Ортогональные полиномы

Набор многочленов, любые два из которых ортогональны друг другу

В математике последовательность ортогональных полиномов представляет собой семейство полиномов , в котором любые два разных полинома в последовательности ортогональны друг другу относительно некоторого скалярного произведения .

Наиболее широко используемые ортогональные полиномы — классические ортогональные полиномы , состоящие из полиномов Эрмита , полиномов Лагерра и полиномов Якоби . Полиномы Гегенбауэра составляют наиболее важный класс полиномов Якоби; они включают полиномы Чебышева и полиномы Лежандра как частные случаи.

Область ортогональных полиномов возникла в конце 19 в. на основе изучения цепных дробей П. Л. Чебышевым и развивалась А. А. Марковым и Т. Дж. Стилтьесом . Они появляются в самых разных областях: численный анализ ( правила квадратур ), теория вероятностей , теория представлений ( групп Ли , квантовых групп и связанных с ними объектов), перечислительная комбинаторика , алгебраическая комбинаторика , математическая физика (теория случайных матриц , интегрируемых системы и т. д.), а также теорию чисел . Некоторые из математиков, которые работали над ортогональными многочленами, включают Габора Сегё , Сергея Бернштейна , Наума Ахиезера , Артура Эрдейи , Якова Геронимуса , Вольфганга Хана , Теодора Сейо Чихару , Мурада Исмаила , Валида Аль-Салама , Ричарда Аски и Рехуэля Лобатто .

Определение случая с 1 переменной для вещественной меры

Учитывая любую неубывающую функцию α действительных чисел, мы можем определить интеграл Лебега – Стилтьеса

$${\displaystyle \int f(x)\,d\alpha (x)}$$

fffg

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).}$$

Эта операция представляет собой положительно полуопределенный скалярный продукт в векторном пространстве всех многочленов и является положительно определенной, если функция α имеет бесконечное количество точек роста. Он вводит понятие ортогональности обычным способом, а именно, что два многочлена ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю.

Тогда последовательность ( P _n )^∞
_{п =0}ортогональных полиномов определяется соотношениями

$${\displaystyle \deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.}$$

Другими словами, последовательность получается из последовательности мономов 1, x , x ² ,… с помощью процесса Грама – Шмидта относительно этого скалярного произведения.

Обычно от последовательности требуется, чтобы она была ортонормированной , а именно:

$${\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1,}$$

Абсолютно непрерывный случай

Иногда у нас есть

$${\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx}$$

$${\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} }$$

[ x ₁ , x ₂ ]x ₁  = −∞x ₂ = ∞Wвесовой функцией^[1]

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.}$$

dα ( x )αW

Примеры ортогональных многочленов

Наиболее часто используемые ортогональные полиномы ортогональны для меры с поддержкой в ​​действительном интервале. Это включает в себя:

• Классические ортогональные полиномы ( полиномы Якоби , полиномы Лагерра , полиномы Эрмита и их частные случаи, полиномы Гегенбауэра , полиномы Чебышева и полиномы Лежандра ).
• Полиномы Вильсона , которые обобщают полиномы Якоби. Они включают в себя множество ортогональных полиномов как частные случаи, такие как полиномы Мейкснера – Поллачека , непрерывные полиномы Хана , непрерывные двойственные полиномы Хана и классические полиномы, описываемые схемой Аски.
• Полиномы Аски – Вильсона вводят дополнительный параметр q в полиномы Вильсона.

Дискретные ортогональные полиномы ортогональны относительно некоторой дискретной меры. Иногда мера имеет конечный носитель, и в этом случае семейство ортогональных полиномов является конечным, а не бесконечной последовательностью. Полиномы Рака являются примерами дискретных ортогональных полиномов и включают в качестве особых случаев полиномы Хана и двойственные полиномы Хана , которые, в свою очередь, включают в себя в качестве особых случаев полиномы Мейкснера , полиномы Кравчука и полиномы Шарлье .

Мейкснер классифицировал все ортогональные последовательности Шеффера : есть только Эрмита, Лагерра, Шарлье, Мейкснера и Мейкснера-Полачека. В каком-то смысле Кравчук тоже должен быть в этом списке, но они представляют собой конечную последовательность. Эти шесть семейств соответствуют NEF-QVF и представляют собой мартингальные полиномы для некоторых процессов Леви .

Просеянные ортогональные полиномы , такие как просеянные ультрасферические полиномы , просеянные полиномы Якоби и просеянные полиномы Поллачека , имеют модифицированные рекуррентные отношения.

Можно также рассматривать ортогональные полиномы для некоторой кривой на комплексной плоскости. Самый важный случай (кроме действительных интервалов) - это когда кривая представляет собой единичную окружность, давая ортогональные полиномы на единичной окружности , такие как полиномы Роджерса-Сегё .

Существуют некоторые семейства ортогональных полиномов, которые ортогональны в плоских областях, таких как треугольники или диски. Иногда их можно записать в терминах полиномов Якоби. Например, полиномы Цернике ортогональны на единичном круге.

Преимущество ортогональности между полиномами Эрмита разных порядков применяется к структуре обобщенного мультиплексирования с частотным разделением каналов (GFDM). В каждой сетке частотно-временной решетки может содержаться более одного символа. ^[2]

Характеристики

Ортогональные многочлены одной переменной, определяемые неотрицательной мерой на вещественной прямой, обладают следующими свойствами.

Отношение к моментам

Ортогональные многочлены P _n можно выразить через моменты

${\displaystyle m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)}$

следующее:

${\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}$

где константы cn произвольны ₍ зависят от нормировки Pn ₎ .

Это происходит непосредственно в результате применения процесса Грама – Шмидта к мономам, при котором каждый многочлен становится ортогональным относительно предыдущих. Например, ортогональность с предписаниями должна иметь вид ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

$${\displaystyle P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),}$$

Рекуррентное отношение

Полиномы P _n удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}$

где An _не равно 0. Обратное также верно; см. теорему Фавара .

Формула Кристоффеля-Дарбу

Нули

Если мера dα поддерживается на интервале [ a ,  b ], все нули Pn лежат в [ _a , b  ] . Более того, нули обладают следующим свойством переплетения: если m  <  n , то между любыми двумя нулями  P _m находится нуль P _n . Можно дать электростатическую интерпретацию нулей. ^{[ нужна цитата ]}

Комбинаторная интерпретация

С 1980-х годов благодаря работам К. Г. Вьенно, Ж. Лабеля, Ю.-Н. Йе, Д. Фоата и др., комбинаторные интерпретации были найдены для всех классических ортогональных многочленов. ^[3]

Другие типы ортогональных полиномов

Многомерные ортогональные полиномы

Полиномы Макдональда являются ортогональными полиномами от нескольких переменных, в зависимости от выбора аффинной корневой системы. Они включают в себя множество других семейств ортогональных полиномов с множеством переменных в качестве особых случаев, в том числе полиномы Джека , полиномы Холла-Литтлвуда , полиномы Хекмана-Опдама и полиномы Курнвиндера . Полиномы Аски – Вильсона являются частным случаем полиномов Макдональда для некоторой неприводимой системы корней ранга 1.

Множественные ортогональные полиномы

Множественные ортогональные полиномы — это полиномы от одной переменной, ортогональные относительно конечного семейства мер.

Ортогональные полиномы Соболева

Это ортогональные полиномы относительно скалярного произведения Соболева , т.е. скалярного произведения с производными. Включение производных имеет серьезные последствия для полиномов: в целом они больше не имеют некоторых хороших особенностей классических ортогональных полиномов.

Ортогональные полиномы с матрицами

Ортогональные многочлены с матрицами имеют либо коэффициенты, которые являются матрицами, либо неопределенная величина является матрицей.

Есть два популярных примера: либо коэффициенты являются матрицами, либо : ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ ${\displaystyle x}$

• Вариант 1: , где матрицы . ${\displaystyle P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ ${\displaystyle p\times p}$
• Вариант 2: где -матрица , а -матрица идентичности. ${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle I_{p}}$

Квантовые полиномы

Квантовые полиномы или q-полиномы являются q-аналогами ортогональных полиномов.

Смотрите также

• Последовательность апелляции
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных полиномов
• Теорема Фавара
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффера
• Теория Штурма – Лиувилля
• Теневое исчисление
• Асимптотика Планшереля – Ротаха.

Рекомендации

1. Демонстрация ортонормированных полиномов, полученных для разных весовых функций.
2. Чатак, Э.; Дурак-Ата, Л. (2017). «Эффективная конструкция трансивера для наложенных сигналов с ортогональными полиномами». Международная Черноморская конференция IEEE по коммуникациям и сетям (BlackSeaCom) 2017 . стр. 1–5. doi : 10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657. ISBN 978-1-5090-5049-9. S2CID  22592277.
3. Вьенно, Ксавье (2017). «Искусство биективной комбинаторики, часть IV, Комбинаторная теория ортогональных многочленов и цепных дробей». Ченнаи: IMSc.

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные полиномы . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 0-677-04150-0.
• Чихара, Теодор Сейо (2001). «45 лет ортогональных полиномов: взгляд из-за кулис». Труды Пятого международного симпозиума по ортогональным полиномам, специальным функциям и их приложениям (Патрас, 1999). Журнал вычислительной и прикладной математики . 133 (1): 13–21. Бибкод : 2001JCoAM.133...13C. дои : 10.1016/S0377-0427(00)00632-4 . ISSN  0377-0427. МР  1858267.
• Фонканнон, Джей-Джей; Фонканнон, Джей-Джей; Пеконен, Осмо (2008). «Обзор классических и квантовых ортогональных полиномов от одной переменной Мурада Исмаила». Математический интеллект . 30 . Спрингер Нью-Йорк: 54–60. дои : 10.1007/BF02985757. ISSN  0343-6993. S2CID  118133026.
• Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-78201-5.
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные полиномы . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-43808-2.
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• «Ортогональные полиномы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные полиномы. Публикации коллоквиума. Том. XXIII. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1023-1. МР  0372517.
• Тотик, Вилмос (2005). «Ортогональные полиномы». Обзоры по теории приближений . 1 : 70–125. arXiv : math.CA/0512424 .
• К. Чан, А. Миронов, А. Морозов, А. Слепцов, arXiv :1712.03155.