Энтропия — одна из немногих величин в физических науках , требующих определенного направления для времени , иногда называемого стрелой времени . По мере продвижения «вперед» во времени, второй закон термодинамики гласит, что энтропия изолированной системы может увеличиваться, но не уменьшаться . Таким образом, измерение энтропии — это способ отличить прошлое от будущего . В термодинамических системах , которые не изолированы, локальная энтропия может уменьшаться со временем, что сопровождается компенсирующим увеличением энтропии в окружающей среде ; примерами служат объекты, подвергающиеся охлаждению , живые системы и образование типичных кристаллов .
Подобно температуре , несмотря на то, что это абстрактное понятие, у каждого есть интуитивное чувство эффектов энтропии. Например, часто очень легко заметить разницу между видео, воспроизводимым вперед или назад. Видео может изображать лесной пожар, который плавит близлежащий ледяной блок; воспроизводимое в обратном направлении, оно покажет лужу воды, превращающую облако дыма в несгоревшую древесину и замерзающую в процессе. Удивительно, но в любом случае подавляющее большинство законов физики не нарушаются этими процессами, и вторым законом термодинамики является одно из немногих исключений. Когда закон физики применяется одинаково при обратном времени, говорят, что он демонстрирует Т-симметрию ; в этом случае энтропия — это то, что позволяет решить, воспроизводится ли описанное выше видео вперед или назад, поскольку интуитивно мы определяем, что только при воспроизведении вперед энтропия сцены увеличивается. Из-за второго закона термодинамики энтропия предотвращает макроскопические процессы, демонстрирующие Т-симметрию.
При изучении в микроскопическом масштабе вышеуказанные суждения не могут быть сделаны. Наблюдая за одной частицей дыма, ударяемой воздухом , было бы неясно, воспроизводится ли видео вперед или назад, и, по сути, это было бы невозможно, поскольку законы, которые применяются, показывают Т-симметрию. Когда она дрейфует влево или вправо, качественно она не выглядит по-другому; только когда газ изучается в макроскопическом масштабе , эффекты энтропии становятся заметными (см. парадокс Лошмидта ). В среднем можно было бы ожидать, что частицы дыма вокруг зажженной спички будут дрейфовать друг от друга, рассеиваясь по всему доступному пространству. Было бы астрономически невероятным событием, чтобы все частицы объединились, однако движение любой отдельной частицы дыма невозможно предсказать.
Напротив, некоторые субатомные взаимодействия, включающие слабую ядерную силу, нарушают сохранение четности , но только очень редко. [1] Согласно теореме CPT , это означает, что они также должны быть необратимы во времени , и, таким образом, устанавливать стрелу времени. Это, однако, не связано ни с термодинамической стрелой времени, ни с повседневным опытом необратимости времени. [2]
Второй закон термодинамики позволяет энтропии оставаться неизменной независимо от направления времени. Если энтропия постоянна в любом направлении времени, то не будет предпочтительного направления. Однако энтропия может быть постоянной, только если система находится в максимально возможном состоянии беспорядка, например, газ, который всегда был и всегда будет равномерно распределен в своем контейнере. Существование термодинамической стрелы времени подразумевает, что система высоко упорядочена только в одном направлении времени, которое по определению будет «прошлым». Таким образом, этот закон касается граничных условий, а не уравнений движения .
Второй закон термодинамики имеет статистическую природу, и поэтому его надежность возникает из огромного числа частиц, присутствующих в макроскопических системах. В принципе не невозможно, чтобы все 6 × 1023 атомов в моле газа спонтанно переместились в одну половину контейнера; это лишь фантастически маловероятно — настолько маловероятно, что макроскопическое нарушение Второго закона никогда не наблюдалось.
