Теория пучка Эйлера – Бернулли

Методика расчета нагрузок в строительстве

Эту вибрирующую стеклянную балку можно смоделировать как консольную балку с ускорением, переменной линейной плотностью, переменным моментом сопротивления сечения, некоторой диссипацией, упругой концевой нагрузкой и, возможно, точечной массой на свободном конце.

Теория балок Эйлера-Бернулли (также известная как инженерная теория балок или классическая теория балок ) ^[1] представляет собой упрощение линейной теории упругости , которое обеспечивает средства расчета несущих и прогибающих характеристик балок . Он охватывает случай, соответствующий небольшим отклонениям балки , подвергающейся только боковым нагрузкам. Таким образом, игнорируя эффекты сдвиговой деформации и вращательной инерции, это частный случай теории пучка Тимошенко – Эренфеста . Впервые он был сформулирован примерно в 1750 году, ^[2] но не применялся в больших масштабах до появления Эйфелевой башни и колеса обозрения в конце 19 века. После этих успешных демонстраций он быстро стал краеугольным камнем инженерной мысли и фактором Второй промышленной революции .

Были разработаны дополнительные математические модели , такие как теория пластин , но простота теории балок делает ее важным инструментом в науке, особенно в структурном и машиностроении .

История

Схема поперечного сечения изогнутой балки с указанием нейтральной оси.

Преобладает мнение, что Галилео Галилей предпринял первые попытки разработать теорию балок, но недавние исследования утверждают, что Леонардо да Винчи был первым, кто сделал важные наблюдения. Да Винчи не хватало закона Гука и исчисления для завершения теории, тогда как Галилея сдерживало неверное предположение, которое он сделал. ^[3]

Пучок Бернулли назван в честь Якоба Бернулли , сделавшего важные открытия. Леонард Эйлер и Даниэль Бернулли были первыми, кто выдвинул полезную теорию примерно в 1750 году. ^[4]

Статическое уравнение балки

Уравнение Эйлера-Бернулли описывает связь между прогибом балки и приложенной нагрузкой: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q\,}$

Кривая описывает отклонение балки по направлению в некоторой позиции (напомним, что балка моделируется как одномерный объект). — распределенная нагрузка, другими словами, сила на единицу длины (аналогично давлению , которое представляет собой силу на площадь); это может быть функция , или других переменных. – модуль упругости , – второй момент площади поперечного сечения балки. должна рассчитываться относительно оси, перпендикулярной приложенной нагрузке. ^{[N 1]} В явном виде для балки, ось которой ориентирована вместе с нагрузкой вдоль , поперечное сечение балки находится в плоскости , а соответствующий второй момент площади равен ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle yz}$

${\displaystyle I=\iint z^{2}\;dy\;dz,}$

где предполагается, что центр тяжести сечения находится при . ${\displaystyle y=z=0}$

Часто произведение (известное как жесткость при изгибе ) является постоянным, так что ${\displaystyle EI}$

${\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x).\,}$

Это уравнение, описывающее прогиб однородной статической балки, широко используется в инженерной практике. Табличные выражения для прогиба для распространенных конфигураций балок можно найти в инженерных справочниках. В более сложных ситуациях прогиб можно определить, решив уравнение Эйлера-Бернулли, используя такие методы, как « прямое интегрирование », « метод Маколея », « метод площади момента » , « метод сопряженной балки », « принцип виртуальной работы », « Метод Кастильяно », « Метод гибкости », « Метод отклонения склона », « Метод распределения момента » или « Метод прямой жесткости ». ${\displaystyle w}$

Здесь определены соглашения о знаках, поскольку в литературе можно найти различные соглашения. ^[5] В этой статье используется правосторонняя система координат с осью вправо, осью, направленной вверх, и осью, направленной внутрь рисунка. Знак изгибающего момента принимается положительным, когда вектор крутящего момента, связанный с изгибающим моментом в правой части сечения, имеет положительное направление, то есть положительное значение создает сжимающее напряжение на нижней поверхности. При таком выборе знака изгибающего момента для того, чтобы иметь , необходимо, чтобы поперечная сила , действующая на правую часть сечения, была положительной по направлению, чтобы достичь статического равновесия моментов. Если интенсивность нагрузки принять положительной в положительном направлении, то это необходимо для равновесия сил. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle dM=Qdx}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dQ=-qdx}$

