Квантовая группа

Алгебраическая конструкция, представляющая интерес в теоретической физике

В математике и теоретической физике термин квантовая группа обозначает один из нескольких различных видов некоммутативных алгебр с дополнительной структурой. К ним относятся квантовые группы типа Дринфельда–Джимбо (которые являются квазитреугольными алгебрами Хопфа ), компактные матричные квантовые группы (которые являются структурами на унитальных сепарабельных C*-алгебрах ) и квантовые группы двойного произведения. Несмотря на свое название, они сами по себе не имеют естественной групповой структуры, хотя в некотором смысле «близки» к группе.

Термин «квантовая группа» впервые появился в теории квантовых интегрируемых систем , которая затем была формализована Владимиром Дринфельдом и Мичио Джимбо как особый класс алгебры Хопфа . Этот же термин используется также для других алгебр Хопфа, которые деформируют или близки к классическим группам Ли или алгебрам Ли , например, для класса квантовых групп «бикросс-произведение», введенного Шаном Маджидом немного позже работы Дринфельда и Джимбо.

В подходе Дринфельда квантовые группы возникают как алгебры Хопфа, зависящие от вспомогательного параметра q или h , которые становятся универсальными обертывающими алгебрами некоторой алгебры Ли, часто полупростой или аффинной , когда q = 1 или h = 0. Тесно связаны с ними некоторые дуальные объекты, также алгебры Хопфа, также называемые квантовыми группами, деформирующие алгебру функций на соответствующей полупростой алгебраической группе или компактной группе Ли .

Интуитивное значение

Открытие квантовых групп было довольно неожиданным, поскольку долгое время было известно, что компактные группы и полупростые алгебры Ли являются «жёсткими» объектами, иными словами, их нельзя «деформировать». Одна из идей, лежащих в основе квантовых групп, заключается в том, что если мы рассмотрим структуру, которая в некотором смысле эквивалентна, но больше, а именно групповую алгебру или универсальную обертывающую алгебру , то групповая алгебра или обертывающая алгебра могут быть «деформированы», хотя деформация уже не будет оставаться групповой алгеброй или обертывающей алгеброй. Точнее, деформация может быть выполнена в категории алгебр Хопфа , которые не обязаны быть ни коммутативными , ни кокоммутативными . Можно представить себе деформированный объект как алгебру функций на «некоммутативном пространстве» в духе некоммутативной геометрии Алена Конна . Однако эта интуиция появилась после того, как определенные классы квантовых групп уже доказали свою полезность в изучении квантового уравнения Янга–Бакстера и квантового метода обратной задачи рассеяния, разработанного Ленинградской школой ( Людвиг Фаддеев , Леон Тахтаджан , Евгений Склянин , Николай Решетихин и Владимир Корепин ), а также в связанных с этим работах Японской школы. ^[1] Интуиция, лежащая в основе второго класса квантовых групп, двойного произведения , была иной и возникла из поиска самодуальных объектов как подхода к квантовой гравитации . ^[2]

Квантовые группы типа Дринфельда–Джимбо

Один тип объектов, обычно называемых «квантовой группой», появился в работе Владимира Дринфельда и Мичио Джимбо как деформация универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли или, в более общем смысле, алгебры Каца–Муди в категории алгебр Хопфа . Полученная алгебра имеет дополнительную структуру, превращающую ее в квазитреугольную алгебру Хопфа .

Пусть A = ( a _ij ) — матрица Картана алгебры Каца–Муди, и пусть q ≠ 0, 1 — комплексное число, тогда квантовая группа U _q ( G ), где G — алгебра Ли, матрица Картана которой равна A , определяется как унитальная ассоциативная алгебра с генераторами k _λ (где λ — элемент весовой решетки , т.е. 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) — целое число для всех i ), а также e _i и f _i (для простых корней , α _i ), подчиняющаяся следующим соотношениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

А для i ≠ j мы имеем q -соотношения Серра, которые являются деформациями соотношений Серра :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

где q-факториал , q-аналог обычного факториала , определяется рекурсивно с использованием q-числа:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

В пределе при q → 1 эти соотношения приближаются к соотношениям для универсальной обертывающей алгебры U ( G ), где

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

и t _λ — элемент подалгебры Картана, удовлетворяющий условию ( t _λ , h ) = λ ( h ) для всех h в подалгебре Картана.

