Силлогизм ( греч . συλλογισμός , syllogismos , «заключение, вывод») — это разновидность логического аргумента , который применяет дедуктивное рассуждение для получения заключения на основе двух утверждений , которые утверждаются или предполагаются истинными.
В своей самой ранней форме (определенной Аристотелем в его книге « Предыдущая аналитика» за 350 г. до н. э. ) дедуктивный силлогизм возникает, когда две истинные посылки (предложения или утверждения) обоснованно подразумевают заключение или основную мысль, которую аргумент стремится донести. [1] Например, зная, что все люди смертны (большая посылка) и что Сократ — человек (меньшая посылка), мы можем обоснованно заключить, что Сократ смертен. Силлогистические аргументы обычно представляются в трехстрочной форме:
Все люди смертны.
Сократ — человек.
Следовательно, Сократ смертен. [2]
В античности существовали две конкурирующие силлогистические теории: аристотелевский силлогизм и стоический силлогизм . [3] Начиная со Средних веков категорический силлогизм и силлогизм обычно использовались как взаимозаменяемые. В этой статье рассматривается только это историческое использование. Силлогизм лежал в основе исторического дедуктивного рассуждения, в котором факты определяются путем объединения существующих утверждений, в отличие от индуктивного рассуждения , в котором факты предсказываются путем повторных наблюдений.
В некоторых академических контекстах силлогизм был заменен логикой предикатов первого порядка после работы Готтлоба Фреге , в частности его Begriffsschrift ( Concept Script ; 1879). Силлогизм, будучи методом обоснованного логического рассуждения, всегда будет полезен в большинстве случаев и для введения широкой аудитории в логику и ясное мышление. [4] [5]
В древности существовали две конкурирующие силлогистические теории: аристотелевский силлогизм и стоический силлогизм. [3]
Аристотель определяет силлогизм как «рассуждение, в котором, поскольку предполагаются определенные (конкретные) вещи, с необходимостью следует нечто отличное от предполагаемых вещей, потому что эти вещи таковы». [6] Несмотря на это очень общее определение, в «Первой аналитике» Аристотель ограничивает себя категорическими силлогизмами, которые состоят из трех категорических суждений , включая категорические модальные силлогизмы. [7]
Использование силлогизмов в качестве инструмента для понимания можно отнести к логическим рассуждениям Аристотеля . До середины XII века средневековые логики были знакомы только с частью работ Аристотеля, включая такие названия, как «Категории» и «Об истолковании» , работы, которые внесли большой вклад в преобладающую Старую логику, или logica vetus . Начало Новой логики, или logica nova , возникло вместе с повторным появлением «Предыдущей аналитики» , работы, в которой Аристотель развил свою теорию силлогизма.
«Предыдущая аналитика» после повторного открытия была немедленно расценена логиками как «закрытый и полный корпус доктрины», оставляя очень мало для обсуждения и реорганизации мыслителями того времени. Теория Аристотеля о силлогизме для ассерторических предложений считалась особенно замечательной, с небольшими систематическими изменениями, произошедшими с концепцией с течением времени. Эта теория силлогизма не вошла в контекст более всеобъемлющей логики следствия, пока логика не начала перерабатываться в целом в середине 14-го века такими людьми, как Иоанн Буридан .
Однако «Предыдущая аналитика» Аристотеля не включала в себя столь всеобъемлющую теорию модального силлогизма — силлогизма, имеющего по крайней мере одну модализированную посылку, то есть посылку, содержащую модальные слова «обязательно» , «возможно » или «контингентно» . Терминология Аристотеля в этом аспекте его теории считалась неопределенной и во многих случаях неясной, даже противоречащей некоторым его утверждениям из « Об истолковании» . Его первоначальные утверждения об этом конкретном компоненте теории были оставлены для значительного количества обсуждений, что привело к широкому спектру решений, предложенных комментаторами того времени. Система модальных силлогизмов, изложенная Аристотелем, в конечном итоге была признана непригодной для практического использования и была заменена новыми различиями и новыми теориями в целом.
Боэций (ок. 475–526) внес вклад в попытку сделать древнюю аристотелевскую логику более доступной. Хотя его латинский перевод « Первой аналитики» в основном не использовался до XII века, его учебники по категорическому силлогизму сыграли центральную роль в расширении силлогистического обсуждения. Логическое наследие Боэция заключается не в каких-либо дополнениях, которые он лично внес в эту область, а в его эффективной передаче предшествующих теорий более поздним логикам, а также в его ясном и в первую очередь точном изложении вклада Аристотеля.