Последовательные производные отклонения имеют важный физический смысл: – наклон балки, который представляет собой угол поворота против часовой стрелки вокруг оси в пределе малых перемещений; ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle dw/dx}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$

– изгибающий момент в балке; и

${\displaystyle Q=-{\frac {d}{dx}}\left(EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\right)}$

- поперечная сила в балке.

Изгиб балки Эйлера–Бернулли. Каждое поперечное сечение балки находится под углом 90 градусов к нейтральной оси.

Напряжения в балке можно рассчитать по приведенным выше выражениям после определения прогиба, вызванного заданной нагрузкой.

Вывод уравнения изгиба

Из-за фундаментальной важности уравнения изгибающего момента в технике мы приведем краткий вывод. Переходим к полярным координатам. Длина нейтральной оси на рисунке равна Длина волокна с радиальным расстоянием ниже нейтральной оси. Следовательно, деформация этого волокна равна ${\displaystyle \rho d\theta .}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (\rho +z)d\theta .}$

${\displaystyle {\frac {\left(\rho +z-\rho \right)\ d\theta }{\rho \ d\theta }}={\frac {z}{\rho }}.}$

Напряжение этого волокна равно где – модуль упругости в соответствии с законом Гука . Вектор дифференциальной силы, возникающий в результате этого напряжения, определяется выражением: ${\displaystyle E{\dfrac {z}{\rho }}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} ,}$

${\displaystyle d\mathbf {F} =E{\frac {z}{\rho }}dA\mathbf {e_{x}} .}$

Это вектор дифференциальной силы, действующий на правую часть сечения, показанного на рисунке. Мы знаем, что именно по направлению, поскольку на рисунке хорошо видно, что волокна в нижней половине находятся в натяжении. — дифференциальный элемент площади в месте расположения волокна. Вектор дифференциального изгибающего момента, связанный с, определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {e_{x}} }$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle d\mathbf {M} }$ ${\displaystyle d\mathbf {F} }$

${\displaystyle d\mathbf {M} =-z\mathbf {e_{z}} \times d\mathbf {F} =-\mathbf {e_{y}} E{\frac {z^{2}}{\rho }}dA.}$

Это выражение справедливо для волокон в нижней половине пучка. Выражение для волокон в верхней половине балки будет аналогичным, за исключением того, что вектор плеча момента будет в положительном направлении, а вектор силы будет в том же направлении, поскольку верхние волокна сжимаются. Но результирующий вектор изгибающего момента все равно будет по направлению т. к. Поэтому проинтегрируем по всему сечению балки и получим для вектора изгибающего момента, действующего на правое сечение балки, выражение ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -y}$ ${\displaystyle \mathbf {e_{z}} \times -\mathbf {e_{x}} =-\mathbf {e_{y}} .}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\int d\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} {\frac {E}{\rho }}\int {z^{2}}\ dA=-\mathbf {e_{y}} {\frac {EI}{\rho }},}$

где второй момент площади . Из исчисления мы знаем, что когда оно мало, как в случае с балкой Эйлера – Бернулли, мы можем сделать приближение , где – радиус кривизны . Поэтому, ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dfrac {dw}{dx}}}$ ${\displaystyle {\dfrac {1}{\rho }}\simeq {\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

Это векторное уравнение можно разделить в определении единичного вектора изгиба ( ориентируется как ) и в уравнении изгиба: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {e_{y}} }$

${\displaystyle M=-EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

Динамическое уравнение балки

Модель метода конечных элементов вибрации широкополочной балки ( двутавровой балки ).

Уравнение динамического пучка представляет собой уравнение Эйлера – Лагранжа для следующего действия

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{0}^{L}\left[{\frac {1}{2}}\mu \left({\frac {\partial w}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}EI\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)^{2}+q(x)w(x,t)\right]dxdt.}$

Первый член представляет собой кинетическую энергию, где — масса на единицу длины, второй член представляет собой потенциальную энергию, обусловленную внутренними силами (если рассматривать ее с отрицательным знаком), а третий член представляет собой потенциальную энергию, обусловленную внешней нагрузкой . Уравнение Эйлера –Лагранжа используется для определения функции, минимизирующей функционал . Для динамической балки Эйлера – Бернулли уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q(x).}$

Когда пучок однороден и не зависит от , уравнение пучка проще: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle EI{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q\,.}$

Бесплатная вибрация

В отсутствие поперечной нагрузки имеем уравнение свободных колебаний . Это уравнение можно решить, используя разложение Фурье смещения в сумму гармонических колебаний вида ${\displaystyle q}$

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]}$

где частота вибрации. Тогда для каждого значения частоты можно решить обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-\mu \omega ^{2}{\hat {w}}=0\,.}$

Общее решение приведенного выше уравнения есть

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\quad {\text{with}}\quad \beta :=\left({\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}\right)^{1/4}}$

где константы. Эти константы уникальны для данного набора граничных условий. Однако решение для смещения не является единственным и зависит от частоты. Эти решения обычно записываются как ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta _{n}x)+A_{2}\sinh(\beta _{n}x)+A_{3}\cos(\beta _{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {\text{with}}\quad \beta _{n}:=\left({\frac {\mu \omega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4}\,.}$

Эти величины называются собственными частотами луча. Каждое из решений смещения называется модой , а форма кривой смещения называется формой моды . ${\displaystyle \omega _{n}}$

Пример: консольная балка

Формы колебаний первых четырех мод колеблющейся консольной балки.

Граничные условия для консольной балки длиной (фиксированной при ): ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\\&{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=L\,.\end{aligned}}}$

Если мы применим эти условия, окажется, что нетривиальные решения существуют только в том случае, если это нелинейное уравнение можно решить численно. Первые четыре корня — это , , , и . ${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)+1=0\,.}$ ${\displaystyle \beta _{1}L=0.596864\pi }$ ${\displaystyle \beta _{2}L=1.49418\pi }$ ${\displaystyle \beta _{3}L=2.50025\pi }$ ${\displaystyle \beta _{4}L=3.49999\pi }$

Соответствующие собственные частоты вибрации равны

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {3.5160}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

Граничные условия также можно использовать для определения формы мод из решения для смещения:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\left[(\cosh \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {\cos \beta _{n}L+\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L+\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x-\sinh \beta _{n}x)\right]}$

Консольный пучок возбуждается вблизи резонансной частоты моды 2.

Неизвестная константа (на самом деле константа, так как она своя для каждого ), , которая в общем случае является комплексной, определяется начальными условиями при скорости и смещениях луча. Обычно значение используется при построении форм режима. Решения незатухающей принудительной проблемы имеют неограниченные смещения, когда частота возбуждения соответствует собственной частоте , т. е. луч может резонировать . Таким образом, собственные частоты луча соответствуют частотам, на которых может возникнуть резонанс . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle A_{1}=1}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

Пример: свободная-свободная (неопорная) балка.

Первые четыре моды колеблющейся свободно-свободной балки Эйлера-Бернулли.

Свободно-свободная балка – это балка без каких-либо опор. ^[6] Граничные условия для свободно-свободной балки длиной от до определяются формулой: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}$

Если мы применим эти условия, окажется, что нетривиальные решения существуют только в том случае, если

${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)-1=0\,.}$

Это нелинейное уравнение можно решить численно. Первые четыре корня — это , , , и . ${\displaystyle \beta _{1}L=1.50562\pi }$ ${\displaystyle \beta _{2}L=2.49975\pi }$ ${\displaystyle \beta _{3}L=3.50001\pi }$ ${\displaystyle \beta _{4}L=4.50000\pi }$

Соответствующие собственные частоты вибрации:

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {22.3733}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

Граничные условия также можно использовать для определения формы мод из решения для смещения:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {\cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L-\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x+\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}}$

Как и в случае с консольной балкой, неизвестные константы определяются начальными условиями при скорости и перемещениях балки. Кроме того, решения проблемы незатухания силы имеют неограниченные смещения, когда частота возбуждения соответствует собственной частоте . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

Стресс

Помимо отклонения, уравнение балки описывает силы и моменты и, таким образом, может использоваться для описания напряжений . По этой причине уравнение балки Эйлера-Бернулли широко используется в технике , особенно гражданской и механической, для определения прочности (а также прогиба) балок при изгибе.

