Уравнения поля Эйнштейна

Уравнения поля в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнения поля Эйнштейна ( EFE ; также известные как уравнения Эйнштейна ) связывают геометрию пространства-времени с распределением материи внутри него. ^[1]

Уравнения были опубликованы Альбертом Эйнштейном в 1915 году в виде тензорного уравнения ^[2] , связывающего локальныекривизна пространства-времени (выраженная тензоромЭйнштейна) с локальной энергией,импульсоми напряжением внутри этого пространства-времени (выраженная тензоромэнергии-импульса).^[3]

Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением зарядов и токов посредством уравнений Максвелла , ЭФЭ связывают геометрию пространства-времени с распределением массы-энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для заданное расположение напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE как набор нелинейных уравнений в частных производных при таком использовании. Решения ЭФЭ являются компонентами метрического тензора. Инерционные траектории частиц и излучения ( геодезические ) в полученной геометрии затем рассчитываются с использованием уравнения геодезических .

Помимо сохранения локальной энергии-импульса, EFE сводится к закону гравитации Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, которые намного меньше скорости света . ^[4]

Точные решения для EFE можно найти только при упрощающих предположениях, таких как симметрия . Чаще всего изучаются специальные классы точных решений, поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся Вселенная . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего лишь небольшие отклонения от плоского пространства-времени , что приводит к линеаризованному EFE . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .

Математическая форма

Уравнения поля Эйнштейна (УЭЭ) можно записать в виде: ^{[5] [1]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

EFE на стене в Лейдене , Нидерланды.

где – тензор Эйнштейна , – метрический тензор , – тензор энергии-импульса , – космологическая постоянная , – гравитационная постоянная Эйнштейна. ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

Тензор Эйнштейна определяется как

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

где – тензор кривизны Риччи , – скалярная кривизна . Это симметричный тензор второй степени, зависящий только от метрического тензора и его первой и второй производных. ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$

Гравитационная постоянная Эйнштейна определяется как ^{[6] [7]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665(5)\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$или ${\displaystyle {\textrm {m/J}},}$

где G — гравитационная постоянная Ньютона , а c — скорость света в вакууме .

Таким образом, EFE также можно записать как

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

В стандартных единицах измерения каждый член слева имеет единицы измерения 1/длина ² .

Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определенную метрикой; выражение справа представляет собой содержание напряжения-энергии-импульса пространства-времени. Тогда EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как напряжение-энергия-импульс определяет кривизну пространства-времени.

Эти уравнения вместе с уравнением геодезических ^[8] , которое определяет, как свободно падающая материя движется в пространстве-времени, составляют ядро ​​математической формулировки общей теории относительности .

EFE — это тензорное уравнение, связывающее набор симметричных тензоров 4 × 4 . Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре тождества Бьянки уменьшают количество независимых уравнений с 10 до 6, оставляя метрику с четырьмя фиксирующими калибровку степенями свободы , которые соответствуют свободе выбора системы координат.

Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в n измерениях. ^[9] Уравнения, не относящиеся к общей теории относительности, до сих пор называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (полученные, когда T _µν всюду равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .

Уравнения сложнее, чем кажутся. При заданном распределении вещества и энергии в виде тензора энергии-импульса под ЭФЭ понимаются уравнения для метрического тензора , поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. В полностью написанном виде EFE представляет собой систему десяти связанных нелинейных гиперболо-эллиптических уравнений в частных производных . ^[10] ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Соглашение о подписании

Вышеуказанная форма EFE является стандартом, установленным Миснером, Торном и Уилером (MTW). ^[11] Авторы проанализировали существующие конвенции и классифицировали их по трем признакам ([S1] [S2] [S3]):

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи: $${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$$

Используя эти определения, Миснер, Торн и Уиллер классифицируют себя как (+ + +) , тогда как Вайнберг (1972) ^[12] - (+ - -) , Пиблс (1980) ^[13] и Эфстатиу и др. (1990) ^[14] являются (- + +) , Rindler (1977), ^{[ нужна ссылка ]} Этуотер (1974), ^{[ нужна ссылка ]} Collins Martin & Squires (1989) ^[15] и Peacock (1999) ^[16 ] (- + -) .

Авторы, в том числе Эйнштейн, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части становится отрицательным: $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$$

Знак космологического термина изменился бы в обеих этих версиях, если бы использовалось соглашение о метрических знаках (+ - - -), а не принятое здесь соглашение о знаках метрики MTW (- + + +) .

Эквивалентные составы

Прослеживая след по метрике обеих сторон EFE, получаем, где D — размерность пространства-времени. Решив R и подставив его в исходный EFE, можно получить следующую эквивалентную форму с «обратной трассировкой»: $${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$$

В измерениях D = 4 это сводится к $${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$$

Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращенным следом может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда вас интересует предел слабого поля и можно заменить в выражении справа метрикой Минковского без значительной потери точности). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Космологическая постоянная

В уравнениях поля Эйнштейна член, содержащий космологическую постоянную Λ, отсутствовал в той версии, в которой он их первоначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил этот термин в космологическую постоянную, чтобы учесть вселенную, которая не расширяется и не сжимается . Эта попытка не увенчалась успехом, потому что: $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$

• любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, неустойчиво, и
• наблюдения Эдвина Хаббла показали, что наша Вселенная расширяется .

Затем Эйнштейн отказался от Λ , заметив Георгию Гамову , что «введение космологического термина было величайшей ошибкой в ​​его жизни». ^[17]

Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно считалась равной нулю. Более поздние астрономические наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной , и для объяснения этого необходимо положительное значение Λ . ^{[18] [19]} Космологическая постоянная незначительна в масштабе галактики или меньше.

Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но ее член в уравнении поля также можно алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса: $${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

Этот тензор описывает состояние вакуума с плотностью энергии ρ _vac и изотропным давлением p _vac , которые являются фиксированными константами и определяются формулой где предполагается, что Λ имеет единицу СИ м ^-2 , а κ определяется, как указано выше. $${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$

Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.

Функции

Сохранение энергии и импульса

Общая теория относительности согласуется с локальным сохранением энергии и импульса, выраженным как

$${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

Вывод локального закона сохранения энергии-импульса.

Сокращение дифференциального тождества Бьянки с g ^αβ дает, используя тот факт, что метрический тензор является ковариантно постоянным, т. е. g ^αβ _;γ = 0 , $${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0}$$ $${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Антисимметрия тензора Римана позволяет переписать второй член в приведенном выше выражении:

$${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$что эквивалентно использованию определения тензора Риччи . $${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Затем снова сократите метрику , чтобы получить $${\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}$$ $${\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Тогда определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны показывают то, что можно переписать как $${\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0}$$ $${\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0}$$

Окончательное сжатие с g ^εδ дает , что в силу симметрии члена в квадратных скобках и определения тензора Эйнштейна дает после переобозначения индексов $${\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0}$$ $${\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

Используя EFE, это сразу дает: $${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

что выражает локальное сохранение энергии-напряжения. Этот закон сохранения является физическим требованием. С помощью своих уравнений поля Эйнштейн обеспечил соответствие общей теории относительности этому условию сохранения.

Нелинейность

Нелинейность ЭФЭ отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Например, уравнения электромагнетизма Максвелла линейны в электрическом и магнитном полях , а также в распределениях заряда и тока (т.е. сумма двух решений также является решением); Другой пример — уравнение квантовой механики Шредингера , линейное по волновой функции .

Принцип переписки

EFE сводится к закону гравитации Ньютона, используя как приближение слабого поля, так и приближение медленного движения . Фактически, константа G , появляющаяся в EFE, определяется этими двумя приближениями.

