Кривая Лиссажу / ˈ l ɪ s ə ʒ uː / , также известная как фигура Лиссажу или кривая Боудича / ˈ b aʊ d ɪ tʃ / , представляет собой график системы параметрических уравнений.
которые описывают суперпозицию двух перпендикулярных колебаний в направлениях x и y с разной угловой частотой ( a и b). Полученное семейство кривых было исследовано Натаниэлем Боудичем в 1815 году, а затем более подробно в 1857 году Жюлем Антуаном Лиссажу (в честь которого оно было названо). Такие движения можно рассматривать как особый вид сложного гармонического движения .
Внешний вид фигуры чувствителен к соотношению а/б . Для отношения 1, когда частоты соответствуют a=b, фигура представляет собой эллипс , в особых случаях включая круги ( A = B , δ = π/2 радианы ) и линии ( δ знак равно 0 ). Небольшое изменение одной из частот будет означать, что колебание x после одного цикла будет немного не синхронизировано с движением y, и поэтому эллипс не сможет закрыться и проследить кривую, слегка примыкающую к ней на следующем витке, что будет проявляться как прецессия эллипс. Паттерн закрывается, если частоты представляют собой целочисленные отношения, т . е . а/б рационально.
Еще одна простая фигура Лиссажу — парабола ( б/а знак равно 2 , δ знак равно π/4 ). Опять же, небольшой сдвиг на одну частоту от отношения 2 приведет к тому, что трасса не закроется, а выполнит несколько циклов, последовательно сдвигаемых только закрытие, если соотношение будет рациональным, как и раньше. Может образоваться сложный плотный узор (см. ниже).
Визуальная форма таких кривых часто напоминает трехмерный узел , и действительно, многие виды узлов, в том числе известные как узлы Лиссажу , проецируются на плоскость как фигуры Лиссажу.
Визуально соотношение а/б определяет количество «лепестков» фигуры. Например, соотношение 3/1 или 1/3 создает фигуру с тремя основными лепестками (см. изображение). Аналогично, соотношение 5/4 создает фигуру с пятью горизонтальными лепестками и четырьмя вертикальными лепестками. Рациональные соотношения создают замкнутые (связные) или «неподвижные» фигуры, тогда как иррациональные соотношения создают фигуры, которые кажутся вращающимися. Соотношение А/Б определяет относительное соотношение ширины и высоты кривой. Например, соотношение 2/1 создает фигуру, ширина которой в два раза превышает высоту. Наконец, значение δ определяет видимый угол «поворота» фигуры, рассматриваемой так, как если бы она на самом деле была трехмерной кривой. Например, при δ = 0 компоненты x и y находятся точно в фазе, поэтому результирующая фигура выглядит как кажущаяся трехмерная фигура, если смотреть прямо (0°). Напротив, любое ненулевое δ создает фигуру, которая кажется повернутой либо влево-вправо, либо вверх-вниз (в зависимости от соотношения а/б ).
Фигуры Лиссажу, где a = 1 , b = N ( N — натуральное число ) и
являются полиномами Чебышева первого рода степени N . Это свойство используется для создания набора точек, называемых точками Падуи , в которых можно выполнить выборку функции для вычисления либо двумерной интерполяции, либо квадратуры функции в области [−1,1] × [−1,1 ] .
Связь некоторых кривых Лиссажу с полиномами Чебышева становится более понятной, если кривая Лиссажу, порождающая каждую из них, выражается с использованием косинус-функций, а не синусоидальных функций.
Анимация показывает адаптацию кривой с постоянным увеличением а/б дробь от 0 до 1 с шагом 0,01 ( δ = 0 ).
Ниже приведены примеры фигур Лиссажу с нечетным натуральным числом a , четным натуральным числом b и | а - б | = 1 .
До появления современного электронного оборудования кривые Лиссажу можно было генерировать механически с помощью гармониграфа .
Кривые Лиссажу также можно построить с помощью осциллографа (как показано на рисунке). Схема осьминога может использоваться для демонстрации изображений сигналов на осциллографе. Два сдвинутых по фазе синусоидальных входа подаются на осциллограф в режиме XY, а фазовое соотношение между сигналами представляется в виде фигуры Лиссажу.
В мире профессионального аудио этот метод используется для анализа фазового соотношения между левым и правым каналами стереоаудиосигнала в реальном времени. В более крупных и сложных микшерных пультах для этой цели может быть встроен осциллограф.
На осциллографе мы предполагаем, что x — это CH1, а y — это CH2, A — это амплитуда CH1, а B — это амплитуда CH2, a — это частота CH1, а b — это частота CH2, поэтому а/б — соотношение частот двух каналов, а δ — фазовый сдвиг канала CH1.
Чисто механическое применение кривой Лиссажу с a = 1 , b = 2 находится в приводном механизме ламп с качающимся лучом типа Mars Light , популярных на железных дорогах в середине 1900-х годов. В некоторых версиях балка имеет на своей стороне однобокий узор в виде восьмерки.
Когда входной сигнал системы LTI имеет синусоидальную форму, выходной сигнал является синусоидальным с той же частотой, но может иметь другую амплитуду и некоторый сдвиг фазы . Использование осциллографа , который может отображать один сигнал в зависимости от другого (в отличие от одного сигнала в зависимости от времени), для построения графика выходного сигнала системы LTI в зависимости от входного сигнала системы LTI, дает эллипс, который представляет собой фигуру Лиссажу для особого случая a = b. . Соотношение сторон полученного эллипса является функцией фазового сдвига между входом и выходом, при этом соотношение сторон 1 (идеальный круг) соответствует фазовому сдвигу ±90 °, а соотношение сторон ∞ (линия) соответствует до фазового сдвига 0° или 180°. [ нужна цитата ]
На рисунке ниже показано, как изменяется фигура Лиссажу при различных фазовых сдвигах. Все фазовые сдвиги отрицательны, поэтому семантику задержки можно использовать с причинно-следственной системой LTI (обратите внимание, что -270° эквивалентно +90°). Стрелки показывают направление вращения фигуры Лиссажу. [ нужна цитата ]
Кривая Лиссажу используется в экспериментальных тестах, чтобы определить, можно ли правильно отнести устройство к мемристору . [ нужна цитация ] Он также используется для сравнения двух разных электрических сигналов: известного опорного сигнала и сигнала, подлежащего тестированию. [1] [2]
Фигуры Лиссажу иногда используются в графическом дизайне в качестве логотипов . Примеры включают в себя:
Кривые Лиссажу использовались в прошлом для графического представления музыкальных интервалов с помощью Гармонографа [ 8 ] — устройства, состоящего из маятников, колеблющихся с разными частотными соотношениями. Поскольку разные системы настройки используют разные соотношения частот для определения интервалов, их можно сравнить с помощью кривых Лиссажу, чтобы увидеть их различия. [9] Таким образом, кривые Лиссажу находят применение в музыкальном образовании, графически изображая различия между интервалами и системами настройки.