Термодинамическая стрела часто связана с космологической стрелой времени, потому что она в конечном итоге касается граничных условий ранней Вселенной. Согласно теории Большого взрыва , Вселенная изначально была очень горячей с равномерно распределенной энергией. Для системы, в которой гравитация важна, такой как Вселенная, это состояние с низкой энтропией (по сравнению с состоянием с высокой энтропией, когда вся материя коллапсирует в черные дыры , состоянием, к которому система может в конечном итоге эволюционировать). По мере роста Вселенной ее температура падает, что оставляет меньше энергии [на единицу объема пространства], доступной для выполнения работы в будущем, чем было доступно в прошлом. Кроме того, возмущения в плотности энергии растут (в конечном итоге образуя галактики и звезды ). Таким образом, сама Вселенная имеет четко определенную термодинамическую стрелу времени. Но это не решает вопрос о том, почему начальное состояние Вселенной было состоянием с низкой энтропией. Если бы космическое расширение остановилось и обратилось вспять из-за гравитации, температура Вселенной снова стала бы выше, но ее энтропия также продолжала бы увеличиваться из-за постоянного роста возмущений и возможного образования черных дыр [3] до последних стадий Большого сжатия , когда энтропия была бы ниже, чем сейчас. [ необходима ссылка ]
Рассмотрим ситуацию, в которой большой контейнер заполнен двумя разделенными жидкостями, например, красителем с одной стороны и водой с другой. При отсутствии барьера между двумя жидкостями случайное столкновение их молекул приведет к тому, что они станут более смешанными с течением времени. Однако, если краситель и вода смешаны, то не следует ожидать, что они снова разделятся, когда их предоставят самим себе. Фильм смешивания будет казаться реалистичным при воспроизведении вперед, но нереалистичным при воспроизведении назад.
Если большой контейнер наблюдается на ранней стадии процесса смешивания, он может оказаться лишь частично смешанным. Было бы разумно заключить, что без внешнего вмешательства жидкость достигла этого состояния, поскольку она была более упорядоченной в прошлом, когда было большее разделение, и будет более неупорядоченной или смешанной в будущем.
Теперь представьте, что эксперимент повторяется, на этот раз всего с несколькими молекулами, возможно, десятью, в очень маленьком контейнере. Легко представить, что, наблюдая за случайным сталкиванием молекул, может случиться — чисто случайно — что молекулы аккуратно разделятся, причем все молекулы красителя окажутся на одной стороне, а все молекулы воды — на другой. То, что это может происходить время от времени, можно заключить из теоремы о флуктуации ; таким образом, разделение молекул не невозможно. Однако для большого количества молекул это настолько маловероятно, что пришлось бы ждать, в среднем, во много раз дольше, чем текущий возраст Вселенной, чтобы это произошло. Таким образом, фильм, показывающий большое количество молекул, разделяющихся, как описано выше, будет казаться нереалистичным, и можно будет сказать, что фильм проигрывается в обратном порядке. Смотрите второй закон Больцмана как закон беспорядка .
Математика , лежащая в основе стрелы времени , энтропии и второго закона термодинамики, вытекает из следующей установки, подробно описанной Карно (1824), Клапейроном (1832) и Клаузиусом (1854):
Здесь, как показывает общий опыт, когда горячее тело T 1 , такое как печь, приводится в физический контакт, например, соединяется через тело жидкости ( рабочее тело ), с холодным телом T 2 , таким как поток холодной воды, энергия будет неизменно перетекать от горячего к холодному в форме тепла Q , и со временем система достигнет равновесия . Энтропия, определяемая как Q/T, была задумана Рудольфом Клаузиусом как функция для измерения молекулярной необратимости этого процесса, т. е. диссипативной работы, которую атомы и молекулы совершают друг над другом во время преобразования.
На этой диаграмме можно рассчитать изменение энтропии Δ S для прохождения количества теплоты Q от температуры T 1 через «рабочее тело» жидкости (см. тепловая машина ), которое обычно представляло собой тело пара, до температуры T 2 . Более того, можно предположить, ради аргумента, что рабочее тело содержит только две молекулы воды.
Далее, если мы сделаем присвоение, как это первоначально сделал Клаузиус:
Тогда изменение энтропии или «значение эквивалентности» для этого преобразования равно:
что равно:
и, вынося Q за скобки, мы получаем следующую форму, выведенную Клаузиусом:
Так, например, если Q было 50 единиц, T 1 изначально было 100 градусов, а T 2 было 1 градус, то изменение энтропии для этого процесса будет 49,5. Следовательно, энтропия увеличилась для этого процесса, процесс занял определенное количество «времени», и можно соотнести увеличение энтропии с течением времени. Для этой конфигурации системы, следовательно, это «абсолютное правило». Это правило основано на том факте, что все естественные процессы необратимы в силу того, что молекулы системы, например, две молекулы в баке, не только выполняют внешнюю работу (например, толкают поршень), но и выполняют внутреннюю работу друг над другом, пропорционально теплу, использованному для выполнения работы (см.: Механический эквивалент тепла ) во время процесса. Энтропия учитывает тот факт, что существует внутреннее межмолекулярное трение.
Важное различие между прошлым и будущим заключается в том, что в любой системе (например, в газе частиц) ее начальные условия обычно таковы, что ее различные части некоррелированы, но по мере того, как система развивается и ее различные части взаимодействуют друг с другом, они становятся коррелированными. [4] Например, всякий раз, когда имеешь дело с газом частиц, всегда предполагается, что его начальные условия таковы, что нет никакой корреляции между состояниями различных частиц (т. е. скорости и местоположения различных частиц полностью случайны, вплоть до необходимости соответствовать макросостоянию системы ). Это тесно связано со вторым законом термодинамики: например, в конечной системе, взаимодействующей с конечными резервуарами тепла, энтропия эквивалентна корреляциям система-резервуар, и, таким образом, обе увеличиваются вместе. [5]
Возьмем для примера (эксперимент A) закрытый ящик, который в начале наполовину заполнен идеальным газом. С течением времени газ, очевидно, расширяется, заполняя весь ящик, так что конечным состоянием является ящик, полный газа. Это необратимый процесс, так как если ящик полон в начале (эксперимент B), он не станет только наполовину полным позже, за исключением очень маловероятной ситуации, когда частицы газа имеют очень особые местоположения и скорости. Но это именно потому, что мы всегда предполагаем, что начальные условия в эксперименте B таковы, что частицы имеют случайные местоположения и скорости. Это неверно для конечных условий системы в эксперименте A, потому что частицы взаимодействовали между собой, так что их местоположения и скорости стали зависеть друг от друга, т. е. коррелированы. Это можно понять, если мы посмотрим на эксперимент A назад во времени, который мы назовем экспериментом C: теперь мы начинаем с ящика, полного газа, но частицы не имеют случайных местоположений и скоростей; скорее, их местоположения и скорости настолько специфичны, что через некоторое время они все перемещаются в одну половину ящика, что является конечным состоянием системы (это начальное состояние эксперимента A, потому что теперь мы смотрим на тот же эксперимент в обратном порядке!). Взаимодействия между частицами теперь не создают корреляций между частицами, но фактически превращают их в (по крайней мере, на первый взгляд) случайные, «отменяя» уже существующие корреляции. [ необходима цитата ] Единственное различие между экспериментом C (который бросает вызов Второму закону термодинамики) и экспериментом B (который подчиняется Второму закону термодинамики) заключается в том, что в первом случае частицы не коррелируют в конце, тогда как во втором случае частицы не коррелируют в начале. [ необходима цитата ]
Фактически, если все микроскопические физические процессы обратимы (см. обсуждение ниже), то Второй закон термодинамики может быть доказан для любой изолированной системы частиц с начальными условиями, в которых состояния частиц не коррелированы. Чтобы сделать это, нужно признать разницу между измеренной энтропией системы, которая зависит только от ее макросостояния (ее объема, температуры и т. д.), и ее информационной энтропией , [6] , которая представляет собой количество информации (количество компьютерных битов), необходимое для описания точного микросостояния системы. Измеренная энтропия не зависит от корреляций между частицами в системе, потому что они не влияют на ее макросостояние, но информационная энтропия зависит от них, потому что корреляции снижают случайность системы и, таким образом, снижают количество информации, необходимое для ее описания. [7] Следовательно, при отсутствии таких корреляций две энтропии идентичны, но в противном случае информационная энтропия меньше измеренной энтропии, и разницу можно использовать как меру количества корреляций.