Вывод закона гравитации Ньютона

Ньютоновскую гравитацию можно записать как теорию скалярного поля Φ , которое представляет собой гравитационный потенциал гравитационного поля в джоулях на килограмм g = −∇Φ , см. закон Гаусса для гравитации , где ρ — плотность массы. Орбита свободно падающей частицы удовлетворяет $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$$ $${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}$$

В тензорной записи они становятся $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}$$

В общей теории относительности эти уравнения заменяются уравнениями поля Эйнштейна в форме с обращенным следом для некоторой константы K и уравнением геодезических $${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$$

Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, мы предполагаем, что скорость пробной частицы примерно равна нулю и, следовательно , что метрика и ее производные примерно статичны и что квадраты отклонений от метрики Минковского пренебрежимо малы. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезических дает где два коэффициента $${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$$DT/dτбыли разделены. Это приведет к его ньютоновскому аналогу при условии, что $${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}$$

Наши предположения заставляют α = i и производные по времени (0) равняться нулю. Итак, это упрощает, что удовлетворяется, позволяя $${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$$ $${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$$

Обращаясь к уравнениям Эйнштейна, нам нужна только временная составляющая. Из предположений о низкой скорости и статическом поле следует, что $${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}$$

Так и так $${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$$ $${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}$$

Из определения тензора Риччи $${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$$

Наши упрощающие предположения приводят к исчезновению квадратов Γ вместе с производными по времени $${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$$

Объединение приведенных выше уравнений вместе приводит к уравнению поля Ньютона, которое произойдет, если $${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$$ $${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$$

Уравнения вакуумного поля

Швейцарская памятная монета 1979 года с изображением уравнений вакуумного поля с нулевой космологической постоянной (вверху).

Если тензор энергии-импульса T _µν равен нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называются уравнениями вакуумного поля . Установив T _µν = 0 в уравнениях поля с обращенными следами, уравнения вакуумного поля, также известные как «вакуумные уравнения Эйнштейна» (EVE), можно записать как $${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Плоское пространство Минковского — простейший пример вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают решение Шварцшильда и решение Керра .

Многообразия с исчезающим тензором Риччи , R _µν = 0 , называются Риччи-плоскими многообразиями , а многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, — многообразиями Эйнштейна .

Уравнения Эйнштейна – Максвелла

Если тензор энергии-импульса T _µν является тензором электромагнитного поля в свободном пространстве , т.е. если используется тензор электромагнитного напряжения-энергии , то уравнения поля Эйнштейна называются уравнениями Эйнштейна-Максвелла (с космологической постоянной Λ , принимаемой равной ноль в традиционной теории относительности): $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$ $${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве: где точка с запятой представляет ковариантную производную , а скобки обозначают антисимметризацию . Первое уравнение утверждает, что 4- дивергенция 2-формы F равна нулю, а второе — что ее внешняя производная равна нулю. Из последнего по лемме Пуанкаре следует, что в координатной карте можно ввести потенциал электромагнитного поля А _α такой, в котором запятая обозначает частную производную. Это часто воспринимается как эквивалент ковариантного уравнения Максвелла, из которого оно выведено. ^[20] Однако существуют глобальные решения уравнения, которым может не хватать глобально определенного потенциала. ^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$$

Решения

Решения уравнений поля Эйнштейна являются метриками пространства -времени . Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерционное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, их не всегда можно решить полностью (т.е. без приближений). Например, не существует известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (которым является, например, теоретическая модель двойной звездной системы). Однако в таких случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновскими приближениями . Несмотря на это, есть несколько случаев, когда уравнения поля были решены полностью, и они называются точными решениями . ^[9]

Исследование точных решений уравнений поля Эйнштейна — одно из направлений деятельности космологии . Это приводит к предсказанию черных дыр и к различным моделям эволюции Вселенной .

