Уравнение импульса Коши

Уравнение

Уравнение импульса Коши — это векторное уравнение в частных производных, предложенное Коши , которое описывает нерелятивистский перенос импульса в любом континууме . ^[1]

Основное уравнение

В конвективной (или лагранжевой ) форме уравнение импульса Коши записывается как: $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

где

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$— векторное поле скорости потока , зависящее от времени и пространства, (единица измерения: ) ${\displaystyle \mathrm {m/s} }$
• ${\displaystyle t}$время , ( единица: ) ${\displaystyle \mathrm {s} }$
• ${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}$является материальной производной от , равной , (единица измерения: ) ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$
• ${\displaystyle \rho }$— плотность в заданной точке сплошной среды (для которой справедливо уравнение непрерывности ), (единица измерения: ) ${\displaystyle \mathrm {kg/m^{3}} }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$- тензор напряжений , (единица измерения: ) ${\displaystyle \mathrm {Pa=N/m^{2}=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}} }$
• ${\displaystyle \mathbf {f} ={\begin{bmatrix}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{bmatrix}}}$вектор, содержащий все ускорения, вызванные силами тела (иногда просто ускорение свободного падения ), (единица измерения: ) ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$— дивергенция тензора напряжений. ^{[2] [3] [4]} (единица измерения: ) ${\displaystyle \mathrm {Pa/m=kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-2}} }$

Обычно используемые единицы СИ указаны в скобках, хотя уравнения носят общий характер и в них можно вводить другие единицы или вообще удалять их путем обезразмеривания .

Обратите внимание, что выше для ясности мы используем только векторы-столбцы (в декартовой системе координат ), но уравнение записано с использованием физических компонентов (которые не являются ни ковариантами («столбец»), ни контравариантами («строка»). ^[5] Однако, если мы выбрали неортогональную криволинейную систему координат , то мы должны вычислять и записывать уравнения в ковариантной («векторы-строки») или контравариантной («векторы-столбцы») форме.

После соответствующей замены переменных его можно также записать в форме сохранения :

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$$

где j — плотность импульса в данной точке пространства-времени, F — поток, связанный с плотностью импульса, а s содержит все силы тела на единицу объема.

Дифференциальное выведение

Начнем с обобщенного принципа сохранения импульса , который можно записать следующим образом: «Изменение импульса системы пропорционально результирующей силе, действующей на эту систему». Он выражается формулой: ^[6]

$${\displaystyle {\vec {p}}(t+\Delta t)-{\vec {p}}(t)=\Delta t{\vec {\bar {F}}}}$$

где - импульс в момент времени t , а - сила, усредненная по . После деления на и перехода к пределу получаем ( производная ): ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {\bar {F}}}}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}}$$

Давайте проанализируем каждую сторону уравнения выше.

Правая сторона

X-компонента сил, действующих на стенки кубического элемента жидкости (зеленый цвет для стенок сверху-снизу; красный цвет для стенок слева-справа; черный цвет для стенок спереди-сзади).

На верхнем графике мы видим аппроксимацию функции (синяя линия) с помощью конечной разности (желтая линия). На нижнем графике мы видим «бесконечно многократную увеличенную окрестность точки » (фиолетовый квадрат из верхнего графика). На нижнем графике желтая линия полностью перекрывается синей, поэтому не видна. На нижнем рисунке использованы две эквивалентные производные формы: ], и использовано обозначение . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\textstyle f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}}$ ${\displaystyle \Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}$

Мы разделяем силы на объемные и поверхностные. ${\displaystyle {\vec {F}}_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}_{p}}$

$${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}}$$

Поверхностные силы действуют на стенки кубического элемента жидкости. Для каждой стенки X- компонента этих сил была отмечена на рисунке кубическим элементом (в виде произведения напряжения и площади поверхности, например, с единицами ). ${\displaystyle -\sigma _{xx}\,dy\,dz}$ ${\textstyle \mathrm {Pa\cdot m\cdot m={\frac {N}{m^{2}}}\cdot m^{2}=N} }$

