлементное множество (где — некоторый вектор) и если — такое максимальное доминируемое линейное расширение, то ^[3] ${\displaystyle S=\{s\}}$ ${\displaystyle s\in X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(s)=\inf _{m\in M}[f(s)+p(s-m)].}$

Векторнозначный Хана–Банаха

Векторнозначная теорема Хана–Банаха ^[3]  — Еслииявляются векторными пространствами над одним и тем же полем и еслиявляется линейным отображением, определенным на векторном подпространстве,то существует линейное отображение, которое расширяет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle f.}$

Инвариант Хана–Банаха

Набор карт - это ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X\to X}$коммутативен (относительнокомпозиции функций ), еслидля всех Скажем, что функция,определенная на подмножестве,является ${\displaystyle \,\circ \,}$ ${\displaystyle F\circ G=G\circ F}$ ${\displaystyle F,G\in \Gamma .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$-инвариантный, еслиидлякаждого ${\displaystyle L(M)\subseteq M}$ ${\displaystyle f\circ L=f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$

Инвариантная теорема Хана–Банаха ^[29]  — Предположим,что есть коммутативное множество непрерывных линейных отображений изнормированного пространствав себя, и пустьбудет непрерывным линейным функционалом, задающим некоторое векторное подпространствокотороеявляется Γ {\displaystyle \Gamma } -инвариантным, что означает, чтоинадля каждого Тогдаимеет непрерывное линейное расширениена все, которое имеет ту жеоператорную нормуи также является-инвариантным, что означает, чтонадля каждого ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(M)\subseteq M}$ ${\displaystyle f\circ L=f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\circ L=F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$

Эту теорему можно резюмировать:

Каждый Γ {\displaystyle \Gamma } -инвариантный непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве нормированного пространства, имеет -инвариантное расширение Хана–Банаха на все ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

Для нелинейных функций

Следующая теорема Мазура–Орлича (1953) эквивалентна теореме Хана–Банаха.

Теорема Мазура–Орлича ^[3]  — Пусть—сублинейная функцияна действительном или комплексном векторном пространствепусть— любое множество, и пустьи— любые отображения. Следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R:T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v:T\to X}$

1. существует действительный линейный функционал на такой, что на и на ; ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R\leq F\circ v}$ ${\displaystyle T}$
2. для любой конечной последовательности неотрицательных действительных чисел и любой последовательности элементов ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ ${\displaystyle T,}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}s_{i}R\left(t_{i}\right)\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v\left(t_{i}\right)\right).}$$

Следующая теорема характеризует случай, когда любая скалярная функция на (не обязательно линейная) имеет непрерывное линейное расширение на все ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема  (Принцип расширения ^[30] ) — Пустьскалярнозначная функция на подмножестветопологическоговекторного пространства Тогда существует непрерывный линейный функционалнарасширениитогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорманатакая, что для всех положительных целых чисели всех конечных последовательностейскаляров иэлементов ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle S.}$

Конверс

Пусть X — топологическое векторное пространство. Вектор подпространства M пространства X обладает свойством расширения , если любой непрерывный линейный функционал на M может быть расширен до непрерывного линейного функционала на X , и мы говорим, что X обладает свойством расширения Хана–Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство пространства X обладает свойством расширения. ^[31]

Теорема Хана–Банаха гарантирует, что каждое локально выпуклое пространство Хаусдорфа имеет HBEP. Для полных метризуемых топологических векторных пространств существует обратное, согласно Калтону: каждое полное метризуемое TVS со свойством расширения Хана–Банаха локально выпукло. ^[31] С другой стороны, векторное пространство X несчетной размерности, наделенное тончайшей векторной топологией , то это топологическое векторное пространство со свойством расширения Хана–Банаха, которое не является ни локально выпуклым, ни метризуемым. ^[31]

Вектор подпространства M TVS X обладает свойством разделения , если для каждого элемента X такого, что существует непрерывный линейный функционал на X такой, что и для всех Очевидно, что непрерывное сопряженное пространство TVS X разделяет точки на X тогда и только тогда, когда обладает свойством разделения. В 1992 году Какол доказал, что для любого бесконечномерного векторного пространства X существуют TVS-топологии на X , которые не имеют HBEP, несмотря на наличие достаточного количества непрерывных линейных функционалов для непрерывного сопряженного пространства, чтобы разделить точки на X. Однако, если X является TVS, то каждое векторное подпространство X обладает свойством расширения тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство X обладает свойством разделения. ^[31] ${\displaystyle x\not \in M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M.}$ ${\displaystyle \{0\},}$

