Уравнения поля Эйнштейна

Уравнения поля в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнения поля Эйнштейна ( УЭ ; также известные как уравнения Эйнштейна ) связывают геометрию пространства-времени с распределением материи в нем. ^[1]

Уравнения были опубликованы Альбертом Эйнштейном в 1915 году в форме тензорного уравнения ^[2], которое связывало локальныекривизна пространства-времени (выраженная тензоромЭйнштейна) с локальной энергией,импульсоми напряжением внутри этого пространства-времени (выраженная тензоромэнергии-импульса).^[3]

Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением зарядов и токов через уравнения Максвелла , EFE связывают геометрию пространства-времени с распределением массы-энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для заданного расположения напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE в виде набора нелинейных уравнений в частных производных при использовании таким образом. Решения EFE являются компонентами метрического тензора. Инерциальные траектории частиц и излучения ( геодезические ) в результирующей геометрии затем вычисляются с помощью уравнения геодезических .

Помимо локального сохранения энергии-импульса, УЭФ сводится к закону тяготения Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, которые намного меньше скорости света . ^[4]

Точные решения для EFE могут быть найдены только при упрощающих предположениях, таких как симметрия . Чаще всего изучаются специальные классы точных решений , поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся Вселенная . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего лишь небольшие отклонения от плоского пространства-времени , что приводит к линеаризованному EFE . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .

Математическая форма

Уравнения поля Эйнштейна (УПЭ) можно записать в виде: ^{[5] [1]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

EFE на стене в Лейдене , Нидерланды

где — тензор Эйнштейна , — метрический тензор , — тензор энергии-импульса , — космологическая постоянная , — гравитационная постоянная Эйнштейна. ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

Тензор Эйнштейна определяется как

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

где — тензор кривизны Риччи , а — скалярная кривизна . Это симметричный тензор второй степени, зависящий только от метрического тензора и его первой и второй производных. ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$

Гравитационная постоянная Эйнштейна определяется как ^{[6] [7]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665(5)\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$или ${\displaystyle {\textrm {m/J}},}$

где G — ньютоновская постоянная тяготения , а c — скорость света в вакууме .

Таким образом, EFE можно также записать как

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

В стандартных единицах каждый член слева имеет единицу измерения 1/длина ² .

Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определяемую метрикой; выражение справа представляет содержание напряжения-энергии-импульса пространства-времени. Затем EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как напряжение-энергия-импульс определяет кривизну пространства-времени.

Эти уравнения вместе с геодезическим уравнением ^[8], которое определяет, как свободно падающая материя движется в пространстве-времени, образуют ядро ​​математической формулировки общей теории относительности .

EFE — это тензорное уравнение, связывающее набор симметричных тензоров 4 × 4. Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре тождества Бьянки сокращают число независимых уравнений с 10 до 6, оставляя метрику с четырьмя степенями свободы фиксации калибровки , которые соответствуют свободе выбора системы координат.

Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их следствия в n измерениях. ^[9] Уравнения в контекстах за пределами общей теории относительности по-прежнему называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (полученные, когда T _μν везде равен нулю) определяют многообразия Эйнштейна .

Уравнения сложнее, чем кажутся. При заданном распределении материи и энергии в форме тензора энергии-напряжения EFE понимаются как уравнения для метрического тензора , поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. При полной записи EFE представляют собой систему из десяти связанных, нелинейных, гиперболо-эллиптических уравнений в частных производных . ^[10] ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Подписать соглашение

Вышеуказанная форма EFE является стандартом, установленным Мизнером, Торном и Уилером (MTW). ^[11] Авторы проанализировали существующие соглашения и классифицировали их по трем признакам ([S1] [S2] [S3]):

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи: $${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$$

С этими определениями Мизнер, Торн и Уилер классифицируют себя как (+ + +) , тогда как Вайнберг (1972) ^[12] — (+ − −) , Пиблз (1980) ^[13] и Эфстатиу и др. (1990) ^[14] — (− + +) , Риндлер (1977), ^{[ требуется цитата ]} Атвотер (1974), ^{[ требуется цитата ]} Коллинз Мартин и Сквайрс (1989) ^[15] и Пикок (1999) ^[16] — (− + −) .

Авторы, включая Эйнштейна, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части становится отрицательным: $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$$

Знак космологического члена изменится в обеих этих версиях, если использовать метрическое соглашение о знаках (+ − − −) вместо принятого здесь метрического соглашения MTW (− + + +) .

Эквивалентные формулировки

Взяв след относительно метрики обеих сторон EFE, получаем где D — это пространственно-временное измерение. Решая относительно R и подставляя это в исходный EFE, получаем следующую эквивалентную форму «обратного следа»: $${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$$

В D = 4 измерениях это сводится к $${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$$

Повторное обращение следа восстановит исходный EFE. Форма с обратным следом может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда интересует предел слабого поля и можно заменить выражение справа на метрику Минковского без существенной потери точности). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Космологическая постоянная

В уравнениях поля Эйнштейна член, содержащий космологическую постоянную Λ, отсутствовал в версии, в которой он их первоначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил член с космологической постоянной, чтобы учесть вселенную, которая не расширяется и не сжимается . Эта попытка не увенчалась успехом, потому что: $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$

• любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, является неустойчивым, и
• Наблюдения Эдвина Хаббла показали, что наша Вселенная расширяется .

Затем Эйнштейн отказался от Λ , заявив Георгию Гамову , «что введение космологического члена было самой большой ошибкой в ​​его жизни» ^{[17] .}

Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно предполагалась равной нулю. Более поздние астрономические наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной , и для объяснения этого требуется положительное значение Λ . ^{[18] [19]} Влияние космологической постоянной пренебрежимо мало в масштабах галактики или меньше.

Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но ее член в уравнении поля можно также алгебраически перенести на другую сторону и включить в тензор энергии-импульса: $${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

Этот тензор описывает состояние вакуума с плотностью энергии ρ _vac и изотропным давлением p _vac, которые являются фиксированными константами и задаются выражением , где предполагается, что Λ имеет единицу СИ м ⁻² , а κ определяется, как указано выше. $${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$

Существование космологической постоянной, таким образом, эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали использоваться взаимозаменяемо в общей теории относительности.

Функции

Сохранение энергии и импульса

Общая теория относительности согласуется с локальным законом сохранения энергии и импульса, выраженным как

$${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

Вывод локального закона сохранения энергии-импульса

Свертывание дифференциального тождества Бианки с g ^αβ дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, т.е. g ^αβ _;γ = 0 , $${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0}$$ $${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Антисимметрия тензора Римана позволяет переписать второй член в приведенном выше выражении:

$${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$что эквивалентно использованию определения тензора Риччи . $${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Далее снова свяжитесь с метрикой, чтобы получить $${\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}$$ $${\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны затем показывают, что можно переписать как $${\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0}$$ $${\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0}$$

Окончательное свертывание с g ^εδ дает что в силу симметрии заключенного в скобки члена и определения тензора Эйнштейна дает, после переименования индексов, $${\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0}$$ $${\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

Используя EFE, это сразу дает, $${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

который выражает локальное сохранение напряжения-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. Своими уравнениями поля Эйнштейн обеспечил, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.

Нелинейность

Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Например, уравнения электромагнетизма Максвелла линейны по электрическим и магнитным полям , а также распределениям заряда и тока (т.е. сумма двух решений также является решением); другим примером является уравнение Шредингера квантовой механики , которое линейно по волновой функции .

Принцип соответствия

EFE сводится к закону тяготения Ньютона , используя как приближение слабого поля , так и приближение медленного движения . Фактически, константа G , появляющаяся в EFE, определяется путем выполнения этих двух приближений.