Сложив силы (их X- компоненты), действующие на каждую из стенок куба, получим:

$${\displaystyle F_{p}^{x}=\left(\sigma _{xx}+{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}dx\right)dy\,dz-\sigma _{xx}dy\,dz+\left(\sigma _{yx}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}dy\right)dx\,dz-\sigma _{yx}dx\,dz+\left(\sigma _{zx}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}dz\right)dx\,dy-\sigma _{zx}dx\,dy}$$

После упорядочивания и проведения аналогичных рассуждений для компонентов (они не показаны на рисунке, но это будут векторы, параллельные осям Y и Z соответственно) получаем: ${\displaystyle F_{p}^{x}}$ ${\displaystyle F_{p}^{y},F_{p}^{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{p}^{x}&={\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{y}&={\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{z}&={\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy{\vphantom {\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}}\end{aligned}}}$$

Затем мы можем записать это в символической операционной форме:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{p}=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\,dx\,dy\,dz}$$

Внутри контрольного объема действуют массовые силы. Мы можем записать их с помощью поля ускорений (например, гравитационного ускорения): ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\vec {F}}_{m}=\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Левая сторона

Рассчитаем импульс куба: $${\displaystyle {\vec {p}}=\mathbf {u} m=\mathbf {u} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Поскольку мы предполагаем, что испытываемая масса (куб) постоянна во времени, то ${\displaystyle m=\rho \,dx\,dy\,dz}$ $${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz}$$

Сравнение левой и правой стороны

У нас есть

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}}$$

затем

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}}$$затем $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})dx\,dy\,dz+\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Разделим обе части на , и поскольку получаем: ${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$ ${\textstyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

что завершает вывод.

Интегральный вывод

Применение второго закона Ньютона ( i -й компоненты) к контрольному объему в моделируемой сплошной среде дает:

$${\displaystyle ma_{i}=F_{i}}$$

Тогда, основываясь на теореме Рейнольдса о переносе и используя обозначения материальной производной , можно записать

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}\,dV&=\int _{\Omega }\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}\,dV+\int _{\Omega }\rho f_{i}\,dV\\\int _{\Omega }\left(\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}\right)\,dV&=0\\\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}&=0\\{\frac {Du_{i}}{Dt}}-{\frac {\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}}{\rho }}-f_{i}&=0\end{aligned}}}$$

где Ω представляет собой контрольный объем. Поскольку это уравнение должно выполняться для любого контрольного объема, то должно быть верно, что подынтегральное выражение равно нулю, из этого следует уравнение импульса Коши. Основной шаг (не сделанный выше) в выводе этого уравнения — установление того, что производная тензора напряжений является одной из сил, составляющих F _i . ^[1]

Форма сохранения

Уравнение импульса Коши можно также записать в следующей форме:

Уравнение импульса Коши (форма сохранения)

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$

просто определив:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {j} }&=\rho \mathbf {u} \\{\mathbf {F} }&=\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -{\boldsymbol {\sigma }}\\{\mathbf {s} }&=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}}$$

где j — плотность импульса в рассматриваемой точке континуума (для которой справедливо уравнение непрерывности ), F — поток, связанный с плотностью импульса, а s содержит все силы тела на единицу объема. u ⊗ u — диада скорости.

Здесь j и s имеют то же число измерений N, что и скорость потока и ускорение тела, тогда как F , будучи тензором , имеет N ² . ^{[примечание 1]}

В эйлеровых формах очевидно, что предположение об отсутствии девиаторного напряжения приводит уравнения Коши к уравнениям Эйлера .

Конвективное ускорение

Пример конвективного ускорения. Поток постоянный (независимый от времени), но жидкость замедляется по мере движения вниз по расходящемуся каналу (предполагая несжимаемый или дозвуковой сжимаемый поток).

Важной особенностью уравнений Навье–Стокса является наличие конвективного ускорения: эффекта не зависящего от времени ускорения потока относительно пространства. В то время как отдельные частицы континуума действительно испытывают зависящее от времени ускорение, конвективное ускорение поля потока является пространственным эффектом, одним из примеров которого является ускорение жидкости в сопле.