Теперь, по теореме Лиувилля , обращение во времени всех микроскопических процессов подразумевает, что количество информации, необходимое для описания точного микросостояния изолированной системы (ее информационно-теоретическая совместная энтропия ), постоянно во времени. Эта совместная энтропия равна предельной энтропии (энтропии, предполагающей отсутствие корреляций) плюс энтропия корреляции (взаимная энтропия или ее отрицательная взаимная информация ). Если мы изначально предполагаем отсутствие корреляций между частицами, то эта совместная энтропия — это просто предельная энтропия, которая является просто начальной термодинамической энтропией системы, деленной на постоянную Больцмана . [ требуется цитата ] Однако, если это действительно начальные условия (а это решающее предположение), то такие корреляции формируются со временем. Другими словами, существует убывающая взаимная энтропия (или увеличивающаяся взаимная информация), и в течение времени, которое не слишком велико, корреляции (взаимная информация) между частицами только увеличиваются со временем. Следовательно, термодинамическая энтропия, которая пропорциональна предельной энтропии, также должна увеличиваться со временем [8] (обратите внимание, что «не слишком долго» в этом контексте относится ко времени, необходимому в классической версии системы для того, чтобы она прошла через все свои возможные микросостояния — время, которое можно грубо оценить как , где — время между столкновениями частиц, а S — энтропия системы. В любом практическом случае это время огромно по сравнению со всем остальным). Обратите внимание, что корреляция между частицами не является полностью объективной величиной. Нельзя измерить взаимную энтропию, можно измерить только ее изменение, предполагая, что можно измерить микросостояние. [ необходима цитата ] Термодинамика ограничена случаем, когда микросостояния невозможно различить, что означает, что можно измерить только предельную энтропию, пропорциональную термодинамической энтропии, и, в практическом смысле, она всегда увеличивается.
Явления, которые происходят по-разному в зависимости от их направления во времени, в конечном итоге могут быть связаны со вторым законом термодинамики [ требуется ссылка ] , например, кубики льда тают в горячем кофе, а не собираются из кофе, а брусок, скользящий по шероховатой поверхности, замедляется, а не ускоряется. Идея о том, что мы можем помнить прошлое, а не будущее, называется «психологической стрелой времени» и имеет глубокие связи с демоном Максвелла и физикой информации; память связана со вторым законом термодинамики, если рассматривать ее как корреляцию между клетками мозга (или компьютерными битами) и внешним миром: Поскольку такие корреляции увеличиваются со временем, память связана с прошлыми событиями, а не с будущими событиями [ требуется ссылка ] .
Текущие исследования сосредоточены в основном на математическом описании термодинамической стрелы времени, как в классических, так и в квантовых системах, а также на понимании ее происхождения с точки зрения космологических граничных условий .