И изгибающий момент , и поперечная сила вызывают напряжения в балке. Напряжение, вызванное поперечной силой, максимально вдоль нейтральной оси балки (когда ширина балки t постоянна по поперечному сечению балки; в противном случае необходимо оценить интеграл, включающий первый момент и ширину балки). для конкретного поперечного сечения), а максимальное растягивающее напряжение приходится либо на верхнюю, либо на нижнюю поверхность. Таким образом, максимальное главное напряжение в балке может быть не на поверхности и не в центре, а в некоторой общей области. Однако напряжения поперечной силы незначительны по сравнению с напряжениями изгибающего момента во всех балках, кроме самых массивных, а также тот факт, что концентрации напряжений обычно возникают на поверхностях, а это означает, что максимальное напряжение в балке, вероятно, будет на поверхности.

Простой или симметричный изгиб

Элемент изогнутой балки: волокна образуют концентрические дуги, верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.

Для поперечных сечений балки, симметричных относительно плоскости, перпендикулярной нейтральной плоскости, можно показать, что растягивающее напряжение, испытываемое балкой, может быть выражено как:

${\displaystyle \sigma ={\frac {Mz}{I}}=-zE~{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}.\,}$

Здесь – расстояние от нейтральной оси до точки интереса; и является изгибающим моментом. Обратите внимание, что это уравнение подразумевает, что чистый изгиб (положительного знака) вызовет нулевое напряжение на нейтральной оси, положительное (растягивающее) напряжение в «верхней части» балки и отрицательное (сжимающее) напряжение в нижней части балки; а также подразумевает, что максимальное напряжение будет на верхней поверхности, а минимальное — на нижней. Это изгибающее напряжение может накладываться на аксиально приложенные напряжения, что приведет к смещению нейтральной оси (нулевого напряжения). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle M}$

Максимальные напряжения в поперечном сечении

Величины, используемые при определении момента сопротивления балки.

Максимальное растягивающее напряжение в поперечном сечении находится в том месте , а максимальное сжимающее напряжение - в том месте , где высота поперечного сечения равна . Эти напряжения ${\displaystyle z=c_{1}}$ ${\displaystyle z=-c_{2}}$ ${\displaystyle h=c_{1}+c_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {Mc_{1}}{I}}={\cfrac {M}{S_{1}}}~;~~\sigma _{2}=-{\cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{\cfrac {M}{S_{2}}}}$

Величины представляют собой модули сечения ^[5] и определяются как ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle S_{1}={\cfrac {I}{c_{1}}}~;~~S_{2}={\cfrac {I}{c_{2}}}}$

Модуль сечения объединяет всю важную геометрическую информацию о сечении балки в одну величину. Для случая, когда балка двоякосимметрична, и мы имеем один момент сопротивления . ${\displaystyle c_{1}=c_{2}}$ ${\displaystyle S=I/c}$

Деформация в балке Эйлера – Бернулли.

Нам нужно выражение деформации через прогиб нейтральной поверхности, чтобы связать напряжения в балке Эйлера – Бернулли с прогибом. Для получения этого выражения воспользуемся предположением, что нормали к нейтральной поверхности остаются нормальными при деформации и что прогибы малы. Эти предположения подразумевают, что балка изгибается в дугу окружности радиуса (см. рисунок 1) и что нейтральная поверхность не меняет длину в процессе деформации. ^[5] ${\displaystyle \rho }$

Пусть – длина элемента нейтральной поверхности в недеформированном состоянии. При малых прогибах элемент после изгиба не меняет своей длины, а деформируется в дугу окружности радиуса . Если угол, опирающийся на эту дугу, то . ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$

Рассмотрим теперь другой сегмент элемента, находящийся на расстоянии над нейтральной поверхностью. Начальная длина этого элемента равна . Однако после изгиба длина элемента становится . Деформация в этом сегменте балки определяется выражением ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x'=(\rho -z)~\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x-z~\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\cfrac {\mathrm {d} x'-\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {z}{\rho }}=-\kappa ~z}$

где кривизна балки . Это дает нам осевую деформацию балки как функцию расстояния от нейтральной поверхности. Однако нам еще предстоит найти связь между радиусом кривизны и отклонением балки . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle w}$

Связь между кривизной и отклонением балки

Пусть P — точка на нейтральной поверхности луча, удаленная от начала системы координат. Наклон луча примерно равен углу, образуемому нейтральной поверхностью с осью - для малых углов, встречающихся в теории луча. Следовательно, при таком приближении ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \theta (x)={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}}$

Следовательно, для бесконечно малого элемента соотношение можно записать как ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\rho }}={\cfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=\kappa }$

Следовательно, деформацию балки можно выразить как

${\displaystyle \varepsilon _{x}=-z\kappa }$

Отношения напряжение-деформация

Для однородного изотропного линейно-упругого материала напряжение связано с деформацией соотношением , где – модуль Юнга . Следовательно, напряжение в балке Эйлера – Бернулли определяется выражением ${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \sigma _{x}=-zE{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Заметим, что приведенное выше соотношение по сравнению с соотношением между осевым напряжением и изгибающим моментом приводит к

${\displaystyle M=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Поскольку поперечная сила определяется выражением , мы также имеем ${\displaystyle Q=\mathrm {d} M/\mathrm {d} x}$

${\displaystyle Q=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Граничные соображения

Уравнение пучка содержит производную четвертого порядка по . Чтобы найти единственное решение, нам нужны четыре граничных условия. Граничные условия обычно моделируют опоры , но они также могут моделировать точечные нагрузки, распределенные нагрузки и моменты. Граничные условия опоры или смещения используются для фиксации значений смещения ( ) и поворотов ( ) на границе. Такие граничные условия еще называют граничными условиями Дирихле . Граничные условия нагрузки и момента включают высшие производные и представляют поток импульса . Граничные условия потока также называются граничными условиями Неймана . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathrm {d} w/\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle w}$

В качестве примера рассмотрим консольную балку, встроенную на одном конце и свободную на другом, как показано на рисунке рядом. На закладном конце балки не может быть никаких смещений или поворотов балки. Это означает, что на левом конце и отклонение, и наклон равны нулю. Поскольку к свободному концу балки не прикладывается внешний изгибающий момент, изгибающий момент в этом месте равен нулю. Кроме того, если к балке не приложена внешняя сила, поперечная сила на свободном конце также равна нулю.

Приняв координату левого конца за, а правого конца за (длину балки), эти утверждения преобразуются в следующий набор граничных условий (предположим, что это константа): ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle EI}$

Консольная балка.

${\displaystyle w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\partial w}{\partial x}}{\bigg |}_{x=0}=0\qquad {\mbox{(fixed end)}}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad {\frac {\partial ^{3}w}{\partial x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=0\qquad {\mbox{(free end)}}\,}$

Простая опора (штифт или ролик) эквивалентна точечной силе, действующей на балку, которая регулируется таким образом, чтобы фиксировать положение балки в этой точке. Фиксированная опора или зажим эквивалентна комбинации точечной силы и точечного крутящего момента, которая регулируется таким образом, чтобы фиксировать как положение, так и наклон балки в этой точке. Точечные силы и крутящие моменты, исходящие от опор или непосредственно приложенные, разделят балку на набор сегментов, между которыми уравнение балки будет давать непрерывное решение с учетом четырех граничных условий, по два на каждом конце сегмента. Предполагая, что произведение EI является константой, и определяя, где F — величина точечной силы, а где M — величина точечного крутящего момента, граничные условия, подходящие для некоторых распространенных случаев, приведены в таблице ниже. Изменение конкретной производной w через границу при увеличении x обозначается знаком, за которым следует эта производная. Например, где – значение на нижней границе верхнего сегмента, а – значение на верхней границе нижнего сегмента. Когда значения конкретной производной не только непрерывны на границе, но и фиксированы, граничное условие записывается, например, которое фактически представляет собой два отдельных уравнения (например, = фиксировано). ${\displaystyle \lambda =F/EI}$ ${\displaystyle \tau =M/EI}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta w''=w''(x+)-w''(x-)}$ ${\displaystyle w''(x+)}$ ${\displaystyle w''}$ ${\displaystyle w''(x-)}$ ${\displaystyle w''}$ ${\displaystyle \Delta w''=0^{*}}$ ${\displaystyle w''(x-)=w''(x+)}$

Заметим, что в первых случаях, когда точечные силы и моменты расположены между двумя сегментами, имеется четыре граничных условия: два для нижнего сегмента и два для верхнего. Когда к одному концу балки прикладывают силы и крутящие моменты, к этому концу применяются два граничных условия. Знак точечных сил и моментов на конце будет положительным для нижнего конца и отрицательным для верхнего конца.

Рекомендации по загрузке

Приложенные нагрузки могут быть представлены либо через граничные условия, либо через функцию , представляющую внешнюю распределенную нагрузку. Использование распределенной загрузки часто благоприятствует простоте. Однако граничные условия часто используются для моделирования нагрузок в зависимости от контекста; эта практика особенно распространена при анализе вибрации. ${\displaystyle q(x,t)}$

По своей природе распределенная нагрузка очень часто представляется кусочно, поскольку на практике нагрузка обычно не является непрерывной функцией. Точечные нагрузки можно моделировать с помощью дельта-функции Дирака . Например, рассмотрим статическую консольную балку однородной длины с направленной вверх точечной нагрузкой, приложенной к свободному концу. Используя граничные условия, это можно смоделировать двумя способами. В первом подходе приложенная точечная нагрузка аппроксимируется поперечной силой, приложенной к свободному концу. В этом случае основное уравнение и граничные условия: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad -EI{\frac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=F\,\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы мы можем представить точечную нагрузку как распределение, используя функцию Дирака. В этом случае уравнение и граничные условия имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=F\delta (x-L)\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\,\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что граничное условие поперечной силы (третья производная) удалено, иначе возникло бы противоречие. Это эквивалентные краевые задачи , и обе дают решение

${\displaystyle w={\frac {F}{6EI}}(3Lx^{2}-x^{3})\,~.}$

Приложение нескольких точечных нагрузок в разных местах приведет к кусочной функции. Использование функции Дирака значительно упрощает такие ситуации; в противном случае балку пришлось бы разделить на секции, каждая с четырьмя граничными условиями, решаемыми отдельно. Хорошо организованное семейство функций, называемое функциями сингулярности , часто используется как сокращение для функции Дирака, ее производной и ее первообразных . ${\displaystyle w(x)}$

Динамические явления также можно моделировать с помощью уравнения статики балки, выбрав подходящие формы распределения нагрузки. Например, свободную вибрацию балки можно учесть с помощью функции нагрузки:

${\displaystyle q(x,t)=\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,}$

где - линейная плотность массы пучка, не обязательно постоянная. При такой зависящей от времени нагрузке уравнение балки будет уравнением в частных производных : ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}.}$

Другой интересный пример описывает отклонение луча, вращающегося с постоянной угловой частотой : ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle q(x)=\mu \omega ^{2}w(x)\,}$

Это центростремительное распределение сил . Обратите внимание, что в этом случае – функция смещения (зависимая переменная), а уравнение балки будет автономным обыкновенным дифференциальным уравнением . ${\displaystyle q}$

