Материал условный

Логическая связка

Материальное условное выражение (также известное как материальное импликация ) — операция, обычно используемая в логике . Когда условный символ интерпретируется как материальное импликация, формула истинна, если только не является истинным и не является ложным. Материальное импликация может быть также охарактеризована инференциально с помощью modus ponens , modus tollens , условного доказательства и классического reductio ad absurdum . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Материальная импликация используется во всех основных системах классической логики , а также в некоторых неклассических логиках . Она предполагается как модель правильного условного рассуждения в математике и служит основой для команд во многих языках программирования . Однако многие логики заменяют материальную импликацию другими операторами, такими как строгая условная и переменно строгая условная . Из-за парадоксов материальной импликации и связанных с ней проблем материальная импликация обычно не считается жизнеспособным анализом условных предложений в естественном языке .

Обозначение

В логике и смежных областях материальное условное выражение обычно обозначается инфиксным оператором . ^[1] Материальное условное выражение также обозначается инфиксами и . ^[2] В префиксной польской нотации условные выражения обозначаются как . В условной формуле подформула называется антецедентом и называется консеквентом условного выражения. Условные операторы могут быть вложенными таким образом, что антецедент или консеквент сами могут быть условными операторами, как в формуле . ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Cpq}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$

История

В Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889) Пеано выразил предложение «Если , то » как Ɔ с символом Ɔ, что противоположно C. ^[3] Он также выразил предложение как Ɔ . ^{[a] [4] [5]} Гильберт выразил предложение «Если A , то B » как в 1918 году. ^[1] Рассел последовал за Пеано в своих Principia Mathematica (1910–1913), в которых он выразил предложение «Если A , то B » как . Следуя за Расселом, Генцен выразил предложение «Если A , то B » как . Гейтинг сначала выразил предложение «Если A , то B » как , но позже пришел к выражению его как со стрелкой, направленной вправо. Бурбаки выразил предложение «Если A , то B » как в 1954 году ^{. [6]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$

Определения

Семантика

С классической семантической точки зрения , материальная импликация — это бинарный функциональный оператор истинности, который возвращает «истина», если только его первый аргумент не является истиной, а второй аргумент не является ложью. Эту семантику можно графически изобразить в таблице истинности, например, такой, как ниже. Можно также рассмотреть эквивалентность . ${\displaystyle A\to B\equiv \neg (A\land \neg B)\equiv \neg A\lor B}$

Таблица истинности

Таблица истинности : ​ ${\displaystyle A\rightarrow B}$

Логические случаи, когда антецедент A является ложным, а A → B является истинным, называются « пустыми истинами ». Примерами являются ...

• ... с B ложным: «Если Мария Кюри — сестра Галилео Галилея , то Галилео Галилей — брат Марии Кюри» ,
• ... где B истинно: «Если Мария Кюри — сестра Галилео Галилея , то у Марии Кюри есть брат или сестра» .

Дедуктивное определение

Материальное импликация может быть также охарактеризована дедуктивно с точки зрения следующих правил вывода . ^{[ необходима ссылка ]}

• Модус поненс
• Условное доказательство
• Классическое противопоставление
• Классическое доведение до абсурда

В отличие от семантического определения, этот подход к логическим связкам позволяет исследовать структурно идентичные пропозициональные формы в различных логических системах , где могут быть продемонстрированы несколько отличающиеся свойства. Например, в интуиционистской логике , которая отвергает доказательства от противного как допустимые правила вывода, не является пропозициональной теоремой, но материальное условное выражение используется для определения отрицания . ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle (A\to B)\Rightarrow \neg A\lor B}$

Формальные свойства

Когда дизъюнкция , конъюнкция и отрицание являются классическими, материальная импликация подтверждает следующие эквивалентности:

• Противопоставление: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P}$
• Импорт-экспорт : ${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• Отрицательные условные предложения: ${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• Или-и-если: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• Коммутативность антецедентов: ${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• Левая дистрибутивность : ${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

Аналогично, в классических интерпретациях других связок материальная импликация подтверждает следующие выводы :

• Предшествующее усиление: ${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• Пустое условное : ${\displaystyle \neg P\models P\to Q}$
• Транзитивность : ${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• Упрощение дизъюнктивных антецедентов : ${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

Тавтологии, предполагающие материальный подтекст, включают:

• Рефлексивность : ${\displaystyle \models P\to P}$
• Полнота : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• Условное исключенное среднее : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

Расхождения с естественным языком

Материальная импликация не совсем соответствует использованию условных предложений в естественном языке . Например, даже если материальные условные предложения с ложными антецедентами являются бессмысленно истинными , утверждение естественного языка «Если 8 нечетное, то 3 является простым числом» обычно считается ложным. Аналогично, любое материальное условное предложение с истинным консеквентом само по себе является истинным, но говорящие обычно отвергают такие предложения, как «Если у меня в кармане есть пенни, то Париж находится во Франции». Эти классические проблемы были названы парадоксами материальной импликации . ^[7] В дополнение к парадоксам, против анализа материальной импликации было выдвинуто множество других аргументов. Например, контрфактуальные условные предложения были бы бессмысленно истинными в таком случае. ^[8]

