Диполь

Электромагнитное явление

Магнитное поле сферы с северным магнитным полюсом вверху и южным магнитным полюсом внизу. Для сравнения, у Земли южный магнитный полюс находится около ее северного географического полюса, а северный магнитный полюс — около ее южного полюса.

В физике диполь (от др.-греч. δίς ( dís )  «дважды» и πόλος ( pólos ) « ось  ») ^{[1] [2] [3]} — электромагнитное явление, которое происходит двумя способами:

• Электрический диполь имеет дело с разделением положительных и отрицательных электрических зарядов, обнаруженных в любой электромагнитной системе. Простым примером этой системы является пара зарядов одинаковой величины, но противоположного знака, разделенных некоторым, как правило, небольшим расстоянием. (Постоянный электрический диполь называется электретом . )
• Магнитный диполь — это замкнутая циркуляция системы электрического тока . Простым примером является одиночный контур провода с постоянным током через него. Стержневой магнит — это пример магнита с постоянным магнитным дипольным моментом . ^{[4] [5]}

Диполи, как электрические, так и магнитные, можно охарактеризовать их дипольным моментом, векторной величиной. Для простого электрического диполя электрический дипольный момент направлен от отрицательного заряда к положительному и имеет величину, равную силе каждого заряда, умноженной на расстояние между зарядами. (Если быть точным: для определения дипольного момента всегда следует учитывать «дипольный предел», где, например, расстояние между генерирующими зарядами должно сходиться к 0, в то время как одновременно сила заряда должна расходиться к бесконечности таким образом, чтобы произведение оставалось положительной константой.)

Для магнитной (дипольной) токовой петли магнитный дипольный момент направлен через петлю (согласно правилу правой руки ), с величиной, равной току в петле, умноженному на площадь петли.

Подобно магнитным токовым петлям, электронная частица и некоторые другие фундаментальные частицы имеют магнитные дипольные моменты, поскольку электрон генерирует магнитное поле, идентичное полю, генерируемому очень маленькой токовым петлей. Однако магнитный дипольный момент электрона обусловлен не токовым контуром, а внутренним свойством электрона. ^[6] Электрон также может иметь электрический дипольный момент, хотя это еще предстоит наблюдать (см. электрический дипольный момент электрона ).

Контурная диаграмма электростатического потенциала горизонтально ориентированного электрического диполя бесконечно малого размера. Яркие цвета указывают на самый высокий и самый низкий потенциал (где расположены противоположные заряды диполя).

Постоянный магнит, такой как стержневой магнит, обязан своим магнетизмом собственному магнитному дипольному моменту электрона. Два конца стержневого магнита называются полюсами (не путать с монополями , см. Классификацию ниже) и могут быть обозначены как «северный» и «южный». С точки зрения магнитного поля Земли они являются соответственно «ищущими север» и «ищущими юг» полюсами: если бы магнит был свободно подвешен в магнитном поле Земли, ищущий север полюс указывал бы на север, а ищущий юг полюс указывал бы на юг. Дипольный момент стержневого магнита указывает от его магнитного юга к его магнитному северному полюсу . В магнитном компасе северный полюс стержневого магнита указывает на север. Однако это означает, что геомагнитный северный полюс Земли является южным полюсом (ищущим юг полюсом) ее дипольного момента и наоборот.

Единственными известными механизмами создания магнитных диполей являются токовые петли или квантово-механический спин , поскольку существование магнитных монополей никогда не было экспериментально продемонстрировано.

Классификация

Линии электрического поля двух противоположных зарядов, разделенных конечным расстоянием.

Линии магнитного поля кольцевого тока конечного диаметра.

Линии поля точечного диполя любого типа: электрического, магнитного, акустического и т. д.

Физический диполь состоит из двух равных и противоположных точечных зарядов: в буквальном смысле, двух полюсов. Его поле на больших расстояниях (т. е. расстояниях, больших по сравнению с разделением полюсов) почти полностью зависит от дипольного момента, как определено выше. Точечный (электрический) диполь — это предел, полученный путем стремления разделения к 0 при сохранении фиксированного дипольного момента. Поле точечного диполя имеет особенно простую форму, и член порядка 1 в мультипольном разложении — это как раз поле точечного диполя.

Хотя в природе не существует известных магнитных монополей , существуют магнитные диполи в форме квантово-механического спина , связанного с частицами, такими как электроны (хотя точное описание таких эффектов выходит за рамки классического электромагнетизма). Теоретический магнитный точечный диполь имеет магнитное поле точно такой же формы, как электрическое поле электрического точечного диполя. Очень маленькая токонесущая петля приблизительно является магнитным точечным диполем; магнитный дипольный момент такой петли является произведением тока, текущего в петле, и (векторной) площади петли.

Любая конфигурация зарядов или токов имеет «дипольный момент», который описывает диполь, поле которого является наилучшим приближением на больших расстояниях к полю данной конфигурации. Это просто один член в мультипольном разложении, когда полный заряд («монопольный момент») равен 0 — как это всегда бывает для магнитного случая, поскольку нет магнитных монополей. Дипольный член является доминирующим на больших расстояниях: его поле спадает пропорционально ⁠1/г ³⁠ , по сравнению с ⁠1/г ⁴⁠ для следующего ( квадрупольного ) члена и более высоких степеней ⁠1/г⁠ на более высокие сроки, или ⁠1/г ²⁠ для монопольного члена.

Молекулярные диполи

Многие молекулы имеют такие дипольные моменты из-за неравномерного распределения положительных и отрицательных зарядов на различных атомах. Так обстоит дело с полярными соединениями, такими как фтористый водород (HF), где электронная плотность распределяется неравномерно между атомами. Поэтому диполь молекулы — это электрический диполь с собственным электрическим полем, который не следует путать с магнитным диполем , который генерирует магнитное поле.

Физический химик Питер Дж. В. Дебай был первым ученым, который подробно изучал молекулярные диполи, и, как следствие, дипольные моменты измеряются в единице, не входящей в систему СИ, названной в его честь Дебай .

У молекул существует три типа диполей:

Постоянные диполи

Это происходит, когда два атома в молекуле имеют существенно разную электроотрицательность  : один атом притягивает электроны сильнее другого, становясь более отрицательным, в то время как другой атом становится более положительным. Молекула с постоянным дипольным моментом называется полярной молекулой. См. диполь-дипольное притяжение .

Мгновенные диполи

Они возникают случайно, когда электроны оказываются более сконцентрированными в одном месте молекулы , чем в другом , создавая временный диполь. Эти диполи меньше по величине, чем постоянные диполи, но все равно играют большую роль в химии и биохимии из-за своей распространенности. См. мгновенный диполь .

Индуцированные диполи

Они могут возникать, когда одна молекула с постоянным диполем отталкивает электроны другой молекулы, индуцируя дипольный момент в этой молекуле. Молекула поляризуется , когда она несет индуцированный диполь. См. притяжение индуцированного диполя .

В более общем смысле, индуцированный диполь любого поляризуемого распределения заряда ρ (помните, что молекула имеет распределение заряда) вызван электрическим полем, внешним по отношению к ρ . Это поле может, например, возникать из иона или полярной молекулы вблизи ρ или может быть макроскопическим (например, молекула между пластинами заряженного конденсатора ). Величина индуцированного дипольного момента равна произведению напряженности внешнего поля на дипольную поляризуемость ρ .

Значения дипольного момента могут быть получены путем измерения диэлектрической проницаемости . Некоторые типичные значения газовой фазы, указанные с единицей дебай, следующие: ^[7]

• углекислый газ : 0
• оксид углерода : 0,112 D
• озон : 0,53 D
• фосген : 1,17 D
• аммиак : 1,42 D
• водяной пар : 1,85 D
• цианистый водород : 2,98 D
• цианамид : 4,27 D
• бромистый калий : 10,41 D

Линейная молекула CO2 _имеет нулевой диполь, поскольку два диполя связи компенсируют друг друга.

Бромид калия (KBr) имеет один из самых высоких дипольных моментов, поскольку это ионное соединение , существующее в виде молекулы в газовой фазе.

Изогнутая молекула H2O _имеет суммарный диполь. Два диполя связи не компенсируются.

Общий дипольный момент молекулы может быть аппроксимирован как векторная сумма дипольных моментов связей . Как векторная сумма он зависит от относительной ориентации связей, так что из дипольного момента можно вывести информацию о молекулярной геометрии .

Например, нулевой диполь CO ₂ подразумевает, что два дипольных момента связи C=O сокращаются, так что молекула должна быть линейной. Для H ₂ O моменты связи O−H не сокращаются, поскольку молекула изогнута. Для озона (O ₃ ), который также является изогнутой молекулой, дипольные моменты связи не равны нулю, хотя связи O−O находятся между аналогичными атомами. Это согласуется со структурами Льюиса для резонансных форм озона, которые показывают положительный заряд на центральном атоме кислорода.

Резонансные структуры Льюиса молекулы озона

Примером в органической химии роли геометрии в определении дипольного момента являются цис- и транс- изомеры 1,2-дихлорэтена . В цис -изомере две полярные связи C−Cl находятся по одну сторону от двойной связи C=C, а молекулярный дипольный момент равен 1,90 D. В транс- изомере дипольный момент равен нулю, поскольку две связи C−Cl находятся по разные стороны от связи C=C и взаимно уничтожаются (и два момента связей для гораздо менее полярных связей C−H также взаимно уничтожаются).

Другим примером роли молекулярной геометрии является трифторид бора , который имеет три полярные связи с разницей в электроотрицательности, превышающей традиционно упоминаемый порог 1,7 для ионной связи . Однако из-за равностороннего треугольного распределения ионов фтора, центрированных на катионе бора и находящихся в той же плоскости, симметрия молекулы приводит к тому, что ее дипольный момент равен нулю.

Квантово-механический дипольный оператор

Рассмотрим набор из N частиц с зарядами q _i и векторами положения r _i . Например, этот набор может быть молекулой, состоящей из электронов, все с зарядом − e , и ядер с зарядом eZ _i , где Z _i — атомный номер i- го ядра  . Дипольная наблюдаемая (физическая величина) имеет квантово-механический дипольный оператор : ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}\,.}$

Обратите внимание, что это определение справедливо только для нейтральных атомов или молекул, т.е. полный заряд которых равен нулю. В ионизированном случае мы имеем

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{c}),}$

где — центр масс молекулы/группы частиц. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$

Атомные диполи

Невырожденный ( S -состояние) атом может иметь только нулевой постоянный диполь. Этот факт следует квантово-механически из инверсионной симметрии атомов. Все 3 компонента дипольного оператора антисимметричны относительно инверсии относительно ядра,

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\;{\mathfrak {p}}\;{\mathfrak {I}}^{-1}=-{\mathfrak {p}},}$

где — оператор диполя, — оператор инверсии. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$

Постоянный дипольный момент атома в невырожденном состоянии (см. вырожденный уровень энергии ) задается как математическое ожидание (среднее) значение дипольного оператора,

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {p}}|\,S\,\right\rangle ,}$

где - невырожденная волновая функция S -состояния, которая симметрична или антисимметрична относительно инверсии: . Поскольку произведение волновой функции (в кет) и ее комплексно сопряженной (в бра) всегда симметрично относительно инверсии и ее инверсии, ${\displaystyle |\,S\,\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\,|\,S\,\rangle =\pm |\,S\,\rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,|{\mathfrak {p}}|\,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {I}}\,{\mathfrak {p}}\,{\mathfrak {I}}^{-1}|\,S\,\right\rangle =-\left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle }$

следует, что ожидаемое значение меняет знак при инверсии. Мы использовали здесь тот факт, что , будучи оператором симметрии, является унитарным : и по определению эрмитово сопряженное может быть перемещено из бра в кет и тогда становится . Поскольку единственная величина, которая равна минус себе, это ноль, ожидаемое значение исчезает, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{-1}={\mathfrak {I}}^{*}\,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{*}\,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{**}={\mathfrak {I}}\,}$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =0.}$

В случае атомов с открытой оболочкой с вырожденными уровнями энергии можно определить дипольный момент с помощью эффекта Штарка первого порядка. Это дает неисчезающий диполь (по определению пропорциональный неисчезающему сдвигу Штарка первого порядка) только в том случае, если некоторые из волновых функций, принадлежащих вырожденным энергиям, имеют противоположную четность ; т. е. имеют различное поведение при инверсии. Это редкое явление, но случается для возбужденного атома H, где состояния 2s и 2p «случайно» вырождены (см. статью Вектор Лапласа–Рунге–Ленца для получения информации о происхождении этого вырождения) и имеют противоположную четность (2s четно, а 2p нечетно).

Поле статического магнитного диполя

Величина

Напряженность дальнего поля B дипольного магнитного поля определяется выражением

${\displaystyle B(m,r,\lambda )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m}{r^{3}}}{\sqrt {1+3\sin ^{2}(\lambda )}}\,,}$

где

B — напряженность поля, измеряемая в теслах.

r — расстояние от центра, измеряемое в метрах

λ — магнитная широта (равная 90° −  θ ), где θ — магнитная коширота, измеряемая в радианах или градусах от оси диполя ^{[примечание 1]}

m — дипольный момент, измеряемый в ампер -квадратных метрах или джоулях на теслу

μ ₀ — проницаемость свободного пространства , измеряемая в генри на метр.

Преобразование в цилиндрические координаты достигается с помощью r ² = z ² + ρ ² и

${\displaystyle \lambda =\arcsin \left({\frac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\right)}$

где ρ — перпендикулярное расстояние от оси z . Тогда,

${\displaystyle B(\rho ,z)={\frac {\mu _{0}m}{4\pi \left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {1+{\frac {3z^{2}}{z^{2}+\rho ^{2}}}}}}$

Векторная форма

Само поле является векторной величиной:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} }{r^{3}}}}$

где

B — это поле

r — вектор от положения диполя до положения, где измеряется поле

r — это абсолютное значение r : расстояние от диполя

г̂ = ⁠г/г⁠ — единичный вектор, параллельный r ;

m — (векторный) дипольный момент

μ ₀ — проницаемость свободного пространства

Это в точности поле точечного диполя, в точности дипольный член в мультипольном разложении произвольного поля и приблизительно поле любой дипольной конфигурации на больших расстояниях.

Магнитный векторный потенциал

Векторный потенциал А магнитного диполя равен

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

с теми же определениями, что и выше.

Поле от электрического диполя

Электростатический потенциал в точке r, обусловленный электрическим диполем в начале координат, определяется по формуле:

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

где p — (векторный) дипольный момент , а є ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства .

Этот член появляется как второй член в мультипольном разложении произвольного электростатического потенциала Φ( r ). Если источником Φ( r ) является диполь, как здесь предполагается, этот член является единственным неисчезающим членом в мультипольном разложении Φ( r ). Электрическое поле от диполя можно найти из градиента этого потенциала:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}}}-\delta ^{3}(\mathbf {r} ){\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}.}$

Это имеет ту же форму выражения для магнитного поля точечного магнитного диполя, игнорируя дельта-функцию. Однако в реальном электрическом диполе заряды физически разделены, а электрическое поле расходится или сходится в точечных зарядах. Это отличается от магнитного поля реального магнитного диполя, которое непрерывно всюду. Дельта-функция представляет собой сильное поле, направленное в противоположном направлении между точечными зарядами, которое часто опускается, поскольку редко интересуются полем в положении диполя. Для дальнейшего обсуждения внутреннего поля диполей см. ^{[5] [9]} или Магнитный момент § Внутреннее магнитное поле диполя .

Крутящий момент на диполе

Поскольку направление электрического поля определяется как направление силы, действующей на положительный заряд, линии электрического поля направлены от положительного заряда к отрицательному заряду.

При помещении в однородное электрическое или магнитное поле с каждой стороны диполя возникают равные, но противоположно направленные силы, создающие крутящий момент τ }:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$

для электрического дипольного момента p (в кулонах-метрах), или

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }$

для магнитного дипольного момента m (в ампер-квадратных метрах).

Результирующий крутящий момент будет стремиться выровнять диполь с приложенным полем, что в случае электрического диполя дает потенциальную энергию

${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }$.

Энергия магнитного диполя аналогична

${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$.

Дипольное излучение

Модуль вектора Пойнтинга для колеблющегося электрического диполя (точное решение). Два заряда показаны в виде двух маленьких черных точек.

В дополнение к диполям в электростатике также принято рассматривать электрический или магнитный диполь, который колеблется во времени. Это расширение или более физический следующий шаг к излучению сферической волны .

В частности, рассмотрим гармонически колеблющийся электрический диполь с угловой частотой ω и дипольным моментом p ₀ вдоль направления ẑ вида

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {p} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}=p_{0}{\hat {\mathbf {z} }}e^{-i\omega t}.}$

В вакууме точное поле, создаваемое этим колеблющимся диполем, можно вывести, используя формулу запаздывающего потенциала :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}\left({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \right)\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}\left[{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} \right]-\mathbf {p} \right)\right\}e^{\frac {i\omega r}{c}}e^{-i\omega t}\\\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}e^{-i\omega t}.\end{aligned}}}$

Для ⁠рω/с⁠  ≫ 1, дальнее поле принимает более простую форму излучающей «сферической» волны, но с угловой зависимостью, встроенной в перекрестное произведение: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}={\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {z} }}){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}\mathbf {\hat {\phi }} \\\mathbf {E} &=c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta )\left({\hat {\phi }}\times \mathbf {\hat {r}} \right){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}{\hat {\theta }}.\end{aligned}}}$

Усредненный по времени вектор Пойнтинга

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\left({\frac {\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}c}}\right){\frac {\sin ^{2}(\theta )}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

не распределено изотропно, а сосредоточено вокруг направлений, лежащих перпендикулярно дипольному моменту, в результате несферических электрических и магнитных волн. Фактически, сферическая гармоническая функция (sin θ ), ответственная за такое тороидальное угловое распределение, есть именно волна l  = 1 "p".

Полную среднюю по времени мощность, излучаемую полем, можно затем вывести из вектора Пойнтинга как

${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}.}$

Обратите внимание, что зависимость мощности от четвертой степени частоты излучения соответствует рэлеевскому рассеянию и основным эффектам, объясняющим, почему небо в основном синего цвета.

Круговой поляризованный диполь описывается как суперпозиция двух линейных диполей.

Смотрите также

• Плотность поляризации
• Модели магнитного диполя
• Дипольная модель магнитного поля Земли
• Электрет
• Индоокеанский диполь и субтропический индоокеанский диполь — два океанографических явления
• Магнитное диполь-дипольное взаимодействие
• Спиновый магнитный момент
• Монополь
• Сплошные гармоники
• Аксиальные мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты
• Сферические мультипольные моменты
• расширение Лапласа
• Молекулярное твердое тело
• Магнитный момент#Внутреннее магнитное поле диполя

Примечания

1. Магнитная коширота равна 0 вдоль оси диполя и 90° в плоскости, перпендикулярной его оси.

Ссылки

1. δίς, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
2. πόλος, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
3. "диполь, сущ.". Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Oxford University Press . 1989.
4. Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Oxford University Press. ISBN 0-19-514665-4.
5. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
6. Гриффитс, Дэвид Дж. (1994). Введение в квантовую механику . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-124405-4.
7. Уист, Роберт С. (1984). CRC Handbook of Chemistry and Physics (65-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8493-0465-2.
8. «Вектор электрического дипольного момента — направление, величина, значение и т. д.».
9. Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика, 3-е изд . Wiley. С. 148–150. ISBN 978-0-471-30932-1.
10. Дэвид Дж. Гриффитс , Введение в электродинамику, Prentice Hall, 1999, стр. 447

Внешние ссылки

• Программа Геомагнетизма USGS
• Поля силы Архивировано 2010-12-14 в Wayback Machine : глава из онлайн-учебника
• Потенциал электрического диполя Стивена Вольфрама и плотность энергии магнитного диполя Франца Крафта. Демонстрационный проект Вольфрама .