Изотермические координаты

В математике , в частности в дифференциальной геометрии , изотермические координаты на римановом многообразии являются локальными координатами, где метрика конформна евклидовой метрике . Это означает, что в изотермических координатах риманова метрика локально имеет вид

${\displaystyle g=\varphi (dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}),}$

где — положительная гладкая функция . (Если риманово многообразие ориентировано, некоторые авторы настаивают на том, что система координат должна соответствовать этой ориентации, чтобы быть изотермической.) ${\displaystyle \varphi }$

Изотермические координаты на поверхностях впервые были введены Гауссом . Корн и Лихтенштейн доказали, что изотермические координаты существуют вокруг любой точки двумерного риманова многообразия.

Напротив, большинство многообразий более высокой размерности не допускают изотермических координат нигде; то есть они обычно не являются локально конформно плоскими . В размерности 3 риманова метрика локально конформно плоская тогда и только тогда, когда ее тензор Коттона равен нулю. В размерностях > 3 метрика локально конформно плоская тогда и только тогда, когда ее тензор Вейля равен нулю.

Изотермические координаты на поверхностях

В 1822 году Карл Фридрих Гаусс доказал существование изотермических координат на произвольной поверхности с вещественно-аналитической римановой метрикой, следуя более ранним результатам Жозефа Лагранжа в частном случае поверхностей вращения . ^[1] Конструкция, использованная Гауссом, использовала теорему Коши–Ковалевской , так что его метод принципиально ограничен вещественно-аналитическим контекстом. ^[2] Следуя нововведениям в теории двумерных уравнений в частных производных Артура Корна , Леон Лихтенштейн в 1916 году обнаружил общее существование изотермических координат для римановых метрик более низкой регулярности, включая гладкие метрики и даже непрерывные по Гёльдеру метрики. ^[3]

Если задана риманова метрика на двумерном многообразии, то функция перехода между изотермическими координатными картами, которая является отображением между открытыми подмножествами R ² , обязательно сохраняет углы. Свойство сохранения углов вместе с сохранением ориентации является одной из характеристик (среди многих) голоморфных функций , и поэтому ориентированный атлас координат, состоящий из изотермических координатных карт, можно рассматривать как голоморфный координатный атлас. Это показывает, что риманова метрика и ориентация на двумерном многообразии объединяются, чтобы индуцировать структуру римановой поверхности (т. е. одномерного комплексного многообразия ). Кроме того, если задана ориентированная поверхность, две римановы метрики индуцируют один и тот же голоморфный атлас тогда и только тогда, когда они конформны друг другу. По этой причине изучение римановых поверхностей идентично изучению конформных классов римановых метрик на ориентированных поверхностях.

К 1950-м годам изложения идей Корна и Лихтенштейна были переведены на язык комплексных производных и уравнения Бельтрами Липманом Берсом и Шиинг-шеном Черном , среди прочих. ^[4] В этом контексте естественно исследовать существование обобщенных решений, которые удовлетворяют соответствующим частным дифференциальным уравнениям, но больше не интерпретируются как координатные карты обычным способом. Это было инициировано Чарльзом Морри в его основополагающей статье 1938 года о теории эллиптических частных дифференциальных уравнений в двумерных областях, что позже привело к теореме об измеримом отображении Римана Ларса Альфорса и Берса. ^[5]

Уравнение Бельтрами

Существование изотермических координат может быть доказано ^[6] путем применения известных теорем существования для уравнения Бельтрами , которые опираются на оценки L ^p для сингулярных интегральных операторов Кальдерона и Зигмунда . ^{[7] [8]} Более простой подход к уравнению Бельтрами был недавно предложен Адриеном Дуади . ^[9]

Если риманова метрика задана локально как

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

тогда в комплексной координате она принимает вид ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |\,dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

где и гладкие с и . Фактически ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \left\vert \mu \right\vert <1}$

${\displaystyle \lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}),\,\,\,{\displaystyle \mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }}.}$

В изотермических координатах метрика должна иметь вид ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})}$

с ρ гладким. Комплексная координата удовлетворяет ${\displaystyle w=u+iv}$

${\displaystyle e^{\rho }\,|dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}|\,dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}|^{2},}$

так что координаты ( u , v ) будут изотермическими, если уравнение Бельтрами

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

имеет диффеоморфное решение. Доказано, что такое решение существует в любой окрестности, где . ${\displaystyle \lVert \mu \rVert _{\infty }<1}$

Существование через локальную разрешимость для эллиптических уравнений в частных производных

Существование изотермических координат на гладком двумерном римановом многообразии является следствием стандартного результата локальной разрешимости в анализе эллиптических уравнений в частных производных . В настоящем контексте соответствующее эллиптическое уравнение является условием для функции быть гармонической относительно римановой метрики. Локальная разрешимость тогда утверждает, что любая точка p имеет окрестность U , на которой существует гармоническая функция u с нигде не обращающейся в нуль производной. ^[10]

Изотермические координаты строятся из такой функции следующим образом. ^[11] Гармоничность u тождественна замкнутости дифференциальной 1-формы , определенной с помощью оператора звезды Ходжа, связанного с римановой метрикой. Таким образом, лемма Пуанкаре подразумевает существование функции v на U с По определению звезды Ходжа и ортогональны друг другу и, следовательно, линейно независимы, и тогда из теоремы об обратной функции следует , что u и v образуют систему координат в некоторой окрестности p . Эта система координат автоматически изотермична, поскольку ортогональность и подразумевает диагональность метрики, а свойство сохранения нормы звезды Ходжа подразумевает равенство двух диагональных компонент. ${\displaystyle \star du,}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle dv=\star du.}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle dv}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle dv}$

Гауссова кривизна

В изотермических координатах гауссова кривизна принимает более простой вид ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right).}$

Смотрите также

• Конформная карта
• Уравнение Лиувилля
• Квазиконформное отображение

Примечания

1. Гаусс 1825; Лагранж 1779.
2. Спивак 1999, Теорема 9.18.
3. Корн 1914; Лихтенштейн 1916; Спивак 1999, Приложение 1 к Главе 9; Тейлор 2000, Предложение 3.9.3.
4. Берс 1958; Черн 1955; Альфорс 2006, стр. 90.
5. Моррей 1938.
6. Имаёси и Танигучи 1992, стр. 20–21.
7. Альфорс 2006, стр. 85–115
8. Имаёси и Танигучи 1992, стр. 92–104.
9. Дуади и Бафф 2000
10. Тейлор 2011, стр. 440–441; Берс, Джон и Шехтер 1979, стр. 228–230
11. ДеТурк и Каздан 1981

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1952), «Конформность относительно римановых метрик», Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI , 206 : 1–22
• Ahlfors, Lars V. (2006). Lectures on quadraciconformal mappings . University Lecture Series. Vol. 38. With additional chapters by CJ Earle , I. Kra , M. Shishikura and JH Hubbard (Second edition of 1966 original ed.). Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/ulect/038. ISBN 0-8218-3644-7. МР  2241787.
• Берс, Липман (1958). Римановы поверхности . Заметки Родлица, Эстер и Поллака, Ричарда . Институт математических наук Куранта при Нью-Йоркском университете . С. 15–35.
• Берс, Липман ; Джон, Фриц ; Шехтер, Мартин (1979). Уравнения с частными производными . Лекции по прикладной математике. Том 3А. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0049-3.
• Черн, Шиин-шен (1955). «Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности». Труды Американского математического общества . 6 (5): 771–782. doi : 10.2307/2032933 . JSTOR  2032933.
• ДеТурк, Деннис М .; Каздан, Джерри Л. (1981). «Некоторые теоремы регулярности римановой геометрии». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Серия 4. 14 (3): 249–260. дои : 10.24033/asens.1405 . ISSN  0012-9593. МР  0644518..
• do Carmo, Manfredo P. (2016). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (исправленное и обновленное второе издание оригинального издания 1976 года). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0. MR  3837152. Zbl  1352.53002.
• Дуади, Адриан ; Буфф, X. (2000), Теорема интеграции прескальных комплексов. [Теорема об интегрируемости для почти сложных структур] , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 274, Издательство Кембриджского университета, стр. 307–324.

• Гаусс, CF (1825). Общее решение задачи отображения частей данной поверхности на другую заданную поверхность в таком способ, которым отображение напоминает то, что изображено в мельчайших деталях]. В Шумахере, ХК (ред.). Astronomische Abhandlungen, Drittes Heft . Альтона: Хаммерих и Хайнекинг. стр. 1–30.Перепечатано в:
  • Гаусс, Карл Фридрих (2011) [1873]. Werke: Том 4. Коллекция Кембриджской библиотеки (на немецком языке). Нью-Йорк: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9781139058254.005. ISBN 978-1-108-03226-1.
  Переведено на английский язык в:
  • Гаусс (1929). «О конформном представлении». В Smith, David Eugene (ред.). Справочник по математике . Справочники по истории наук. Перевод Эванса, Герберта П. Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. стр. 463–475. JFM  55.0583.01.

• Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992). Введение в пространства Тейхмюллера . Tokyo: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-4-431-68174-8. ISBN 0-387-70088-9. MR  1215481. Zbl  0754.30001.
• Корн, А. (1914). «Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen». В Каратеодори, К .; Хессенберг, Г .; Ландау, Э .; Лихтенштейн, Л. (ред.). Mathematische Abhandlungen Герман Амандус Шварц . Берлин, Гейдельберг: Springer . стр. 215–229. дои : 10.1007/978-3-642-50735-9_16. ISBN 978-3-642-50426-6.
• Лагранж, Ж. (1779). «Строительство географических карт». Новые мемуары Берлинской королевской академии наук и беллетристики : 161–210.Перепечатано в:
  • Серре, Ж.-А. , изд. (1867). Œuvres de Lagrange: том 4 (на французском языке). Париж: Готье-Виллар.
• Лихтенштейн, Леон (1916). «Zur Theorie der konformen Abbildung. Konforme Abbildung nichtanalytischer, Singleitätenfreier Flächenstücke auf ebene Gebiete». Международный бюллетень Академии наук Краковии: Класс математических и естественных наук. Серия А: Математические науки : 192–217. ЯФМ  46.0547.01.
• Моррей, Чарльз Б. (1938). «О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных». Труды Американского математического общества . 43 (1): 126–166. doi : 10.2307/1989904 . JSTOR  1989904.
• Спивак, Майкл (1999). Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию. Том четвертый (Третье издание 1975 г., оригинальное издание). Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-73-X. MR  0532833. Zbl  1213.53001.
• Taylor, Michael E. (2000). Инструменты для PDE. Псевдодифференциальные операторы, парадифференциальные операторы и потенциалы слоев . Математические обзоры и монографии . Том 81. Providence, RI: Американское математическое общество . doi : 10.1090/surv/081. ISBN 0-8218-2633-6. MR  1766415. Zbl  0963.35211.
• Тейлор, Майкл Э. (2011). Уравнения с частными производными I. Основная теория . Прикладные математические науки. Т. 115 (Второе издание оригинального издания 1996 г.). Нью-Йорк: Springer . doi :10.1007/978-1-4419-7055-8. ISBN 978-1-4419-7054-1. MR  2744150. Zbl  1206.35002.

Внешние ссылки

• «Изотермические координаты», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]