В математике , в частности в алгебраической геометрии и алгебраической топологии , теорема Лефшеца о гиперплоскости является точным утверждением некоторых соотношений между формой алгебраического многообразия и формой его подмногообразий. Точнее, теорема гласит, что для многообразия X, вложенного в проективное пространство , и гиперплоского сечения Y , гомологии , когомологии и гомотопические группы X определяют таковые из Y . Результат такого рода был впервые сформулирован Соломоном Лефшецем для групп гомологий комплексных алгебраических многообразий. С тех пор аналогичные результаты были найдены для гомотопических групп, в положительной характеристике и в других теориях гомологии и когомологии.
Далеко идущее обобщение жесткой теоремы Лефшеца дается теоремой о разложении .
Пусть будет -мерным комплексным проективным алгебраическим многообразием в , и пусть будет гиперплоским сечением , таким что является гладким. Теорема Лефшеца относится к любому из следующих утверждений: [1] [2]
Используя длинную точную последовательность , можно показать, что каждое из этих утверждений эквивалентно теореме об исчезновении для определенных относительных топологических инвариантов. По порядку, это:
Соломон Лефшец [3] использовал свою идею пучка Лефшеца для доказательства теоремы. Вместо того чтобы рассматривать только гиперплоское сечение, он поместил его в семейство гиперплоских сечений , где . Поскольку общее гиперплоское сечение является гладким, все, кроме конечного числа , являются гладкими многообразиями. После удаления этих точек из -плоскости и создания дополнительного конечного числа разрезов, полученное семейство гиперплоских сечений топологически тривиально. То есть, это произведение общего с открытым подмножеством -плоскости . , следовательно, можно понять, если понять, как гиперплоские сечения идентифицируются через разрезы и в особых точках. Вдали от особых точек идентификацию можно описать индуктивно. В особых точках лемма Морса подразумевает, что существует выбор системы координат для особенно простой формы. Эту систему координат можно использовать для непосредственного доказательства теоремы. [4]
Альдо Андреотти и Теодор Франкель [5] признали, что теорему Лефшеца можно переформулировать с использованием теории Морса . [6] Здесь параметр играет роль функции Морса. Основным инструментом в этом подходе является теорема Андреотти–Франкеля , которая утверждает, что комплексное аффинное многообразие комплексной размерности (и, следовательно, действительной размерности ) имеет гомотопический тип CW-комплекса (действительной) размерности . Это подразумевает, что относительные группы гомологии в тривиальны в степени, меньшей . Длинная точная последовательность относительных гомологий затем дает теорему.
Ни доказательство Лефшеца, ни доказательство Андреотти и Франкеля напрямую не подразумевают теорему Лефшеца о гиперплоскости для гомотопических групп. Подход, который подразумевал это, был найден Рене Томом не позднее 1957 года и был упрощен и опубликован Раулем Боттом в 1959 году. [7] Том и Ботт интерпретируют как исчезающее локус в сечения линейного расслоения. Применение теории Морса к этому сечению подразумевает, что может быть построено из путем присоединения ячеек размерности или больше. Из этого следует, что относительные гомологии и гомотопические группы в сосредоточены в степенях и выше, что дает теорему.
Кунихико Кодаира и Дональд С. Спенсер обнаружили, что при определенных ограничениях можно доказать теорему типа Лефшеца для групп Ходжа . В частности, предположим, что является гладким и что линейное расслоение является обильным. Тогда отображение ограничения является изоморфизмом, если и инъективно, если . [8] [9] Согласно теории Ходжа, эти группы когомологий равны группам когомологий пучков и . Следовательно, теорема следует из применения теоремы об исчезновении Акизуки–Накано к и использования длинной точной последовательности.
Объединение этого доказательства с теоремой об универсальном коэффициенте почти приводит к обычной теореме Лефшеца для когомологий с коэффициентами в любом поле характеристики нуль. Однако она немного слабее из-за дополнительных предположений относительно .
Майкл Артин и Александр Гротендик нашли обобщение теоремы Лефшеца о гиперплоскости на случай, когда коэффициенты когомологий лежат не в поле, а в конструктивном пучке . Они доказывают, что для конструктивного пучка на аффинном многообразии группы когомологий исчезают всякий раз, когда . [10]
Мотивация доказательства Артина и Гротендика для конструктивных пучков состояла в том, чтобы дать доказательство, которое можно было бы адаптировать к установке этальных и -адических когомологий. До некоторых ограничений на конструктивный пучок теорема Лефшеца остается верной для конструктивных пучков в положительной характеристике.
Теорема может быть также обобщена на гомологию пересечения . В этом случае теорема верна для сильно сингулярных пространств.
Теорема типа Лефшеца также справедлива для групп Пикара . [11]
Пусть — -мерное неособое комплексное проективное многообразие в . Тогда в кольце когомологий -кратное произведение с классом когомологий гиперплоскости задает изоморфизм между и .
Это жесткая теорема Лефшеца , которую Гротендик окрестил на французском языке более разговорно как Теорема Лефшеца . [12] [13] Из нее немедленно следует часть инъективности теоремы Лефшеца о гиперплоскости.
Теорема Лефшеца на самом деле справедлива для любого компактного кэлерова многообразия , с изоморфизмом в когомологиях де Рама, заданным умножением на степень класса кэлеровой формы. Она может не выполняться для некэлеровых многообразий: например, поверхности Хопфа имеют исчезающие вторые когомологические группы, поэтому аналога второго класса когомологий гиперплоского сечения не существует.
Жесткая теорема Лефшеца была доказана для -адических когомологий гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики Пьером Делинем (1980).