Вывод закона тяготения Ньютона

Ньютоновскую гравитацию можно записать как теорию скалярного поля Φ , которое является гравитационным потенциалом в джоулях на килограмм гравитационного поля g = −∇Φ , см. закон Гаусса для гравитации , где ρ — плотность массы. Орбита свободно падающей частицы удовлетворяет $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$$ $${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}$$

В тензорной нотации они становятся $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}$$

В общей теории относительности эти уравнения заменяются уравнениями поля Эйнштейна в обратной форме для некоторой константы K и геодезическим уравнением $${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$$

Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, мы предполагаем, что скорость пробной частицы приблизительно равна нулю и, таким образом , что метрика и ее производные приблизительно статичны и что квадраты отклонений от метрики Минковского пренебрежимо малы. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезической дает где два множителя ⁠ $${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$$дт/дτ⁠ были разделены. Это сведется к его ньютоновскому аналогу, при условии, что $${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}$$

Наши предположения заставляют α = i и производные по времени (0) быть равными нулю. Так что это упрощается до , что удовлетворяется, если позволить $${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$$ $${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$$

Обращаясь к уравнениям Эйнштейна, нам нужна только компонента времени-времени, предположения о низкой скорости и статическом поле подразумевают, что $${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}$$

Так и так $${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$$ $${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}$$

Из определения тензора Риччи $${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$$

Наши упрощающие предположения заставляют квадраты Γ исчезать вместе с производными по времени $${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$$

Объединяя приведенные выше уравнения , которые сводятся к уравнению ньютоновского поля, при условии, что это произойдет, если $${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$$ $${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$$

Уравнения вакуумного поля

Швейцарская памятная монета 1979 года, изображающая уравнения вакуумного поля с нулевой космологической постоянной (вверху).

Если тензор энергии-импульса T _μν равен нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называются уравнениями вакуумного поля . При установке T _μν = 0 в уравнениях поля с обращенным следом уравнения вакуумного поля, также известные как «вакуумные уравнения Эйнштейна» (EVE), можно записать как $${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Плоское пространство Минковского — простейший пример вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают решение Шварцшильда и решение Керра .

Многообразия с исчезающим тензором Риччи , R _μν = 0 , называются риччи-плоскими многообразиями , а многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, — многообразиями Эйнштейна .

Уравнения Эйнштейна–Максвелла

Если тензор энергии-импульса T _μν является тензором электромагнитного поля в свободном пространстве , т.е. если используется тензор электромагнитного напряжения-энергии , то уравнения поля Эйнштейна называются уравнениями Эйнштейна–Максвелла (с космологической постоянной Λ , принимаемой равной нулю в традиционной теории относительности): $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$ $${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве: где точка с запятой представляет ковариантную производную , а скобки обозначают антисимметризацию . Первое уравнение утверждает, что 4- дивергенция 2-формы F равна нулю, а второе, что ее внешняя производная равна нулю. Из последнего следует по лемме Пуанкаре , что в координатной карте можно ввести потенциал электромагнитного поля A _α такой, что в которой запятая обозначает частную производную. Это часто принимается как эквивалент ковариантного уравнения Максвелла, из которого оно выведено. ^[20] Однако существуют глобальные решения уравнения, которые могут не иметь глобально определенного потенциала. ^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$$

Решения

Решения уравнений поля Эйнштейна являются метриками пространства -времени . Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерциальное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, их не всегда можно полностью решить (т. е. без приближений). Например, не существует известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (что является теоретической моделью двойной звездной системы, например). Однако в этих случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновскими приближениями . Тем не менее, есть несколько случаев, когда уравнения поля были решены полностью, и они называются точными решениями . ^[9]

Изучение точных решений уравнений поля Эйнштейна является одним из направлений космологии . Оно приводит к предсказанию существования черных дыр и к различным моделям эволюции Вселенной .

Можно также обнаружить новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормальных фреймов, как это было впервые предложено Эллисом и Маккаллумом. ^[22] В этом подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к набору связанных, нелинейных, обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Хсу и Уэйнрайт, ^[23] самоподобные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками результирующей динамической системы . Новые решения были обнаружены с использованием этих методов Лебланом ^[24] и Кохли и Хасламом. ^[25]

Линеаризованный EFE

Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля — сделать приближение, а именно, что вдали от источника(ов) гравитирующей материи гравитационное поле очень слабое, а пространство-время приближается к пространству Минковского . Метрика затем записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от метрики Минковского , игнорируя члены более высокой степени. Эта процедура линеаризации может быть использована для исследования явлений гравитационного излучения .

Полиномиальная форма

Несмотря на то, что EFE в написанном виде содержит обратную величину метрического тензора, их можно организовать в форме, содержащей метрический тензор в полиномиальной форме и без его обратной величины. Во-первых, определитель метрики в 4 измерениях можно записать с помощью символа Леви-Чивиты ; а обратная величина метрики в 4 измерениях может быть записана как: $${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$ $${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

Подстановка этого выражения обратной метрики в уравнения, а затем умножение обеих сторон на подходящую степень det( g ) для исключения ее из знаменателя приводит к полиномиальным уравнениям в метрическом тензоре и его первой и второй производных. Действие Эйнштейна-Гильберта, из которого выводятся уравнения, также может быть записано в полиномиальной форме с помощью подходящих переопределений полей. ^[26]

Смотрите также

• Конформастатическое пространство-время
• Действие Эйнштейна–Гильберта
• Принцип эквивалентности
• Точные решения в общей теории относительности
• Ресурсы общей теории относительности
• История общей теории относительности
• Уравнение Гамильтона–Якоби–Эйнштейна
• Математика общей теории относительности
• Числовая относительность
• исчисление Риччи

