Уравнение центра

Имитация вида объекта на эллиптической орбите , как видно из фокуса орбиты . Вид вращается со средней аномалией , поэтому объект кажется колеблющимся вперед и назад относительно этого среднего положения с уравнением центра . Объект также кажется меньше и больше по мере удаления и приближения из-за эксцентриситета орбиты . Маркер (красный) показывает положение перицентра .

В двухчастичной , кеплеровской орбитальной механике , уравнение центра представляет собой угловую разницу между фактическим положением тела на его эллиптической орбите и положением, которое оно занимало бы, если бы его движение было равномерным, по круговой орбите того же периода. Оно определяется как разница истинной аномалии , ν , минус средняя аномалия , M , и обычно выражается функцией средней аномалии , M , и орбитального эксцентриситета , e . ^[1]

Обсуждение

Начиная с античности, проблема предсказания движений небесных тел была упрощена путем сведения ее к одному телу на орбите вокруг другого. При вычислении положения тела вокруг своей орбиты часто удобно начинать с предположения о круговом движении. Это первое приближение тогда просто представляет собой постоянную угловую скорость, умноженную на количество времени. Однако, фактическое решение, предполагающее ньютоновскую физику , представляет собой эллиптическую орбиту ( кеплеровскую орбиту ). Для них легко найти среднюю аномалию (и, следовательно, время) для заданной истинной аномалии (углового положения планеты вокруг Солнца), преобразуя истинную аномалию в « эксцентрическую аномалию »: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle E=\operatorname {atan2} \left(\ {\sqrt {1-e^{2}}}\sin f,\ e+\cos f\right)}$

где atan2 (y, x) — угол между осью x и лучом из точки (0, 0) в точку (x, y), имеющий тот же знак, что и y (обратите внимание, что в электронных таблицах аргументы часто меняются местами), а затем с помощью уравнения Кеплера находим среднюю аномалию:

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Если известно и мы хотим найти и тогда уравнение Кеплера можно решить численными методами , но существуют также ряды решений, включающие синус . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

В случаях малого эксцентриситета положение, заданное решением усеченного ряда, может быть довольно точным. Многие интересующие нас орбиты, такие как орбиты тел в Солнечной системе или искусственных спутников Земли , имеют эти почти круговые орбиты . По мере того, как эксцентриситет становится больше, а орбиты более эллиптическими, точность данного усечения ряда снижается. Если ряд берется как степенной ряд по эксцентриситету, то он не сходится при больших эксцентриситетах.

Ряд в его современной форме может быть усечен в любой точке, и даже когда он ограничен только самыми важными членами, он может производить легко вычисляемое приближение истинного положения, когда полная точность не важна. Такие приближения могут использоваться, например, в качестве начальных значений для итерационных решений уравнения Кеплера ^[1] или при расчете времени подъема или захода, которое из-за атмосферных эффектов не может быть предсказано с большой точностью.

Древние греки , в частности Гиппарх , знали уравнение центра как простефаэрезис , хотя их понимание геометрии движения планет было иным. ^[2] Слово уравнение ( лат . aequatio, -onis ) в современном смысле пришло из астрономии . Оно было определено и использовано Кеплером как переменная величина, определяемая расчетом, которая должна быть добавлена ​​или вычтена из среднего движения, чтобы получить истинное движение. В астрономии термин уравнение времени имеет похожее значение. ^[3] Уравнение центра в современной форме было разработано как часть анализа возмущений , то есть изучения влияния третьего тела на движение двух тел . ^{[4] [5]}

Расширение серии

Максимальная ошибка разложения ряда уравнения центра, в радианах , как функция орбитального эксцентриситета (нижняя ось) и степени e , при которой ряд усекается (правая ось). Обратите внимание, что при низком эксцентриситете (левая сторона графика) ряд не нужно переносить в высокий порядок для получения точных результатов.

Уравнение центра, расширенное в ряд, как функция средней аномалии для различных эксцентриситетов , с уравнением центра, усеченным на e ⁷ для всех кривых. Обратите внимание, что усеченное уравнение не работает при высоком эксцентриситете и дает осциллирующую кривую. Но это происходит потому, что коэффициенты ряда Фурье неточны из-за усечения при их расчете.

В кеплеровом движении координаты тела возвращаются к тем же значениям с каждой орбитой, что является определением периодической функции . Такие функции могут быть выражены как периодические ряды любой непрерывно увеличивающейся угловой переменной, ^[6] и наиболее интересной переменной является средняя аномалия , M. Поскольку она равномерно увеличивается со временем, выражение любой другой переменной как ряда по средней аномалии по сути то же самое, что и выражение ее в терминах времени. Хотя истинная аномалия является аналитической функцией M , она не является целой функцией , поэтому степенной ряд по M будет иметь ограниченный диапазон сходимости. Но как периодическая функция ряд Фурье будет сходиться всюду. Коэффициенты ряда строятся из функций Бесселя в зависимости от эксцентриситета e . Обратите внимание, что хотя эти ряды можно представить в усеченной форме, они представляют собой сумму бесконечного числа членов. ^[7]

Ряд для ν , истинной аномалии , удобнее всего выразить через M , e и функции Бесселя первого рода, ^[8]

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left\{J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}\left[J_{s-p}(se)+J_{s+p}(se)\right]\right\}\sin sM,}$

где

${\displaystyle J_{n}(se)}$являются функциями Бесселя и

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right).}$^[9]

Результат в радианах .

Функции Бесселя можно разложить по степеням x следующим образом: ^[10]

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m}}{m!\prod _{k=1}^{m}(n+k)}}}$

и β ^m по, ^[11]

${\displaystyle \beta ^{m}=\left({\frac {e}{2}}\right)^{m}\left[1+m\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n+m-1)!}{n!(n+m)!}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{2n}\right].}$

Подставляя и сокращая, уравнение для ν становится (усеченным в порядке e ⁷ ), ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu \approx M&+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}+{\frac {107}{4608}}e^{7}\right)\sin M\\&{}+\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}+{\frac {17}{192}}e^{6}\right)\sin 2M\\&{}+\left({\frac {13}{12}}e^{3}-{\frac {43}{64}}e^{5}+{\frac {95}{512}}e^{7}\right)\sin 3M\\&{}+\left({\frac {103}{96}}e^{4}-{\frac {451}{480}}e^{6}\right)\sin 4M\\&{}+\left({\frac {1097}{960}}e^{5}-{\frac {5957}{4608}}e^{7}\right)\sin 5M\\&{}+{\frac {1223}{960}}e^{6}\sin 6M+{\frac {47273}{32256}}e^{7}\sin 7M+\cdots \end{aligned}}}$

и по определению, перемещая M в левую сторону,

${\displaystyle \nu -M\approx \left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}+{\frac {107}{4608}}e^{7}\right)\sin M+\cdots }$

дает приближение для уравнения центра. Однако это не хорошее приближение, когда e велико (см. график). Если коэффициенты вычисляются из функций Бесселя, то приближение становится намного лучше при переходе к той же частоте (например, ). ${\displaystyle \sin 7M}$

Эту формулу иногда представляют в виде степеней e с коэффициентами в функциях sin M (здесь усеченными до порядка e ⁶ ),

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu =M&{}+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M\\&{}+{\frac {e^{3}}{12}}(13\sin 3M-3\sin M)\\&{}+{\frac {e^{4}}{96}}(103\sin 4M-44\sin 2M)\\&{}+{\frac {e^{5}}{960}}(1097\sin 5M-645\sin 3M+50\sin M)\\&{}+{\frac {e^{6}}{960}}(1223\sin 6M-902\sin 4M+85\sin 2M)+\cdots \end{aligned}}}$

что похоже на форму выше. ^{[12] [13]} Это представление, если оно не усечено, содержит тот же бесконечный набор членов, но подразумевает другой порядок их сложения. Из-за этого, для малых e , ряд быстро сходится, но если e превышает « предел Лапласа » 0,6627..., то он расходится для всех значений M (кроме кратных π), факт, обнаруженный Франческо Карлини и Пьером-Симоном Лапласом . ^{[12] [14]}

Примеры

Уравнение центра достигает своего максимума, когда эксцентрическая аномалия равна, истинная аномалия равна, средняя аномалия равна и уравнение центра равно Вот несколько примеров: ${\displaystyle \pi /2,}$ ${\displaystyle \pi /2+\operatorname {arcsin} e,}$ ${\displaystyle \pi /2-e,}$ ${\displaystyle e+\operatorname {arcsin} e.}$

Смотрите также

• Небесная механика
• Гравитационная задача двух тел
• орбита Кеплера
• проблема Кеплера
• Задача двух тел

Ссылки

1. Vallado, David A. (2001). Основы астродинамики и ее применения (второе изд.). Microcosm Press, El Segundo, CA. стр. 82. ISBN 1-881883-12-4.
2. Нарриен, Джон (1833). Исторический отчет о происхождении и развитии астрономии. Болдуин и Крэдок, Лондон. С. 230–231.
3. Капдеру, Мишель (2005). Орбиты и миссии спутников . Спрингер-Верлаг . п. 23. ISBN 978-2-287-21317-5.
4. Moulton, Forest Ray (1914). Введение в небесную механику (второе исправленное издание). Macmillan Co., Нью-Йорк. стр. 165. ISBN 9780598943972., в Google Книгах
5. Смарт, В. М. (1953). Небесная механика . Longmans, Green and Co., Лондон. стр. 26.
6. Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Academic Press, Нью-Йорк и Лондон. С. 60.
7. Валладо, Дэвид А. (2001). п. 80
8. Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 77.
9. Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 62.
10. Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). п. 68.
11. Смарт, ВМ (1953). стр. 32.
12. Moulton, Forest Ray (1914). стр. 171–172.
13. Дэнби, JMA (1988). Основы небесной механики . Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. С. 199–200. ISBN 0-943396-20-4.
14. Пламмер, ХК (1918). Вводный трактат по динамической астрономии (PDF) . Cambridge University Press . стр. 46–47.
15. Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., ред. (2013). Пояснительное приложение к Астрономическому альманаху (3-е изд.). University Science Books, Mill Valley, CA. стр. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

Дальнейшее чтение

• Март, А. (1890). О вычислении уравнения центра на эллиптических орбитах с умеренными эксцентриситетами. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 50, p. 502. Дает уравнение центра для порядка e ¹⁰ .
• Моррисон, Дж. (1883). О вычислении эксцентрической аномалии, уравнения центра и радиус-вектора планеты в терминах средней аномалии и эксцентриситета. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 43, p. 345. Дает уравнение центра для порядка e ¹² .
• Моррисон, Дж. (1883). Опечатки. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, т. 43, стр. 494.