Независимо от того, с каким типом континуума мы имеем дело, конвективное ускорение является нелинейным эффектом. Конвективное ускорение присутствует в большинстве потоков (исключения включают одномерный несжимаемый поток), но его динамический эффект игнорируется в ползущем потоке (также называемом стоксовым потоком). Конвективное ускорение представлено нелинейной величиной u ⋅ ∇ u , которую можно интерпретировать либо как ( u ⋅ ∇) u , либо как u ⋅ (∇ u ) , где ∇ u — тензорная производная вектора скорости u . Обе интерпретации дают один и тот же результат. ^[7]

Оператор адвекции против производной тензора

Конвективное ускорение ( u ⋅ ∇) u можно рассматривать как оператор адвекции u ⋅ ∇, действующий на поле скорости u . ^[7] Это контрастирует с выражением в терминах производной тензора ∇ u , которая является покомпонентной производной вектора скорости, определяемой как [∇ u ] _mi = ∂ _m v _i , так что $${\displaystyle \left[\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)\right]_{i}=\sum _{m}v_{m}\partial _{m}v_{i}=\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right]_{i}\,.}$$

Форма ягненка

Тождество векторного исчисления для векторного произведения ротора имеет место:

$${\displaystyle \mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {a} \right)=\nabla _{a}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)-\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {a} }$$

где используется индексная запись Фейнмана ∇ _a , что означает, что индексный градиент действует только на множитель a .

Лэмб в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895) ^[8] использовал это тождество для изменения конвективного члена скорости потока во вращательной форме, т.е. без тензорной производной: ^{[9] [10]}

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} }$$

где вектор называется вектором Лэмба . Уравнение импульса Коши становится: ${\displaystyle \mathbf {l} =\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

Используя идентификатор:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho }$$

уравнение Коши принимает вид:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)-\mathbf {f} ={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

В самом деле, в случае внешнего консервативного поля , определив его потенциал φ :

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

В случае стационарного течения производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение импульса принимает вид:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$$

А при проектировании уравнения импульса на направление потока, т.е. вдоль линии тока , векторное произведение исчезает из-за тождества векторного исчисления тройного скалярного произведения :

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho )}$$

Если тензор напряжений изотропен, то входит только давление: (где I — единичный тензор), а уравнение импульса Эйлера в стационарном несжимаемом случае принимает вид: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$$

В стационарном несжимаемом случае уравнение массы имеет простой вид:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\,,}$$

то есть, сохранение массы для стационарного несжимаемого потока утверждает, что плотность вдоль линии тока постоянна . Это приводит к значительному упрощению уравнения импульса Эйлера:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0}$$

Теперь очевидно удобство определения полного напора для потока невязкой жидкости:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\,,}$$

на самом деле, приведенное выше уравнение можно просто записать как:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0}$$

То есть баланс импульса для устойчивого невязкого и несжимаемого потока во внешнем консервативном поле гласит, что полный напор вдоль линии тока постоянен .

Безвихревые потоки

Форма Лэмба также полезна в безвихревом потоке, где ротор скорости (называемый вихрем ) ω = ∇ × u равен нулю. В этом случае конвективный член в сводится к ${\displaystyle D\mathbf {u} /Dt}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right).}$$

Напряжения

Эффект напряжения в континуальном потоке представлен членами ∇ p и ∇ ⋅ τ ; это градиенты поверхностных сил, аналогичные напряжениям в твердом теле. Здесь ∇ p — градиент давления, возникающий из изотропной части тензора напряжений Коши . Эта часть задается нормальными напряжениями , которые возникают почти во всех ситуациях. Анизотропная часть тензора напряжений порождает ∇ ⋅ τ , который обычно описывает вязкие силы; для несжимаемого потока это только эффект сдвига. Таким образом, τ — девиаторный тензор напряжений , а тензор напряжений равен: ^[11]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}}$$

где I — единичная матрица в рассматриваемом пространстве, а τ — тензор сдвига.

Все нерелятивистские уравнения сохранения импульса, такие как уравнение Навье–Стокса , можно вывести, начав с уравнения импульса Коши и указав тензор напряжений через конститутивное соотношение . Выражая тензор сдвига через вязкость и скорость жидкости и предполагая постоянство плотности и вязкости, уравнение импульса Коши приведет к уравнениям Навье–Стокса . Предполагая невязкое течение , уравнения Навье–Стокса можно еще больше упростить до уравнений Эйлера .

Дивергенция тензора напряжений может быть записана как

$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}.}$$

Влияние градиента давления на поток заключается в ускорении потока в направлении от высокого давления к низкому.

Как записано в уравнении импульса Коши, члены напряжения p и τ пока неизвестны, поэтому это уравнение само по себе не может быть использовано для решения проблем. Помимо уравнений движения — второго закона Ньютона — необходима силовая модель, связывающая напряжения с движением потока. ^[12] По этой причине предположения, основанные на естественных наблюдениях, часто применяются для указания напряжений в терминах других переменных потока, таких как скорость и плотность.

Внешние силы

Вектор поля f представляет собой телесные силы на единицу массы. Обычно они состоят только из ускорения силы тяжести , но могут включать и другие, например, электромагнитные силы. В неинерциальных системах координат могут возникать другие «инерциальные ускорения», связанные с вращающимися координатами .

Часто эти силы можно представить как градиент некоторой скалярной величины χ , при этом f = ∇ χ в этом случае они называются консервативными силами . Гравитация в направлении z , например, является градиентом − ρgz . Поскольку давление от такой гравитации возникает только как градиент, мы можем включить его в член давления как объемную силу h = p − χ . Члены давления и силы в правой части уравнения Навье–Стокса становятся

$${\displaystyle -\nabla p+\mathbf {f} =-\nabla p+\nabla \chi =-\nabla \left(p-\chi \right)=-\nabla h.}$$

Также возможно включить внешние воздействия в термин напряжения вместо термина силы тела. Это может даже включать антисимметричные напряжения (входы углового момента), в отличие от обычно симметричных внутренних вкладов в тензор напряжения. ^[13] ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

Безразмерность

Чтобы сделать уравнения безразмерными, необходимо определить характерную длину r ₀ и характерную скорость u _{0 . Их следует выбрать так, чтобы все безразмерные переменные были порядка один. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные:}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{*}&\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}}&u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}}&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}}&t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t\\[6pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla &\mathbf {f} ^{*}&\equiv {\frac {\mathbf {f} }{f_{0}}}&p^{*}&\equiv {\frac {p}{p_{0}}}&{\boldsymbol {\tau }}^{*}&\equiv {\frac {\boldsymbol {\tau }}{\tau _{0}}}\end{aligned}}}$$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения импульса Эйлера дает:

$${\displaystyle {\frac {\rho _{0}u_{0}^{2}}{r_{0}}}{\frac {\partial \rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\nabla ^{*}}{r_{0}}}\cdot \left(\rho _{0}u_{0}^{2}\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+p_{0}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{r_{0}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+f_{0}\mathbf {f} ^{*}}$$

и путем деления на первый коэффициент:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\rho } ^{*}u^{*}}{\partial t^{*}}}+\nabla ^{*}\cdot \left(\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+{\frac {f_{0}r_{0}}{u_{0}^{2}}}\mathbf {f} ^{*}}$$

Теперь определим число Фруда :

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}^{2}}{f_{0}r_{0}}},}$$

Число Эйлера :

$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

и коэффициент поверхностного трения или тот, который в области аэродинамики обычно называют « коэффициентом лобового сопротивления »:

$${\displaystyle C_{\mathrm {f} }={\frac {2\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

переходя соответственно к консервативным переменным, т.е. плотности импульса и плотности силы :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\\mathbf {g} &=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}}$$

уравнения окончательно выражаются (теперь без индексов):

Уравнение импульса Коши ( безразмерная консервативная форма )

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {g} }$

Уравнения Коши в пределе Фруда Fr → ∞ (соответствующем пренебрежимо малому внешнему полю) называются свободными уравнениями Коши:

Свободное уравнение импульса Коши ( безразмерная консервативная форма )

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$

и могут быть в конечном итоге уравнениями сохранения . Предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле) таким образом примечателен для таких уравнений и изучается с помощью теории возмущений .

Наконец, в конвективной форме уравнения имеют вид:

Уравнение импульса Коши ( безразмерная конвективная форма )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} \,{\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {f} }$

Явные 3D конвективные формы

Декартовы 3D-координаты

Для асимметричных тензоров напряжений уравнения в общем случае принимают следующие формы: ^{[2] [3] [4] [14]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&:&{\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\right)+f_{x}\\[8pt]y&:&{\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\right)+f_{y}\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\right)+f_{z}\end{aligned}}}$$

Цилиндрические 3D-координаты

Ниже мы запишем основное уравнение в форме давления-тау, предполагая, что тензор напряжений симметричен ( ): ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\Longrightarrow \tau _{ij}=\tau _{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&:&{\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\phi }^{2}}{r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rr}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi r}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zr}}{\partial z}}-{\frac {\tau _{\phi \phi }}{r\rho }}+f_{r}\\[8pt]\phi &:&{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\phi }}{r}}&=-{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial P}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r^{2}\rho }}{\frac {\partial \left(r^{2}\tau _{r\phi }\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{z\phi }}{\partial z}}+f_{\phi }\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi z}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rz}\right)}{\partial r}}+f_{z}\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Уравнения Навье–Стокса
• Уравнения Бернетта
• Расширение Чепмена-Энскога

Примечания

1. Например, в 3D относительно некоторой системы координат вектор j имеет 3 компонента, тогда как тензоры σ и F имеют 9 (3×3), поэтому явные формы, записанные в виде матриц, будут такими: Однако следует отметить, что если F симметричен, то он будет содержать только 6 степеней свободы . И симметрия F эквивалентна симметрии σ (которая будет присутствовать для наиболее распространенных тензоров напряжений Коши ), поскольку диады векторов с самими собой всегда симметричны. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {j} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {s} }&={\begin{pmatrix}\rho g_{1}\\\rho g_{2}\\\rho g_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {F} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}^{2}+\sigma _{11}&\rho u_{1}u_{2}+\sigma _{12}&\rho u_{1}u_{3}+\sigma _{13}\\\rho u_{2}u_{1}+\sigma _{12}&\rho u_{2}^{2}+\sigma _{22}&\rho u_{2}u_{3}+\sigma _{23}\\\rho u_{3}u_{1}+\sigma _{13}&\rho u_{3}u_{2}+\sigma _{23}&\rho u_{3}^{2}+\sigma _{33}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Ссылки

1. Acheson, DJ (1990). Элементарная гидродинамика . Oxford University Press . стр. 205. ISBN 0-19-859679-0.
2. Berdahl, CI; Strang, WZ (октябрь 1986 г.). Поведение асимметричного тензора напряжений под влиянием завихренности в потоке жидкости (PDF) (Отчет). AIR FORCE WRIGHT AERONAUTICAL LABORATORIES. стр. 13 (Под основным уравнением авторы описывают ). ${\displaystyle \sigma _{ki,k}=\partial \sigma _{ki}/\partial x_{k}=\nabla \cdot \sigma }$
3. Papanastasiou, Tasos C.; Georgiou, Georgios C.; Alexandrou, Andreas N. (2000). Viscous Fluid Flow (PDF) . CRC Press. стр. 66, 68, 143, 182 (Авторы используют ). ISBN ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )}$ 0-8493-1606-5.
4. Deen, William M. (2016). Введение в химическую инженерию механики жидкости. Cambridge University Press. С. 133–136. ISBN 978-1-107-12377-9.
5. Дэвид А. Кларк (2011). «Учебник по тензорному исчислению» (PDF) . стр. 11 (pdf 15).
6. Андерсон, Джон Д. младший (1995). Computational Fluid Dynamics (PDF) . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 61–64. ISBN 0-07-001685-2.
7. Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая динамика жидкости (второе изд.). CRC Press. стр. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
8. Лэмб, Гораций (1932). «Гидродинамика» (6-е изд.). Dover Publications.
9. Batchelor, GK (1967). "§3.5". Введение в динамику жидкости . Cambridge University Press. стр. 160. ISBN 0-521-66396-2.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Конвективная производная». MathWorld .
11. Бэтчелор (1967), стр. 142.
12. Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (1963), Лекции Фейнмана по физике , Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, том 1, §9–4 и §12–1, ISBN 0-201-02116-1
13. Далер, Дж. С.; Скривен, Л.Е. (1961). «Угловой момент континуума». Природа . 192 (4797): 36–37. Бибкод : 1961Natur.192...36D. дои : 10.1038/192036a0. ISSN  0028-0836. S2CID  11034749.
14. Пауэлл, Адам (12 апреля 2010 г.). «Уравнения Навье-Стокса» (PDF) . стр. 2 (Автор использует ). ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )}$