В калибровочной теории и математической физике топологическая квантовая теория поля (или топологическая теория поля или TQFT ) — это квантовая теория поля , которая вычисляет топологические инварианты .
Хотя TQFT были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, будучи связанными, среди прочего, с теорией узлов и теорией четырехмерных многообразий в алгебраической топологии , а также с теорией модульных пространств в алгебраической геометрии . Дональдсон , Джонс , Виттен и Концевич получили медали Филдса за математические работы, связанные с топологической теорией поля.
В физике конденсированного состояния топологические квантовые теории поля представляют собой низкоэнергетические эффективные теории топологически упорядоченных состояний, таких как дробные квантовые состояния Холла, струнно-сетчатые конденсированные состояния и другие сильно коррелированные квантовые жидкие состояния.
В топологической теории поля корреляционные функции не зависят от метрики пространства -времени . Это означает, что теория нечувствительна к изменениям формы пространства-времени; если пространство-время деформируется или сжимается, корреляционные функции не меняются. Следовательно, они являются топологическими инвариантами.
Топологические теории поля не очень интересны для плоского пространства-времени Минковского , используемого в физике элементарных частиц. Пространство Минковского можно сжать в точку , поэтому TQFT, примененная к пространству Минковского, приводит к тривиальным топологическим инвариантам. Следовательно, TQFT обычно применяются к искривленным пространствам-временам, таким как, например, римановы поверхности . Большинство известных топологических теорий поля определены для пространств-времен размерности меньше пяти. Кажется, что существует несколько теорий более высокой размерности, но они не очень хорошо изучены [ требуется цитата ] .
Квантовая гравитация считается фоново-независимой (в некотором подходящем смысле), и TQFT дают примеры фоново-независимых квантовых теорий поля. Это побудило к продолжающимся теоретическим исследованиям этого класса моделей.
(Предостережение: часто говорят, что TQFT имеют только конечное число степеней свободы. Это не фундаментальное свойство. Так происходит в большинстве примеров, которые изучают физики и математики, но это не обязательно. Топологическая сигма-модель нацелена на бесконечномерное проективное пространство, и если бы такую вещь можно было определить, она имела бы счетное бесконечное число степеней свободы.)
Известные топологические теории поля делятся на два общих класса: TQFT типа Шварца и TQFT типа Виттена. TQFT Виттена иногда также называют когомологическими теориями поля. См. (Schwarz 2000).
В TQFT типа Шварца корреляционные функции или функции распределения системы вычисляются с помощью интеграла по траектории метрически-независимых функционалов действия. Например, в модели BF пространство-время представляет собой двумерное многообразие M, наблюдаемые построены из двумерной формы F, вспомогательного скаляра B и их производных. Действие (определяющее интеграл по траектории) равно
Метрика пространства-времени нигде не появляется в теории, поэтому теория явно топологически инвариантна. Первый пример появился в 1977 году и принадлежит А. Шварцу ; его функционал действия:
Другим более известным примером является теория Черна–Саймонса , которая может быть применена к инвариантам узлов . В общем случае функции распределения зависят от метрики, но приведенные выше примеры не зависят от метрики.
Первый пример TQFT-типа Виттена появился в статье Виттена в 1988 году (Witten 1988a), т. е. топологическая теория Янга–Миллса в четырех измерениях. Хотя ее функционал действия содержит метрику пространства-времени g αβ , после топологического поворота он оказывается метрически независимым. Независимость тензора энергии-импульса T αβ системы от метрики зависит от того, замкнут ли BRST-оператор . Следуя примеру Виттена, можно найти много других примеров в теории струн .
TQFT-типа Виттена возникают, если выполняются следующие условия:
В качестве примера (Linker 2015): если задано поле 2-формы с дифференциальным оператором , удовлетворяющим , то действие имеет симметрию, если, поскольку
Далее, справедливо следующее (при условии, что не зависит от и действует аналогично функциональной производной ):
Выражение пропорционально другой 2-форме .
Теперь любые средние значения наблюдаемых для соответствующей меры Хаара независимы от «геометрического» поля и, следовательно, являются топологическими:
Третье равенство использует тот факт, что и инвариантность меры Хаара относительно преобразований симметрии. Поскольку — всего лишь число, его производная Ли равна нулю.
Атья предложил набор аксиом для топологической квантовой теории поля, вдохновленный предложенными Сигалом аксиомами для конформной теории поля (впоследствии идея Сигала была обобщена в Segal (2001)) и геометрическим смыслом суперсимметрии Виттена в Witten (1982). Аксиомы Атьи строятся путем склеивания границы с дифференцируемым (топологическим или непрерывным) преобразованием, в то время как аксиомы Сигала предназначены для конформных преобразований. Эти аксиомы были относительно полезны для математической обработки квантовых теорий поля типа Шварца, хотя не ясно, охватывают ли они всю структуру квантовых теорий поля типа Виттена. Основная идея заключается в том, что ТКТП является функтором из определенной категории кобордизмов в категорию векторных пространств .
На самом деле существует два различных набора аксиом, которые можно было бы обоснованно назвать аксиомами Атьи. Эти аксиомы различаются в основном тем, применяются ли они к TQFT, определенной на одном фиксированном n -мерном римановом / лоренцевом пространстве-времени M , или к TQFT, определенной на всех n -мерных пространствах-временах одновременно.
Пусть Λ будет коммутативным кольцом с 1 (почти для всех реальных целей мы будем иметь Λ = Z , R или C ). Атья первоначально предложил аксиомы топологической квантовой теории поля (TQFT) в размерности d, определенные над базовым кольцом Λ следующим образом:
Эти данные подчиняются следующим аксиомам (4 и 5 были добавлены Атья):
Замечание. Если для замкнутого многообразия M мы рассматриваем Z ( M ) как числовой инвариант, то для многообразия с краем мы должны рассматривать Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) как «относительный» инвариант. Пусть f : Σ → Σ — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, и отождествим противоположные концы Σ × I с помощью f . Это дает многообразие Σ f , и наши аксиомы подразумевают
где Σ( f ) — индуцированный автоморфизм Z (Σ).
Замечание. Для многообразия M с границей Σ мы всегда можем образовать дубль , который является замкнутым многообразием. Пятая аксиома показывает, что
где справа мы вычисляем норму в эрмитовой (возможно, неопределенной) метрике.
Физически (2) + (4) связаны с релятивистской инвариантностью, тогда как (3) + (5) указывают на квантовую природу теории.
Σ означает физическое пространство (обычно d = 3 для стандартной физики), а дополнительное измерение в Σ × I — это «мнимое» время. Пространство Z (Σ) — это гильбертово пространство квантовой теории, а физическая теория с гамильтонианом H будет иметь оператор эволюции времени e itH или оператор «мнимого времени» e −tH . Главной особенностью топологических квантовых теорий поля является то, что H = 0, что подразумевает отсутствие реальной динамики или распространения вдоль цилиндра Σ × I . Однако может быть нетривиальное «распространение» (или туннельные амплитуды) от Σ 0 до Σ 1 через промежуточное многообразие M с ; это отражает топологию M .
Если ∂ M = Σ, то выделенный вектор Z ( M ) в гильбертовом пространстве Z (Σ) рассматривается как вакуумное состояние, определяемое M . Для замкнутого многообразия M число Z ( M ) является вакуумным математическим ожиданием . По аналогии со статистической механикой его также называют статистической суммой .
Причина, по которой теория с нулевым гамильтонианом может быть разумно сформулирована, заключается в подходе Фейнмана к КТП с использованием интеграла по траекториям. Он включает релятивистскую инвариантность (которая применяется к общему ( d + 1)-мерному «пространству-времени»), и теория формально определяется подходящим лагранжианом — функционалом классических полей теории. Лагранжиан, который включает только первые производные по времени, формально приводит к нулевому гамильтониану, но сам лагранжиан может иметь нетривиальные особенности, которые связаны с топологией M .
В 1988 году М. Атья опубликовал статью, в которой описал много новых примеров топологической квантовой теории поля, которые рассматривались в то время (Atiyah 1988a)(Atiyah 1988b). Она содержит некоторые новые топологические инварианты вместе с некоторыми новыми идеями: инвариант Кассона , инвариант Дональдсона , теория Громова , гомологии Флоера и теория Джонса–Виттена .
