Унитарный трюк

В математике унитарная уловка (или унитарный трюк ) — это прием в теории представлений групп Ли , введенный Адольфом Гурвицем (1897) для специальной линейной группы и Германом Вейлем для общих полупростых групп . Он применяется, чтобы показать, что теория представлений некоторой комплексной группы Ли G качественно контролируется теорией представлений некоторой компактной действительной группы Ли K, и последняя теория представлений проще. Важным примером является случай, когда G — комплексная общая линейная группа GL _n ( C ), а K — унитарная группа U( n ), действующая на векторах того же размера. Из того факта, что представления K полностью приводимы , то же самое следует для комплексно-аналитических представлений G , по крайней мере в конечных размерностях.

Связь между G и K , которая управляет этой связью, традиционно выражается в терминах, что алгебра Ли K является действительной формой алгебры G. В теории алгебраических групп связь может быть также выражена так, что K является плотным подмножеством G для топологии Зарисского .

Этот прием работает для редуктивных групп Ли G , важным случаем которых являются полупростые группы Ли .

Формулировки

«Трюк» формулируется несколькими способами в современной математике. Одна из таких формулировок — для G — редуктивной группы над комплексными числами. Тогда G _an , комплексные точки G, рассматриваемые как группа Ли, имеют компактную подгруппу K, которая плотна по Зарискому. ^[1] Для случая специальной линейной группы этот результат был доказан для ее специальной унитарной подгруппы Иссаи Шуром (1924, предвосхищено более ранней работой). ^[2] Специальная линейная группа является комплексной полупростой группой Ли. Для любой такой группы G и максимальной компактной подгруппы K , а V — комплексного векторного пространства конечной размерности, которое является G -модулем, его G -подмодули и K -подмодули одинаковы. ^[3]

В энциклопедии математики формулировка такова:

Классические компактные группы Ли... имеют те же самые комплексные линейные представления и те же самые инвариантные подпространства в тензорных пространствах, что и их комплексные оболочки [...]. Поэтому результаты теории линейных представлений, полученные для классических комплексных групп Ли, могут быть перенесены на соответствующие компактные группы и наоборот. ^[4]

В терминах формализма Таннакиана Клод Шевалле интерпретировал двойственность Таннаки , начиная с компактной группы Ли K, как построение «комплексной оболочки» G как дуальной редуктивной алгебраической группы Tn(K) над комплексными числами. ^[5] Виравалли С. Варадараджан писал об «унитарном трюке» как о «каноническом соответствии между компактными и комплексными полупростыми комплексными группами, открытыми Вейлем», отмечая «тесно связанные теории двойственности Шевалле и Таннаки», а также более поздние разработки, последовавшие за этим в квантовых группах . ^[6]

История

Адольф Гурвиц показал, как интегрирование по компактной группе Ли может быть использовано для построения инвариантов в случаях унитарных групп и компактных ортогональных групп . Иссай Шур в 1924 году показал, что этот метод может быть применен для демонстрации полной приводимости представлений для таких групп посредством построения инвариантного скалярного произведения. Вейль распространил метод Шура на комплексные полупростые алгебры Ли, показав, что они имеют компактную вещественную форму . ^[7]

Теорема Вейля

Полная приводимость конечномерных линейных представлений компактных групп или связных полупростых групп Ли и комплексных полупростых алгебр Ли иногда называется теоремой Вейля . ^[8] Связанный с ней результат, что универсальное покрытие компактной полупростой группы Ли также является компактным, также называется тем же именем. Это было доказано Вейлем за несколько лет до того, как «универсальное покрытие» получило формальное определение. ^[9]^[10]

Явные формулы

Пусть — комплексное представление компактной группы Ли . Определим , проинтегрировав по относительно меры Хаара. Поскольку — положительная матрица, то существует квадратный корень такой, что . Для каждого матрица унитарна. $\pi :G\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )$ $G$ $P=\int _{G}\pi (g)\pi (g)^{*}dg$ $G$ $P$ $Q$ $P=Q^{2}$ $g\in G$ $\tau (g)=Q^{-1}\pi (g)Q$

Примечания

^ Паршин, АН; Шафаревич, ИР (6 декабря 2012 г.). Алгебраическая геометрия IV: Линейные алгебраические группы Инвариантная теория. Springer Science & Business Media. стр. 92. ISBN 978-3-662-03073-8.
^ Хокинс, Томас (6 декабря 2012 г.). Возникновение теории групп Ли: эссе по истории математики 1869–1926 гг. Springer Science & Business Media. стр. 415. ISBN 978-1-4612-1202-7.
^ Сантос, Вальтер Феррер; Риттаторе, Альваро (26 апреля 2005 г.). Действия и инварианты алгебраических групп. CRC Press. стр. 304. ISBN 978-1-4200-3079-2.
^ Винберг, ЭБ (2001) [1994], «Представление классических групп», Энциклопедия математики , EMS Press
^ Хитчин, Найджел Дж. (июль 2010 г.). Многогранность геометрии: дань уважения Найджелу Хитчину. Oxford University Press. стр. 97–98. ISBN 978-0-19-953492-0.
^ Доран, Роберт С. (2000). Математическое наследие Хариш-Чандры: чествование теории представлений и гармонического анализа: специальная сессия AMS, посвященная памяти Хариш-Чандры, 9-10 января 1998 г., Балтимор, Мэриленд. Американское математическое общество. стр. 3. ISBN 978-0-8218-1197-9.
^ Николя Бурбаки , Группы Ли и алгебры Ли (1989), с. 426.
^ "Полностью приводимое множество", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
^ "Группа Ли, компактная", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
^ Бурбаки, Николас (1989). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 1-3. Springer Science & Business Media. стр. 426. ISBN 978-3-540-64242-8.

Ссылки

В.С. Варадараджан, Введение в гармонический анализ на полупростых группах Ли (1999), стр. 49.
Вульф Россманн, Группы Ли: введение через линейные группы (2006), стр. 225.
Роу Гудман, Нолан Р. Уоллах, Симметрия, представления и инварианты (2009), стр. 171.
Гурвиц, А. (1897), "Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration", Nachrichten Ges. Висс. Геттинген : 71–90