Можно также найти новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормированных систем отсчета, впервые предложенного Эллисом и МакКаллумом. ^[22] В этом подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к набору связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Сюй и Уэйнрайт, ^[23] автомодельные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками результирующей динамической системы . Новые решения с помощью этих методов были обнаружены Лебланом ^[24] , Кохли и Хасламом. ^[25]

Линеаризованный EFE

Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля состоит в том, чтобы сделать приближение, а именно, что вдали от источника(ов) гравитирующей материи гравитационное поле очень слабое, а пространство-время приближается к пространству Минковского . Затем метрика записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от метрики Минковского , игнорируя члены более высокой степени. Эту процедуру линеаризации можно использовать для исследования явлений гравитационного излучения .

Полиномиальная форма

Несмотря на то, что EFE в том виде, в каком он записан, содержит инверсию метрического тензора, их можно расположить в форме, которая содержит метрический тензор в полиномиальной форме и без его инверсии. Во-первых, определитель метрики в 4 измерениях можно записать с помощью символа Леви-Чивита ; а обратную метрику в 4-х измерениях можно записать как: $${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$ $${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

Подстановка этого выражения обратной метрики в уравнения, а затем умножение обеих частей на подходящую степень det( g ) , чтобы исключить его из знаменателя, приводит к полиномиальным уравнениям в метрическом тензоре и его первой и второй производных. Действие, из которого выводятся уравнения, также можно записать в полиномиальной форме путем подходящих переопределений полей. ^[26]

Смотрите также

• Конформастатическое пространство-время
• Действие Эйнштейна – Гильберта
• Принцип эквивалентности
• Точные решения в общей теории относительности
• Ресурсы по общей теории относительности
• История общей теории относительности
• Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна
• Математика общей теории относительности
• Численная относительность
• исчисление Риччи