Некоторые текущие исследования в области динамических систем указывают на возможное «объяснение» стрелы времени. [ необходима цитата ] Существует несколько способов описания временной эволюции динамической системы. В классической структуре рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение , где параметром явно является время. По самой природе дифференциальных уравнений решения таких систем по своей сути обратимы во времени. Однако многие из интересных случаев являются либо эргодическими , либо смешивающими , и есть серьезные подозрения, что смешивание и эргодичность каким-то образом лежат в основе фундаментального механизма стрелы времени. Хотя сильное подозрение может быть всего лишь мимолетным чувством интуиции, нельзя отрицать, что при наличии нескольких параметров в игру вступает поле уравнений с частными производными . В таких системах действует формула Фейнмана–Каца , которая обеспечивает для конкретных случаев однозначное соответствие между конкретным линейным стохастическим дифференциальным уравнением и уравнением с частными производными. Поэтому любая система уравнений в частных производных равносильна случайной системе одного параметра, которая необратима из-за вышеупомянутого соответствия. [9]
Смешивающие и эргодические системы не имеют точных решений, и, таким образом, доказать необратимость времени в математическом смысле (по состоянию на 2006 год [update]) невозможно. [ требуется ссылка ] Концепция «точных» решений является антропной . Означает ли «точный» то же самое, что и замкнутая форма в терминах уже известных выражений, или это просто одна конечная последовательность штрихов пишущего инструмента/человеческого пальца? Человечеству известно множество систем, которые являются абстрактными и имеют рекурсивные определения, но в настоящее время не существует несамореферентной нотации. В результате этой сложности естественно искать в другом месте другие примеры и перспективы. Некоторого прогресса можно добиться, изучая дискретные модели или разностные уравнения . Многие модели с дискретным временем, такие как итеративные функции , рассматриваемые в популярных программах для рисования фракталов, явно не являются обратимыми во времени, поскольку любая заданная точка «в настоящем» может иметь несколько различных «прошлых», связанных с ней: действительно, множество всех прошлых известно как множество Жюлиа . Поскольку такие системы имеют встроенную необратимость, нецелесообразно использовать их для объяснения того, почему время необратимо.
Существуют и другие системы, которые являются хаотическими и также явно обратимыми во времени: среди них — карта пекаря , которая также точно решаема. Интересным направлением исследования является изучение решений таких систем не путем итерации динамической системы во времени, а вместо этого путем изучения соответствующего оператора Фробениуса-Перрона или оператора переноса для системы. Для некоторых из этих систем можно явно математически показать, что операторы переноса не являются следовыми . Это означает, что эти операторы не имеют уникального спектра собственных значений , который не зависит от выбора базиса. В случае карты пекаря можно показать, что существует несколько уникальных и неэквивалентных диагонализаций или баз, каждая с различным набором собственных значений. Именно это явление можно предложить в качестве «объяснения» для стрелы времени. То есть, хотя итерированная система с дискретным временем явно симметрична во времени, оператор переноса таковым не является. Более того, оператор переноса может быть диагонализирован одним из двух неэквивалентных способов: один из которых описывает эволюцию системы в прямом направлении времени, а другой — эволюцию в обратном направлении времени.
По состоянию на 2006 год этот тип нарушения симметрии времени был продемонстрирован только для очень небольшого числа точно решаемых систем с дискретным временем. Оператор переноса для более сложных систем не был последовательно сформулирован, и его точное определение увязло в различных тонких трудностях. В частности, не было показано, что он имеет нарушенную симметрию для простейших точно решаемых эргодических систем с непрерывным временем, таких как бильярд Адамара или поток Аносова на касательном пространстве PSL(2,R) .
Исследование необратимости в квантовой механике идет по нескольким направлениям. Одним из направлений является изучение оснастки гильбертовых пространств и, в частности, того, как дискретные и непрерывные спектры собственных значений смешиваются [ требуется ссылка ] . Например, рациональные числа полностью смешиваются с действительными числами и при этом обладают уникальным, отличным набором свойств. Есть надежда, что изучение гильбертовых пространств с подобным смешением позволит понять стрелу времени.