Примечания

1. Эйнштейн, Альберт (1916). "Основание общей теории относительности". Annalen der Physik . 354 (7): 769. Bibcode : 1916AnP...354..769E. doi : 10.1002/andp.19163540702. Архивировано из оригинала ( PDF ) 2012-02-06.
2. Эйнштейн, Альберт (25 ноября 1915 г.). «Die Feldgleichungen der Gravitation». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Проверено 21 августа 2017 г.
3. Мизнер, Торн и Уиллер (1973), стр. 916 [гл. 34].
4. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия – Введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3.
5. Грён, Эйвинд; Хервик, Сигбьорн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 180. ISBN 978-0-387-69200-5.
6. При выборе гравитационной постоянной Эйнштейна, как указано здесь, κ = 8 πG / c ⁴ , тензор энергии-импульса в правой части уравнения должен быть записан с каждым компонентом в единицах плотности энергии (т. е. энергии на объем, что эквивалентно давлению). В оригинальной публикации Эйнштейна выбор составляет κ = 8 πG / c ² , в этом случае компоненты тензора энергии-импульса имеют единицы плотности массы.
7. Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4. OCLC  1046135.
8. Вайнберг, Стивен (1993). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы . Vintage Press. С. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
9. Стефани, Ганс; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7.
10. Рендалл, Алан Д. (2005). "Теоремы о существовании и глобальной динамике для уравнений Эйнштейна". Living Rev. Relativ . 8 (1). Номер статьи: 6. arXiv : gr-qc/0505133 . Bibcode : 2005LRR.....8....6R. doi : 10.12942/lrr-2005-6 . PMC 5256071. PMID  28179868 . 
11. Мизнер, Торн и Уилер (1973), стр. 501 и далее.
12. Вайнберг (1972).
13. Пиблз, Филлип Джеймс Эдвин (1980). Крупномасштабная структура Вселенной . Princeton University Press. ISBN 0-691-08239-1.
14. Эфстатиу, Г.; Сазерленд, У. Дж.; Мэддокс, С. Дж. (1990). «Космологическая постоянная и холодная темная материя». Nature . 348 (6303): 705. Bibcode :1990Natur.348..705E. doi :10.1038/348705a0. S2CID  12988317.
15. Коллинз, П. Д. Б.; Мартин, А. Д.; Сквайрс, Э. Дж. (1989). Физика элементарных частиц и космология . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-60088-1.
16. Павлин (1999).
17. Гамов, Джордж (28 апреля 1970 г.). Моя мировая линия: неформальная автобиография. Viking Adult . ISBN 0-670-50376-2. Получено 14.03.2007 .
18. Wahl, Nicolle (2005-11-22). «Была ли „крупнейшая ошибка“ Эйнштейна звездным успехом?». News@UofT . Университет Торонто. Архивировано из оригинала 2007-03-07.
19. Тернер, Майкл С. (май 2001 г.). «Making Sense of the New Cosmology». Int. J. Mod. Phys. A . 17 (S1): 180–196. arXiv : astro-ph/0202008 . Bibcode :2002IJMPA..17S.180T. doi :10.1142/S0217751X02013113. S2CID  16669258.
20. Браун, Харви (2005). Физическая относительность. Oxford University Press. стр. 164. ISBN 978-0-19-927583-0.
21. Траутман, Анджей (1977). «Решения уравнений Максвелла и Янга–Миллса, связанные с расслоениями Хопфа». Международный журнал теоретической физики . 16 (9): 561–565. Bibcode :1977IJTP...16..561T. doi :10.1007/BF01811088. S2CID  123364248..
22. Эллис, GFR; МакКаллум, М. (1969). «Класс однородных космологических моделей». Comm. Math. Phys . 12 (2): 108–141. Bibcode :1969CMaPh..12..108E. doi :10.1007/BF01645908. S2CID  122577276.
23. Hsu, L.; Wainwright, J (1986). «Самоподобные пространственно-однородные космологии: ортогональные решения для идеальной жидкости и вакуума». Класс. Quantum Grav . 3 (6): 1105–1124. Bibcode :1986CQGra...3.1105H. doi :10.1088/0264-9381/3/6/011. S2CID  250907312.
24. LeBlanc, VG (1997). "Асимптотические состояния магнитных космологий Бьянки I". Класс. Quantum Grav . 14 (8): 2281. Bibcode :1997CQGra..14.2281L. doi :10.1088/0264-9381/14/8/025. S2CID  250876974.
25. Кохли, Икджот Сингх; Хаслам, Майкл К. (2013). «Подход динамических систем к вязкой магнитогидродинамической модели типа I Бианки». Phys. Rev. D. 88 ( 6): 063518. arXiv : 1304.8042 . Bibcode : 2013PhRvD..88f3518K. doi : 10.1103/physrevd.88.063518. S2CID  119178273.
26. Катанаев, МО (2006). "Полиномиальная форма действия Гильберта–Эйнштейна". Gen. Rel. Grav . 38 (8): 1233–1240. arXiv : gr-qc/0507026 . Bibcode :2006GReGr..38.1233K. doi :10.1007/s10714-006-0310-5. S2CID  6263993.

Ссылки

См. ресурсы по общей теории относительности .

• Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип С.; Уилер , Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
• Пикок, Джон А. (1999). Космологическая физика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521410724.

Внешние ссылки

• «Уравнения Эйнштейна», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебник по теории относительности Калтеха — простое введение в уравнения поля Эйнштейна.
• Значение уравнения Эйнштейна — Объяснение уравнения поля Эйнштейна, его вывод и некоторые его следствия.
• Видеолекция профессора физики Массачусетского технологического института Эдмунда Бертшингера об уравнениях поля Эйнштейна.
• Арка и леса: как Эйнштейн нашел свои уравнения поля Physics Today Ноябрь 2015, История развития уравнений поля

Внешние изображения

• Уравнение поля Эйнштейна на стене Музея Бурхаве в центре Лейдена
• Сюзанна Имбер , «Влияние общей теории относительности на пустыню Атакама», уравнение поля Эйнштейна на борту поезда в Боливии.