Другой из первых исследователей средневековой логики с латинского Запада, Пьер Абеляр (1079–1142), дал собственную тщательную оценку концепции силлогизма и сопутствующей теории в Dialectica — обсуждении логики, основанном на комментариях и монографиях Боэция. Его взгляд на силлогизмы можно найти и в других работах, таких как Logica Ingredientibus . С помощью различия Абеляра между модальными предложениями de dicto и модальными предложениями de re средневековые логики начали формировать более последовательную концепцию модели модального силлогизма Аристотеля.
Французский философ Жан Буридан (ок. 1300 – 1361), которого некоторые считают выдающимся логиком позднего Средневековья, внес вклад в два значительных труда: «Трактат о следствии» и «Summulae de Dialectica» , в которых он обсуждал концепцию силлогизма, его компоненты и различия, а также способы использования инструмента для расширения его логических возможностей. В течение 200 лет после дискуссий Буридана о силлогистической логике говорилось мало. Историки логики оценили, что основными изменениями в эпоху после Средневековья были изменения в отношении осведомленности общественности об первоисточниках, уменьшение признания сложности и изощренности логики и рост логического невежества, так что логики начала 20-го века стали считать всю систему нелепой. [8]
Аристотелевский силлогизм доминировал в западной философской мысли на протяжении многих столетий. Сам силлогизм заключается в получении обоснованных выводов из предположений ( аксиом ), а не в проверке предположений. Однако со временем люди сосредоточились на логическом аспекте, забыв о важности проверки предположений.
В XVII веке Фрэнсис Бэкон подчеркивал, что экспериментальная проверка аксиом должна проводиться строго и не может рассматривать сам силлогизм как лучший способ делать выводы о природе. [9] Бэкон предложил более индуктивный подход к наблюдению за природой, который включает экспериментирование и приводит к открытию и построению аксиом для создания более общего вывода. [9] Тем не менее, полный метод вывода выводов о природе не входит в сферу логики или силлогизма, а индуктивный метод был рассмотрен в последующем трактате Аристотеля « Вторая аналитика» .
В 19 веке были включены модификации силлогизма для работы с дизъюнктивными («A или B») и условными («если A, то B») утверждениями. Иммануил Кант , как известно, утверждал в «Логике» (1800), что логика была единственной завершенной наукой, и что аристотелевская логика более или менее включала в себя все, что нужно было знать о логике. (Эта работа не обязательно представляет зрелую философию Канта, которая часто рассматривается как нововведение в саму логику.) Мнение Канта оставалось неоспоримым на Западе до 1879 года, когда Готтлоб Фреге опубликовал свой Begriffsschrift ( Concept Script ). Это ввело исчисление, метод представления категорических утверждений (и утверждений, которые также не предусмотрены в силлогизме) с помощью квантификаторов и переменных.
Примечательным исключением является логика, разработанная в работе Бернарда Больцано Wissenschaftslehre ( Теория науки , 1837), принципы которой были применены в качестве прямой критики Канта в посмертно опубликованной работе New Anti-Kant (1850). Работа Больцано в значительной степени игнорировалась до конца 20-го века, среди прочих причин, из-за интеллектуальной среды того времени в Богемии , которая тогда была частью Австрийской империи . За последние 20 лет работа Больцано вновь всплыла и стала предметом как переводов, так и современных исследований.
Это привело к быстрому развитию сентенциальной логики и логики предикатов первого порядка , включивших в себя силлогистическое рассуждение, которое, таким образом, спустя 2000 лет многие внезапно сочли устаревшим. [ оригинальное исследование? ] Аристотелевская система излагается на современных академических форумах в основном во вводном материале и историческом исследовании.
Одним из заметных исключений из этого современного понижения является продолжающееся применение аристотелевской логики должностными лицами Конгрегации вероучения и Апостольского трибунала Римской Роты , которые по-прежнему требуют, чтобы любые аргументы, выдвигаемые адвокатами, были представлены в силлогистической форме.
Непоколебимое принятие Джорджем Булем логики Аристотеля подчеркивается историком логики Джоном Коркораном в доступном введении к «Законам мысли» . [10] [11] Коркоран также написал пошаговое сравнение « Предшествующей аналитики» и «Законов мысли» . [12] По словам Коркорана, Буль полностью принимал и одобрял логику Аристотеля. Целями Буля были «идти ниже, выше и дальше» логики Аристотеля путем: [12]
Точнее, Буль согласился с тем, что сказал Аристотель ; «разногласия» Буля, если их можно так назвать, касаются того, чего Аристотель не сказал. Во-первых, в области оснований Буль свел четыре пропозициональные формы Аристотеля к одной форме, форме уравнений, что само по себе было революционной идеей. Во-вторых, в области проблем логики, добавление Булем решения уравнений к логике — еще одна революционная идея — включало в себя доктрину Буля о том, что правила вывода Аристотеля («совершенные силлогизмы») должны быть дополнены правилами решения уравнений. В-третьих, в области приложений система Буля могла обрабатывать многочленные предложения и аргументы, тогда как Аристотель мог обрабатывать только двухчленные предложения и аргументы субъект-предикат. Например, система Аристотеля не могла вывести: «Никакой четырехугольник, являющийся квадратом, не является прямоугольником, являющимся ромбом» из «Никакой квадрат, являющийся четырехугольником, не является ромбом, являющимся прямоугольником» или из «Никакой ромб, являющийся прямоугольником, не является квадратом, являющимся четырехугольником».
Категорический силлогизм состоит из трех частей:
Каждая часть является категорическим суждением , и каждое категорическое суждение содержит два категорических термина. [13] У Аристотеля каждая из посылок имеет форму «Все S суть P», «Некоторые S суть P», «Ни один S не суть P» или «Некоторые S не суть P», где «S» — это субъект-термин, а «P» — это предикат-термин:
Более современные логики допускают некоторые вариации. Каждая из посылок имеет один общий термин с заключением: в большей посылке это больший термин (т. е. предикат заключения); в меньшей посылке это меньший термин (т. е. субъект заключения). Например:
Каждый из трех отдельных терминов представляет категорию. Из приведенного выше примера, люди , смертные и греки : смертный — это главный термин, а греки — второстепенный. Посылки также имеют один общий термин, который известен как средний термин ; в этом примере, люди . Обе посылки универсальны, как и заключение.
Здесь больший термин — die , меньший термин — men , а средний термин — mortals . Опять же, обе посылки универсальны, следовательно, и заключение тоже.
Полисиллогизм, или сорит , — это форма аргументации, в которой ряд неполных силлогизмов организован таким образом, что предикат каждой посылки образует подлежащее следующей, пока подлежащее первой не соединится с предикатом последней в заключении. Например, можно утверждать, что все львы — большие кошки, все большие кошки — хищники, а все хищники — плотоядные. Заключить, что, следовательно, все львы — плотоядные, значит построить аргумент сорита.
Существует бесконечно много возможных силлогизмов, но только 256 логически различных типов и только 24 допустимых типа (перечислены ниже). Силлогизм имеет форму (примечание: M – средний, S – подлежащее, P – сказуемое.):
Посылки и заключение силлогизма могут быть любого из четырех типов, которые обозначены буквами [14] следующим образом. Значение букв дано в таблице:
В «Previous Analytics » Аристотель в основном использует буквы A, B и C (греческие буквы альфа , бета и гамма ) в качестве заполнителей терминов, а не приводит конкретные примеры. Традиционно в качестве связки используется is, а не are , поэтому All A is B, а не All As are Bs . Традиционно и удобно использовать a, e, i, o в качестве инфиксных операторов, чтобы категориальные утверждения можно было записать кратко. В следующей таблице показаны более длинная форма, краткое сокращение и эквивалентные выражения в логике предикатов:
Здесь принято, что буква S является субъектом заключения, P — предикатом заключения, а M — средним термином. Большая посылка связывает M с P, а меньшая посылка связывает M с S. Однако средний термин может быть как субъектом, так и предикатом каждой посылки, где он появляется. Различное положение больших, малых и средних терминов приводит к другой классификации силлогизмов, известной как фигура . Учитывая, что в каждом случае заключение — SP, четыре фигуры таковы:
(Однако следует отметить, что, следуя трактовке фигур Аристотелем, некоторые логики, например, Пьер Абеляр и Жан Буридан, отвергают четвертую фигуру как фигуру, отличную от первой.)
Если собрать все вместе, то получится 256 возможных типов силлогизмов (или 512, если изменить порядок больших и малых посылок, хотя это не имеет логического значения). Каждая посылка и заключение могут быть типа A, E, I или O, а силлогизм может быть любой из четырех фигур. Силлогизм можно кратко описать, указав буквы для посылок и заключения, за которыми следует номер фигуры. Например, силлогизм BARBARA ниже — это AAA-1, или «AAA в первой фигуре».