В этом случае Σ состоит из конечного числа точек. С одной точкой мы связываем векторное пространство V = Z (точка), а с n -точками - n -кратное тензорное произведение: V ⊗ n = V ⊗ … ⊗ V . Симметрическая группа S n действует на V ⊗ n . Стандартный способ получить квантовое гильбертово пространство - начать с классического симплектического многообразия (или фазового пространства ), а затем проквантовать его. Давайте расширим S n до компактной группы Ли G и рассмотрим "интегрируемые" орбиты, для которых симплектическая структура происходит из линейного расслоения , тогда квантование приводит к неприводимым представлениям V группы G . Это физическая интерпретация теоремы Бореля–Вейля или теоремы Бореля–Вейля–Ботта . Лагранжиан этих теорий - это классическое действие ( голономия линейного расслоения). Таким образом, топологические квантовые теории поля с d = 0 естественным образом связаны с классической теорией представлений групп Ли и симметрической группы .
Мы должны рассмотреть периодические граничные условия, заданные замкнутыми петлями в компактном симплектическом многообразии X. Наряду с голономией Виттена (1982) такие петли, используемые в случае d = 0 в качестве лагранжиана, затем используются для модификации гамильтониана. Для замкнутой поверхности M инвариант Z ( M ) теории представляет собой число псевдоголоморфных отображений f : M → X в смысле Громова (они являются обычными голоморфными отображениями , если X является кэлеровым многообразием ). Если это число становится бесконечным, т. е. если есть «модули», то мы должны зафиксировать дополнительные данные на M . Это можно сделать, выбрав некоторые точки P i и затем рассмотрев голоморфные отображения f : M → X с f ( P i ), ограниченным лежать на фиксированной гиперплоскости. Виттен (1988b) записал соответствующий лагранжиан для этой теории. Флоер дал строгую трактовку, т. е. гомологии Флоера , основанную на идеях теории Морса Виттена ; для случая, когда граничные условия находятся на интервале, а не являются периодическими, начальная и конечная точки пути лежат на двух фиксированных лагранжевых подмногообразиях . Эта теория была развита как инвариантная теория Громова–Виттена.
Другим примером является голоморфная конформная теория поля . В то время это, возможно, не считалось строго топологической квантовой теорией поля, поскольку гильбертовы пространства бесконечномерны. Конформные теории поля также связаны с компактной группой Ли G , в которой классическая фаза состоит из центрального расширения группы петель (LG) . Квантование их дает гильбертовы пространства теории неприводимых (проективных) представлений LG . Группа Diff + ( S 1 ) теперь заменяет симметрическую группу и играет важную роль. В результате функция распределения в таких теориях зависит от комплексной структуры , поэтому она не является чисто топологической.
Теория Джонса–Виттена является наиболее важной теорией в этом случае. Здесь классическое фазовое пространство, связанное с замкнутой поверхностью Σ, является пространством модулей плоского G -расслоения над Σ. Лагранжиан является целым кратным функции Черна–Саймонса G -связности на 3-многообразии (которое должно быть «оснащено»). Целое кратное k , называемое уровнем, является параметром теории, а k → ∞ дает классический предел. Эту теорию можно естественным образом соединить с теорией d = 0, чтобы получить «относительную» теорию. Детали были описаны Виттеном, который показал, что функция распределения для (оснащенной) связи в 3-сфере является просто значением полинома Джонса для подходящего корня из единицы. Теория может быть определена над соответствующим циклотомическим полем , см. Atiyah (1988) . Рассматривая риманову поверхность с границей, мы можем связать ее с конформной теорией d = 1 вместо того, чтобы связывать теорию d = 2 с d = 0. Это развилось в теорию Джонса–Виттена и привело к открытию глубоких связей между теорией узлов и квантовой теорией поля.
Дональдсон определил целочисленный инвариант гладких 4-многообразий, используя модульные пространства SU(2)-инстантонов. Эти инварианты являются полиномами по вторым гомологиям. Таким образом, 4-многообразия должны иметь дополнительные данные, состоящие из симметрической алгебры H 2 . Виттен (1988a) создал суперсимметричный лагранжиан, который формально воспроизводит теорию Дональдсона. Формулу Виттена можно понимать как бесконечномерный аналог теоремы Гаусса–Бонне . Позднее эта теория получила дальнейшее развитие и стала калибровочной теорией Зайберга–Виттена, которая сводит SU(2) к U(1) в калибровочной теории N = 2, d = 4. Гамильтонова версия теории была разработана Флоером в терминах пространства связностей на 3-многообразии. Флоер использует функцию Черна–Саймонса , которая является лагранжианом теории Джонса–Виттена, для модификации гамильтониана. Подробности см. в Atiyah (1988) . Виттен (1988a) также показал, как можно связать теории d = 3 и d = 1 вместе: это вполне аналогично связи между d = 2 и d = 0 в теории Джонса–Виттена.