Существуют различные коассоциативные копроизведения , при которых эти алгебры являются алгебрами Хопфа, например,

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

где набор генераторов был расширен, если это требовалось, чтобы включить k _λ для λ , который можно выразить как сумму элемента решетки весов и половины элемента решетки корней .

Кроме того, любая алгебра Хопфа приводит к другой с обратным копроизведением T o Δ, где T задается формулой T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , что дает еще три возможные версии.

Коединица на U _q ( A ) одинакова для всех этих копроизведений: ε ( k _λ ) = 1, ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0, а соответствующие антиподы для вышеуказанных копроизведений задаются как

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

Альтернативно, квантовую группу U _q ( G ) можно рассматривать как алгебру над полем C ( q ), полем всех рациональных функций неопределенного q над C .

Аналогично, квантовую группу U _q ( G ) можно рассматривать как алгебру над полем Q ( q ), полем всех рациональных функций неопределенного q над Q (см. ниже в разделе о квантовых группах при q = 0). Центр квантовой группы можно описать квантовым детерминантом.

Теория представления

Так же, как существует множество различных типов представлений для алгебр Каца–Муди и их универсальных обертывающих алгебр, существует множество различных типов представлений для квантовых групп.

Как и в случае всех алгебр Хопфа, U _q ( G ) имеет присоединенное представление на себе как на модуле, причем действие задается формулой

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}$

где

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.}$

Случай 1:дне является корнем единицы

Одним из важных типов представления является весовое представление, а соответствующий модуль называется весовым модулем. Весовой модуль — это модуль с базисом весовых векторов. Весовой вектор — это ненулевой вектор v такой, что k _λ · v = d _λ v для всех λ , где d _λ — комплексные числа для всех весов λ таких, что

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },}$для всех весов λ и μ .

Весовой модуль называется интегрируемым, если действия e _i и f _i локально нильпотентны (т.е. для любого вектора v в модуле существует положительное целое число k , возможно, зависящее от v , такое, что для всех i ). В случае интегрируемых модулей комплексные числа d _λ , связанные с весовым вектором, удовлетворяют , ^{[ необходима цитата ]} где ν — элемент весовой решетки, а c _λ — комплексные числа, такие, что ${\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0}$ ${\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$для всех весов λ и μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$для всех я .

Особый интерес представляют представления с наибольшим весом и соответствующие модули с наибольшим весом. Модуль с наибольшим весом — это модуль, порожденный вектором веса v , при условии k _λ · v = d _λ v для всех весов μ и e _i · v = 0 для всех i . Аналогично, квантовая группа может иметь представление с наименьшим весом и модуль с наименьшим весом, т. е. модуль, порожденный вектором веса v , при условии k _λ · v = d _λ v для всех весов λ и f _i · v = 0 для всех i .

Определим вектор v, имеющий вес ν, если для всех λ в решетке весов. ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v}$

Если G является алгеброй Каца–Муди, то в любом неприводимом представлении U _q ( G ) с наивысшим весом ν кратности весов равны их кратностям в неприводимом представлении U ( G ) с равным наивысшим весом. Если наивысший вес является доминирующим и целым (вес μ является доминирующим и целым, если μ удовлетворяет условию, что является неотрицательным целым числом для всех i ), то спектр весов неприводимого представления инвариантен относительно группы Вейля для G , и представление интегрируемо. ${\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})}$

Наоборот, если модуль с наибольшим весом интегрируем, то его вектор с наибольшим весом v удовлетворяет , где c _λ · v = d _λ v — комплексные числа, такие что ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$для всех весов λ и μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$для всех меня ,

а ν является доминирующим и интегральным.

Как и в случае всех алгебр Хопфа, тензорное произведение двух модулей является другим модулем. Для элемента x из U _q (G) и для векторов v и w в соответствующих модулях x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), так что , а в случае копроизведения Δ ₁ , и ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$ ${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

Описанный выше интегрируемый модуль старшего веса является тензорным произведением одномерного модуля (в котором k _λ = c _λ для всех λ и e _i = f _i = 0 для всех i ) и модуля старшего веса, порожденного ненулевым вектором v ₀ , при условии для всех весов λ и для всех i . ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0}$

В частном случае, когда G является конечномерной алгеброй Ли (как частный случай алгебры Каца–Муди), неприводимые представления с доминирующими целочисленными старшими весами также являются конечномерными.

В случае тензорного произведения модулей старшего веса его разложение на подмодули такое же, как и для тензорного произведения соответствующих модулей алгебры Каца–Муди (старшие веса одинаковы, как и их кратности).

Случай 2:дявляется корнем единства

Квазитреугольность

Случай 1:дне является корнем единицы

Строго говоря, квантовая группа U _q ( G ) не является квазитреугольной, но ее можно рассматривать как «почти квазитреугольную» в том смысле, что существует бесконечная формальная сумма, которая играет роль R -матрицы . Эта бесконечная формальная сумма выражается через генераторы e _i и f _i , и генераторы Картана t _λ , где k _λ формально отождествляется с q ^{t _λ} . Бесконечная формальная сумма является произведением двух множителей, ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}$

и бесконечной формальной суммы, где λ _j — базис для двойственного пространства к подалгебре Картана, а μ _j — двойственный базис, и η = ±1.

Формальная бесконечная сумма, которая играет роль R -матрицы, имеет четко определенное действие на тензорное произведение двух неприводимых модулей с наибольшим весом, а также на тензорное произведение двух модулей с наименьшим весом. В частности, если v имеет вес α , а w имеет вес β , то

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,}$

и тот факт, что оба модуля являются модулями с наибольшим весом или оба модулями с наименьшим весом, сводит действие другого фактора на v ⊗ W к конечной сумме.

В частности, если V — модуль с наибольшим весом, то формальная бесконечная сумма R имеет вполне определенное и обратимое действие на V ⊗ V , и это значение R (как элемента End( V ⊗ V )) удовлетворяет уравнению Янга–Бакстера и, следовательно, позволяет нам определить представление группы кос и определить квазиинварианты для узлов , зацеплений и кос .

Случай 2:дявляется корнем единства

Квантовые группы вд= 0

Масаки Касивара исследовал предельное поведение квантовых групп при q → 0 и обнаружил особенно хорошо ведущую себя базу, называемую кристаллической базой .

Описание и классификация по корневым системам и диаграммам Дынкина

Был достигнут значительный прогресс в описании конечных факторов квантовых групп, таких как указанная выше U _q ( g ) для q ⁿ = 1; обычно рассматривается класс точечных алгебр Хопфа , что означает, что все простые левые или правые комодули являются одномерными, и, таким образом, сумма всех ее простых подкоалгебр образует групповую алгебру, называемую корадикалом :

• В 2002 году Х.-Й. Шнайдер и Н. Андрускевич ^[3] завершили свою классификацию точечных алгебр Хопфа с абелевой корадикальной группой (исключая простые числа 2, 3, 5, 7), тем более, что указанные выше конечные факторы U _q ( g ) распадаются на E ′ (борелевскую часть), дуальные F ′ и K ′ (алгебру Картана) точно так же, как и обычные полупростые алгебры Ли :

${\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Здесь, как и в классической теории, V — это сплетенное векторное пространство размерности n, натянутое на E ′s, а σ (так называемый коциклический поворот) создает нетривиальную связь между E ′s и F ′s. Обратите внимание, что в отличие от классической теории может появиться более двух связанных компонент. Роль квантовой алгебры Бореля играет алгебра Николса сплетенного векторного пространства. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

обобщенная диаграмма Дынкина для точечной алгебры Хопфа, связывающая четыре копии A3

• Решающим элементом была классификация И. Хекенбергером конечных алгебр Николса для абелевых групп в терминах обобщенных диаграмм Дынкина . ^[4] Когда присутствуют малые простые числа, возникают некоторые экзотические примеры, такие как треугольник (см. также Рисунок диаграммы Данкина ранга 3).

Диаграмма Дынкина ранга 3, связанная с конечномерной алгеброй Николса

• Между тем, Шнайдер и Хекенбергер ^[5] в целом доказали существование арифметической корневой системы также в неабелевом случае, генерируя базис ПБВ, как доказано Харчеко в абелевом случае (без предположения о конечной размерности). Это может быть использовано ^[6] в конкретных случаях U _q ( g ) и объясняет, например, численное совпадение между некоторыми коидеальными подалгебрами этих квантовых групп и порядком группы Вейля алгебры Ли g .

Компактные матричные квантовые группы

SL Woronowicz ввел компактные матричные квантовые группы. Компактные матричные квантовые группы — это абстрактные структуры, на которых «непрерывные функции» на структуре задаются элементами C*-алгебры . Геометрия компактной матричной квантовой группы — это частный случай некоммутативной геометрии .

Непрерывные комплекснозначные функции на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образуют коммутативную C*-алгебру. По теореме Гельфанда коммутативная C*-алгебра изоморфна C*-алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, а топологическое пространство однозначно определяется C*-алгеброй с точностью до гомеоморфизма .

Для компактной топологической группы G существует гомоморфизм C*-алгебр Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (где C ( G ) ⊗ C ( G ) — тензорное произведение C*-алгебр — пополнение алгебраического тензорного произведения C ( G ) и C ( G )), такой, что Δ( f )( x , y ) = f ( xy ) для всех f ∈ C ( G ) и для всех x , y ∈ G (где ( f ⊗ g )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) для всех f , g ∈ C ( G ) и всех x , y ∈ G ). Также существует линейное мультипликативное отображение κ : C ( G ) → C ( G ), такое, что κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) для всех f ∈ C ( G ) и всех x ∈ G . Строго говоря, это не делает C ( G ) алгеброй Хопфа, если только G не конечна. С другой стороны, конечномерное представление G может быть использовано для генерации *-подалгебры C ( G ) , которая также является *-алгеброй Хопфа. В частности, если является n -мерным представлением G , то для всех i , j u _ij ∈ C ( G ) и ${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.}$

Отсюда следует, что *-алгебра, порожденная u _ij для всех i, j и κ ( u _ij ) для всех i, j, является *-алгеброй Хопфа: коединица определяется как ε( u _ij ) = δ _ij для всех i, j (где δ _ij — символ Кронекера ), антипод — это κ , а единица задается как

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

Общее определение

В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара ( C , u ), где C — C*-алгебра, а — матрица с элементами в C, такими что ${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

• *-подалгебра C ₀ алгебры C , которая порождается матричными элементами u , плотна в C ;

• Существует гомоморфизм C*-алгебры, называемый коумножением Δ: C → C ⊗ C (где C ⊗ C — тензорное произведение C*-алгебры — пополнение алгебраического тензорного произведения C и C ), такой, что для всех i, j имеем:

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

• Существует линейное антимультипликативное отображение κ: C ₀ → C ₀ (коинобратное) такое, что κ ( κ ( v *)*) = v для всех v ∈ C ₀ и

${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$

где I — единичный элемент C. Поскольку κ антимультипликативен, то κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) для всех v , w в C ₀ .

Вследствие непрерывности коумножение на C является коассоциативным.

В общем случае C не является биалгеброй, а C ₀ является *-алгеброй Хопфа.

Неформально C можно рассматривать как *-алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а u можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.

Представления

Представление компактной матричной квантовой группы задается корепрезентацией * -алгебры Хопфа (корепрезентация коунитальной коассоциативной коалгебры A представляет собой квадратную матрицу с элементами в A (поэтому v принадлежит M( n , A )) такую, что ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

для всех i , j и ε ( v _ij ) = δ _ij для всех i, j ). Кроме того, представление v называется унитарным, если матрица для v является унитарной (или, что эквивалентно, если κ( v _ij ) = v* _ij для всех i , j ).

Пример

Примером компактной матричной квантовой группы является SU _μ (2), где параметр μ — положительное действительное число. Таким образом, SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u ), где C(SU _μ (2)) — это C*-алгебра, порожденная α и γ, при условии

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

и

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

так что коумножение определяется соотношением ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, а коинверсия определяется соотношением κ(α) = α*, κ (γ) = −μ ⁻¹ γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Обратите внимание, что u — представление, но не унитарное представление. u эквивалентно унитарному представлению

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

Эквивалентно, SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w ), где C(SU _μ (2)) — это C*-алгебра, порожденная α и β, при условии

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

и

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

так что коумножение определяется соотношением ∆(α) = α ⊗ α − µβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*, а коинверсия определяется соотношением κ(α) = α*, κ (β) = −μ ⁻¹ β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. Обратите внимание, что w — унитарное представление. Реализации можно идентифицировать, приравнивая . ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

Если μ = 1, то SU _μ (2) равна алгебре C (SU(2)) функций на конкретной компактной группе SU(2).

Квантовые группы двойного произведения

В то время как компактные матричные псевдогруппы обычно являются версиями квантовых групп Дринфельда-Джимбо в формулировке дуальной функциональной алгебры с дополнительной структурой, псевдогруппы бикросс-произведения являются отдельным вторым семейством квантовых групп, имеющих все большую значимость как деформации разрешимых, а не полупростых групп Ли. Они связаны с расщеплениями Ли алгебр Ли или локальными факторизациями групп Ли и могут рассматриваться как перекрестное произведение или квантование Макки одного из факторов, действующего на другой для алгебры, и похожая история для копроизведения Δ со вторым фактором, действующим обратно на первый.

Самый простой нетривиальный пример соответствует двум копиям R, локально действующим друг на друга, и приводит к квантовой группе (данной здесь в алгебраической форме) с генераторами p , K , K ⁻¹ , скажем, и копроизведением

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

где h — параметр деформации.

Эта квантовая группа была связана с игрушечной моделью физики масштаба Планка, реализующей принцип взаимности Борна , если рассматривать ее как деформацию алгебры Гейзенберга квантовой механики. Кроме того, начиная с любой компактной вещественной формы полупростой алгебры Ли g, ее комплексификация в вещественную алгебру Ли двойной размерности распадается на g и определенную разрешимую алгебру Ли ( разложение Ивасавы ), и это дает каноническую квантовую группу бикросс-произведения, связанную с g . Для su (2) получается квантовая групповая деформация евклидовой группы E(3) движений в 3 измерениях.

Смотрите также

• алгебра Хопфа
• Биалгебра Ли
• Группа Пуассона–Ли
• Квантовая аффинная алгебра

Примечания

1. Швиберт, Кристиан (1994), Обобщенная квантовая обратная задача рассеяния , стр. 12237, arXiv : hep-th/9412237v3 , Bibcode : 1994hep.th...12237S
2. Маджид, Шан (1988), «Алгебры Хопфа для физики на планковском масштабе», Классическая и квантовая гравитация , 5 (12): 1587–1607, Bibcode : 1988CQGra...5.1587M, CiteSeerX 10.1.1.125.6178 , doi : 10.1088/0264-9381/5/12/010 
3. Андрускевич, Шнайдер: Точечные алгебры Хопфа, Новые направления в алгебрах Хопфа, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Кембридж, 2002.
4. Хекенбергер: Алгебры Николса диагонального типа и арифметические корневые системы, докторская диссертация 2005 г.
5. Хекенбергер, Шнайдер: Система корней и группоид Вейля для алгебр Николса, 2008.
6. Хекенбергер, Шнайдер: Правые коидеальные подалгебры алгебр Николса и порядок Дюфло группоида Вейля, 2009.

Ссылки

• Грэнсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативная геометрия . World Scientific. doi :10.1142/8771. ISBN 978-981-4472-69-2.
• Джаганнатхан, Р. (2001). «Некоторые вводные заметки о квантовых группах, квантовых алгебрах и их приложениях». arXiv : math-ph/0105002 .
• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 155, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0783-2, ISBN 978-0-387-94370-1, г-н  1321145
• Люстиг, Джордж (2010) [1993]. Введение в квантовые группы. Кембридж, Массачусетс: Birkhäuser. ISBN 978-0-817-64716-2.
• Маджид, Шан (2002), Учебник квантовых групп , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 292, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511549892, ISBN 978-0-521-01041-2, МР  1904789
• Маджид, Шан (январь 2006 г.), «Что такое... квантовая группа?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 53 (1): 30–31 , получено 16 января 2008 г.
• Podles, P.; Muller, E. (1998), "Введение в квантовые группы", Reviews in Mathematical Physics , 10 (4): 511–551, arXiv : q-alg/9704002 , Bibcode : 1998RvMaP..10..511P, doi : 10.1142/S0129055X98000173, S2CID  2596718
• Шнайдер, Стивен ; Стернберг, Шломо (1993). Квантовые группы: от коалгебр до алгебр Дринфельда . Тексты для аспирантов по математической физике. Том 2. Кембридж, Массачусетс: International Press.
• Стрит, Росс (2007), Квантовые группы , Серия лекций Австралийского математического общества, т. 19, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511618505, ISBN 978-0-521-69524-4, МР  2294803