Упорядоченное векторное пространство

Векторное пространство с частичным порядком

Точка в и множество всего такого, что (отмечено красным). Порядок здесь таков: тогда и только тогда, когда и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x_{1}\leq y_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}\leq y_{2}.}$

В математике упорядоченное векторное пространство или частично упорядоченное векторное пространство — это векторное пространство , имеющее частичный порядок , совместимый с операциями векторного пространства.

Определение

Учитывая векторное пространство над действительными числами и предварительный порядок на множестве , пара называется предупорядоченным векторным пространством , и мы говорим, что предварительный порядок совместим со структурой векторного пространства, и вызываем предварительный векторный порядок для if для всех и со следующими двумя аксиомы удовлетворены ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,z\in X}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\geq 0}$

1. ${\displaystyle x\leq y}$подразумевает ${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$подразумевает ${\displaystyle ry\leq rx.}$

Если это частичный порядок , совместимый со структурой векторного пространства, то он называется упорядоченным векторным пространством и называется векторным частичным порядком на. Две аксиомы подразумевают, что сдвиги и положительные гомотетии являются автоморфизмами структуры порядка, а отображение является изоморфизмом структура двойного заказа . Упорядоченные векторные пространства представляют собой упорядоченные группы при операции сложения. Заметим, что тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\mapsto -x}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle -y\leq -x.}$

Положительные конусы и их эквивалентность порядкам.

Подмножество векторного пространства называется конусом , если для всех вещественных чисел конус называется заостренным , если он содержит начало координат. Конус является выпуклым тогда и только тогда, когда пересечение любого непустого семейства конусов (соответственно выпуклых конусов) снова является конусом (соответственно выпуклым конусом); то же самое относится и к объединению возрастающего (при включении множества ) семейства конусов (соответственно выпуклых конусов). Конус в векторном пространстве называется порождающим, если [ ^1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle rC\subseteq C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C+C\subseteq C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=C-C.}$

Учитывая предварительно упорядоченное векторное пространство, подмножество всех элементов в удовлетворении представляет собой заостренный выпуклый конус с вершиной (то есть содержит ), называемой положительным конусом и обозначаемой Элементы положительного конуса называются положительными . Если и являются элементами предупорядоченного векторного пространства , то тогда и только тогда, когда Положительный конус является порождающим тогда и только тогда, когда является направленным множеством при Учитывая любой заостренный выпуклый конус с вершиной , на нем можно определить предварительный порядок , который совместим со структурой векторного пространства объявив для всех , что тогда и только тогда, когда положительный конус этого результирующего предупорядоченного векторного пространства равен. Таким образом, между заостренными выпуклыми конусами с вершинным и векторным предпорядками на ^[1] существует взаимно однозначное соответствие. Если предупорядочено, то мы можем сформировать Отношение эквивалентности по определению эквивалентно тогда и только тогда, когда и только если и если является классом эквивалентности , содержащим начало координат, то является векторным подпространством и является упорядоченным векторным пространством относительно этого отношения: тогда и только тогда, когда существуют и такие, что ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {PosCone} X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in X^{+}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in C;}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x;}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/N}$ ${\displaystyle A\leq B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\leq b.}$

Подмножество векторного пространства называется собственным конусом , если оно представляет собой выпуклый конус вершин, удовлетворяющий явному условию: (1) (2) для всех и (3) ^[2] пересечение любых непустых семейство собственных конусов снова является собственным конусом. Каждый собственный конус в реальном векторном пространстве устанавливает порядок в векторном пространстве, определяя тогда и только тогда, когда и, более того, положительный конус этого упорядоченного векторного пространства будет. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между собственными выпуклыми конусами и векторных частичных порядков на ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C+C\subseteq C,}$ ${\displaystyle rC\subseteq C}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in C,}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Под полным векторным упорядочением мы понимаем полный порядок на , который совместим со структурой векторного пространства. Семейство полных векторных порядков в векторном пространстве находится во взаимно однозначном соответствии с семейством всех собственных конусов, максимальных при установить включение. ^[1] Полный векторный порядок не может быть архимедовым, если его размерность , рассматриваемая как векторное пространство над действительными числами, больше 1. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Если и — два порядка векторного пространства с положительными конусами и соответственно, то мы говорим, что это тоньше, чем если бы ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\subseteq Q.}$

Примеры

Действительные числа в обычном порядке образуют полностью упорядоченное векторное пространство. Для всех целых чисел евклидово пространство , рассматриваемое как векторное пространство над вещественными числами с лексикографическим упорядочением, образует предварительно упорядоченное векторное пространство, порядок которого является архимедовым тогда и только тогда, когда . ^[3] ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

Поточечный порядок

Если - любое множество и если - векторное пространство (над действительными числами) вещественнозначных функций , то поточечный порядок определяется следующим образом: для всех тогда и только тогда, когда для всех ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,g\in X,}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$ ${\displaystyle s\in S.}$

Пространства, которым обычно присваивается этот порядок, включают:

• пространство ограниченных действительных отображений на ${\displaystyle \ell ^{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S.}$
• пространство вещественных последовательностей , сходящихся к ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 0.}$
• пространство непрерывных вещественных функций на топологическом пространстве ${\displaystyle C(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S.}$
• для любого неотрицательного целого числа евклидово пространство рассматривается как пространство , в котором задана дискретная топология . ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(\{1,\dots ,n\},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S=\{1,\dots ,n\}}$

Пространство всех измеримых почти всюду ограниченных вещественнозначных отображений, в котором предварительный порядок определяется для всех тогда и только тогда, когда почти всюду. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$

Интервалы и порядок, связанный двойственным

Интервал порядка в предупорядоченном векторном пространстве задается в форме

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$

порядково ограниченным,^[2]. ^[2]порядкапоглощающим^[2] ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y}$ ${\displaystyle [a,b];}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle [-x,x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-x,x]}$

Набор всех линейных функционалов в предупорядоченном векторном пространстве , которые отображают каждый интервал порядка в ограниченное множество, называется двойственным порядком и обозначается ^[2]. Если пространство упорядочено, то его двойственный порядковый интервал является векторным подпространством его алгебраического двойной . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$

Подмножество упорядоченного векторного пространства называется порядково полным , если для каждого непустого подмножества , которое ограничено по порядку в обоих случаях , существует и является элементами. Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство является порядково полным , является порядково полным подмножеством ^{[4]. ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sup B}$ ${\displaystyle \inf B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

Если это предварительно упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единицей порядка, то карта является сублинейным функционалом . ^[3] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}}$

Характеристики

Если — предупорядоченное векторное пространство, то для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$и подразумеваем ^[3] ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle x+y\geq 0.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$тогда и только тогда, когда ^[3] ${\displaystyle -y\leq -x.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$и подразумеваем ^[3] ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle rx\geq ry.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$тогда и только тогда, когда ^[3] ${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$существует тогда и только тогда, когда существует, и в этом случае ^[3] ${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$ ${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$существует тогда и только тогда , когда существует, и в этом случае для всех ^[3] ${\displaystyle \inf\{x,y\}}$ ${\displaystyle z\in X,}$
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$и
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$является векторной решеткой тогда и только тогда, когда существует для всех ^[3] ${\displaystyle \sup\{0,x\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Пространства линейных карт

Конус называется порождающим, если он равен всему векторному пространству. ^[2] Если и являются двумя нетривиальными упорядоченными векторными пространствами с соответствующими положительными конусами , а затем является порождающим в том и только в том случае, если множество является собственным конусом, в котором находится пространство всех линейных отображений из в . В этом случае порядок определяется by называется каноническим порядком ^[2] В более общем смысле, если какое-либо векторное подпространство такого типа является собственным конусом, порядок, определенный посредством, называется каноническим порядком [ ^2] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C-C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$ ${\displaystyle L(X;W),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L(X;W).}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L(X;W)}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle M.}$

Положительные функционалы и двойственный порядок

Линейная функция в предупорядоченном векторном пространстве называется положительной , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x\geq 0}$подразумевает ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. если тогда ^[3] ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

Совокупность всех положительных линейных форм в векторном пространстве с положительным конусом, называемым двойственным конусом и обозначаемым, является конусом, равным поляре. Предпорядок , индуцированный двойственным конусом в пространстве линейных функционалов, называется ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C^{*},}$ ${\displaystyle -C.}$ ${\displaystyle X}$двойной предзаказ . ^[3]

Двойственным порядком упорядоченного векторного пространства является множество, обозначаемое как «Определено». Хотя существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств не выполняется. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+},}$ ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$ ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

Специальные типы упорядоченных векторных пространств

Пусть — упорядоченное векторное пространство. Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство является архимедовым и что порядок является архимедовым , если всякий раз, когда in таково, что оно мажорируется (то есть существует такое , что для всех ), то ^[2] Топологическое векторное пространство (TVS), которое упорядоченное векторное пространство обязательно является архимедовым, если его положительный конус замкнут. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\leq 0.}$

Мы говорим, что предупорядоченное векторное пространство регулярно упорядочено и что его порядок регулярен , если оно архимедово упорядочено и различает точки в ^[2]. Это свойство гарантирует, что существует достаточно много положительных линейных форм, чтобы можно было успешно использовать инструменты двойственности для изучать упорядоченные векторные пространства. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X.}$

Упорядоченное векторное пространство называется векторной решеткой, если для всех элементов существуют верхняя и нижняя границы . ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \sup(x,y)}$ ${\displaystyle \inf(x,y)}$

Подпространства, факторы и произведения

Всюду пусть – предупорядоченное векторное пространство с положительным конусом ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Подпространства

Если - векторное подпространство, то канонический порядок на, индуцированный положительным конусом, - это частичный порядок, индуцированный заостренным выпуклым конусом , где этот конус является собственным, если он собственный. ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap M,}$ ${\displaystyle C}$

Факторное пространство

Пусть - векторное подпространство упорядоченного векторного пространства - каноническая проекция, и пусть Тогда - конус в , который индуцирует канонический предварительный порядок в фактор-пространстве. Если - собственный конус в, то превращается в упорядоченное векторное пространство. ^[2] Если -насыщено , то определяется канонический порядок ^[1] ​​Обратите внимание, что это пример упорядоченного векторного пространства, в котором не является собственным конусом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ ${\displaystyle \pi (C)}$

If также является топологическим векторным пространством (TVS), и если для каждой окрестности начала координат существует такая окрестность начала координат, что тогда является нормальным конусом для фактортопологии . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$

Если является топологической векторной решеткой и является замкнутой сплошной подрешеткой, то также является топологической векторной решеткой. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/L}$

Продукт

Если есть любое множество, то пространство всех функций из в канонически упорядочено собственным конусом ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

Предположим, что это семейство предупорядоченных векторных пространств и что положительный конус есть. Тогда это заостренный выпуклый конус, в котором определяется канонический порядок, и что он является собственным конусом, если все они являются собственными конусами. ^[2] ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }.}$ ${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$

Алгебраическая прямая сумма

Алгебраическая прямая сумма - это векторное подпространство, в котором задан канонический порядок подпространств, унаследованный из ^[2]. Если являются упорядоченными векторными подпространствами в упорядоченном векторном пространстве, то это упорядоченная прямая сумма этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм на ( с канонический порядок произведения) является изоморфизмом порядка . ^[2] ${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

Примеры

• Действительные числа обычного порядка представляют собой упорядоченное векторное пространство.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$представляет собой упорядоченное векторное пространство, в котором отношение определяется любым из следующих способов (в порядке возрастания силы, то есть убывания наборов пар): ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • Лексикографический порядок : тогда и только тогда, когда или Это полный порядок . Положительный конус задается или , то есть в полярных координатах , набором точек с угловой координатой, удовлетворяющей вместе с началом координат. ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ ${\displaystyle a<c}$ ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$ ${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$тогда и только тогда и только тогда и ( порядок произведения двух копий с ). Это частичный заказ. Положительный конус определяется как и то есть в полярных координатах вместе с началом координат. ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y\geq 0,}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$тогда и только тогда, когда или ( рефлексивное замыкание прямого произведения двух копий с помощью «<»). Это тоже частичный заказ. Положительный конус задается или то есть в полярных координатах вместе с началом координат. ${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$ ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$ ${\displaystyle x=y=0),}$ ${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$

Только второй ордер является, как подмножество, закрытым; см. частичные порядки в топологических пространствах . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

Для третьего порядка двумерные « интервалы » представляют собой открытые множества , порождающие топологию. ${\displaystyle p<x<q}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$— упорядоченное векторное пространство с аналогичным соотношением. Например, для второго заказа, упомянутого выше: ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • ${\displaystyle x\leq y}$тогда и только тогда, когда для ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• Пространство Рисса — это упорядоченное векторное пространство, в котором порядок порождает решетку .
• Пространство непрерывных функций о том, где тогда и только тогда, когда для всех в ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,1].}$

Смотрите также

• Топология порядка (функциональный анализ)  - Топология упорядоченного векторного пространства.
• Упорядоченное поле  – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченная группа  - группа с совместимым частичным порядком.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Заказное кольцо  – кольцо с совместимым общим порядком.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Частично упорядоченное пространство  - Частично упорядоченное топологическое пространство.
• Заказ продукта
• Пространство Рисса  - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.
• Топологическая векторная решетка
• Векторная решетка  - частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Рекомендации

1. Schaefer & Wolff 1999, стр. 250–257.
2. Schaefer & Wolff 1999, стр. 205–209.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 139–153.
4. Шефер и Вольф 1999, стр. 204–214.

Библиография

• Алипрантис, Хараламбос Д ; Буркиншоу, Оуэн (2003). Локально твердые пространства Рисса с приложениями к экономике (Второе изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3408-8.
• Бурбаки, Николя ; Элементы математики: топологические векторные пространства ; ISBN 0-387-13627-4 . 
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. ОСЛК  5126158.