Треугольник

Форма с тремя сторонами

Треугольник = Три (три) + Угол

Треугольник — многоугольник с тремя углами и тремя сторонами , одна из основных фигур в геометрии . Углы, также называемые вершинами , представляют собой нульмерные точки , а соединяющие их стороны, также называемые ребрами , представляют собой одномерные отрезки прямой . Внутренняя часть треугольника представляет собой двумерную область. Иногда в качестве основания выбирается произвольное ребро , и в этом случае противоположная вершина называется вершиной .

В евклидовой геометрии любые две точки определяют уникальный отрезок, расположенный внутри уникальной прямой , а любые три точки, если они не лежат на одной прямой , определяют уникальный треугольник, расположенный внутри уникальной плоской плоскости . В более общем смысле, несколько точек евклидова пространства произвольной размерности определяют симплекс .

В неевклидовых геометриях три прямых сегмента также определяют треугольник, например сферический треугольник или гиперболический треугольник . Геодезический треугольник — это область общей двумерной поверхности , окруженная тремя прямыми относительно поверхности сторонами. Криволинейный треугольник — это фигура с тремя изогнутыми сторонами, например круглый треугольник со сторонами в форме дуги окружности . Эта статья посвящена прямосторонним треугольникам в евклидовой геометрии, если не указано иное.

Треугольник с вершинами и обозначается. При описании метрических отношений внутри треугольника принято обозначать длину ребра, противоположного каждой вершине, с помощью строчной буквы, где длина ребра равна длине и длине ; и обозначить меру угла в каждом углу греческой буквой, где мера угла будет мерой угла , а мерой угла. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ABC.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle CA,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \angle CAB,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \angle ABC,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \angle BCA.}$

Виды треугольника

Диаграмма Эйлера типов треугольников с использованием определения, что равнобедренные треугольники имеют как минимум две равные стороны (т.е. равносторонние треугольники являются равнобедренными).

Терминологии классификации треугольников более двух тысяч лет, и она была определена на самой первой странице « Начал» Евклида . Имена, используемые для современной классификации, представляют собой либо прямую транслитерацию греческого языка Евклида, либо их латинский перевод.

По длинам сторон

Древнегреческий математик Евклид определил три типа треугольника в зависимости от длин его сторон: ^{[1] [2]}

Греческий : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευρά ς, ??? υς ἔχον πλευράς, букв .  «Из трехсторонних фигур изоплевронный [ равносторонний] треугольник — это треугольник, у которого три стороны равны, равнобедренный — тот, у которого равны только две стороны, и разносторонний — тот, у которого три стороны неравны». ^[3]

• Равносторонний треугольник ( греческий : ἰσόπλευρον , латинизированный :  isópleuron , букв.  «равные стороны») имеет три стороны одинаковой длины. Равносторонний треугольник также является правильным многоугольником , все углы которого равны 60°. ^[4]
• Равнобедренный треугольник ( греческий : ἰσοσκελὲς , латинизированный :  isoskelés , букв.  «равные ноги») имеет две стороны одинаковой длины. ^{[примечание 1] [5]} Равнобедренный треугольник также имеет два угла одной и той же меры, а именно углы, противоположные двум сторонам одинаковой длины. Этот факт составляет содержание теоремы о равнобедренном треугольнике , известной еще Евклиду . Некоторые математики определяют равнобедренный треугольник как имеющий ровно две равные стороны, тогда как другие определяют равнобедренный треугольник как треугольник, имеющий как минимум две равные стороны. ^[5] Последнее определение сделает все равносторонние треугольники равнобедренными треугольниками. Прямоугольный треугольник 45–45–90, который появляется в квадратной мозаике тетракиса , является равнобедренным.
• Разносторонний треугольник ( греч . σκαληνὸν , латинизированный :  skalinón , букв.  «неравный») имеет все стороны разной длины. ^[6] Аналогично, все углы имеют разную меру.

• 
  Равносторонний треугольник
• 
  Равнобедренный треугольник
• 
  Неравносторонний треугольник

Штриховки , также называемые делениями, используются на схемах треугольников и других геометрических фигур для обозначения сторон одинаковой длины. Сторону можно обозначить узором из «галочек», коротких отрезков линий в виде меток ; две стороны имеют одинаковую длину, если они обе отмечены одинаковым рисунком. В треугольнике паттерн обычно составляет не более 3 тиков. Равносторонний треугольник имеет одинаковый рисунок на всех трех сторонах, равнобедренный треугольник имеет одинаковый рисунок только на двух сторонах, а разносторонний треугольник имеет разные узоры на всех сторонах, поскольку ни одна из сторон не равна.

Точно так же узоры из 1, 2 или 3 концентрических дуг внутри углов используются для обозначения равных углов: равносторонний треугольник имеет одинаковый рисунок на всех трех углах, равнобедренный треугольник имеет одинаковый рисунок только на двух углах, а разносторонний треугольник имеет одинаковый рисунок только на двух углах. имеет разный рисунок на всех углах, так как нет равных углов.

По внутренним углам

Первая страница « Начал» Евклида из первой в мире печатной версии (1482 г.), показывающая раздел «Определения» Книги I. Прямоугольный треугольник обозначен как « ортогониус », а два показанных угла — «острый» и «тупой угол». .

Треугольники также можно классифицировать по их внутренним углам , измеряемым здесь в градусах .

• Прямоугольный треугольник (или прямоугольный треугольник ) имеет один из внутренних углов, равный 90° ( прямой угол ). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой , самой длинной стороной треугольника. Две другие стороны называются катетами или катетами ^[7] (единственное число: катет ) треугольника. Прямоугольные треугольники подчиняются теореме Пифагора : сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы: a ² + b ² = c ² , где a и b — длины катетов. с — длина гипотенузы. Особые прямоугольные треугольники — это прямоугольные треугольники с дополнительными свойствами, упрощающими вычисления с их участием. Один из двух самых известных — прямоугольный треугольник 3–4–5, где 3 ² + 4 ² = 5 ² . Треугольник 3–4–5 также известен как египетский треугольник. ^[8] В этой ситуации 3, 4 и 5 являются пифагоровой тройкой . Другой — равнобедренный треугольник с двумя углами по 45 градусов (треугольник 45–45–90). Прямоугольные треугольники имеют фундаментальное значение в тригонометрии , поскольку их можно использовать для определения тригонометрических функций через тригонометрические отношения .
  • Треугольники, не имеющие угла размером 90°, называются косоугольными .
• Треугольник, у которого все внутренние углы меньше 90°, является остроугольным или остроугольным треугольником . ^[2] Если c — длина самой длинной стороны, то a ² + b ² > c ² , где a и b — длины других сторон.
• Треугольник, у которого один внутренний угол превышает 90°, является тупоугольным или тупоугольным треугольником . ^[2] Если c — длина самой длинной стороны, то a ² + b ² < c ² , где a и b — длины других сторон.
• Треугольник с внутренним углом 180° (и вершинами, лежащими на одной прямой) является вырожденным . Прямоугольный вырожденный треугольник имеет вершины, лежащие на одной прямой, две из которых совпадают.

Треугольник, у которого два угла одинаковой меры, также имеет две стороны одинаковой длины, поэтому он является равнобедренным треугольником. Отсюда следует, что в треугольнике, у которого все углы равны, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, он равносторонний.

Основные факты

Треугольник, показывающий внешний угол d.

Предполагается, что треугольники представляют собой двумерные плоские фигуры , если из контекста не следует иное (см. § Неплоские треугольники ниже). Поэтому в строгих трактовках треугольник называют 2- симплексом (см. также Многогранник ). Элементарные факты о треугольниках были изложены Евклидом в книгах 1–4 его «Начал» , написанных около 300 г. до н.э.

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам (один и тот же цвет, чтобы указать, что они равны).

Сумма мер внутренних углов треугольника в евклидовом пространстве всегда равна 180 градусов. ^{[9] [2]} Этот факт эквивалентен постулату параллельности Евклида . Это позволяет определить меру третьего угла любого треугольника по величине двух углов. Внешний угол треугольника — это угол, который является линейной парой (и, следовательно, дополнительным ) к внутреннему углу. Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух внутренних углов, не примыкающих к нему; это теорема о внешнем угле . Сумма мер трех внешних углов (по одному на каждую вершину) любого треугольника равна 360 градусов. ^{[заметка 2]}

Сходство и соответствие

Два треугольника называются подобными , если каждый угол одного треугольника имеет ту же меру, что и соответствующий угол другого треугольника. Соответствующие стороны подобных треугольников имеют длины, находящиеся в одной пропорции, и этого свойства также достаточно для установления подобия.

Некоторые основные теоремы о подобных треугольниках:

• Тогда и только тогда, когда одна пара внутренних углов двух треугольников имеет одинаковую меру, а другая пара также имеет одинаковую меру, треугольники подобны.
• Если и только если одна пара соответствующих сторон двух треугольников находится в той же пропорции, что и другая пара соответствующих сторон, и их углы имеют одинаковую величину, то треугольники подобны. ( Включенный угол для любых двух сторон многоугольника — это внутренний угол между этими двумя сторонами.)
• Если и только если три пары соответствующих сторон двух треугольников находятся в одной и той же пропорции, то эти треугольники подобны. ^{[заметка 3]}

Два конгруэнтных треугольника имеют совершенно одинаковый размер и форму: ^{[примечание 4]} все пары соответствующих внутренних углов равны по мере, и все пары соответствующих сторон имеют одинаковую длину. (Всего шесть равенств, но для доказательства соответствия часто бывает достаточно трех.)

Некоторые индивидуально необходимые и достаточные условия конгруэнтности пары треугольников:

• Постулат SAS: две стороны треугольника имеют ту же длину, что и две стороны другого треугольника, и входящие в них углы имеют одинаковую меру.
• ASA: Два внутренних угла и включенная в него сторона треугольника имеют ту же меру и длину соответственно, что и в другом треугольнике. ( Включенной стороной для пары углов является та сторона, которая у них общая.)
• SSS: каждая сторона треугольника имеет ту же длину, что и соответствующая сторона другого треугольника.
• AAS: Два угла и соответствующая (не включенная) сторона в треугольнике имеют ту же меру и длину соответственно, что и в другом треугольнике. (Иногда это называется AAcorrS , а затем включает ASA, указанный выше.)

К индивидуально достаточным условиям относятся:

• Теорема о катете-гипотенузе (HL): Гипотенуза и катет в прямоугольном треугольнике имеют ту же длину, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это еще называют RHS (прямой угол, гипотенуза, сторона).
• Теорема об угле гипотенузы: Гипотенуза и острый угол в одном прямоугольном треугольнике имеют ту же длину и меру соответственно, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это всего лишь частный случай теоремы ААС.

Важным условием является:

• Условие Сторона-Сторона-Угол (или Угол-Сторона-Сторона): если две стороны и соответствующий невключенный угол треугольника имеют ту же длину и меру соответственно, что и стороны другого треугольника, то этого недостаточно для доказательства. соответствие; но если данный угол противоположен большей стороне двух сторон, то треугольники равны. Теорема о гипотенузе является частным случаем этого критерия. Условие «Сторона-Боковая-Угол» само по себе не гарантирует конгруэнтность треугольников, поскольку один треугольник может быть тупоугольным, а другой — остроугольным.

Два прямоугольных треугольника подобны тогда и только тогда, когда их острые углы равны. Отсюда следует, что шесть возможных отношений длин сторон прямоугольного треугольника зависят только от меры одного из острых углов. Эти отношения называются тригонометрическими отношениями и обычно используются в качестве определения тригонометрических функций .

Прямоугольные треугольники

Теорема Пифагора

Центральной теоремой является теорема Пифагора , которая гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон. Если гипотенуза имеет длину c , а катеты имеют длины a и b , то теорема утверждает, что

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Обратное верно: если длины сторон треугольника удовлетворяют приведенному выше уравнению, то треугольник имеет прямой угол, противоположный стороне c .

Еще несколько фактов о прямоугольных треугольниках:

• Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга .

${\displaystyle a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.}$

• Если катеты прямоугольного треугольника имеют одинаковую длину, то углы, лежащие против этих катетов, имеют одинаковую длину. Поскольку эти углы дополняют друг друга, отсюда следует, что каждый из них равен 45 градусам. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна длине катета, умноженной на √ 2 .
• В прямоугольном треугольнике с острыми углами 30 и 60 градусов гипотенуза в два раза больше длины меньшей стороны, а длина большей стороны равна длине меньшей стороны, умноженной на √ 3 :

${\displaystyle c=2a\,}$

${\displaystyle b=a\times {\sqrt {3}}.}$

Для всех треугольников углы и стороны связаны законом косинусов и законом синусов (также называемым правилом косинуса и правилом синусов ).

Существование треугольника

Состояние по бокам

Неравенство треугольника гласит , что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше или равна длине третьей стороны. Эта сумма может равняться длине третьей стороны только в случае вырожденного треугольника с коллинеарными вершинами. Эта сумма не может быть меньше длины третьей стороны. Треугольник с тремя заданными положительными длинами сторон существует тогда и только тогда, когда эти длины сторон удовлетворяют неравенству треугольника.

Условия на углах

Три заданных угла образуют невырожденный треугольник (и даже их бесконечное число) тогда и только тогда, когда выполняются оба этих условия: (а) каждый из углов положителен, и (б) сумма углов равна 180 °. Если разрешены вырожденные треугольники, разрешены углы 0 °.

Тригонометрические условия

Три положительных угла α , β и γ , каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,}$^[10]

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,}$^[10]

${\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,}$^[11]

${\displaystyle \tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),}$

последнее равенство применяется только в том случае, если ни один из углов не равен 90 ° (поэтому значение касательной функции всегда конечно).

Точки, линии и круги, связанные с треугольником

Существуют тысячи различных конструкций, которые находят особую точку, связанную с треугольником (а часто и внутри него), удовлетворяющую некоторому уникальному свойству: их каталог см. в статье «Энциклопедия центров треугольников» . Часто они строятся путем нахождения трех линий, симметрично связанных с тремя сторонами (или вершинами), а затем доказательства того, что эти три линии встречаются в одной точке: важным инструментом для доказательства их существования является теорема Чевы , которая дает Критерий определения одновременности трех таких линий . Точно так же линии, связанные с треугольником, часто строятся путем доказательства того, что три симметрично построенные точки лежат на одной прямой: здесь теорема Менелая дает полезный общий критерий. В этом разделе описаны лишь некоторые из наиболее часто встречающихся конструкций.

Центр описанной окружности — это центр окружности, проходящий через три вершины треугольника.

Биссектриса стороны треугольника — это прямая, проходящая через середину стороны и перпендикулярная ей, т. е. образующая с ней прямой угол. Три серединных перпендикуляра встречаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника , обычно обозначаемом O ; эта точка является центром описанной окружности , окружности , проходящей через все три вершины. Диаметр этого круга, называемый «окружным диаметром», можно найти из закона синусов, изложенного выше. Радиус описанной окружности называется «радиусом описанной окружности».

Из теоремы Фалеса следует, что если центр описанной окружности находится на стороне треугольника, то противоположный угол является прямым. Если центр описанной окружности расположен внутри треугольника, то треугольник остроугольный; если центр описанной окружности расположен вне треугольника, то треугольник тупоугольный.

Пересечение высот является ортоцентром .

Высота треугольника — это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней) . Эта противоположная сторона называется основанием высоты, а точка, где высота пересекает основание (или его продолжение), называется подножием высоты . Длина высоты — это расстояние между основанием и вершиной. Три высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника , обычно обозначаемой H. Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

Пересечение биссектрис угла является центром вписанной окружности .

Биссектриса треугольника — это прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая соответствующий угол пополам . Три биссектрисы пересекаются в одной точке, в центре , обычно обозначаемом I , центре вписанной окружности треугольника . Вписанная окружность – это окружность, лежащая внутри треугольника и касающаяся всех трех сторон. Его радиус называется внутренним радиусом . Есть еще три важных круга, экскруги ; они лежат вне треугольника и касаются одной стороны, а также продолжений двух других. Центры внутренней и внешней окружностей образуют ортоцентрическую систему .

Пересечение медиан является центроидом .

Медиана треугольника — это прямая линия, проходящая через вершину и середину противоположной стороны и делящая треугольник на две равные площади. Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде треугольника или геометрическом барицентре, обычно обозначаемом G. Центр тяжести твердого треугольного объекта (вырезанного из тонкого листа однородной плотности) также является его центром масс : объект можно балансировать на своем центроиде в однородном гравитационном поле. Центроид разрезает каждую медиану в соотношении 2:1, т.е. расстояние между вершиной и центроидом в два раза больше расстояния между центроидом и серединой противоположной стороны.

Круг из девяти точек демонстрирует симметрию, при которой шесть точек лежат на краях треугольника.

Середины трех сторон и основания трех высот лежат на одной окружности, девятиточечной окружности треугольника . Остальные три точки, в честь которых он назван, являются серединами части высоты между вершинами и ортоцентром . Радиус девятиточечного круга вдвое меньше радиуса описанной окружности. Он касается вписанной окружности (в точке Фейербаха ) и трех вписанных окружностей .

Линия Эйлера — это прямая линия, проходящая через ортоцентр (синий), центр девятиточечного круга (красный), центроид (оранжевый) и центр описанной окружности (зеленый).

Ортоцентр (синяя точка), центр девятиточечного круга (красный), центроид (оранжевый) и центр описанной окружности (зеленый) лежат на одной линии, известной как линия Эйлера (красная линия). Центр девятиточечного круга находится в средней точке между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центроидом и центром описанной окружности вдвое меньше, чем между центроидом и ортоцентром. Центр вписанной окружности обычно не находится на линии Эйлера.

Если отразить медиану в биссектрисе угла, проходящей через ту же вершину, получится симмедиана . Три симмедианы пересекаются в одной точке — симмедиане треугольника.

Вычисление сторон и углов

Существуют различные стандартные методы вычисления длины стороны или меры угла. Некоторые методы подходят для вычисления значений в прямоугольном треугольнике; В других ситуациях могут потребоваться более сложные методы.

Тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках

Прямоугольный треугольник всегда включает угол 90° (π/2 радиан), здесь он отмечен меткой C. Углы A и B могут различаться. Тригонометрические функции определяют отношения между длинами сторон и внутренними углами прямоугольного треугольника.

В прямоугольных треугольниках тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса можно использовать для нахождения неизвестных углов и длин неизвестных сторон. Стороны треугольника известны следующим образом:

• Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу, или определяемая как самая длинная сторона прямоугольного треугольника, в данном случае h .
• Противоположная сторона — это сторона, противоположная интересующему нас углу, в данном случае a .
• Прилежащей стороной называется та сторона, которая соприкасается с интересующим нас углом и прямым углом, отсюда и ее название. В этом случае соседней стороной является b .

Синус, косинус и тангенс

Синус угла – это отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы. В нашем случае

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.}$

Это соотношение не зависит от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, если он содержит угол A , поскольку все эти треугольники подобны .

Косинус угла – это отношение длины прилежащей стороны к длине гипотенузы. В нашем случае

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.}$

Тангенс угла – это отношение длины противоположной стороны к длине прилежащей стороны. В нашем случае

${\displaystyle \tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}$

Аббревиатура « SOH-CAH-TOA » является полезным мнемоническим обозначением для этих соотношений.

Обратные функции

Обратные тригонометрические функции можно использовать для вычисления внутренних углов прямоугольного треугольника с длинами любых двух сторон.

Arcsin можно использовать для расчета угла по длине противоположной стороны и длине гипотенузы.

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)}$

Arccos можно использовать для расчета угла по длине прилежащей стороны и длине гипотенузы.

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)}$

Arctan можно использовать для расчета угла по длине противоположной стороны и длине прилегающей стороны.

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)}$

Во вводных курсах геометрии и тригонометрии обозначения sin ^-1 , cos ^-1 и т. д. часто используются вместо arcsin, arccos и т. д. Однако обозначения arcsin, arccos и т. д. являются стандартными в высшей математике, где тригонометрические функции обычно возводятся в степень, поскольку это позволяет избежать путаницы между мультипликативными обратными и композиционными обратными .

Правила синуса, косинуса и тангенса

Треугольник со сторонами длиной a, b и c и углами α, β и γ соответственно.

Закон синусов , или правило синусов, ^[12] гласит, что отношение длины стороны к синусу соответствующего ей противоположного угла постоянно, то есть

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}$, где R — радиус описанной окружности данного треугольника.

Другая интерпретация этой теоремы состоит в том, что каждый треугольник с углами α, β и γ подобен треугольнику с длинами сторон, равными sin α, sin β и sin γ. Этот треугольник можно построить, сначала построив круг диаметром 1 и вписав в него два угла треугольника. Длина сторон этого треугольника будет равна sin α, sin β и sin γ. Сторона, длина которой равна sin α, противоположна углу, мера которого равна α, и т. д.

Закон косинусов , или правило косинусов, связывает длину неизвестной стороны треугольника с длиной других сторон и углом, противолежащим неизвестной стороне. ^[12] Согласно закону:

Для треугольника с длинами сторон a , b , c и углами α, β, γ соответственно, даны две известные длины треугольника a и b и угол между двумя известными сторонами γ (или угол, противоположный неизвестному сторона c ), для расчета третьей стороны c можно использовать следующую формулу:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )}$

${\displaystyle a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}$

Если известны длины всех трех сторон любого треугольника, можно вычислить три угла:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$

Закон касательных или правило касания можно использовать для нахождения стороны или угла, если известны две стороны и угол или два угла и сторона. В нем говорится, что: ^[13]

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

Решение треугольников

«Решение треугольников» — основная тригонометрическая задача: найти недостающие характеристики треугольника (три угла, длины трех сторон и т. д.), когда даны хотя бы три из этих характеристик. Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере . Эта проблема часто возникает в различных тригонометрических приложениях, таких как геодезия , астрономия , строительство , навигация и т. д.

Область

Площадь треугольника можно показать, например, посредством сравнения треугольников , как половину площади параллелограмма , имеющего ту же длину основания и высоту.

Графический вывод формулы , позволяющий избежать обычной процедуры удвоения площади треугольника и последующего ее деления пополам. ${\displaystyle T={\frac {h}{2}}b}$

В геометрии вычисление площади треугольника — элементарная задача, часто встречающаяся в самых разных ситуациях. Самая известная и простая формула: где b — длина основания треугольника , а h — высота или высота треугольника. Термин «основание» обозначает любую сторону, а «высота» обозначает длину перпендикуляра, проведенного из вершины, противоположной основанию, на линию, содержащую основание. Евклид в своей книге «Начала » в 300 г. до н.э. доказал, что площадь треугольника вдвое меньше площади параллелограмма с тем же основанием и высотой . ^[14] В 499 году н.э. Арьябхата использовал этот иллюстрированный метод в Арьябхатии (раздел 2.6). ^[15] ${\displaystyle T=bh/2,}$

Несмотря на простоту, эта формула полезна только в том случае, если высоту можно легко найти, что не всегда так. Например, геодезисту треугольного поля может быть относительно легко измерить длину каждой стороны, но относительно сложно построить «высоту». На практике могут использоваться различные методы, в зависимости от того, что известно о треугольнике. Другие часто используемые формулы площади треугольника используют тригонометрию, длины сторон (формула Герона), векторы, координаты, линейные интегралы, теорему Пика или другие свойства. ^[16]

Дальнейшие формулы для общих евклидовых треугольников

Формулы этого раздела верны для всех евклидовых треугольников.

Медианы, биссектрисы углов, биссектрисы перпендикулярных сторон и высоты.

Медианы и стороны связаны соотношением ^[17]

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}$

и

${\displaystyle m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\tfrac {3}{4}}a^{2}}}}$,

и то же самое для m _b и m _c .

Для угла A, противоположного стороне a , длина биссектрисы внутреннего угла определяется выражением ^[18]

${\displaystyle w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},}$

для полупериметра s , где длина биссектрисы измеряется от вершины до места пересечения противоположной стороны.

Внутренние биссектрисы определяются выражением

${\displaystyle p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$

где стороны и площадь ^{[19] : Thm 2} ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ ${\displaystyle T.}$

Высота, например, со стороны длины a равна

${\displaystyle h_{a}={\frac {2T}{a}}.}$

Окружной радиус и внутренний радиус

Следующие формулы включают радиус описанной окружности R и внутренний радиус r :

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};}$

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

где h _a и т. д. — высоты до нижних сторон; ^[20]

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$^[11]

и

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$.

Произведение двух сторон треугольника равно высоте третьей стороны, умноженной на диаметр D описанной окружности: ^[21]

${\displaystyle ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.}$

Соседние треугольники

Предположим, что два смежных, но не перекрывающихся треугольника имеют одну и ту же сторону длины f и одну и ту же описанную окружность, так что сторона длины f является хордой описанной окружности, а треугольники имеют длины сторон ( a , b , f ) и ( c , d , f ), при этом два треугольника вместе образуют вписанный четырехугольник с длинами сторон последовательно ( a , b , c , d ). Тогда ^[22]

${\displaystyle f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,}$

центроид

Пусть G — центр тяжести треугольника с вершинами A , B и C , а P — любая внутренняя точка. Тогда расстояния между точками связаны соотношением ^[23]

${\displaystyle (PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,}$

Сумма квадратов сторон треугольника равна трехкратной сумме квадратов расстояний центроида от вершин:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$^[24]

Пусть qa _, qb и qc — _{расстояния} от центроида до сторон _длин a , b и c . Тогда ^[25]

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,}$

и

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,}$

для района Т.

Центр окружности, инцентр и ортоцентр

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса. ^[26] Здесь длина сегмента считается отрицательной тогда и только тогда, когда сегмент полностью лежит вне треугольника. Этот метод особенно полезен для вывода свойств более абстрактных форм треугольников, таких как те, которые индуцированы алгебрами Ли , которые в остальном имеют те же свойства, что и обычные треугольники.

Теорема Эйлера утверждает, что расстояние d между центром описанной окружности и центром вписания определяется выражением ^[27]

${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$

где R — радиус описанной окружности, а r — внутренний радиус. Таким образом, для всех треугольников R ≥ 2 r при этом равенство справедливо для равносторонних треугольников.

Если обозначить, что ортоцентр делит одну высоту на отрезки длиной u и v , другую высоту на отрезки длиной w и x , а третью высоту на отрезки длиной y и z , то uv = wx = yz . ^[28]

Расстояние от стороны до центра описанной окружности равно половине расстояния от противоположной вершины до ортоцентра. ^[29]

Сумма квадратов расстояний от вершин до ортоцентра H плюс сумма квадратов сторон равна двенадцатикратному квадрату описанного радиуса: ^[30]

${\displaystyle AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.}$

Углы

Помимо закона синусов , закона косинусов , закона тангенсов и тригонометрических условий существования, данных ранее, для любого треугольника

${\displaystyle a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.}$

Теорема Морли о трёхсекторах

Треугольник Морли, полученный в результате трисекции каждого внутреннего угла. Это пример правила конечного подразделения .

Теорема Морли о трисекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения трисекторов соседних углов образуют равносторонний треугольник, называемый треугольником Морли.

Фигуры, вписанные в треугольник

Коники

Как обсуждалось выше, каждый треугольник имеет уникальную вписанную окружность (вписанную окружность), которая находится внутри треугольника и касается всех трех сторон.

Каждый треугольник имеет уникальный эллипс Штейнера , который находится внутри треугольника и касается в середине сторон. Теорема Мардена показывает, как найти фокусы этого эллипса . ^[31] Этот эллипс имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, касающихся всех трех сторон треугольника.

Эллипс Мандарта треугольника — это эллипс, вписанный в треугольник, касающийся его сторон в точках контакта его вписанных окружностей.

Для любого эллипса , вписанного в треугольник ABC , пусть фокусы будут P и Q. Тогда ^[32]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Выпуклый многоугольник

Любой выпуклый многоугольник площадью T ​​можно вписать в треугольник площадью не более 2 T . Равенство справедливо (исключительно) для параллелограмма . ^[33]

Шестиугольник

Шестиугольник Лемуана — это вписанный шестиугольник , вершины которого заданы шестью пересечениями сторон треугольника с тремя прямыми, параллельными сторонам и проходящими через его симмедианную точку . В простой форме или в самопересекающейся форме шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с двумя вершинами на каждой стороне треугольника.

Квадраты

Каждый остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата (квадрата внутри него, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на одной из сторон треугольника, поэтому две из них лежат на одной стороне и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны). треугольника). В прямоугольном треугольнике два квадрата совпадают и имеют вершину под прямым углом треугольника, поэтому в прямоугольном треугольнике есть только два различных вписанных квадрата. В тупоугольный треугольник есть только один вписанный квадрат, сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. Внутри данного треугольника более длинной общей стороне соответствует меньший вписанный квадрат. Если вписанный квадрат имеет сторону длины qa _{, а} треугольник имеет сторону длины a , часть которой совпадает со стороной квадрата, то qa , _a , высота ha от стороны a и высота треугольника площади Т связаны согласно ^{[34] [35]}

${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$

Максимально возможное отношение площади вписанного квадрата к площади треугольника равно 1/2, что имеет место, когда a ² = 2 T , q = a /2 , а высота треугольника от основания длины a равна равный а . Наименьшее возможное отношение стороны одного вписанного квадрата к стороне другого в том же нетупоугольном треугольнике равно ^[35] . Оба этих крайних случая имеют место для равнобедренного прямоугольного треугольника. ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3=0.94....}$

Треугольники

Из внутренней точки опорного треугольника ближайшие точки по трем сторонам служат вершинами педального треугольника этой точки. Если внутренняя точка является центром описанной окружности опорного треугольника, вершины педального треугольника являются серединами сторон опорного треугольника, и поэтому педальный треугольник называется треугольником средней точки или медиальным треугольником. Треугольник со средней точкой делит опорный треугольник на четыре равных треугольника, которые подобны опорному треугольнику.

Треугольник Жергонна или треугольник касания опорного треугольника имеет вершины в трех точках касания сторон опорного треугольника с вписанной окружностью. Треугольник касания опорного треугольника имеет вершины в точках касания вписанных окружностей опорного треугольника с его сторонами (не расширенными).

Фигуры, описанные около треугольника

Касательный треугольник опорного треугольника (кроме прямоугольного треугольника) — это треугольник, стороны которого лежат на касательных к описанной окружности опорного треугольника в его вершинах.

Как упоминалось выше, у каждого треугольника есть уникальная описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины, центр которой является пересечением серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Кроме того, каждый треугольник имеет уникальный окружной эллипс Штейнера , который проходит через вершины треугольника и имеет центр в центроиде треугольника. Из всех эллипсов, проходящих через вершины треугольника, он имеет наименьшую площадь.

Гипербола Киперта — это уникальная коника , проходящая через три вершины треугольника, его центроид и центр описанной окружности.

Из всех треугольников, содержащихся в данном выпуклом многоугольнике , один с максимальной площадью можно найти за линейное время; его вершины могут быть выбраны как три вершины данного многоугольника. ^[36]

Указание положения точки в треугольнике

Один из способов определить расположение точек внутри (или снаружи) треугольника — поместить треугольник в произвольное место и ориентацию в декартовой плоскости и использовать декартовы координаты. Хотя этот подход удобен для многих целей, он имеет тот недостаток, что значения координат всех точек зависят от произвольного расположения на плоскости.

Две системы избегают этой особенности, так что на координаты точки не влияет перемещение треугольника, его вращение или отражение, как в зеркале, любое из которых дает конгруэнтный треугольник, или даже изменение его масштаба для получения аналогичного треугольника. :

• Трилинейные координаты задают относительные расстояния точки от сторон, так что координаты указывают, что отношение расстояния точки от первой стороны к ее расстоянию от второй стороны равно и т. д. ${\displaystyle x:y:z}$ ${\displaystyle x:y}$
• Барицентрические координаты формы определяют местоположение точки с помощью относительных весов, которые необходимо приложить к трем вершинам, чтобы сбалансировать невесомый треугольник в данной точке. ${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

Неплоские треугольники

Неплоский треугольник — это треугольник, не лежащий в евклидовой плоскости . Некоторыми примерами неплоских треугольников в неевклидовой геометрии являются сферические треугольники в сферической геометрии и гиперболические треугольники в гиперболической геометрии .

В то время как сумма внутренних углов в плоских треугольниках всегда равна 180 °, в гиперболическом треугольнике есть меры углов, сумма которых меньше 180 °, а в сферическом треугольнике есть меры углов, сумма которых превышает 180 °. Гиперболический треугольник можно получить, рисуя на отрицательно изогнутой поверхности, например на седловой поверхности , а сферический треугольник можно получить, рисуя на положительно изогнутой поверхности, например на сфере . Так, если нарисовать на поверхности Земли гигантский треугольник, то окажется, что сумма мер его углов больше 180°; на самом деле он будет между 180° и 540°. ^[37] В частности, можно нарисовать треугольник на сфере так, чтобы размер каждого из его внутренних углов был равен 90°, что в сумме дает 270°.

В частности, на сфере сумма углов треугольника равна

180° × (1 + 4 ж ),

где f — доля площади сферы, заключенная в треугольник. Например, предположим, что мы рисуем треугольник на поверхности Земли с вершинами на Северном полюсе, в точке на экваторе на 0° долготы и точке на экваторе на 90° западной долготы . Большая окружная линия между двумя последними точками — это экватор, а большая окружная линия между любой из этих точек и Северным полюсом — это линия долготы; следовательно, в двух точках экватора есть прямые углы. Более того, угол на Северном полюсе тоже равен 90°, поскольку две другие вершины отличаются по долготе на 90°. Значит сумма углов в этом треугольнике равна 90°+90°+90°=270° . Треугольник охватывает 1/4 северного полушария (90°/360°, если смотреть с Северного полюса) и, следовательно, 1/8 поверхности Земли, поэтому в формуле f = 1/8 ; таким образом, формула правильно дает сумму углов треугольника как 270 °.

Из приведенной выше формулы суммы углов мы также можем видеть, что поверхность Земли локально плоская: если мы нарисуем сколь угодно маленький треугольник в окрестностях одной точки на поверхности Земли, часть f поверхности Земли, заключенная в треугольник, будет быть сколь угодно близким к нулю. В этом случае формула суммы углов упрощается до 180°, что, как мы знаем, соответствует тому, что говорит нам евклидова геометрия для треугольников на плоской поверхности.

Треугольники в строительстве

Флэтайрон -билдинг в Нью-Йорке имеет форму треугольной призмы.

Прямоугольники были самой популярной и распространенной геометрической формой зданий, поскольку их легко штабелировать и организовывать; Как правило, мебель и светильники легко спроектировать так, чтобы они поместились внутри зданий прямоугольной формы. Но треугольники, хотя их и труднее использовать концептуально, придают им большую силу. Поскольку компьютерные технологии помогают архитекторам проектировать креативные новые здания, треугольные формы становятся все более распространенными в качестве частей зданий и основной формы некоторых типов небоскребов, а также строительных материалов. В Токио в 1989 году архитекторы задавались вопросом, можно ли построить 500-этажную башню, чтобы обеспечить доступные офисные помещения для этого густонаселенного города, но, учитывая опасность для зданий от землетрясений , архитекторы посчитали, что треугольная форма будет необходима, если такая должно было быть построено здание. ^[38]

В Нью-Йорке , когда Бродвей пересекает основные проспекты, полученные кварталы разрезаются на треугольники, и по этим формам строятся здания; Одним из таких зданий является Флэтайрон-билдинг треугольной формы , в котором, по признанию специалистов по недвижимости, есть «мусор неуклюжих пространств, в которых нелегко разместить современную офисную мебель», но это не помешало этому сооружению стать знаковым символом. ^{[39] Дизайнеры в} Норвегии построили дома , используя треугольную тематику. ^[40] Треугольные формы появились в церквях ^[41] , а также в общественных зданиях, включая колледжи ^[42] , а также в качестве опор для инновационного дизайна домов. ^[43]

Треугольники прочные; в то время как прямоугольник может сжаться в параллелограмм из-за давления на одну из его точек, треугольники обладают естественной прочностью, которая поддерживает конструкции против бокового давления. Треугольник не изменит форму, если его стороны не согнуты, не вытянуты, не сломаны или если его суставы не сломаются; по сути, каждая из трех сторон поддерживает две другие. Прямоугольник, напротив, в большей степени зависит от прочности своих соединений в конструктивном отношении. Некоторые дизайнеры-новаторы предложили делать кирпичи не из прямоугольников, а из треугольных форм, которые можно комбинировать в трех измерениях. ^[44] Вполне вероятно, что по мере усложнения архитектуры треугольники будут использоваться все чаще и по-новому. Треугольники прочны с точки зрения жесткости, но, будучи упакованы в мозаичную композицию, треугольники не так прочны, как шестиугольники при сжатии (отсюда и преобладание шестиугольных форм в природе ). Однако мозаичные треугольники по-прежнему сохраняют превосходную прочность для консольного крепления , и это является основой одной из самых прочных искусственных структур — четырехгранной фермы .

Смотрите также

• Теорема Аполлония
• Стрелка (символ)
• Конгруэнтность (геометрия)
• Дельта (буква)
• Теорема Дезарга
• Глаз Дракона (символ)
• Точка Ферма
• Неравенство Хадвигера – Финслера
• Геронов треугольник
• Целочисленный треугольник
• Закон косинусов
• Закон синусов
• Закон касательных
• Теорема Лестера
• Список неравенств треугольника
• Список тем треугольника
• Современная геометрия треугольника
• Неравенство Оно
• Педаль треугольник
• Неравенство Педо
• теорема Пифагора
• Специальные прямоугольные треугольники
• Центр треугольника
• Треугольное число
• Триангулированная категория
• Триангуляция (топология)

Примечания

1. Евклид определяет равнобедренные треугольники на основе количества равных сторон, то есть только двух равных сторон . Альтернативный подход определяет равнобедренные треугольники на основе общих свойств, т.е. равносторонние треугольники являются частным случаем равнобедренных треугольников . wikt:Равнобедренный треугольник
2. Сумма n внешних углов любого n -стороннего выпуклого многоугольника составляет 360 градусов.
3. Опять же, во всех случаях «зеркальные изображения» тоже похожи.
4. Все пары равных треугольников также подобны; но не все пары подобных треугольников конгруэнтны.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник». Математический мир .
2. «Треугольники — равносторонний, равнобедренный и разносторонний». www.mathsisfun.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
3. "Книга элементов Евклида I, определение 20" .
4. Вайсштейн, Эрик В. «Равносторонний треугольник». Математический мир .
5. Вайсштейн, Эрик В. «Равнобедренный треугольник». Математический мир .
6. Вайсштейн, Эрик В. «Разносторонний треугольник». Математический мир .
7. Зейдлер, Эберхард (2004). Оксфордское руководство пользователя по математике . Издательство Оксфордского университета . п. 729. ИСБН 978-0-19-850763-5.
8. Гуллберг, Ян. Математика от рождения чисел . п. 393. ИСБН 9780393040029.
9. «Элементы Евклида, Книга I, Предложение 32».
10. Вардан Вердиян и Даниэль Кампос Салас, «Простые тригонометрические замены с широкими результатами», Mathematical Reflections № 6, 2007.
11. Лонге-Хиггинс, Майкл С., «Об отношении внутреннего радиуса к описанному радиусу треугольника», Mathematical Gazette 87, март 2003 г., 119–120.
12. профессор Дэвид Э. Джойс. «Законы косинусов и синусов». Университет Кларка . Проверено 1 ноября 2008 г.
13. Вайсштейн, Эрик В. «Закон касательных». Вольфрам Математический мир . Проверено 26 июля 2012 г.
14. "Доказательство Евклида теоремы Пифагора | Synaptic" . Центральный колледж . Проверено 12 июля 2023 г.
15. Арьябхатия Арьябхаты (переведенная на английский Уолтером Юджином Кларком , 1930), размещенная в Интернете в Интернет-архиве .
16. Вайсштейн, Эрик В. «Площадь треугольника». Математический мир .
17. Суд 1952, с. 70.
18. «Оксман, Виктор. «О существовании треугольников с заданными длинами одной стороны и двух смежных биссектрис», Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218» (PDF) .
19. Митчелл, Дуглас В. (2013), «Биссектрисы сторон треугольника», Forum Geometricorum 13, 53-59.
20. Суд 1952, с. 79.
21. Суд 1952, с. 64.
22. Джонсон 2007, с. 84.
23. Джонсон 2007, с. 174.
24. Суд 1952, стр. 70–71.
25. Джонсон 2007, с. 173.
26. Суд 1952, с. 83.
27. Суд 1952, с. 85.
28. Суд 1952, с. 94.
29. Суд 1952, с. 99.
30. Суд 1952, с. 102.
31. Кальман, Дэн. «Элементарное доказательство теоремы Мардена», 2008, American Mathematical Monthly 115, 330–338.
32. Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 161–165.
33. Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника». Математический мир Вольфрама .
34. Бэйли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine 71 (4), 1998, 278–284.
35. «Виктор Оксман и Моше Ступель, «Почему длины сторон квадратов, вписанных в треугольник, так близко друг к другу?», Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115».
36. Чандран, Шарат; Маунт, Дэвид М. (1992). «Параллельный алгоритм для вложенных и заключающих треугольников». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений . 2 (2): 191–214. дои : 10.1142/S0218195992000123. МР  1168956.
37. Уоткинс, Мэтью, Полезные математические и физические формулы , Уокер и компания, 2000.
38. «Токийские дизайнеры представляют 500-этажную башню» . Лос-Анджелес Таймс . Ассошиэйтед Пресс. 10 ноября 1989 года . Проверено 5 марта 2011 г. Строительная компания заявила в четверг, что спроектировала 500-этажный небоскреб для Токио... Здание имеет форму треугольника, уменьшающегося вверху, чтобы помочь ему поглощать ударные волны. В нем будет несколько туннелей, позволяющих пропускать тайфуны, а не обрушиваться на здание с полной силой.
39. Стапински, Хелен (26 мая 2010 г.). «Необычное здание, очаровавшее своих жильцов». Нью-Йорк Таймс . Проверено 5 марта 2011 г. Хотя организовать офисное пространство треугольником сложно.
40. Джодидио, Филип (2009). «Треугольный дом в Норвегии». Неделя архитектуры . Проверено 5 марта 2011 г. Местные ограничения зонирования определили как план, так и высоту Треугольного дома в Несоддене, Норвегия, из которого открывается вид на море через окружающий сосновый лес.
41. Мец, Трейси (июль 2009 г.). «Часовня диаконис Рейли». Архитектурный рекорд . Проверено 5 марта 2011 г. классические функции церкви в двух чистых формах: строгий стеклянный треугольник и внутри него округлая яйцеобразная конструкция из дерева.
42. Дебора Снунян, PE (5 марта 2011 г.). «Технические обзоры: технология сейсмического каркаса и разумное размещение в помощь Калифорнийскому общественному колледжу». Архитектурный рекорд . Проверено 5 марта 2011 г. Больше прочности, меньше материала... У них общий язык материалов: конструкционная сталь, стеклянные и металлические панели, а также лепнина; их угловатые, динамичные объемы, складчатые крыши и треугольные формы призваны намекать на тектонику плит смещающихся земных плоскостей, на которых они расположены.
43. Сара Амелар (ноябрь 2006 г.). «Экостанция Прейри-Ридж для дикой природы и обучения». Архитектурный рекорд . Проверено 5 марта 2011 г. Расположенная как дом на дереве, конструкция стоимостью 300 000 долларов легко прилегает к местности, позволяя земле течь под ней. Большая часть здания опирается на три треугольных деревянных каркаса на бетонной подушке.
44. Джошуа Ротман (13 марта 2011 г.). «Строим лучший кирпич». Бостон Глобус . Проверено 5 марта 2011 г. Кирпичи являются одними из старейших строительных материалов в мире: первые из них были использованы еще в 7500 году до нашей эры... Особенно красивое предложение Ризала Муслимина из Массачусетского технологического института заняло второе место: BeadBricks — это плоские треугольные кирпичи, которые можно комбинировать в трёх измерениях (вместо обычных двух).

Источники

• Корт, Натан Альтшиллер (1952) [1925]. Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.). Нью-Йорк: Barnes & Noble.
• Джонсон, Роджер А. (2007). Расширенная евклидова геометрия . Дувр.

Внешние ссылки

• Иванов, А.Б. (2001) [1994]. "Треугольник". Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .
• Кларк Кимберлинг: Энциклопедия центров треугольника. Перечисляет около 5200 интересных точек, связанных с любым треугольником.