Факторное пространство (топология)

Построение топологического пространства

Иллюстрация построения топологической сферы как факторпространства диска путем склеивания в одну точку точек (синего цвета) границы диска.

В топологии и смежных областях математики фактор -пространство топологического пространства при заданном отношении эквивалентности — это новое топологическое пространство, построенное путем наделения фактор-множества исходного топологического пространства фактор -топологией , то есть наилучшей топологией , которая делает непрерывным каноническое проекционное отображение (функцию, которая отображает точки на их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество фактор-пространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при каноническом проекционном отображении открыт в исходном топологическом пространстве.

Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются» для формирования нового топологического пространства. Например, идентификация точек сферы, принадлежащих одному диаметру, создает проективную плоскость как фактор-пространство.

Определение

Пусть будет топологическим пространством , и пусть будет отношением эквивалентности на Фактор -множество — это множество классов эквивалентности элементов Класс эквивалентности обозначается ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x].}$

Конструкция определяет каноническую сюръекцию. Как обсуждается ниже, представляет собой факторное отображение, обычно называемое каноническим факторным отображением или каноническим проекционным отображением, связанным с ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle q:X\ni x\mapsto [x]\in Y.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X/{\sim }.}$

Фактор -пространство по - это множество, снабженное топологией фактора , чьи открытые множества - это те подмножества , прообраз которых открыт . Другими словами, открыто в топологии фактора на тогда и только тогда, когда открыто в Аналогично, подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто в ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle U\subseteq Y}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$ ${\displaystyle X.}$

Топология фактора — это конечная топология на фактор-множестве относительно отображения ${\displaystyle x\mapsto [x].}$

Карта коэффициентов

Карта является фактор-картой (иногда называемой идентификационной картой ^[1] ), если она сюръективна и снабжена конечной топологией, индуцированной Последнее условие допускает две более элементарные формулировки: подмножество открыто (закрыто) тогда и только тогда, когда открыто (соответственно, замкнуто). Каждая фактор-карта непрерывна, но не каждая непрерывная карта является фактор-картой. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$

Насыщенные наборы

Подмножество называется насыщенным (относительно ), если оно имеет вид для некоторого множества , которое истинно тогда и только тогда, когда Присваивание устанавливает взаимно однозначное соответствие ( обратное которому равно ) между подмножествами и насыщенными подмножествами С этой терминологией сюръекция является факторным отображением тогда и только тогда, когда для каждого насыщенного подмножества открыто в тогда и только тогда, когда открыто в В частности, открытые подмножества , которые не насыщены, не влияют на то, является ли функция факторным отображением (или, действительно, непрерывной: функция непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого насыщенного такого, что открыто в , множество открыто в ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$ ${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle S\mapsto f(S)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y=f(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\textstyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\textstyle f(X)}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X}$

Действительно, если является топологией на и является любым отображением, то множество всех , которые являются насыщенными подмножествами, образует топологию на Если является также топологическим пространством, то является фактор-отображением (соответственно, непрерывным ) тогда и только тогда, когда то же самое верно для ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$ ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Факторное пространство характеристик волокон

Если задано отношение эквивалентности на , обозначим класс эквивалентности точки через , а обозначим множество классов эквивалентности. Отображение , которое переводит точки в их классы эквивалентности (то есть оно определяется как для каждого ), называется каноническим отображением . Оно является сюръективным отображением и для всех тогда и только тогда, когда , следовательно, для всех В частности, это показывает, что множество класса эквивалентности является в точности множеством слоев канонического отображения Если является топологическим пространством , то задание топологии факторизации, индуцированной с помощью , превратит его в факторпространство и превратит в факторкарту. С точностью до гомеоморфизма эта конструкция является репрезентативной для всех факторпространств; точное значение этого сейчас объясняется. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$ ${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle q(a)=q(b);}$ ${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$

Пусть будет сюръекцией между топологическими пространствами (еще не предполагается, что она непрерывна или является фактор-отображением) и объявим для всех , что тогда и только тогда, когда Тогда есть отношение эквивалентности на такое, что для каждого из которого следует, что (определено как ) является одноэлементным множеством ; обозначим уникальный элемент в через (так что по определению, ). Назначение определяет биекцию между слоями и точками в Определим отображение , как указано выше (через ), и зададим фактор-топологию, индуцированную с помощью (что делает фактор-отображение). Эти отображения связаны соотношением: Из этого и из того факта, что является фактор-отображением, следует, что является непрерывным тогда и только тогда, когда это верно для Кроме того, является фактор-отображением тогда и только тогда, когда является гомеоморфизмом (или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда и его обратное являются непрерывными). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b).}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$ ${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Связанные определения

Анаследственно факторное отображение — это сюръективное отображениесо свойством, что для каждого подмножестваограничениетакже является факторным отображением. Существуют факторные отображения, которые не являются наследственно факторными. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$

Примеры

• Склеивание . Топологи говорят о склеивании точек вместе. Если — топологическое пространство, склеивание точек и в означает рассмотрение факторпространства, полученного из отношения эквивалентности , тогда и только тогда, когда или (или ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=x,b=y}$ ${\displaystyle a=y,b=x}$
• Рассмотрим единичный квадрат и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, тем самым отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности . Тогда гомеоморфно сфере ${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle I^{2}/\sim }$ ${\displaystyle S^{2}.}$

Например, гомеоморфен окружности ${\displaystyle [0,1]/\{0,1\}}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