В середине 20-го века ряд исследователей, включая Г. П. Грайса и Фрэнка Джексона, предположили, что прагматические принципы могут объяснить расхождения между условными предложениями естественного языка и материальными условными предложениями. По их мнению, условные предложения обозначают материальную импликацию, но в конечном итоге передают дополнительную информацию, когда они взаимодействуют с разговорными нормами, такими как максимы Грайса . ^{[7] [9]} Недавние работы в области формальной семантики и философии языка , как правило, избегали материальной импликации в качестве анализа условных предложений естественного языка. ^[9] В частности, такие работы часто отвергали предположение о том, что условные предложения естественного языка являются истинностно-функциональными в том смысле, что истинностное значение «Если P , то Q » определяется исключительно истинностными значениями P и Q. ^[7] Таким образом, семантический анализ условных предложений обычно предлагает альтернативные интерпретации, построенные на таких основах , как модальная логика , релевантная логика , теория вероятностей и каузальные модели . ^{[9] [7] [10]}

Похожие расхождения наблюдались психологами, изучающими условные рассуждения, например, в печально известном исследовании Wason Selection Task , где менее 10% участников рассуждали в соответствии с материальным условным. Некоторые исследователи интерпретировали этот результат как неспособность участников соответствовать нормативным законам рассуждения, в то время как другие интерпретировали участников как рассуждающих нормативно в соответствии с неклассическими законами. ^{[11] [12] [13]}

Смотрите также

• Булев домен
• Булева функция
• Булева логика
• Условный квантификатор
• Импликативный пропозициональный исчисление
• Законы формы
• Логический граф
• Логическая эквивалентность
• Материальная импликация (правило вывода)
• Закон Пирса
• Пропозициональное исчисление
• Единственный достаточный оператор

Условные предложения

• Соответствующее условное
• Контрфактуальное условное
• Условное наклонение
• Строгое условное

Примечания

1. Обратите внимание, что символ подковы Ɔ был перевернут и стал символом подмножества ⊂.

Ссылки

1. Гильберт, Д. (1918). Prinzipien der Mathematik (Конспекты лекций под редакцией Бернейса П.) .
2. Мендельсон, Эллиотт (2015). Введение в математическую логику (6-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press/Taylor & Francis Group (A Chapman & Hall Book). стр. 2. ISBN 978-1-4822-3778-8.
3. Жан ван Хейеноорт, ред. (1967). От Фреге до Гёделя: Учебник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. С. 84–87. ISBN 0-674-32449-8.
4. Майкл Нахас (25 апреля 2022 г.). «Английский перевод книги Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita» (PDF) . Гитхаб. п. VI . Проверено 10 августа 2022 г.
5. Mauro ALLEGRANZA (2015-02-13). «элементарная теория множеств – есть ли связь между символом ⊃, когда он означает импликацию, и его значением как надмножества?». Mathematics Stack Exchange . Stack Exchange Inc. Ответ . Получено 2022-08-10 .
6. Бурбаки, Н. (1954). Теория ансамблей . Париж: Hermann & Cie, Éditeurs. п. 14.
7. Эджингтон, Дороти (2008). «Условные предложения». В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2008 г.).
8. Старр, Уилл (2019). «Контрфактуальности». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
9. Gillies, Thony (2017). «Conditionals» (PDF) . В Hale, B.; Wright, C.; Miller, A. (ред.). A Companion to the Philosophy of Language . Wiley Blackwell. стр. 401–436. doi :10.1002/9781118972090.ch17. ISBN 9781118972090.
10. фон Финтель, Кай (2011). «Условные обозначения» (PDF) . Фон Хойзингер, Клаус; Майенборн, Клаудия; Портнер, Пол (ред.). Семантика: Международный справочник по значению . де Грюйтер Мутон. стр. 1515–1538. дои : 10.1515/9783110255072.1515. hdl : 1721.1/95781 . ISBN 978-3-11-018523-2.
11. Оксфорд, М.; Чатер, Н. (1994). «Рациональный анализ задачи выбора как оптимального выбора данных». Psychological Review . 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . doi :10.1037/0033-295X.101.4.608. S2CID  2912209. 
12. Стеннинг, К.; ван Ламбалген, М. (2004). «Немного логики имеет большое значение: базирование эксперимента на семантической теории в когнитивной науке условных рассуждений». Cognitive Science . 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . doi :10.1016/j.cogsci.2004.02.002. 
13. фон Сюдов, М. (2006). К гибкой байесовской и деонтической логике тестирования описательных и предписывающих правил (докторская диссертация). Гёттинген: Издательство Гёттингенского университета. doi : 10.53846/goediss-161 . S2CID  246924881.

Дальнейшее чтение

• Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булевы рассуждения: логика булевых уравнений , 1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл , Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications , Минеола , Нью-Йорк, 2003.
• Эджингтон, Дороти (2001), «Условные предложения», в книге Лу Гобла (ред.), « Руководство по философской логике Блэквелла» , Блэквелл .
• Куайн, У. В. (1982), Методы логики , (1-е изд. 1950), (2-е изд. 1959), (3-е изд. 1972), 4-е издание, Издательство Гарвардского университета , Кембридж , Массачусетс.
• Сталнакер, Роберт , «Изъявительные условные предложения», Philosophia , 5 (1975): 269–286.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Material conditional на Wikimedia Commons
• Эджингтон, Дороти. «Условные предложения». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .