В алгебре теория уравнений — это изучение алгебраических уравнений (также называемых «полиномиальными уравнениями»), которые представляют собой уравнения, определяемые полиномом . Основной проблемой теории уравнений было узнать, когда алгебраическое уравнение имеет алгебраическое решение . Эта проблема была полностью решена в 1830 году Эваристом Галуа , введя то, что сейчас называется теорией Галуа .
До Галуа не было четкого различия между «теорией уравнений» и «алгеброй». С тех пор алгебра значительно расширилась, включив в себя множество новых подобластей, и теории алгебраических уравнений уделяется гораздо меньше внимания. Таким образом, термин «теория уравнений» в основном используется в контексте истории математики , чтобы избежать путаницы между старыми и новыми значениями «алгебры».
До конца 19 века «теория уравнений» была почти синонимом «алгебры». Долгое время основной проблемой было нахождение решений одного нелинейного полиномиального уравнения с одним неизвестным . Тот факт, что комплексное решение всегда существует, является основной теоремой алгебры , которая была доказана только в начале 19 века и не имеет чисто алгебраического доказательства. Тем не менее, главной заботой алгебраистов было решение в терминах радикалов, то есть выражение решений формулой, которая строится с помощью четырех операций арифметики и с корнями n-й степени. Это было сделано до четвертой степени в течение 16 века. Сципион дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья открыли решения для кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге 1545 года Ars Magna вместе с решением для уравнений четвертой степени , открытым его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою работу «Алгебра» , в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами , которые могли появляться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.
Случай более высоких степеней оставался открытым до 19 века, когда Паоло Руффини дал неполное доказательство в 1799 году, что некоторые уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах, за которым последовало полное доказательство Нильса Хенрика Абеля в 1824 году (теперь известное как теорема Абеля–Руффини ). Эварист Галуа позже представил теорию (в настоящее время называемую теорией Галуа ), чтобы решить, какие уравнения решаются в радикалах.
Другими классическими задачами теории уравнений являются следующие: