Треугольное число

Фигурное число

Первые шесть треугольных чисел (не начинающиеся с T ₀ )

График треугольных чисел

Треугольное число или треугольное число подсчитывает объекты, расположенные в равностороннем треугольнике . Треугольные числа являются типом фигурных чисел , другими примерами являются квадратные числа и кубические числа . n- ное треугольное число — это количество точек в треугольном расположении с n точками на каждой стороне и равно сумме n натуральных чисел от 1 до n . Последовательность треугольных чисел, начиная с 0-го треугольного числа , равна

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(последовательность A000217 в OEIS )

Формула

Вывод треугольных чисел из треугольника Паскаля, выровненного влево .

  Натуральные числа

  Треугольные числа

  Тетраэдрические числа

  Пентатопные числа

  5-симплексные числа

  6-симплексные числа

  7-симплексные числа

Треугольные числа задаются следующими явными формулами:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

где — обозначение биномиального коэффициента . Он представляет собой количество различных пар, которые можно выбрать из n + 1 объектов, и читается вслух как « n плюс один выбрать два». ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$

Тот факт, что треугольное число th равно, можно проиллюстрировать с помощью наглядного доказательства . ^[1] Для каждого треугольного числа представьте себе «полупрямоугольное» расположение объектов, соответствующее треугольному числу, как на рисунке ниже. Копирование этого расположения и его поворот для создания прямоугольной фигуры удваивает количество объектов, создавая прямоугольник с размерами , что также является количеством объектов в прямоугольнике. Очевидно, что само треугольное число всегда равно ровно половине количества объектов в такой фигуре, или: . Ниже приведен пример : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n+1)/2}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n\times (n+1)}$ ${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle T_{4}}$

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(зеленый плюс желтый) подразумевает, что (зеленый).    ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$

Эту формулу можно доказать формально, используя математическую индукцию . ^[2] Она, очевидно, верна для : ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

Теперь предположим, что для некоторого натурального числа , . Прибавление к этому дает ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$ ${\displaystyle m+1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

поэтому если формула верна для , то она верна и для . Поскольку она, очевидно, верна для , то она верна и для , и, в конечном счете, для всех натуральных чисел по индукции. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n}$

Говорят , что немецкий математик и ученый Карл Фридрих Гаусс обнаружил эту связь в ранней юности, умножая ⁠н/2⁠ пар чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . ^[3] Однако, независимо от правдивости этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают вероятным, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в 5 веке до н. э. ^[4] Обе формулы были описаны ирландским монахом Дикуилом примерно в 816 году в его Computus . ^[5] Доступен английский перевод отчета Дикуила. ^[6]

Доказательство без слов , что количество возможных рукопожатий между n людьми равно (n−1)-му треугольному числу

Треугольное число T _n решает задачу о рукопожатии , заключающуюся в подсчете количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с n + 1 людьми пожимает руку каждому человеку один раз. Другими словами, решение задачи о рукопожатии n людей равно T _{n −1} . ^[7] Функция T является аддитивным аналогом факториальной функции, которая является произведением целых чисел от 1 до  n .

Эта же функция была названа « Терминальной функцией » ^[8] в книге Дональда Кнута «Искусство программирования» и обозначена n? (аналог обозначения факториала n! ).

Например, 10-терминал эквивалентен:

$${\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}$$

что, конечно, соответствует десятому треугольному числу .

Число отрезков между ближайшими парами точек в треугольнике можно выразить через число точек или с помощью рекуррентного соотношения : $${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками равно $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

Отношения к другим фигурным числам

Треугольные числа имеют самые разные отношения к другим фигурным числам.

Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратным числом, причем сумма является квадратом разности между ними (и, таким образом, разность между ними является квадратным корнем суммы). Алгебраически, $${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях так, чтобы получился квадрат:

6 + 10 = 16         10 + 15 = 25    

Двойное треугольное число, как в наглядном доказательстве из приведенного выше раздела § Формула, называется проническим числом .

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами, например, 1, 36, 1225. Некоторые из них можно получить с помощью простой рекурсивной формулы: с $${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$ ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Все квадратно-треугольные числа находятся из рекурсии с и $${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$ ${\displaystyle S_{0}=0}$ ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Квадрат, длина стороны которого является треугольным числом, можно разбить на квадраты и полуквадраты, площади которых в сумме являются кубами. Это показывает, что квадрат n- го треугольного числа равен сумме первых n кубических чисел.

Также квадрат n- го треугольного числа равен сумме кубов целых чисел от 1 до n . Это также можно выразить как $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

Сумма первых n треугольных чисел равна n- му тетраэдрическому числу : $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

В более общем смысле, разница между n- м m -угольным числом и n -м ( m + 1) -угольным числом равна ( n − 1) -му треугольному числу. Например, шестое семиугольное число (81) минус шестое шестиугольное число (66) равно пятому треугольному числу, 15. Каждое второе треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно вычислить любое центрированное многоугольное число ; n -е центрированное k -угольное число получается по формуле $${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

где T — треугольное число.

Положительная разность двух треугольных чисел является трапециевидным числом .

Закономерность, найденная для треугольных чисел и для тетраэдральных чисел , которая использует биномиальные коэффициенты , может быть обобщена. Это приводит к формуле: ^[9] ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$ ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$ $${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Четвертое треугольное число равно третьему тетраэдрическому числу, так как n- е k -симплексное число равно k -му n -симплексному числу из-за симметрии треугольника Паскаля , а его диагонали являются симплексными числами; аналогично, пятое треугольное число (15) равно третьему пентатопному числу и т. д.

Другие свойства

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера .

Чередующиеся треугольные числа (1, 6, 15, 28, ...) также являются шестиугольными числами.

Каждое четное совершенное число является треугольным (а также шестиугольным), что определяется формулой , где M _p — простое число Мерсенна . Нечетные совершенные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа являются треугольными. $${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$

Например, третье треугольное число равно (3 × 2 =) 6, седьмое — (7 × 4 =) 28, 31-е — (31 × 16 =) 496, а 127-е — (127 × 64 =) 8128.

Последняя цифра треугольного числа — 0, 1, 3, 5, 6 или 8, и поэтому такие числа никогда не заканчиваются на 2, 4, 7 или 9. Последней 3 должна предшествовать 0 или 5; последней 8 должна предшествовать 2 или 7.

В системе счисления с основанием 10 цифровой корень ненулевого треугольного числа всегда равен 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждое треугольное число либо делится на три, либо дает остаток 1 при делении на 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

Цифровой шаблон корня для треугольных чисел, повторяющийся каждые девять членов, как показано выше, выглядит так: «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Обратное утверждение выше, однако, не всегда верно. Например, цифровой корень из 12, который не является треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если x — треугольное число, то ax + b — также треугольное число, учитывая, что a — нечетный квадрат и b = ⁠а − 1/8⁠ . Обратите внимание, что b всегда будет треугольным числом, потому что 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , что дает все нечетные квадраты, которые раскрываются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а процесс для b , если a является нечетным квадратом, является обратным этой операции. Первые несколько пар этой формы (не считая 1 x + 0 ) таковы: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 , ... и т. д. Учитывая, что x равен T _n , эти формулы дают T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} и так далее.

Сумма обратных величин всех ненулевых треугольных чисел равна $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

Это можно показать, используя базовую сумму телескопического ряда : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

Вот еще две формулы, касающиеся треугольных чисел , и обе они могут быть легко получены либо путем рассмотрения точечных узоров (см. выше), либо с помощью простой алгебры. $${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$ $${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$

В 1796 году Гаусс открыл, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы трех треугольных чисел (возможно, включая T ₀ = 0), записав в своем дневнике свои знаменитые слова: « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ». Эта теорема не подразумевает, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0), и что должно существовать решение с ровно тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах .

Наибольшее треугольное число вида 2 ^k − 1 равно 4095 (см. уравнение Рамануджана–Нагелла ).

Вацлав Францишек Серпинский поставил вопрос о существовании четырёх различных треугольных чисел в геометрической прогрессии . Польский математик Казимеж Шимичек предположил, что это невозможно, и позже это доказали Фан и Чен в 2007 году. ^{[10] [11]}

Формулы, включающие выражение целого числа в виде суммы треугольных чисел, связаны с тета-функциями , в частности с тета-функцией Рамануджана . ^{[12] [13]}

Сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратным числом, так как: ^{[14] [15]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

Это свойство, в просторечии известное как теорема Теона Смирнского , ^[16] наглядно демонстрируется в следующей сумме, которая представлена ​​в виде суммы цифр : ${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

Приложения

Максимальное количество кусков, p, которое можно получить с помощью n прямых разрезов, равно n -му треугольному числу плюс один, образуя последовательность ленивого поставщика (OEIS A000124)

Полностью связанная сеть из n вычислительных устройств требует наличия T _{n − 1} кабелей или других соединений; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, который использует групповой этап по круговой системе , количество матчей, которые необходимо сыграть между n командами, равно треугольному числу T _{n − 1} . Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами требует 28 матчей. Это также эквивалентно задаче о рукопожатии и задачам полностью связанных сетей.

Одним из способов расчета амортизации актива является метод суммы лет , который предполагает нахождение T _n , где n — это продолжительность срока полезного использования актива в годах. Каждый год элемент теряет ( b − s ) × ⁠н − у/Т _н⁠ , где b — начальная стоимость товара (в денежных единицах), s — его окончательная ликвидационная стоимость, n — общее количество лет, в течение которых товар пригоден к использованию, а y — текущий год в графике амортизации. Согласно этому методу, товар со сроком службы n = 4 года потеряет ⁠4/10⁠ его «убыточной» стоимости в первый год, ⁠3/10⁠ во втором, ⁠2/10⁠ в третьем, и ⁠1/10⁠ в четвертом, накапливая общую амортизацию ⁠10/10⁠ (вся) утрачиваемая стоимость.

Дизайнеры настольных игр Джеффри Энгельштейн и Айзек Шалев описывают треугольные числа как достигшие «почти статуса мантры или коана среди игровых дизайнеров », описывая их как «глубоко интуитивные» и «присутствующие в огромном количестве игр, [доказавшие] невероятную универсальность в предоставлении возрастающих наград для больших наборов без чрезмерного стимулирования специализации в ущерб всем другим стратегиям» ^{[17] .}

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел

По аналогии с квадратным корнем из x можно определить (положительный) треугольный корень из x как число n такое, что T _n = x : ^[18] $${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

что следует непосредственно из квадратной формулы . Таким образом, целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8 x + 1 является квадратом. Эквивалентно, если положительный треугольный корень n из x является целым числом, то x является n- ым треугольным числом. ^[18]

Альтернативное название

Как уже было сказано, альтернативное название, предложенное Дональдом Кнутом , по аналогии с факториалами , — «терминал», с обозначением n ? для n- го треугольного числа. ^[19] Однако, хотя некоторые другие источники используют это название и обозначение, ^[20] они не получили широкого распространения.

Смотрите также

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Двойственно треугольное число , треугольное число, положение которого в последовательности треугольных чисел также является треугольным числом.
• Тетрактис , расположение десяти точек в треугольнике, важное в пифагореизме

Ссылки

1. "Треугольная последовательность чисел". Математика - это весело .
2. Спивак, Майкл (2008). Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish. стр. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.
3. Хейс, Брайан. «Gauss's Day of Reckoning». Американский ученый . Вычислительная наука. Архивировано из оригинала 2015-04-02 . Получено 2014-04-16 .
4. Ивс, Говард. "Веб-страница цитирует ВВЕДЕНИЕ В ИСТОРИЮ МАТЕМАТИКИ". Mathcentral . Получено 28 марта 2015 г.
5. Эспозито, М. Неопубликованный астрономический трактат ирландского монаха Дикуиля. Труды Королевской Ирландской Академии, XXXVI в. Дублин, 1907, 378-446.
6. Росс, Х. Э. и Нотт, Б. И. «Дикуй (IX век) о треугольных и квадратных числах». Британский журнал истории математики, 2019, 34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.
7. "Проблема рукопожатия | Национальная ассоциация математических кружков". MathCircles.org . Архивировано из оригинала 10 марта 2016 г. Получено 12 января 2022 г.
8. Кнут, Дональд. Искусство программирования . Т. 1 (3-е изд.). С. 48.
9. Бауманн, Майкл Генрих (12 декабря 2018 г.). «К-мерная пирамида Шампанского» (PDF) . Mathematische Semesterberichte (на немецком языке). 66 : 89–100. doi : 10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN  1432-1815. S2CID  125426184.
10. Чэнь, Фанг: Треугольные числа в геометрической прогрессии
11. Фанг: Несуществование геометрической прогрессии, содержащей четыре треугольных числа
12. Лю, Чжи-Го (2003-12-01). «Тождество Рамануджана и представление целых чисел в виде сумм треугольных чисел». Журнал Рамануджана . 7 (4): 407–434. doi :10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae. ISSN  1382-4090. S2CID  122221070.
13. Сан, Чжи-Хун (2016-01-24). «Тета-функции Рамануджана и суммы треугольных чисел». arXiv : 1601.06378 [math.NT].
14. Белдон, Том; Гардинер, Тони (2002). «Треугольные числа и совершенные квадраты». The Mathematical Gazette . 86 (507): 423–431. doi :10.2307/3621134. JSTOR  3621134. Получено 25 апреля 2024 г.
15. Эрик В. Вайсштейн. «Треугольное число». Wolfram MathWorld . Получено 14.04.2024 .См. уравнения 18 - 20.
16. Шелл-Геллаш, Эми; Ту, Джон (15 октября 2015 г.). Алгебра в контексте: Вводная алгебра от истоков до приложений. Johns Hopkins University Press. стр. 210. doi :10.1353/book.49475. ISBN 9781421417288.
17. Энгельштейн, Джеффри; Шалев, Айзек (2019-06-25). Строительные блоки дизайна настольных игр. doi :10.1201/9780429430701. ISBN 978-0-429-43070-1. S2CID  198342061.
18. Эйлер, Леонард ; Лагранж, Жозеф Луи (1810), Элементы алгебры , т. 1 (2-е изд.), J. Johnson and Co., стр. 332–335
19. Дональд Э. Кнут (1997). Искусство программирования: Том 1: Фундаментальные алгоритмы . 3-е изд. Addison Wesley Longman, США стр. 48.
20. Стоун, Джон Дэвид (2018), Алгоритмы функционального программирования , Springer, стр. 282, doi :10.1007/978-3-662-57970-1, ISBN 978-3-662-57968-8, S2CID  53079729

Внешние ссылки

• «Арифметический ряд», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Треугольные числа в cut-the-knot
• Существуют треугольные числа, которые также являются квадратными при разрезании узла.
• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольное число». MathWorld .
• Гипертетраэдральные политопные корни Роба Хаббарда, включая обобщение на треугольные кубические корни , некоторые более высокие измерения и некоторые приближенные формулы