Связь с аксиомой выбора и другими теоремами

Доказательство теоремы Хана–Банаха для вещественных векторных пространств ( HB ) обычно использует лемму Цорна , которая в аксиоматических рамках теории множеств Цермело–Френкеля ( ZF ) эквивалентна аксиоме выбора ( AC ). Было обнаружено Лосем и Рылль-Нардзевским ^[12] и независимо Люксембург ^[11] , что HB можно доказать с помощью леммы об ультрафильтре ( UL ), которая эквивалентна (при ZF ) теореме о простом идеале Буля ( BPI ). BPI строго слабее аксиомы выбора, и позже было показано, что HB строго слабее BPI . ^[32]

Лемма об ультрафильтре эквивалентна (при ZF ) теореме Банаха–Алаоглу , ^[33] которая является еще одной основополагающей теоремой в функциональном анализе . Хотя теорема Банаха–Алаоглу подразумевает HB , ^[34] она не эквивалентна ей (иначе говоря, теорема Банаха–Алаоглу строго сильнее, чем HB ). Однако HB эквивалентна некоторой ослабленной версии теоремы Банаха–Алаоглу для нормированных пространств. ^[35] Теорема Хана–Банаха также эквивалентна следующему утверждению: ^[36]

(∗): На каждой булевой алгебре B существует «вероятностный заряд», то есть: непостоянное конечно-аддитивное отображение из в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1].}$

( BPI эквивалентен утверждению, что всегда существуют непостоянные вероятностные заряды, которые принимают только значения 0 и 1.)

В ZF теоремы Хана–Банаха достаточно для вывода существования множества, не измеримого по Лебегу. ^[37] Более того, теорема Хана–Банаха влечет парадокс Банаха–Тарского . ^[38]

Для сепарабельных банаховых пространств Д. К. Браун и С. Г. Симпсон доказали, что теорема Хана–Банаха следует из WKL ₀ , слабой подсистемы арифметики второго порядка , которая принимает форму леммы Кёнига, ограниченной бинарными деревьями, как аксиома. Фактически, они доказывают, что при слабом наборе предположений эти два являются эквивалентными, пример обратной математики . ^{[39] [40]}

Смотрите также

• Лемма Фаркаша  – Теорема разрешимости для конечных систем линейных неравенств
• Принцип существования Фикеры  – Теорема функционального анализа
• Теорема о расширении М. Рисса  – теорема в математике, доказанная Марселем РиссомPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема о разделяющей оси  – О существовании гиперплоскостей, разделяющих непересекающиеся выпуклые множестваPages displaying short descriptions of redirect targets
• Векторнозначные теоремы Хана–Банаха

Примечания

1. Это определение означает, например, что и если то Фактически, если есть любое линейное расширение до то для Другими словами, каждое линейное расширение до имеет вид для некоторого (единственного) ${\displaystyle F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).}$ ${\displaystyle G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle G=F_{b}}$ ${\displaystyle b:=G(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle b.}$
2. Явно, для любого действительного числа на тогда и только тогда, когда В сочетании с тем фактом, что следует, что доминируемое линейное расширение до является уникальным тогда и только тогда, когда в этом случае этот скаляр будет значениями расширения в Поскольку каждое линейное расширение до имеет вид для некоторых, границы, таким образом, также ограничивают диапазон возможных значений (в ), которые может принимать любое из доминируемых линейных расширений. В частности, если есть любое линейное расширение для , удовлетворяющее тогда для каждого ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c.}$ ${\displaystyle F_{b}(x)=b,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle a=c,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a\leq b=F_{b}(x)\leq c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle x\in X\setminus M,}$ ${\displaystyle \sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].}$
3. Геометрическая иллюстрация: Геометрическая идея приведенного выше доказательства может быть полностью представлена ​​в случае Во-первых, определите простое расширение Это не работает, так как, возможно , . Но это шаг в правильном направлении. все еще выпукло, и Далее, тождественно равно нулю на оси x. Таким образом, мы свелись к случаю на оси x. Если на то мы закончили. В противном случае выберите некоторые такие, что Идея сейчас заключается в том, чтобы выполнить одновременное ограничение на и такое, что на и на то определение дало бы желаемое расширение. Так как находятся на противоположных сторонах от и в некоторой точке на по выпуклости мы должны иметь на всех точках на Таким образом, конечно. Геометрически это работает, потому что является выпуклым множеством, которое не пересекается с и, таким образом, должно полностью лежать на одной стороне Определить Это удовлетворяет на Остается проверить другую сторону. Для всех выпуклость подразумевает, что для всех таким образом Поскольку во время доказательства мы использовали только выпуклость , мы видим, что лемма остается верной для просто выпуклых ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.}$ ${\displaystyle f_{0}(x,y)=f(x),}$ ${\displaystyle f_{0}\leq p}$ ${\displaystyle p-f_{0}}$ ${\displaystyle p-f_{0}\geq f-f_{0}.}$ ${\displaystyle f-f_{0}}$ ${\displaystyle f=0,p\geq 0}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p(v)<0.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v+M}$ ${\displaystyle -v+M}$ ${\displaystyle p\geq b}$ ${\displaystyle v+M}$ ${\displaystyle p\geq -b}$ ${\displaystyle -v+M,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(w+rv)=rb}$ ${\displaystyle -v+M,v+M}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle v+M,}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle -v+M.}$ ${\displaystyle \inf _{u\in -v+M}p(u)}$ ${\displaystyle \{z:p(z)<0\}}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).}$ ${\displaystyle p\geq -b}$ ${\displaystyle -v+M.}$ ${\displaystyle v+w\in v+M,}$ ${\displaystyle -v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,}$ ${\displaystyle p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$
4. Как и любое неотрицательное скалярное кратное нормы , эта полунорма (произведение неотрицательного действительного числа на норму ) является нормой, когда положительна, хотя этот факт не нужен для доказательства. ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|f\|}$

Доказательства

1. Если имеет действительную часть , то это доказывает, что Подстановка вместо и использование дает ${\displaystyle z=a+ib\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} z=a}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (iz)=b,}$ ${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle iF(x)=F(ix)}$ ${\displaystyle F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Пусть будет любым однородным скалярнозначным отображением на (например, линейным функционалом) и пусть будет любым отображением, которое удовлетворяет для всех и скаляров единичной длины (например, полунормой). Если то Для обратного предположим и зафиксируем Пусть и выберем любое такое, что остается показать Однородность влечет вещественность так что По предположению, и так что как и требовалось. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(ux)=p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle r=|F(x)|}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(x)=re^{i\theta };}$ ${\displaystyle r\leq p(x).}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\left(e^{-i\theta }x\right)=r}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),}$ ${\displaystyle r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. То, что отображение является расширением, означает, что и для каждого Следовательно, и поэтому супремум множества в левой части, который равен, не превосходит супремума множества в правой части, который равен Другими словами, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F(m)=f(m)}$ ${\displaystyle m\in \operatorname {domain} f.}$ $${\displaystyle \{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}}$$ ${\displaystyle \|f\|,}$ ${\displaystyle \|F\|.}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|.}$

Ссылки

1. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Теорема Хана–Банаха», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
2. См. теорему о расширении М. Рисса . Согласно Gårding, L. (1970). "Marcel Riesz in memoriam". Acta Math. 124 (1): I–XI. doi : 10.1007/bf02394565 . MR  0256837. этот аргумент был известен Риссу уже в 1918 году.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 177–220.
4. Рудин 1991, стр. 56–62.
5. Рудин 1991, Т. 3.2
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 177–183.
7. Шехтер 1996, стр. 318–319.
8. Рид и Саймон 1980.
9. Рудин 1991, Т. 3.2
10. Narici & Beckenstein 2011, стр. 126–128.
11. Люксембург 1962.
12. Łoś & Ryll-Nardzewski 1951, стр. 233–237.
13. Файл HAHNBAN
14. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 182, 498.
15. Narici & Beckenstein 2011, стр. 184.
16. Narici & Beckenstein 2011, стр. 182.
17. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 126.
18. Харви, Р.; Лоусон, Х.Б. (1983). «Внутренняя характеристика кэлеровых многообразий». Invent. Math. 74 (2): 169–198. Bibcode :1983InMat..74..169H. doi :10.1007/BF01394312. S2CID  124399104.
19. Zălinescu, C. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. стр. 5–7. ISBN 981-238-067-1. МР  1921556.
20. Габриэль Надь, Реальный анализ лекции заметки
21. Брезис, Хаим (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными . Нью-Йорк: Springer. С. 6–7.
22. Кутателадзе, Семен (1996). Основы функционального анализа. Тексты Клувера по математическим наукам. Т. 12. С. 40. doi :10.1007/978-94-015-8755-6. ISBN 978-90-481-4661-1.
23. Трев 2006, стр. 184.
24. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 195.
25. Шефер и Вольф 1999, стр. 47.
26. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 212.
27. Вилански 2013, стр. 18–21.
28. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 150.
29. Rudin 1991, стр. 141.
30. Эдвардс 1995, стр. 124–125.
31. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
32. Пинкус 1974, стр. 203–205.
33. Шехтер 1996, стр. 766–767.
34. Мугер, Майкл (2020). Топология для работающего математика .
35. Белл, Дж.; Фремлин, Дэвид (1972). «Геометрическая форма аксиомы выбора» (PDF) . Фундамента Математика . 77 (2): 167–170. дои : 10.4064/fm-77-2-167-170 . Проверено 26 декабря 2021 г.
36. Шехтер, Эрик . Справочник по анализу и его основам . стр. 620.
37. Форман, М.; Верунг, Ф. (1991). «Теорема Хана–Банаха подразумевает существование множества, не измеримого по Лебегу» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 13–19. doi : 10.4064/fm-138-1-13-19 .
38. Павликовский, Януш (1991). «Теорема Хана – Банаха подразумевает парадокс Банаха – Тарского». Фундамента Математика . 138 : 21–22. дои : 10.4064/fm-138-1-21-22 .
39. Браун, Д.К.; Симпсон, С.Г. (1986). «Какие аксиомы существования множеств необходимы для доказательства разделимой теоремы Хана–Банаха?». Annals of Pure and Applied Logic . 31 : 123–144. doi :10.1016/0168-0072(86)90066-7.Источник цитирования.
40. Симпсон, Стивен Г. (2009), Подсистемы арифметики второго порядка, Перспективы в логике (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88439-6 , MR 2517689 

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Лось, Ежи ; Рыль-Нардзевский, Чеслав (1951). «О применении теоремы Тихонова в математических доказательствах». Фундамента Математика . 38 (1): 233–237. дои : 10.4064/fm-38-1-233-237 . ISSN  0016-2736 . Проверено 7 июля 2022 г.
• Люксембург, WAJ (1962). «Два применения метода построения сверхстепеней к анализу». Бюллетень Американского математического общества . 68 (4). Американское математическое общество: 416–419. doi : 10.1090/s0002-9904-1962-10824-6 . ISSN  0273-0979.
• Наричи, Лоуренс (2007). «О теореме Хана-Банаха». Продвинутые курсы математического анализа II (PDF) . World Scientific. стр. 87–122. doi :10.1142/9789812708441_0006. ISBN 978-981-256-652-2. Получено 7 июля 2022 г. .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (1997). «Теорема Хана–Банаха: жизнь и времена». Топология и ее приложения . 77 (2): 193–211. doi :10.1016/s0166-8641(96)00142-3.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Pincus, David (1972). "Независимость теоремы о простом идеале от теоремы Хана-Банаха" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 78 (5). Американское математическое общество: 766–770. doi :10.1090/s0002-9904-1972-13025-8. ISSN  0273-0979 . Получено 7 июля 2022 г. .
• Pincus, David (1974). "Сила теоремы Хана-Банаха". В Hurd, A.; Loeb, P. (ред.). Victoria Symposium on Nonstandard Analysis . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 369. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 203–248. doi :10.1007/bfb0066014. ISBN 978-3-540-06656-9. ISSN  0075-8434.
• Рид, Майкл и Саймон, Барри, Методы современной математической физики, т. 1, Функциональный анализ, раздел III.3. Academic Press, Сан-Диего, 1980. ISBN 0-12-585050-6 . 
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980). Функциональный анализ (пересмотренное и дополненное издание). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-585050-6.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шмитт, Лотар М. (1992). «Эквивариантная версия теоремы Хана–Банаха». Houston J. Of Math . 18 : 429–447.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тао, Теренс , Теорема Хана–Банаха, Теорема Менгера и Теорема Хелли
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Виттсток, Герд, Эйн-оператор Хан-Банах Сац, Журнал функционального анализа 40 (1981), 127–150
• Цейдлер, Эберхард, Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения , Springer, 1995.
• «Теорема Хана–Банаха», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]