Примеры

Трехточечный изгиб

Испытание на трехточечный изгиб — классический эксперимент в механике. Он представляет собой случай, когда балка опирается на две роликовые опоры и подвергается сосредоточенной нагрузке, приложенной в середине балки. Сдвиг постоянен по абсолютной величине: он составляет половину центральной нагрузки, Р/2. Он меняет знак в середине балки. Изгибающий момент изменяется линейно от одного конца, где он равен 0, и от центра, где его абсолютное значение равно PL/4, где риск разрыва наиболее важен. Деформация балки описывается полиномом третьей степени по половине балки (вторая половина симметрична). Изгибающие моменты ( ), поперечные силы ( ) и прогибы ( ) для балки, подвергающейся центральной точечной нагрузке и асимметричной точечной нагрузке, приведены в таблице ниже. ^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w}$

Консольные балки

Другой важный класс проблем касается консольных балок. Изгибающие моменты ( ), поперечные силы ( ) и прогибы ( ) для консольной балки, подвергающейся точечной нагрузке на свободном конце и равномерно распределенной нагрузке, приведены в таблице ниже. ^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w}$

Решения для некоторых других часто встречающихся конфигураций легко доступны в учебниках по механике материалов и инженерных справочниках.

Статически неопределимые балки

Изгибающие моменты и поперечные силы в балках Эйлера – Бернулли часто можно определить непосредственно с помощью статического баланса сил и моментов . Однако при определенных граничных условиях количество реакций может превышать количество независимых уравнений равновесия. ^[5] Такие балки называются статически неопределимыми .

Встроенные балки, показанные на рисунке ниже, являются статически неопределимыми. Для определения напряжений и прогибов таких балок наиболее прямым методом является решение уравнения балки Эйлера – Бернулли с соответствующими граничными условиями. Но прямое аналитическое решение уравнения пучка возможно лишь для простейших случаев. Поэтому для решения статически неопределимых задач балки часто используются дополнительные методы, такие как линейная суперпозиция.

Метод суперпозиции предполагает сложение решений ряда статически определенных задач, которые выбираются так, чтобы граничные условия суммы отдельных задач складывались с граничными условиями исходной задачи.

Другая часто встречающаяся проблема статически неопределенной балки — это консольная балка , свободный конец которой опирается на ролик. ^[5] Ниже перечислены изгибающие моменты, поперечные силы и прогибы такой балки:

Расширения

Кинематические предположения, на которых основана теория балок Эйлера – Бернулли, позволяют распространить ее на более продвинутый анализ. Простая суперпозиция позволяет обеспечить трехмерную поперечную нагрузку. Использование альтернативных определяющих уравнений может учесть вязкоупругую или пластическую деформацию балки. Теорию балок Эйлера-Бернулли также можно распространить на анализ изогнутых балок, потери устойчивости балок , составных балок и геометрически нелинейного отклонения балки.

Теория балки Эйлера – Бернулли не учитывает эффекты деформации поперечного сдвига . В результате он занижает отклонения и завышает собственные частоты. Для тонких балок (отношение длины балки к толщине порядка 20 и более) эти эффекты имеют второстепенное значение. Однако для толстых балок эти эффекты могут быть значительными. Для объяснения этих эффектов были разработаны более продвинутые теории пучков, такие как теория пучков Тимошенко (разработанная ученым российского происхождения Стивеном Тимошенко ).

Большие отклонения

Пучок Эйлера – Бернулли

Исходная теория Эйлера-Бернулли справедлива только для бесконечно малых деформаций и малых вращений. Теорию можно напрямую распространить на задачи, связанные с умеренно большими вращениями, при условии, что деформация остается небольшой с использованием деформаций фон Кармана . ^[7]

Гипотеза Эйлера-Бернулли о том, что плоские сечения остаются плоскими и нормальными к оси балки, приводит к смещениям вида

${\displaystyle u_{1}=u_{0}(x)-z{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}~;~~u_{2}=0~;~~u_{3}=w_{0}(x)}$

Используя определение лагранжевой деформации Грина из теории конечных деформаций , мы можем найти деформации фон Кармана для балки, которые действительны для больших вращений, но малых деформаций, отбросив все члены более высокого порядка (которые содержат более двух полей), кроме полученные штаммы принимают вид: ${\displaystyle {\frac {\partial {w}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {w}}{\partial {x^{j}}}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]\approx {\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{22}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{33}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{23}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{31}&=-{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)\right]\approx 0\\[0.25em]\varepsilon _{12}&=0.\end{aligned}}}$

Из принципа виртуальной работы баланс сил и моментов в балках дает нам уравнения равновесия

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}}{\mathrm {d} x}}+f(x)&=0\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}M_{xx}}{\mathrm {d} x^{2}}}+q(x)+{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(N_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)&=0\end{aligned}}}$

где – осевая нагрузка, – поперечная нагрузка, а ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle N_{xx}=\int _{A}\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~M_{xx}=\int _{A}z\sigma _{xx}~\mathrm {d} A}$

Чтобы замкнуть систему уравнений, нам нужны определяющие уравнения , связывающие напряжения с деформациями (и, следовательно, напряжения со смещениями). Для больших вращений и малых деформаций эти соотношения имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}&=A_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-B_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\M_{xx}&=B_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-D_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle A_{xx}=\int _{A}E~\mathrm {d} A~;~~B_{xx}=\int _{A}zE~\mathrm {d} A~;~~D_{xx}=\int _{A}z^{2}E~\mathrm {d} A~.}$

Величиной является жесткость при растяжении , жесткость при растяжении и изгибе и жесткость при изгибе . ${\displaystyle A_{xx}}$ ${\displaystyle B_{xx}}$ ${\displaystyle D_{xx}}$

Для ситуации, когда балка имеет однородное поперечное сечение и не имеет осевой нагрузки, основное уравнение для балки Эйлера – Бернулли с большим вращением имеет вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-{\frac {3}{2}}~EA~\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q(x)}$

Смотрите также

• Прикладная механика
• Гибка
• Изгибающий момент
• коробление
• изгибная жесткость
• Обобщенная теория пучков
• Теория пластин
• Теория сэндвича
• Диаграмма сдвига и момента
• Функция сингулярности
• Штамм (материаловедение)
• Теория пучка Тимошенко
• Теорема трех моментов (теорема Клапейрона)
• Испытание на трехточечный изгиб

Рекомендации

Примечания

1. Для балки Эйлера-Бернулли, не находящейся под какой-либо осевой нагрузкой, эта ось называется нейтральной осью .

Цитаты

1. Тимошенко, С. (1953). История сопротивления материалов . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
2. Трусделл, К. (1960). Рациональная механика гибких или упругих тел 1638–1788 гг . Venditioni Exponunt Орелла Фюссли Туричи.
3. Балларини, Роберто (18 апреля 2003 г.). «Теория балки да Винчи-Эйлера-Бернулли?». Интернет-журнал «Машиностроение» . Архивировано из оригинала 23 июня 2006 года . Проверено 22 июля 2006 г.
4. Хан, Сон М.; Бенароя, Хайм; Вэй, Тимоти (22 марта 1999 г.). «Динамика поперечно-вибрирующих балок с использованием четырех инженерных теорий» (PDF) . Журнал звука и вибрации . Академическая пресса. 225 (5): 935. Бибкод : 1999JSV...225..935H. дои : 10.1006/jsvi.1999.2257. Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 года . Проверено 15 апреля 2007 г.
5. Гир, Дж. М.; Тимошенко, СП (1997). Механика материалов . ПВС.
6. Кареста, Мауро. «Колебания свободно-свободного луча» (PDF) . Проверено 20 марта 2019 г.
7. Редди, JN (2007). Нелинейный анализ методом конечных элементов . Издательство Оксфордского университета.

дальнейшее чтение

• Э. А. Витмер (1991–1992). «Элементарная теория балок Бернулли-Эйлера». Конспекты курса унифицированного инженерного дела Массачусетского технологического института . стр. 5–114–5–164.

Внешние ссылки

• Напряжения и прогиб балки, таблицы прогиба балки