Примечания

1. Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности». Аннален дер Физик . 354 (7): 769. Бибкод : 1916АнП...354..769Е. дои : 10.1002/andp.19163540702. Архивировано из оригинала ( PDF ) 6 февраля 2012 г.
2. Эйнштейн, Альберт (25 ноября 1915 г.). «Die Feldgleichungen der Gravitation». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Проверено 21 августа 2017 г.
3. Миснер, Торн и Уилер (1973), с. 916 [гл. 34].
4. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия. Введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3.
5. Грён, Эйвинд; Хервик, Сигбьорн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 180. ИСБН 978-0-387-69200-5.
6. При выборе гравитационной постоянной Эйнштейна, как указано здесь, κ = 8 πG / c ⁴ , тензор энергии-импульса в правой части уравнения должен быть записан с каждым компонентом в единицах плотности энергии (т. е. энергии на объем , что эквивалентно давлению). В оригинальной публикации Эйнштейна выбрано κ = 8 πG / c ² , и в этом случае компоненты тензора энергии-импульса имеют единицы массовой плотности.
7. Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4. ОСЛК  1046135.
8. Вайнберг, Стивен (1993). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы . Винтаж Пресс. стр. 107, 233. ISBN. 0-09-922391-0.
9. Стефани, Ганс; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7.
10. Рендалл, Алан Д. (2005). «Теоремы существования и глобальной динамики для уравнений Эйнштейна». Живой преподобный Относительный . 8 (1). Номер статьи: 6. arXiv : gr-qc/0505133 . Бибкод : 2005LRR.....8....6R. дои : 10.12942/lrr-2005-6 . ПМК 5256071 . ПМИД  28179868. 
11. Миснер, Торн и Уилер (1973), с. 501 и далее.
12. Вайнберг (1972).
13. Пиблс, Филип Джеймс Эдвин (1980). Крупномасштабная структура Вселенной . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08239-1.
14. Эфстатиу, Г.; Сазерленд, штат Вашингтон; Мэддокс, SJ (1990). «Космологическая постоянная и холодная темная материя». Природа . 348 (6303): 705. Бибкод : 1990Natur.348..705E. дои : 10.1038/348705a0. S2CID  12988317.
15. Коллинз, PDB; Мартин, AD; Сквайрс, Э.Дж. (1989). Физика элементарных частиц и космология . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-60088-1.
16. Павлин (1999).
17. Гамов, Георгий (28 апреля 1970 г.). Моя мировая линия: неформальная автобиография. Викинг взрослый . ISBN 0-670-50376-2. Проверено 14 марта 2007 г.
18. Валь, Николь (22 ноября 2005 г.). «Была ли «самая большая ошибка» Эйнштейна звездным успехом?». Новости@УофТ . Университет Торонто. Архивировано из оригинала 7 марта 2007 г.
19. Тернер, Майкл С. (май 2001 г.). «Осмысление новой космологии». Межд. Дж. Мод. Физ. А.​ 17 (С1): 180–196. arXiv : astro-ph/0202008 . Бибкод : 2002IJMPA..17S.180T. дои : 10.1142/S0217751X02013113. S2CID  16669258.
20. Браун, Харви (2005). Физическая относительность. Издательство Оксфордского университета. п. 164. ИСБН 978-0-19-927583-0.
21. Траутман, Анджей (1977). «Решения уравнений Максвелла и Янга – Миллса, связанные с расслоениями Хопфа». Международный журнал теоретической физики . 16 (9): 561–565. Бибкод : 1977IJTP...16..561T. дои : 10.1007/BF01811088. S2CID  123364248..
22. Эллис, СКФ; МакКаллум, М. (1969). «Класс однородных космологических моделей». Комм. Математика. Физ . 12 (2): 108–141. Бибкод : 1969CMaPh..12..108E. дои : 10.1007/BF01645908. S2CID  122577276.
23. Сюй, Л.; Уэйнрайт, Дж (1986). «Самоподобные пространственно-однородные космологии: ортогональные идеальные жидкости и вакуумные решения». Сорт. Квантовая гравитация . 3 (6): 1105–1124. Бибкод : 1986CQGra...3.1105H. дои : 10.1088/0264-9381/3/6/011. S2CID  250907312.
24. ЛеБлан, В.Г. (1997). «Асимптотические состояния магнитных космологий Бьянки I». Сорт. Квантовая гравитация . 14 (8): 2281. Бибкод : 1997CQGra..14.2281L. дои : 10.1088/0264-9381/14/8/025. S2CID  250876974.
25. Кохли, Икджьот Сингх; Хаслам, Майкл К. (2013). «Динамический системный подход к вязкой магнитогидродинамической модели Бьянки типа I». Физ. Преподобный Д. 88 (6): 063518. arXiv : 1304.8042 . Бибкод : 2013PhRvD..88f3518K. doi : 10.1103/physrevd.88.063518. S2CID  119178273.
26. Катанаев, М.О. (2006). «Полиномиальная форма действия Гильберта – Эйнштейна». Генерал Отл. Грав . 38 (8): 1233–1240. arXiv : gr-qc/0507026 . Бибкод : 2006GReGr..38.1233K. дои : 10.1007/s10714-006-0310-5. S2CID  6263993.

Рекомендации

См. ресурсы по общей теории относительности .

• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-92567-5.
• Пикок, Джон А. (1999). Космологическая физика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521410724.

Внешние ссылки

• «Уравнения Эйнштейна», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебное пособие Калифорнийского технологического института по теории относительности — простое введение в уравнения поля Эйнштейна.
• Значение уравнения Эйнштейна. Объяснение уравнения поля Эйнштейна, его вывода и некоторых его последствий.
• Видеолекция профессора физики Массачусетского технологического института Эдмунда Бертшингера об уравнениях поля Эйнштейна.
• Арка и эшафот: как Эйнштейн нашел свои уравнения поля. Физика сегодня, ноябрь 2015 г., История развития уравнений поля

Внешние изображения

• Уравнение поля Эйнштейна на стене музея Бурхааве в центре Лейдена.
• Сюзанна Имбер , «Влияние общей теории относительности на пустыню Атакама», уравнение поля Эйнштейна на борту поезда в Боливии.