Теперь топологическая теория поля рассматривается как функтор не в фиксированном измерении, а во всех измерениях одновременно.
Пусть Bord M — категория, морфизмы которой являются n -мерными подмногообразиями M , а объекты — связными компонентами границ таких подмногообразий. Рассмотрим два морфизма как эквивалентные, если они гомотопны через подмногообразия M и, таким образом, образуют фактор-категорию hBord M : объекты в hBord M являются объектами Bord M , а морфизмы hBord M являются классами гомотопической эквивалентности морфизмов в Bord M. TQFT на M — это симметричный моноидальный функтор из hBord M в категорию векторных пространств.
Обратите внимание, что кобордизмы могут, если их границы совпадают, быть сшиты вместе, образуя новый бордизм. Это закон композиции для морфизмов в категории кобордизмов. Поскольку функторы должны сохранять композицию, это означает, что линейное отображение, соответствующее сшитому морфизму, является просто композицией линейного отображения для каждой части.
Существует эквивалентность категорий между категорией двумерных топологических квантовых теорий поля и категорией коммутативных алгебр Фробениуса .
.svg/1280px-Pair_of_pants_cobordism_(pantslike).svg.png)
Чтобы рассмотреть все пространства-времена одновременно, необходимо заменить hBord M на большую категорию. Итак, пусть Bord n будет категорией бордизмов, т. е. категорией, морфизмами которой являются n -мерные многообразия с границей, а объектами - связные компоненты границ n -мерных многообразий. (Заметим, что любое ( n −1)-мерное многообразие может появляться как объект в Bord n .) Как и выше, рассмотрим два морфизма в Bord n как эквивалентные, если они гомотопны, и образуем фактор-категорию hBord n . Bord n является моноидальной категорией относительно операции, которая отображает два бордизма в бордизм, полученный из их несвязного объединения. Тогда TQFT на n -мерных многообразиях является функтором из hBord n в категорию векторных пространств, который отображает несвязные объединения бордизмов в их тензорное произведение.
Например, для (1 + 1)-мерных бордизмов (двумерных бордизмов между одномерными многообразиями) отображение, связанное с парой брюк, дает произведение или копроизведение в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты — коммутативно или кокоммутативно, в то время как отображение, связанное с диском, дает коединицу (след) или единицу (скаляры) в зависимости от группировки граничных компонентов, и, таким образом, (1 + 1)-мерные ТКТП соответствуют алгебрам Фробениуса .
Более того, мы можем одновременно рассматривать 4-мерные, 3-мерные и 2-мерные многообразия, связанные указанными выше бордизмами, и из них мы можем получить многочисленные и важные примеры.
Рассматривая развитие топологической квантовой теории поля, мы должны рассмотреть ее многочисленные приложения к калибровочной теории Зайберга–Виттена , топологической теории струн , связи между теорией узлов и квантовой теорией поля и инвариантам квантовых узлов . Кроме того, она породила темы, представляющие большой интерес как в математике, так и в физике. Также важным недавним интересом являются нелокальные операторы в TQFT (Гуков и Капустин (2013)). Если рассматривать теорию струн как фундаментальную, то нелокальные TQFT можно рассматривать как нефизические модели, которые обеспечивают вычислительно эффективное приближение к локальной теории струн.
Стохастические (частные) дифференциальные уравнения (SDE) являются основой для моделей всего в природе выше шкалы квантового вырождения и когерентности и по сути являются TQFT типа Виттена. Все SDE обладают топологической или BRST суперсимметрией , , а в операторном представлении стохастической динамики есть внешняя производная , которая коммутативна с оператором стохастической эволюции. Эта суперсимметрия сохраняет непрерывность фазового пространства непрерывными потоками, а явление суперсимметричного спонтанного пробоя глобальным несуперсимметричным основным состоянием охватывает такие устоявшиеся физические концепции, как хаос , турбулентность , 1/f и тресковые шумы, самоорганизованная критичность и т. д. Топологический сектор теории для любого SDE можно распознать как TQFT типа Виттена.