• Пространство сопряжения . В более общем смысле, предположим,чтоесть пространство иесть подпространство Можно идентифицировать все точки водном классе эквивалентности и оставить точки внеэквивалентными только себе. Результирующее фактор-пространство обозначаетсяТогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому диску , граница которого идентифицирована в одной точке: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X/A.}$ ${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• Рассмотрим множество действительных чисел с обычной топологией и запишем тогда и только тогда, когда является целым числом . Тогда факторпространство гомеоморфно единичной окружности посредством гомеоморфизма, который переводит класс эквивалентности в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• Обобщение предыдущего примера следующее: Предположим, что топологическая группа непрерывно действует на пространстве Можно образовать отношение эквивалентности на , сказав, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одной и той же орбите . Фактор-пространство по этому отношению называется пространством орбит , обозначаемым В предыдущем примере действует на с помощью переноса. Пространство орбит гомеоморфно ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/G.}$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}.}$
  • Примечание : Обозначение несколько двусмысленно. Если понимается как группа, действующая на посредством сложения, то частное — это окружность. Однако, если рассматривается как топологическое подпространство (которое идентифицируется как одна точка), то частное (которое идентифицируется с множеством ) — это счетный бесконечный букет окружностей, соединенных в одной точке ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Следующий пример показывает, что в общем случае неверно , что если является факторным отображением , то каждая сходящаяся последовательность (соответственно, каждая сходящаяся сеть ) в имеет подъем (на ) до сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в Пусть и Пусть и пусть будет факторным отображением , так что и для каждого Отображение, определенное с помощью , хорошо определено (потому что ) и гомеоморфизмом . Пусть и пусть будут любыми последовательностями (или, в более общем смысле, любыми сетями) со значениями в , такими что в Тогда последовательность сходится к в , но не существует никакого сходящегося подъема этой последовательности с помощью факторного отображения (то есть не существует последовательности в , которая и сходится к некоторому и удовлетворяет для каждого ). Этот контрпример можно обобщить на сети , позволив быть любым направленным множеством , и превратив в сеть, объявив, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда и (1) и (2) если тогда -индексированная сеть, определенная путем допуска равного и равного , не имеет подъема (на ) до сходящейся -индексированной сети в ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=[0,1]}$ ${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$ ${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x],}$ ${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$ ${\displaystyle q(x)=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in (0,1).}$ ${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$ ${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$ $${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$ ${\displaystyle [0]=[1]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$ ${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$ ${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y_{(a,m)}}$ ${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$ ${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$

Характеристики

Факторные отображения характеризуются среди сюръективных отображений следующим свойством: если — любое топологическое пространство и — любая функция, то является непрерывным тогда и только тогда, когда является непрерывным. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:Y\to Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ q}$

Характерное свойство топологии фактора

Фактор-пространство вместе с фактор-отображением характеризуется следующим универсальным свойством : если — непрерывное отображение, такое что для всех влечет , то существует единственное непрерывное отображение, такое что Другими словами, следующая диаграмма коммутативна: ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle g:X\to Z}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$ ${\displaystyle g=f\circ q.}$

Говорят, что спускается к фактору для выражения этого, то есть, что он факторизуется через факторное пространство. Непрерывные отображения, определенные на , являются, таким образом, именно теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на , которые соблюдают отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий широко используется при изучении факторных пространств. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$

При наличии непрерывной сюръекции полезно иметь критерии, с помощью которых можно определить, является ли отображением факторизации. Два достаточных критерия — быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что эти условия являются только достаточными , а не необходимыми . Легко построить примеры отображений факторизации, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп отображение факторизации открыто. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Совместимость с другими топологическими понятиями

Разделение

• В общем случае факторпространства ведут себя плохо по отношению к аксиомам разделения. Свойства разделения не обязательно должны наследоваться и могут иметь свойства разделения, не разделяемые ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle X/{\sim }}$является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности замкнут в ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X.}$
• Если фактор-отображение открыто , то является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ является замкнутым подмножеством пространства произведения ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X\times X.}$

Связанность

• Если пространство связно или путе-связно , то таковыми являются и все его фактор-пространства.
• Факторпространство односвязного или стягиваемого пространства не обязано обладать этими свойствами.

Компактность

• Если пространство компактно, то и все его факторпространства компактны.
• Факторпространство локально компактного пространства не обязано быть локально компактным.

Измерение

• Топологическая размерность факторпространства может быть больше (а также меньше) размерности исходного пространства; такими примерами являются заполняющие пространство кривые .

Смотрите также

Топология

• Покрывающее пространство  – Тип непрерывного отображения в топологии
• Непересекающееся объединение (топология)  – пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Окончательная топология  – наилучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Конус отображения (топология)  – топологическое построениеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство произведений  – Топология декартовых произведений топологических пространствPages displaying short descriptions of redirect targets
• Подпространство (топология)  – Унаследованная топологияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическое пространство  – Математическое пространство с понятием близости.

Алгебра

• Категория коэффициента
• Факторная группа  – группа, полученная путем объединения схожих элементов большей группы.
• Факторное пространство (линейная алгебра)  – векторное пространство, состоящее из аффинных подмножеств
• Конус отображения (гомологическая алгебра)  – Инструмент в гомологической алгебре

Примечания

1. Браун 2006, стр. 103.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для студентов по математике. Перевод Бербериана, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6.