Другой отличный подход заключается в изучении квантового хаоса , с помощью которого предпринимаются попытки квантовать системы как классически хаотические, эргодические или смешивающиеся. [ требуется ссылка ] Полученные результаты не отличаются от результатов, полученных с помощью метода оператора переноса. Например, квантование газа Больцмана , то есть газа твердых (упругих) точечных частиц в прямоугольном ящике, показывает, что собственные функции являются заполняющими пространство фракталами, которые занимают весь ящик, и что собственные значения энергии расположены очень близко и имеют «почти непрерывный» спектр (для конечного числа частиц в ящике спектр должен быть, по необходимости, дискретным). Если начальные условия таковы, что все частицы ограничены одной стороной ящика, система очень быстро эволюционирует в систему, в которой частицы заполняют весь ящик. Даже когда все частицы изначально находятся на одной стороне ящика, их волновые функции фактически пронизывают весь ящик: они конструктивно интерферируют с одной стороны и деструктивно интерферируют с другой. Необратимость затем аргументируется посредством замечания, что «почти невозможно» для волновых функций быть «случайно» расположенными в каком-то маловероятном состоянии: такие расположения представляют собой множество нулевой меры . Поскольку собственные функции являются фракталами, большая часть языка и механизмов энтропии и статистической механики может быть импортирована для обсуждения и аргументации квантового случая. [ необходима цитата ]
Некоторые процессы, в которых участвуют частицы высокой энергии и которые управляются слабым взаимодействием (например, распад K-мезона ), нарушают симметрию между направлениями времени. Однако все известные физические процессы сохраняют более сложную симметрию ( симметрию CPT ) и, следовательно, не связаны со вторым законом термодинамики или с повседневным опытом стрелы времени. Заметным исключением является коллапс волновой функции в квантовой механике , необратимый процесс, который считается либо реальным (согласно Копенгагенской интерпретации ), либо только кажущимся (согласно многомировой интерпретации квантовой механики). В любом случае коллапс волновой функции всегда следует за квантовой декогеренцией , процессом, который понимается как результат второго закона термодинамики.
Вселенная находилась в однородном состоянии высокой плотности на самых ранних стадиях, вскоре после Большого взрыва. Горячий газ в ранней Вселенной был близок к термодинамическому равновесию (см. Проблема горизонта ); в системах, где гравитация играет главную роль, это состояние низкой энтропии из-за отрицательной теплоемкости таких систем (это противоположно негравитационным системам, где термодинамическое равновесие является состоянием максимальной энтропии). Более того, из-за его малого объема по сравнению с будущими эпохами, энтропия была еще ниже, поскольку расширение газа увеличивает его энтропию. Таким образом, раннюю Вселенную можно считать высокоупорядоченной. Обратите внимание, что однородность этого раннего почти равновесного состояния была объяснена теорией космической инфляции .
Согласно этой теории, вселенная (или, скорее, ее доступная часть, радиус 46 миллиардов световых лет вокруг Земли) развилась из крошечного, полностью однородного объема (части гораздо большей вселенной), который значительно расширился; следовательно, он был высоко упорядочен. Затем квантовые процессы, связанные с его расширением, создали флуктуации, таким образом, что эти флуктуации прошли через квантовую декогеренцию, так что они стали некоррелированными для любого практического использования. Предполагается, что это дает желаемые начальные условия, необходимые для Второго закона термодинамики; различные декогерентные состояния в конечном итоге эволюционировали в различные конкретные расположения галактик и звезд.
Вселенная, по-видимому, является открытой вселенной , так что ее расширение никогда не прекратится, но это интересный мысленный эксперимент , чтобы представить, что произошло бы, если бы вселенная была закрытой . В таком случае ее расширение остановилось бы в определенное время в далеком будущем, а затем начало бы сжиматься. Более того, закрытая вселенная конечна. Неясно, что произойдет со вторым законом термодинамики в таком случае. Можно представить по крайней мере два различных сценария, хотя на самом деле только первый из них правдоподобен, поскольку другой требует очень плавной космической эволюции, вопреки тому, что наблюдается:
В первом и более общепринятом сценарии именно разница между начальным и конечным состоянием Вселенной ответственна за термодинамическую стрелу времени. Она независима от космологической стрелы времени.
... показано, что для того, чтобы произошла глобальная эволюция энтропии до ее максимального значения ... необходимо
и достаточно,
чтобы система обладала свойством, известным как точность. ... эти критерии предполагают, что все сформулированные в настоящее время физические законы могут не лежать в основе термодинамического поведения, которое мы наблюдаем каждый день нашей жизни. (стр. xi)
