Замкнутые и точные дифференциальные формы

Понятие векторного исчисления

В математике , особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии , замкнутая форма — это дифференциальная форма α , внешняя производная которой равна нулю ( dα = 0 ), а точная форма — это дифференциальная форма α , которая является внешней производной другой дифференциальной формы β. . Таким образом , точная форма находится в образе d , а замкнутая форма — в ядре d .

Для точной формы α α ​​= dβ для некоторой дифференциальной формы β степени на единицу меньшей, чем форма α . Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивной» для α . Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не уникальна, но может быть изменена добавлением любой замкнутой формы степени на единицу меньшей, чем степень α .

Поскольку d ² = 0 , каждая точная форма обязательно замкнута. Вопрос о том, точна ли каждая замкнутая форма, зависит от топологии интересующей области. В стягиваемой области каждая замкнутая форма точна по лемме Пуанкаре . Более общие вопросы такого рода на произвольном дифференцируемом многообразии составляют предмет когомологий де Рама , позволяющих получать чисто топологическую информацию дифференциальными методами.

Примеры

Векторное поле, соответствующее ( двойственному по Ходжу ) dθ .

Простым примером замкнутой, но не точной формы является 1-форма ^{[примечание 1]} , заданная производной аргумента на проколотой плоскости . Поскольку на самом деле это не функция (см. следующий параграф), это не точная форма. Тем не менее, имеет исчезающую производную и поэтому замкнуто. ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

Обратите внимание, что аргумент определен только до целого числа, кратного , поскольку одной точке могут быть присвоены разные аргументы , , и т. д. Мы можем назначать аргументы локально согласованным образом вокруг , но не глобально согласованным образом. Это потому, что если мы проведем цикл от начала координат против часовой стрелки и обратно до , аргумент увеличится на . Обычно аргумент меняется на ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

по петле, ориентированной против часовой стрелки . ${\displaystyle S^{1}}$

Несмотря на то, что аргумент технически не является функцией, различные локальные определения точки отличаются друг от друга константами. Поскольку производная at использует только локальные данные и поскольку функции, отличающиеся константой, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально четко определенную производную " ". ^{[заметка 2]} ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d\theta }$

В результате получается одна форма, которая на самом деле не является производной какой-либо четко определенной функции . Мы говорим, что это не совсем так . Явно это задается как: ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

который при проверке имеет производную нулевую. Поскольку производная равна нулю, мы говорим, что она замкнута . ${\displaystyle d\theta }$

Эта форма порождает группу когомологий де Рама, означающую, что любая замкнутая форма является суммой точной формы и кратного : , где учитывается нетривиальный контурный интеграл вокруг начала координат, который является единственным препятствием для замкнутой формы на проколотая плоскость (локально производная потенциальной функции ), являющаяся производной глобально определенной функции. ${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\})\cong \mathbf {R} ,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$ ${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$

Примеры в малых размерах

Дифференциальные формы были хорошо известны в математической физике XIX века. На плоскости 0-формы — это просто функции, а 2-формы — это функции, умноженные на базовый элемент площади , так что это 1-формы. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

которые представляют реальный интерес. Формула для внешней производной здесь: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

где нижние индексы обозначают частные производные . Поэтому условием закрытия является ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

В этом случае если функция, то ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

Импликация от «точного» к «закрытому» тогда является следствием симметрии вторых производных относительно и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Теорема о градиенте утверждает, что 1-форма точна тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от концов кривой или, что то же самое, если интеграл вокруг любой гладкой замкнутой кривой равен нулю.

Аналогии векторных полей

На римановом многообразии или, в более общем смысле, псевдоримановом многообразии k -формы соответствуют k -векторным полям (в силу двойственности через метрику ), поэтому существует понятие векторного поля, соответствующего замкнутой или точной форме.

В трех измерениях точное векторное поле (представляемое как 1-форма) называется консервативным векторным полем , что означает, что оно является производной ( градиентом ) 0-формы (гладкого скалярного поля), называемой скалярным потенциалом . Замкнутое векторное поле (представляемое как 1-форма) — это поле, производная которого ( ротор ) равна нулю, и называется безвихревым векторным полем .

Если рассматривать векторное поле как 2-форму, то замкнутое векторное поле — это поле, производная ( дивергенция ) которого равна нулю, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем ). Термин несжимаемый используется потому, что ненулевая дивергенция соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.

Концепции консервативных и несжимаемых векторных полей распространяются на n измерений, поскольку градиент и дивергенция распространяются на n измерений; ротор определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается таким образом.

Лемма Пуанкаре

Лемма Пуанкаре утверждает, что если B — открытый шар в Rn , любая замкнутая p -форма ω, ^{определенная} на B , точна для любого целого числа p с 1 ≤ p ≤ n . ^[1]

В более общем смысле лемма утверждает, что на стягиваемом открытом подмножестве многообразия (например, ) замкнутая p -форма, p > 0, точна. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Формулировка как когомологии

Когда разность двух замкнутых форм является точной формой, они называются когомологичными друг другу. То есть, если ζ и η — замкнутые формы и можно найти такое β , что

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Точные формы иногда называют когомологичными нулю . Множество всех форм, когомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом когомологий де Рама ; общее изучение таких классов известно как когомологии . Нет смысла спрашивать, точна ли 0-форма (гладкая функция), поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки топологии подсказывают, что «точной» следует называть только нулевую функцию. Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями.

Используя сжимающие гомотопии, подобные той, которая использовалась при доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны. ^[2]

Применение в электродинамике

В электродинамике важен случай магнитного поля, создаваемого стационарным электрическим током. Там речь идет о векторном потенциале этого поля. Этот случай соответствует k = 2 , а определяющая область является полной . Вектор плотности тока равен . Это соответствует текущей двухформе ${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\vec {j}}}$

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

Для магнитного поля аналогичные результаты: оно соответствует двойной форме индукции и может быть получено из векторного потенциала или соответствующей одноформы ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

Тем самым векторный потенциал соответствует потенциальной одной форме ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

Замкнутость двуформы магнитной индукции соответствует свойству магнитного поля быть безисточниковым: , т. е. не существует магнитных монополей . ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$

В специальной калибровке это означает, что для i = 1, 2, 3 ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

(Вот магнитная постоянная .) ${\displaystyle \mu _{0}}$

Это уравнение примечательно тем, что оно полностью соответствует известной формуле для электрического поля , а именно для электростатического кулоновского потенциала плотности заряда . В этом месте уже можно догадаться, что ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$и ${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$и ${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \phi }$и ${\displaystyle {\vec {A}}}$

можно унифицировать до количеств с шестью Rsp. четыре нетривиальных компонента, что является основой релятивистской инвариантности уравнений Максвелла .

Если оставить условие стационарности, то в левой части упомянутого уравнения в уравнениях для к трем пространственным координатам необходимо добавить в качестве четвертой переменной еще и время t , тогда как в правой Сторона, в , должна использовать так называемое «запаздывающее время», т.е. оно добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и раньше, происходит интегрирование по трем пространственным координатам, отмеченным штрихом. (Как обычно, c — это скорость света в вакууме.) ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle j_{i}'}$ ${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$

Примечания

1. Это злоупотребление обозначениями. Аргумент не является четко определенной функцией и не является дифференциалом какой-либо нулевой формы. Последующая дискуссия подробно об этом говорит. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$
2. В статье «Пространство покрытия» содержится дополнительная информация о математике функций, которые четко определены только локально.

Цитаты

1. Warner 1983, стр. 155–156.
2. Уорнер 1983, стр. 162-207

Рекомендации

• Фландерс, Харли (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN 0-387-90894-3
• Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Сингер, И.М .; Торп, Дж. А. (1976), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784