Подавляющее большинство из 256 возможных форм силлогизма недействительны (вывод не следует логически из посылок). В таблице ниже показаны действительные формы. Даже некоторые из них иногда считаются совершающими экзистенциальную ошибку , то есть они недействительны, если упоминают пустую категорию. Эти спорные модели выделены курсивом . Все, кроме четырех моделей, выделенных курсивом (felapton, darapti, fesapo и bamalip), являются ослабленными наклонениями, т. е. из посылок можно сделать более сильный вывод.
Буквы A, E, I и O использовались еще со времен средневековых школ для образования мнемонических названий следующих форм: «Barbara» означает AAA, «Celarent» — EAE и т. д.
Рядом с каждой предпосылкой и заключением находится краткое описание предложения. Так, в AAI-3 посылка «Все квадраты являются прямоугольниками» становится «MaP»; символы означают, что первый термин («квадрат») является средним термином, второй термин («прямоугольник») является предикатом заключения, а связь между двумя терминами обозначена как «a» (Все M являются P).
В следующей таблице показаны все силлогизмы, которые по сути различны. Схожие силлогизмы имеют одни и те же посылки, просто записанные по-разному. Например, «Некоторые домашние животные — котята» (SiM в Darii) можно также записать как «Некоторые котята — домашние животные» (MiS в Datisi).
В диаграммах Венна черные области указывают на отсутствие элементов, а красные области указывают на наличие хотя бы одного элемента. В выражениях логики предикатов горизонтальная черта над выражением означает отрицание («логическое не») результата этого выражения.
Также возможно использовать графы (состоящие из вершин и ребер) для оценки силлогизмов. [15]
Похожие: Чезаре (EAE-2)
Похожие: Датиси (AII-3)
Похожие: Фестино (EIO-2), Ферисон (EIO-3), Фрезисон (EIO-4)
Аналогично: Чезаро (EAO-2)
Похожие: Калемос (AEO-4)
Аналогично: Fesapo (EAO-4)
В этой таблице показаны все 24 действительных силлогизма, представленных диаграммами Венна . Столбцы указывают на сходство и сгруппированы по комбинациям посылок. Границы соответствуют выводам. Те, которые содержат экзистенциальное предположение, заштрихованы.
У Аристотеля мы можем различать единичные термины , такие как Сократ , и общие термины, такие как греки . Аристотель далее различал типы (a) и (b):
Такая предикация известна как дистрибутивная , в отличие от недистрибутивной, как в Греки многочисленны . Очевидно, что силлогизм Аристотеля работает только для дистрибутивной предикации, поскольку мы не можем рассуждать Все греки — животные, животные многочисленны, поэтому все греки многочисленны . По мнению Аристотеля, единичные термины были типа (a), а общие термины типа (b). Таким образом, Men может быть предицировано Сократу , но Сократ не может быть предицировано чему-либо. Следовательно, для того, чтобы термин был взаимозаменяемым — чтобы находиться либо в позиции субъекта, либо в позиции сказуемого предложения в силлогизме — термины должны быть общими терминами, или категорическими терминами , как их стали называть. Следовательно, предложения силлогизма должны быть категорическими предложениями (оба термина общие), а силлогизмы, которые используют только категорические термины, стали называться категорическими силлогизмами .
Ясно, что ничто не помешает единичному термину появиться в силлогизме — при условии, что он всегда находится в позиции субъекта — однако такой силлогизм, даже если он действителен, не является категорическим силлогизмом. Примером может служить Сократ — человек, все люди смертны, следовательно, Сократ смертен. Интуитивно это так же действительно, как и Все греки — люди, все люди смертны, следовательно, все греки смертны . Чтобы утверждать, что его действительность может быть объяснена теорией силлогизма, потребовалось бы показать, что Сократ — человек — эквивалент категорического суждения. Можно утверждать, что Сократ — человек — эквивалентно Все, что тождественно Сократу, — люди , поэтому наш некатегорический силлогизм можно обосновать, используя эквивалентность выше, а затем сославшись на BARBARA.
Если утверждение включает в себя термин, такой что утверждение ложно, если термин не имеет примеров, то говорят, что утверждение имеет экзистенциальный смысл по отношению к этому термину. Неясно, следует ли считать универсальное утверждение формы All A is B истинным, ложным или даже бессмысленным, если нет A. Если оно считается ложным в таких случаях, то утверждение All A is B имеет экзистенциальный смысл по отношению к A.
Утверждается, что логическая система Аристотеля не охватывает случаи, когда нет примеров. Целью Аристотеля было разработать логику для науки. Он относит вымыслы, такие как русалки и единороги, к сферам поэзии и литературы. В его сознании они существуют вне сферы науки, поэтому он не оставляет места для таких несуществующих сущностей в своей логике. Это продуманный выбор, а не непреднамеренное упущение. Технически, аристотелевская наука — это поиск определений, где определение — это «фраза, обозначающая сущность вещи». Поскольку несуществующие сущности не могут быть ничем, они, по мнению Аристотеля, не обладают сущностью. Вот почему он не оставляет места для вымышленных сущностей, таких как козлы-олени (или единороги). [16]
Однако многие логические системы, разработанные с тех пор, рассматривают случай, когда примеров может не быть. Средневековые логики знали о проблеме экзистенциального значения и утверждали, что отрицательные предложения не несут экзистенциального значения, а положительные предложения с субъектами, которые не предполагают, являются ложными.
Возникают следующие проблемы:
Например, если принимается, что AiB ложно, если нет As, и AaB влечет AiB, то AiB имеет экзистенциальный смысл по отношению к A, и то же самое делает AaB. Кроме того, если принимается, что AiB влечет BiA, то AiB и AaB имеют экзистенциальный смысл также по отношению к B. Аналогично, если AoB ложно, если нет As, и AeB влечет AoB, и AeB влечет BeA (что, в свою очередь, влечет BoA), то и AeB, и AoB имеют экзистенциальный смысл по отношению как к A, так и к B. Из этого немедленно следует, что все универсальные категориальные утверждения имеют экзистенциальный смысл по отношению к обоим терминам. Если AaB и AeB являются справедливым представлением использования утверждений в нормальном естественном языке All A is B и No A is B соответственно, то возникают следующие примеры последствий:
Если постановить, что ни одно универсальное утверждение не имеет экзистенциального значения, то квадрат оппозиции неверен в нескольких отношениях (например, AaB не влечет AiB), и ряд силлогизмов больше недействительны (например, BaC, AaB->AiC).
Эти проблемы и парадоксы возникают как в высказываниях на естественном языке, так и в высказываниях в форме силлогизма из-за двусмысленности, в частности двусмысленности относительно All. Если «Фред утверждает, что все его книги были лауреатами Пулитцеровской премии», утверждает ли Фред, что он написал какие-либо книги? Если нет, то верно ли то, что он утверждает? Предположим, Джейн говорит, что никто из ее друзей не беден; верно ли это, если у нее нет друзей?
Исчисление предикатов первого порядка избегает такой двусмысленности, используя формулы, которые не несут экзистенциального значения в отношении универсальных утверждений. Экзистенциальные утверждения должны быть явно указаны. Таким образом, утверждения естественного языка — форм All A is B, No A is B , Some A is B , and Some A is not B — могут быть представлены в исчислении предикатов первого порядка, в котором любой экзистенциальный смысл в отношении терминов A и/или B либо явный, либо не указан вообще. Следовательно, четыре формы AaB, AeB, AiB и AoB могут быть представлены в предикате первого порядка в любой комбинации экзистенциального смысла — так что он может установить, какое толкование, если таковое имеется, сохраняет квадрат оппозиции и действительность традиционно действительного силлогизма. Стросон утверждает, что такое толкование возможно, но результаты таковы, что, по его мнению, ответ на вопрос (e) выше — нет .
Люди часто совершают ошибки, рассуждая силлогически. [17]
Например, из посылок некоторые A являются B, некоторые B являются C, люди склонны приходить к определенному выводу, что, следовательно, некоторые A являются C. [18] [19] Однако это не следует согласно правилам классической логики. Например, в то время как некоторые кошки (A) являются черными вещами (B), а некоторые черные вещи (B) являются телевизорами (C), из параметров не следует, что некоторые кошки (A) являются телевизорами (C). Это происходит потому, что в структуре вызванного силлогизма (т.е. III-1) средний термин не распределен ни в большей посылке, ни в меньшей посылке, шаблон, называемый « ошибкой нераспределенного среднего ». Из-за этого может быть трудно следовать формальной логике, и требуется более внимательный взгляд, чтобы убедиться, что аргумент на самом деле действителен. [20]
Определение действительности силлогизма включает в себя определение распределения каждого термина в каждом утверждении, то есть того, учтены ли все члены этого термина.
В простых силлогистических моделях ошибки недействительных моделей таковы:
