фильтр Чебышева

Тип аналогового или цифрового фильтра

Фильтры Чебышева — это аналоговые или цифровые фильтры, которые имеют более крутой спад, чем фильтры Баттерворта , и имеют либо пульсацию в полосе пропускания (тип I), либо пульсацию в полосе задерживания (тип II). Фильтры Чебышева обладают тем свойством, что они минимизируют ошибку между идеализированной и фактической характеристикой фильтра в рабочем диапазоне частот фильтра, ^{[1] [2],} но они достигают этого с помощью пульсаций в полосе пропускания. Этот тип фильтра назван в честь Пафнутия Чебышева , потому что его математические характеристики выводятся из полиномов Чебышева . Фильтры Чебышева типа I обычно называют «фильтрами Чебышева», в то время как фильтры типа II обычно называют «обратными фильтрами Чебышева». ^[3] Из-за пульсации в полосе пропускания, присущей фильтрам Чебышева, для определенных приложений предпочтительны фильтры с более плавным откликом в полосе пропускания, но более нерегулярным откликом в полосе задерживания. ^[4]

Фильтры Чебышева I типа (фильтры Чебышева)

Частотная характеристика фильтра нижних частот Чебышева четвертого порядка I рода с ${\displaystyle \varepsilon =1}$

Фильтры Чебышева типа I являются наиболее распространенными типами фильтров Чебышева. Коэффициент усиления (или амплитуда ) отклика, , как функция угловой частоты фильтра нижних частот th-го порядка равен абсолютному значению передаточной функции, оцененной по : ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(s)}$ ${\displaystyle s=j\omega }$

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega /\omega _{0})}}}}$

где — коэффициент пульсации, — частота среза , — полином Чебышева -го порядка. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Полоса пропускания демонстрирует равноволновое поведение, при этом волнистость определяется коэффициентом волнистости . В полосе пропускания полином Чебышева изменяется между -1 и 1, поэтому коэффициент усиления фильтра изменяется между максимумами при и минимумами при . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle G=1}$ ${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$

Таким образом, коэффициент пульсации ε связан с пульсацией полосы пропускания δ в децибелах следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {10^{\delta /10}-1}}.}$

На частоте среза усиление снова имеет значение , но продолжает падать в полосе задерживания по мере увеличения частоты. Такое поведение показано на диаграмме справа. Обычная практика определения частоты среза на уровне −3  дБ обычно не применяется к фильтрам Чебышева; вместо этого срез принимается как точка, в которой усиление падает до значения пульсации для конечного времени. ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$

Частота 3 дБ связана с: ${\displaystyle \omega _{H}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \omega _{H}=\omega _{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$

Порядок фильтра Чебышева равен числу реактивных компонентов (например, катушек индуктивности ), необходимых для реализации фильтра с использованием аналоговой электроники .

Еще более крутой спад можно получить, если разрешить пульсацию в полосе задерживания, разрешив нули на оси комплексной плоскости. Хотя это и приводит к почти бесконечному подавлению в этих нулях и вблизи них (ограниченному добротностью компонентов, паразитными элементами и связанными с ними факторами), общее подавление в полосе задерживания уменьшается. Результат называется эллиптическим фильтром , также известным как фильтр Кауэра. ${\displaystyle \omega }$

Полюса и нули

Логарифм абсолютного значения усиления фильтра Чебышева I рода 8-го порядка в комплексном частотном пространстве ( s  =  σ  +  jω ) с ε = 0,1 и . Белые пятна являются полюсами и расположены на эллипсе с полуосью 0,3836... по σ и 1,071... по ω. Полюса передаточной функции — это полюса в левой полуплоскости. Черный цвет соответствует усилению 0,05 или меньше, белый цвет соответствует усилению 20 или больше. ${\displaystyle \omega _{0}=1}$

Для простоты предполагается, что частота среза равна единице. Полюса функции усиления фильтра Чебышева являются нулями знаменателя функции усиления. При использовании комплексной частоты это происходит, когда: ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.\,}$

Определение и использование тригонометрического определения полиномов Чебышева дает: ${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.\,}$

Решение для ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}}$

где множественные значения функции арккосинуса делаются явными с помощью целочисленного индекса . Полюса функции усиления Чебышева тогда следующие: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right).}$

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, это можно записать в явной комплексной форме:

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

где  и ${\displaystyle m=1,2,...,n}$

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}.}$

Это можно рассматривать как параметрическое уравнение , и оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в -пространстве с центром в точке с действительной полуосью длиной и мнимой полуосью длиной ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)}$ ${\displaystyle \cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n).}$

Передаточная функция

Вышеуказанное выражение дает полюса усиления . Для каждого комплексного полюса есть другой, который является комплексно сопряженным, и для каждой сопряженной пары есть еще два, которые являются отрицательными значениями пары. Передаточная функция должна быть стабильной, так что ее полюсами являются те полюса усиления, которые имеют отрицательные действительные части и, следовательно, лежат в левой полуплоскости комплексного частотного пространства. Передаточная функция тогда задается как ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}}$

где - только те полюса коэффициента усиления, которые имеют отрицательный знак перед действительным членом и получены из приведенного выше уравнения. ${\displaystyle s_{pm}^{-}}$

Групповая задержка

Коэффициент усиления и групповая задержка фильтра Чебышева I рода 5-го порядка при ε = 0,5.

Групповая задержка определяется как производная фазы по угловой частоте:

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}$

Коэффициент усиления и групповая задержка для фильтра Чебышева I рода 5-го порядка с ε=0,5 показаны на графике слева. Его полоса заграждения не имеет пульсаций. Но пульсации групповой задержки в его полосе пропускания указывают на то, что различные частотные компоненты имеют различную задержку, что вместе с пульсациями усиления в его полосе пропускания приводит к искажению формы сигнала.

Даже порядок модификаций

Фильтры Чебышева четного порядка, реализованные с пассивными элементами, обычно индукторами, конденсаторами и линиями передачи, с окончаниями одинакового значения на каждой стороне, не могут быть реализованы с традиционной функцией передачи Чебышева без использования связанных катушек, что может быть нежелательным или невыполнимым, особенно на более высоких частотах. Это связано с физической невозможностью разместить нули отражения Чебышева четного порядка, которые приводят к значениям матрицы рассеяния S12, которые превышают значение S12 при . Если невозможно спроектировать фильтр с одним из окончаний, увеличенным или уменьшенным для размещения полосы пропускания S12, то функция передачи Чебышева должна быть изменена таким образом, чтобы переместить нуль отражения четного порядка на , сохраняя при этом равноволновую характеристику полосы пропускания. ^[5] ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =0}$

Необходимая модификация включает отображение каждого полюса передаточной функции Чебышева таким образом, чтобы отображать отражение самой низкой частоты от нуля к нулю, а остальные полюса — по мере необходимости для поддержания равноволновой полосы пропускания. Отражение самой низкой частоты от нуля может быть найдено из узлов Чебышева , . Полная функция отображения полюсов Чебышева показана ниже. ^[5] ${\displaystyle cos{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}$

${\displaystyle P'=\left[{\sqrt {\left({\frac {P^{2}+cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}{1-{cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}}}\right)}}\right]_{\text{Left Half Plane }}}$

Где:

n — порядок фильтра (должен быть четным)

P — традиционный полюс передаточной функции Чебышева

P' — отображенный полюс для модифицированной передаточной функции четного порядка.

«Левая полуплоскость» указывает на использование квадратного корня, содержащего отрицательное действительное значение.

После завершения создается заменяющая равноволновая передаточная функция со значениями матрицы рассеяния с нулевым отражением для S12, равными единице, и S11, равными нулю, при реализации с пассивными сетями с одинаковой нагрузкой. На рисунке ниже показан фильтр Чебышева 8-го порядка, модифицированный для поддержки пассивных сетей с одинаковой нагрузкой четного порядка путем перемещения нуля отражения самой низкой частоты с конечной частоты на 0 при сохранении частотной характеристики полосы пропускания с равноволновой нагрузкой.

Четный порядок модифицированной иллюстрации Чебышева

Формулы значений элемента LC в топологии Кауэра неприменимы к модифицированной передаточной функции Чебышева четного порядка и не могут быть использованы. Поэтому необходимо вычислять значения LC из традиционных непрерывных дробей функции импеданса, которые могут быть получены из коэффициента отражения , который в свою очередь может быть получен из передаточной функции.

Минимальный заказ

Для проектирования фильтра Чебышева с использованием минимально необходимого количества элементов минимальный порядок фильтра Чебышева может быть вычислен следующим образом. ^[6] Уравнения учитывают только стандартные фильтры нижних частот Чебышева. Даже модификации порядка и конечные нули пропускания полосы заграждения приведут к ошибке, которую уравнения не учитывают.

${\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}$

где:

${\displaystyle \omega _{p}}$и - частота пульсации полосы пропускания и максимальное затухание пульсации в дБ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$и - частота полосы пропускания и затухание на этой частоте в дБ ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$минимальное количество полюсов, порядок фильтра.

ceil [] — функция округления до следующего целого числа.

Установка затухания отсечки

Затухание среза полосы пропускания для фильтров Чебышева обычно такое же, как затухание пульсации полосы пропускания, установленное с помощью приведенного выше вычисления. Однако многие приложения, такие как диплексеры и триплексеры, ^[5] требуют затухания среза -3,0103 дБ для получения необходимых отражений. Другие специализированные приложения могут потребовать других конкретных значений затухания среза по разным причинам. Поэтому полезно иметь средство, доступное для установки затухания среза полосы пропускания Чебышева независимо от затухания пульсации полосы пропускания, например -1 дБ, -10 дБ и т. д. Затухание среза может быть установлено путем частотного масштабирования полюсов передаточной функции.

Коэффициент масштабирования может быть определен путем прямого алгебраического манипулирования определяющей функции фильтра Чебышева, , включая и . Требуется общее определение функции Чебышева , которое может быть получено из уравнений полиномов Чебышева , и обратной функции Чебышева, . Чтобы сохранить действительные числа для значений , можно использовать сложные гиперболические тождества для переписывания уравнений в виде, и . ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})}$ ${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cos(n\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0}))}$ ${\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cos(\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{0}\geq 1}$ ${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cosh(n\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0}))}$ ${\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cosh(\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)}$

Используя простую алгебру для приведенных выше уравнений и ссылок, выражение для масштабирования каждого полюса Чебышёва выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}/T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\alpha }/10}-1}{10^{\delta /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*sech{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Где:

${\displaystyle p_{A}}$перемещенный полюс, позиционируемый для установки желаемого затухания отсечки.

${\displaystyle p_{1}}$представляет собой полюс отсечки ряби, лежащий на овале.

${\displaystyle \delta }$- неравномерность затухания в полосе пропускания в дБ (0,05 дБ, 1 дБ и т. д.)).

${\displaystyle \alpha }$желаемое затухание в полосе пропускания на частоте среза в дБ (1 дБ, 3 дБ, 10 дБ и т.д.)

${\displaystyle n}$— количество полюсов (порядок фильтра).

Быстрая проверка правильности приведенного выше уравнения с использованием затухания пульсаций в полосе пропускания для затухания среза полосы пропускания показывает, что для этого случая корректировка полюса составит 1,0, что и ожидалось. ${\displaystyle (\alpha =\delta )}$

Регулировка затухания среза с четным изменением порядка

Для фильтров Чебышева, разработанных с модифицированной для четного порядка полосой пропускания пульсации для пассивных равнооконечных фильтров, вычисление частоты затухания должно включать регулировку четного порядка путем выполнения операции регулировки четного порядка на вычисленной частоте затухания. Это делает арифметику регулировки четного порядка немного проще, поскольку частота может рассматриваться как действительная переменная, в этом случае . ${\displaystyle ((J\omega )^{2}{\text{ becomes }}-\omega ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}{cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Где:

${\displaystyle p_{A}}$перемещенный полюс, позиционируемый для установки желаемого затухания отсечки.

${\displaystyle p_{1}}$представляет собой полюс отсечки пульсаций, модифицированный для полос пропускания четного порядка.

${\displaystyle \delta }$- неравномерность затухания в полосе пропускания в дБ (0,05 дБ, 1 дБ и т. д.)).

${\displaystyle \alpha }$желаемое затухание в полосе пропускания на частоте среза в дБ (1 дБ, 3 дБ, 10 дБ и т.д.)

${\displaystyle n}$— количество полюсов (порядок фильтра).

${\displaystyle cos({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}$наименьший четный порядок Чебышевского узла

Фильтры Чебышева II типа (обратные фильтры Чебышева)

Частотная характеристика фильтра нижних частот Чебышева пятого порядка II рода с ${\displaystyle \varepsilon =0.01}$

Фильтр Чебышева типа II, также известный как обратный фильтр Чебышева, менее распространен, поскольку он не спадает так быстро, как фильтр типа I, и требует больше компонентов. Он не имеет пульсации в полосе пропускания, но имеет равноволнистую полосу задерживания. Коэффициент усиления составляет:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}{1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}.}$

В полосе задерживания полином Чебышева колеблется между -1 и 1, так что усиление будет колебаться между нулем и

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}}$

и наименьшая частота, на которой достигается этот максимум, является частотой среза . Таким образом, параметр ε связан с затуханием в полосе задерживания γ в децибелах следующим образом: ${\displaystyle \omega _{o}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{\gamma /10}-1}}}.}$

Для затухания в полосе пропускания 5 дБ ε = 0,6801; для затухания 10 дБ ε = 0,3333. Частота f ₀ = ω ₀ /2 π является частотой среза. Частота 3 дБ f _H связана с f ₀ соотношением:

${\displaystyle f_{H}={\frac {f_{0}}{\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}.}$

Полюса и нули

Логарифм абсолютного значения коэффициента усиления фильтра Чебышева II рода 8-го порядка в комплексном частотном пространстве (s=σ+jω) при ε = 0,1 и . Белые пятна — полюса, а черные — нули. Показаны все 16 полюсов. Каждый ноль имеет кратность два, показано 12 нулей, четыре из которых расположены за пределами рисунка, два на положительной оси ω и два на отрицательной. Полюса передаточной функции — полюса на левой полуплоскости, а нули передаточной функции — нули, но с кратностью 1. Черный цвет соответствует коэффициенту усиления 0,05 или меньше, белый цвет соответствует коэффициенту усиления 20 или больше. ${\displaystyle \omega _{0}=1}$

Если предположить, что частота среза равна единице, то полюсами коэффициента усиления фильтра Чебышева являются нули знаменателя коэффициента усиления: ${\displaystyle (\omega _{pm})}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0.}$

Полюса усиления фильтра Чебышева II типа обратны полюсам фильтра I типа:

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle \qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

где . Нули фильтра Чебышева II рода являются нулями числителя коэффициента усиления: ${\displaystyle m=1,2,...n}$ ${\displaystyle (\omega _{zm})}$

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0.\,}$

Таким образом, нули фильтра Чебышева II типа являются обратными нулям полинома Чебышева.

${\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)}$

для . ${\displaystyle m=1,2,...n}$

Передаточная функция

Передаточная функция задается полюсами в левой полуплоскости функции усиления и имеет те же нули, но эти нули являются одинарными, а не двойными.

Групповая задержка

Коэффициент усиления и групповая задержка фильтра Чебышева II рода пятого порядка при ε = 0,1.

Коэффициент усиления и групповая задержка для фильтра Чебышева II рода пятого порядка с ε=0,1 показаны на графике слева. Видно, что в полосе задерживания есть пульсации коэффициента усиления, но нет в полосе пропускания.

Даже порядок модификаций

Как и фильтры четного порядка Чебышева, стандартный фильтр четного порядка Чебышева II не может быть реализован с одинаково нагруженными пассивными элементами без использования связанных катушек, что может быть нежелательным или невыполнимым. В случае Чебышева Ii это происходит из-за конечного затухания S12 в полосе задерживания. ^[5] Однако фильтры Чебышева II четного порядка могут быть модифицированы путем перевода конечного пропускания наивысшей частоты из нуля в бесконечность, при этом сохраняя функции равноволновой фильтрации полосы задерживания Чебышева II. Для этого перевода вместо стандартной функции Чебышева используется модифицированная функция Чебышева четного порядка для определения полюсов Чебышева II, необходимых для создания передаточной функции модифицированного Чебышева II четного порядка. Нули создаются с использованием корней модифицированного полинома Чебышева четного порядка , которые являются модифицированными узлами Чебышева четного порядка .

На рисунке ниже показан обратный фильтр Чебышева 8-го порядка, модифицированный для поддержки пассивных сетей четного порядка с одинаковой нагрузкой путем перемещения нуля передачи самой высокой частоты с конечной частоты на , при этом сохраняется равноволновая частотная характеристика полосы заграждения. ${\displaystyle \infty }$

Четный порядок модифицированной иллюстрации обратного уравнения Чебышева

Минимальный заказ

Чтобы разработать обратный фильтр Чебышева, используя минимально необходимое количество элементов, минимальный порядок обратного фильтра Чебышева можно рассчитать следующим образом. ^[7] Уравнения учитывают только стандартные фильтры нижних частот обратного фильтра Чебышева. Изменения даже порядка внесут ошибку, которую уравнения не учитывают. Уравнения идентичны тем, которые используются для минимального порядка фильтра Чебышева, с немного другими определениями переменных.

${\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}$

где:

${\displaystyle \omega _{p}}$и - частота полосы пропускания и затухание на этой частоте в дБ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$и - частота полосы задерживания и минимальное затухание полосы задерживания в дБ ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$минимальное количество полюсов, порядок фильтра.

ceil [] — функция округления до следующего целого числа.

Установка затухания отсечки

Стандартное затухание среза, как описано, такое же, как и затухание пульсации полосы пропускания. Однако, как и в фильтрах Чебышева, полезно установить затухание среза на желаемое значение, и по тем же причинам. Установка затухания среза Чебышева II такая же, как и для затухания среза Чебышева, за исключением того, что арифметические записи затухания и пульсации инвертируются в уравнении, а полюса и нули умножаются на результат, в отличие от деления на в случае Чебышева.

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}*T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\delta }/10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}0\leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*cosh{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Регулировка затухания среза с четным изменением порядка

Та же самая четная корректировка полюсов и нулей, которая использовалась для модифицированного затухания среза Чебышева четного порядка, может быть использована и для случая Чебышева II, за исключением того, что полюса умножаются на результат.

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}{1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

Выполнение

топология Кауэра

Пассивный LC фильтр нижних частот Чебышева может быть реализован с использованием топологии Кауэра . Значения индуктивности или конденсатора фильтра -прототипа Чебышева th-го порядка могут быть рассчитаны с помощью следующих уравнений: ^[8] ${\displaystyle n}$

${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle G_{1}={\frac {2A_{1}}{\gamma }}}$

${\displaystyle G_{k}={\frac {4A_{k-1}A_{k}}{B_{k-1}G_{k-1}}},\qquad k=2,3,4,\dots ,n}$

${\displaystyle G_{n+1}={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ odd}}\\\coth ^{2}\left({\frac {\beta }{4}}\right)&{\text{if }}n{\text{ even}}\end{cases}}}$

G ₁ , G _k — значения элементов конденсатора или индуктивности. f _H , частота 3 дБ рассчитывается по формуле: ${\displaystyle f_{H}=f_{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}$

Коэффициенты A , γ , β , A _k и B _k можно рассчитать из следующих уравнений:

${\displaystyle \gamma =\sinh \left({\frac {\beta }{2n}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\ln \left[\coth \left({\frac {\delta }{17.37}}\right)\right]}$

${\displaystyle A_{k}=\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n}},\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle B_{k}=\gamma ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{n}}\right),\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

где - пульсация полосы пропускания в децибелах. Число округляется от точного значения . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 17.37}$ ${\displaystyle 40/\ln(10)}$

Фильтр нижних частот с топологией Кауэра

Рассчитанные значения G _k затем могут быть преобразованы в шунтирующие конденсаторы и последовательные индукторы, как показано справа, или они могут быть преобразованы в последовательные конденсаторы и шунтирующие индукторы. Например,

• _Шунт C 1 = G ₁ , _ряд L 2 = G ₂ , ...

или

• _Шунт L 1 = G ₁ , _ряд C 1 = G ₂ , ...

Обратите внимание, что когда G ₁ является шунтирующим конденсатором или последовательной индуктивностью, G ₀ соответствует входному сопротивлению или проводимости соответственно. То же самое соотношение справедливо для G _n+1 и G _n . Результирующая схема представляет собой нормализованный фильтр нижних частот. Используя преобразования частоты и масштабирование импеданса , нормализованный фильтр нижних частот может быть преобразован в фильтр верхних частот , полосовой и режекторный фильтры любой желаемой частоты среза или полосы пропускания .

Цифровой

Как и большинство аналоговых фильтров, Чебышев может быть преобразован в цифровую (дискретно-временную) рекурсивную форму с помощью билинейного преобразования . Однако, поскольку цифровые фильтры имеют конечную полосу пропускания, форма отклика преобразованного Чебышева деформируется . В качестве альтернативы можно использовать метод согласованного Z-преобразования , который не деформирует отклик.

Сравнение с другими линейными фильтрами

На следующем рисунке фильтры Чебышева показаны рядом с другими распространенными типами фильтров, полученными с тем же числом коэффициентов (пятый порядок):

Фильтры Чебышева более резкие, чем фильтр Баттерворта ; они не такие резкие, как эллиптический , но они показывают меньше пульсаций в полосе пропускания.

Расширенные темы в фильтрах Чебышева

Гибкость проектирования фильтра Чебышева может быть расширена более продвинутыми методами проектирования, описанными в этом разделе. Нули передачи могут быть вставлены в полосу заграждения для нейтрализации определенных нежелательных частот или увеличения затухания среза, или могут быть вставлены вне оси для получения более желательной групповой задержки . Могут быть созданы асимметричные полосовые фильтры Чебышева, которые содержат различное количество полюсов с каждой стороны полосы пропускания, чтобы более эффективно удовлетворять требованиям проектирования с асимметричной частотой. Полосы пропускания с равной пульсацией и то, чем известны фильтры Чебышева, могут быть ограничены процентом от полосы пропускания для более эффективного удовлетворения требованиям проектирования, которые требуют, чтобы только часть полосы пропускания была равной пульсацией. ^[9]

Нули Чебышевской передачи

Фильтры Чебышева могут быть спроектированы с произвольно размещенными конечными нулями пропускания в полосе задерживания, сохраняя при этом равноволновую полосу пропускания. Нули полосы задерживания вдоль оси обычно используются для устранения нежелательных частот. Нули полосы задерживания вдоль действительной оси или квадруплетные нули полосы задерживания в комплексной плоскости могут использоваться для изменения групповой задержки до более желательной формы. Конструкция нулей пропускания использует характеристические полиномы, K(S), для размещения нулей пропускания и отражения, которые в свою очередь используются для создания передаточной функции, [ ^10] ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle G(s)={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{left half plane (LHP) poles}}}$

Расчет K(S) основан на следующем наблюдаемом равенстве. ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{array}{lcr}&{\bigg |}\prod _{i=1}^{N}{\frac {j\omega {\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}+{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}{(1-j\omega /z_{i})}}{\bigg |}=1.&&{\text{ for }}0\leq \omega \leq 1\end{array}}\\\end{aligned}}}$

для всех , мнимых сопряженных пар , квадруплетных сопряженных пар или действительных противоположных знаковых пар. ${\displaystyle z_{i}=\infty }$

Учитывая, что величина всегда равна единице в полосе пропускания ( ), рациональные и иррациональные члены должны изменяться в пределах от 0 до 1. Следовательно, если для создания характеристической функции используется только рациональный член, в полосе пропускания ожидается равноволнистый отклик, а характеристические полюса (нули передачи) ожидаются вообще . ${\displaystyle 0\leq \omega \leq 1}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle s=z_{i}}$

Процесс расчета K(S) с использованием приведенного выше выражения приведен ниже.

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{\prod _{i=1}^{N}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}>1\\&={\frac {\sqrt {\omega _{i}^{2}-1}}{\omega _{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{i}>1\\&=1{\text{ for }}\omega _{i}=\infty \\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\end{aligned}}}$

Используйте положительное решение для действительных и мнимых пар. Используйте положительное действительное и сопряженное мнимое решение для квадруплетных комплексных пар. ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle K(s)}$следует нормализовать таким образом , чтобы , если необходимо. ${\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}$

"Только рациональные члены" означает сохранение рациональной части произведения и отбрасывание иррациональной части. Рациональный член может быть получен путем ручного выполнения полиномиальной арифметики или с помощью приведенного ниже сокращенного решения, которое является решением, полученным из полиномиальной арифметики и использующим биномиальные коэффициенты . Алгоритм чрезвычайно эффективен, если биномиальные коэффициенты реализованы из справочной таблицы предварительно вычисленных значений.

${\displaystyle {\begin{aligned}&B=\prod _{i=1}^{N}(M_{i}s+1)\\&K(s)_{num}=\sum _{i=N}^{i\geq 0{\text{, step }}=-2}{\bigg [}\sum _{j=i}^{j\geq 0{\text{, step }}=-2}B_{j}{\binom {(N-j)/2}{(N-i)/2}}{\bigg ]}s^{i}\\&N={\text{ order of the Chebyshev filter}}\\&B={\text{a polynomial created by the product of the specified factors}}\\&B_{j}={\text{ the }}j_{th}{\text{ order coefficient of polynomial }}B\\&{\binom {n}{k}}{\text{ is the binomial coefficient function}}\\\end{aligned}}}$

Когда все значения M установлены в единицу, то будет стандартное уравнение Чебышева, что и ожидалось, поскольку все нули передачи это . Фильтры Чебышева с конечным нулем передачи четного порядка имеют то же ограничение, что и случай всех полюсов, в том, что они не могут быть построены с использованием одинаково нагруженных пассивных сетей. Такая же модификация четного порядка может быть сделана для характеристических полиномов четного порядка, , чтобы сделать возможными реализации одинаково нагруженных пассивных сетей. Однако модификация четного порядка также немного сместит конечные нули передачи. Это перемещение может быть значительно смягчено путем предложения нулей передачи с инверсией модификации четного порядка с использованием самого низкого узла Чебышева , . ${\displaystyle K(s)_{num}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle cos(\pi (N-1)/(2N))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{i}'={\sqrt {z_{i}^{2}(1.-C_{0}^{2})-C_{0}^{2}}}\\&C_{0}^{2}=cos^{2}({\frac {\pi (N-1)}{2N}})\\&z_{i}={\text{desired finite transmission zero}}\\&z_{i}'={\text{prepositioned finite transmission zero}}\\\end{aligned}}}$

Простой пример нулей передачи

Разработайте 3-полюсный фильтр Чебышева с полосой пропускания 1 дБ, нулем пропускания при 2 рад/с и нулем пропускания при : ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{1}=M_{2}={\sqrt {(j2)^{2}+1}}/j2={\sqrt {1-4}}/j2={\sqrt {3}}/2=0.866025{\text{, }}M_{3}={\sqrt {\infty ^{2}+1}}/\infty =1\\&\\&{\text{Full polynomial derivation:}}\\&K(s)_{num}={\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s+{\sqrt {\dots }}\\&{\text{discarding the irrational }}{\sqrt {\dots }}{\text{ and keeping only the rational part:}}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&K(s)_{num}{\text{ shortcut derivation:}}\\&B=(0.86602540s+1)(0.86602540s+1)(s+1)=.75s^{3}+2.4820508s^{2}+2.7320508s+1\\&K(s)_{num}={\bigg (}0.75{\binom {0}{0}}+2.4820508{\binom {1}{0}}{\bigg )}s^{3}+{\bigg (}2.7320508{\binom {1}{1}}{\bigg )}s\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&k(s)_{den}=({\frac {s}{j2}}+1)({\frac {s}{-j2}}+1)=0.25s^{2}+1\\&{\text{Check }}|K(s)|{\text{ at }}s=j{\text{ to insure it is unity, and adjust with a constant, if necessary:}}\\&{\bigg |}{\frac {K(s)_{num}(s=j)}{K(s)_{den}(s=j)}}{\bigg |}=1{\text{ Check!}}\\&K(s)={\frac {3.4820508s^{3}+2.7320508s}{0.25s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

Чтобы найти передаточную функцию, выполните следующие действия. ^{[10] [11]} ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon ^{2}=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\&G(s)={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\sqrt {\frac {\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}}{\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}+.25892541\{3.4820508(s)^{3}+2.7320508(s)\}\{3.4820508(-s)^{3}+2.7320508(-s)\}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.25(s)^{2}+1}{{\sqrt {-3.1393872s^{6}-4.8638872s^{4}-1.4326456s^{2}+1}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

Чтобы получить из левой полуплоскости, разложите числитель и знаменатель на множители, чтобы получить корни. Отбросьте все корни из правой полуплоскости знаменателя, половину повторных корней в числителе и перестройте с оставшимися корнями. Обычно нормализуйте до 1 при . ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.25s^{2}+1}{1.7718316s^{3}+1.7200107s^{2}+2.2074118s+1}}\\\end{aligned}}}$

Для подтверждения правильности примера ниже показан график с неравномерностью полосы пропускания 1 дБ, частотой среза 1 рад/сек и нулем полосы задерживания 2 рад/сек. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle j\omega }$

Чебышевская передача нулевая при 2 рад/сек

Асимметричный полосовой фильтр

Фильтры полосы пропускания Чебышева могут быть спроектированы с геометрически асимметричной частотной характеристикой путем размещения желаемого числа нулей передачи в нуле и бесконечности с использованием более обобщенной формы уравнения нулей передачи Чебышева выше, ^[10] и показано ниже. Уравнения ниже рассматривают частотно-нормализованную полосу пропускания от 1 до . Если число нулей передачи в 0 не совпадает с числом нулей передачи в , фильтр будет геометрически асимметричным. Фильтр также будет асимметричным, если конечные нули передачи не размещены симметрично относительно геометрической центральной частоты, которая в этом случае равна . Существует ограничение в том, что фильтр должен быть чисто четного порядка, то есть сумма всех полюсов должна быть четной, чтобы асимметричное уравнение давало пригодные для использования результаты. Действительные и комплексные нули передачи квадруплета также могут быть созданы с использованием этой техники и полезны для изменения отклика групповой задержки , как и в случае нижних частот. Вывод характеристического уравнения, , для создания асимметричного фильтра полосы пропускания Чебышева показан ниже. ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\sqrt {\omega _{2}}}}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}{\sqrt {s^{2}+\omega _{2}^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{N_{z}}\prod _{i=1}^{N_{f}}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\sqrt {\frac {z_{i}^{2}+1}{z_{i}^{2}+\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}<1{\text{ or }}\omega _{i}>\omega _{2}\\&={\sqrt {\frac {1-\omega _{i}^{2}}{\omega _{2}^{2}-\omega _{i}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}0<\omega _{i}<1\\&={\sqrt {\frac {\omega _{i}^{2}-1}{\omega _{i}^{2}-\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{2}<\omega _{i}<\infty \\&={\frac {1}{\omega _{2}}}{\text{ for }}z_{i}=0\\&=1{\text{ for }}z_{i}=\infty \\N_{z}&={\text{ number of transmission zeros at zero}}\\N_{f}&={\text{ number of finite transmission zeros (imaginary, real, and complex)}}\\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\omega _{2}&={\text{ upper passband corner frequency (lower corner is normalized to 1)}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K(s)}$следует нормализовать таким образом , чтобы , если необходимо. ${\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}$

Простой асимметричный пример

Разработайте асимметричный фильтр Чебышева с полосой пропускания 1 дБ с пульсацией от 1 до 2 рад/с, одним нулем передачи при и тремя нулями передачи при 0. Применяя числовые значения к приведенным выше уравнениям, можно рассчитать характеристические полиномы следующим образом. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=2\\M_{1}&=M_{2}=M_{3}=.5\\M_{4}&=1\\K(s)&={\frac {{\bigg \{}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{3}}}\\K(s)&=C{\frac {3.375s^{4}+14.25s^{2}+12+{\sqrt {\dots }}}{s^{3}}}{\text{ where C is a constant used to normalize the magnitude to 1 at }}s=j\\\end{aligned}}}$

Отбрасываем иррациональную часть и нормализуем до 1 при s=j: ${\displaystyle |K(s)|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {3s^{4}+12.666667s^{2}+10.666667}{s^{3}}}\\\end{aligned}}}$

Используйте тот же процесс, что и в случае нижних частот, чтобы найти из , используя константу для масштабирования величины. ^{[10] [11]} ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&=C{\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {(s)^{3}(-s)^{3}+.25892541\{3(s)^{4}+12.666667(s)^{2}+10.666667\}\{3(-s)^{4}+12.666667(-s)^{2}+10.666667\}}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {2.3303287s^{8}+18.678331s^{6}+58.11437s^{4}+69.9674s^{2}+29.459958}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

При восстановлении знаменателя из полюсов левой полуплоскости необходимо установить величину так, чтобы нули отражения находились на уровне 0 дБ. Для этого следует масштабировать так, чтобы = -1 дБ на угловых частотах полосы пропускания, и . После этого окончательная передаточная функция для разработанного асимметричного фильтра Чебышева показана ниже. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle s=j}$ ${\displaystyle s=j2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&={\frac {0.18424001s^{3}}{0.28125000s^{4}+0.34089984s^{3}+1.3337548s^{2}+0.54084155s+1}}\\\end{aligned}}}$

Оценка при s=j и при s=2j дает значение -1 дБ в обоих случаях, что дает уверенность в том, что пример был синтезирован правильно. Частотная характеристика приведена ниже, показывая равноволнистую характеристику полосы пропускания Чебышева 1 дБ для , затухание среза -1 дБ на краях полосы пропускания, затухание -60 дБ / декада в направлении , затухание -20 дБ / декада в направлении и крутые склоны в стиле Чебышева вблизи краев полосы пропускания. ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle 1<\omega <2}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$

Моделирование, демонстрирующее асимметричный Чебышев

Сужение пульсации полосы пропускания

Стандартная конструкция фильтра нижних частот Чебышева создает равноволнистую полосу пропускания, начинающуюся от 0 рад/сек до нормализованного по частоте значения 1 рад/сек. Однако некоторые требования к конструкции не требуют равноволнистой полосы пропускания на низких частотах. Стандартный полностью равноволнистый фильтр Чебышева для этого применения приведет к перепроектированному фильтру. Ограничение равноволнистости до определенного процента от полосы пропускания создает более эффективную конструкцию, уменьшая размер фильтра и потенциально устраняя один или два компонента, что полезно для максимизации эффективности пространства платы и минимизации производственных затрат для изделий массового производства. ^[9]

Ограниченная полоса пропускания пульсации может быть достигнута путем проектирования асимметричного полосового фильтра Чебышева с использованием методов, описанных выше в этой статье, с асимметричной верхней стороной пропускания 0 порядка (без нулей пропускания при 0) и установкой на ограниченную частоту пульсации. Порядок нижней стороны пропускания равен N-1 для фильтров нечетного порядка, N-2 для модифицированных фильтров четного порядка и N для стандартных фильтров четного порядка. Это приводит к S12 меньше единицы при , что типично для стандартной конструкции Чебышева четного порядка, поэтому для стандартных конструкций Чебышева четного порядка процесс завершается на этом этапе. Необходимо будет вставить один нуль отражения при для конструкций нечетного порядка и два нуля отражения при для модифицированных конструкций четного порядка. Добавленные нули отражения вносят заметную ошибку в полосу пропускания, которая, вероятно, будет неприемлемой. Эту ошибку можно быстро и точно устранить, переместив конечные нули отражения с помощью метода Ньютона для систем уравнений . ${\displaystyle \omega 2}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =0}$

Применение метода Ньютона

Для позиционирования нулей отражения с помощью метода Ньютона требуются три вида информации:

1. Местоположение каждого минимума пульсации полосы пропускания, который существует на частотах выше частоты ограниченной пульсации.
2. Значение величины, нормализованной , то есть , на частоте сужения и на каждом минимуме выше частоты сужения. Дальнейшие ссылки на эту функцию будут обозначаться как или ${\displaystyle |K(j\omega )|}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}$ ${\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|}$
3. Матрица Якоби частной производной для частоты сужения и в каждом минимуме выше частоты сужения. относительно каждого нуля отражения. ${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}$

Поскольку характеристические уравнения Чебышева, , имеют все нули отражения, расположенные на оси, и все нули пропускания либо на оси, либо симметрично относительно оси (требуется для реализации пассивного элемента), местоположения минимумов пульсаций полосы пропускания могут быть получены путем факторизации числителя производной , , с использованием алгоритма поиска корня . Корни этого полинома будут частотами минимумов полосы пропускания. можно получить из стандартных определений производных полинома , и равно . ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}}$ ${\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}}$ ${\displaystyle (dK(s)/ds)num=K(s)_{den}(d(K(s)_{num})/ds)-K(s)_{num}(d(K(s)_{den})/ds)}$

Частные производные могут быть рассчитаны в цифровом виде с помощью , однако непрерывная частная производная обычно обеспечивает большую точность и меньшее время сходимости, и рекомендуется. Для получения непрерывных частных производных относительно нулей отражений необходимо получить непрерывное выражение для , которое действует во все времена. Этого можно достичь, выразив как функцию его сопряженных пар корней, как показано ниже. ${\displaystyle \partial |K(R_{k},j\omega )_{K(j)=1}|/\partial R_{k}=|K(R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|-|K(R_{k}+\vartriangle R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|)/\vartriangle R_{k}}$ ${\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|K(s)_{|K(j)|=1}|&={\begin{cases}K_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\sK_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\\end{cases}}\\&\\K{finite}(s)&={\frac {\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}+s^{2})}{\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}+s^{2})}}{\frac {\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}-1)}{\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}-1)}}\\\end{aligned}}}$

Где включает только конечные нули отражения и пропускания, и относится к числу сопряженных пар нулей отражения и пропускания, а и являются сопряженными парами нулей отражения и пропускания. Нечетный член учитывает одиночный ноль отражения в точке 0, который встречается в фильтрах Чебышева нечетного порядка. Обратите внимание, что если используются нули квадруплета пропускания, выражение должно быть изменено для учета членов квадруплета. При осмотре видно, что всякий раз, когда в приведенном выше выражении. ${\displaystyle K{finite}(s)}$ ${\displaystyle N_{Rz}}$ ${\displaystyle N_{Tz}}$ ${\displaystyle Rz_{i}}$ ${\displaystyle Tz_{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |K(s)|=1}$ ${\displaystyle s=j}$

Поскольку для формирования полосы пропускания Чебышева требуется только перемещение нулей отражения, выражение частной производной необходимо сделать только на членах , а члены рассматриваются как константа. Чтобы помочь в определении выражения частной производной для каждого , выражение выше можно переписать, как показано ниже. ${\displaystyle Rz_{i}}$ ${\displaystyle Tz_{i}}$ ${\displaystyle Rz_{i}}$

${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}_{{\text{less the }}Rz_{k}^{2}{\text{ terms}}}}$

Где обозначает конкретную отраженную нулевую сопряженную пару. ${\displaystyle Rz_{k}^{2}}$

Эту производную этого выражения по отношению можно легко вычислить, следуя стандартным правилам производной . Константа требует деления членов для сохранения целостности функции. Самый простой способ сделать это — умножить на обратные члены , которые были перемещены вперед. Дифференцируемое выражение можно переписать следующим образом. ${\displaystyle Rz_{k}}$ ${\displaystyle R_{k}^{2}}$ ${\displaystyle |K(j\omega )|}$ ${\displaystyle R_{k}^{2}}$

${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg \{}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}{\bigg |}{\frac {Rz_{k}^{2}-1}{Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}}{\bigg |}{\bigg \}}_{\text{constant}}}$

Затем можно определить частную производную, применив стандартные процедуры производных и упростив их. Результат приведен ниже. ${\displaystyle Rz_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega ^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega ^{2})}}|K(j\omega )|}$

Поскольку единственными значимыми частотами являются частоты в точке сужения и корни , матрица Якоби может быть построена следующим образом. ${\displaystyle i=2{\text{ to }}N_{Rz}}$ ${\displaystyle |(dK(s)/ds)_{num}|}$

${\displaystyle J(Rz_{k},\omega _{i})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|)}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\end{bmatrix}}}$

Где — предельная частота сужения, а — величины корней оставшихся минимумов полосы пропускания, а — нули отражения. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{(i>1)}}$ ${\displaystyle |dK(s)/ds)_{num}|}$ ${\displaystyle Rz_{k}}$

Предполагая, что затухание среза фильтра такое же, как и величина пульсации, значение равно 1 , поэтому все элементы вектора решения равны 1, и итерационные уравнения для решения по методу Ньютона имеют вид ${\displaystyle |K(j\omega _{i})|}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&[B_{k}]={\begin{bmatrix}|K(j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|-1\\|K(j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|-1\\\vdots \\|K(j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|-1\\\end{bmatrix}}\\&\\&[J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]\\&\\&[Rz_{k+1}]=[Rz_{k}]+[\Delta _{k}]\\\end{aligned}}}$

Сходимость достигается, когда сумма всех и достаточно мала для приложения, обычно между 1.e-05 и 1.e-16. Для более крупных фильтров может потребоваться ограничить размер каждого , чтобы предотвратить чрезмерные колебания на ранней стадии сходимости, и ограничить размер каждого, чтобы сохранить их значения внутри ограниченного диапазона пульсаций во время сходимости. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle Rz_{k+1}}$

Пример суженной полосы пропускания

Разработать 7-полюсный фильтр Чебышева с равноволновой полосой пропускания 1 дБ, суженной до 55% полосы пропускания.

Шаг 1: Разработайте характеристические полиномы для асимметричной частотной характеристики от 0,45 до 1 с 6 полюсами нижних частот и 0 полюсами верхних частот, используя описанный выше процесс асимметричного синтеза (используйте угловую частоту = 0,45). ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{6}+113.7979s^{4}+60.897476s^{2}+9.1891952}{1}}}$

Шаг 2: Вставьте один нулевой рефлекс в шаг 1. (для модифицированных фильтров четного порядка потребуются два добавления нулевых рефлексов) ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{7}+113.7979s^{5}+60.897476s^{3}+9.1891952s}{1}}}$

Шаг 3: Определите из полосы пропускания частоты нулевой производной, вычислив положительные действительные или мнимые значения корней , и замените наименьший корень с частотой сужения 0,45 на . ${\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}}$ ${\displaystyle |(d{K(s)}/ds)_{num}|}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Шаг 4 : Определите значение в каждой ограниченной и производной нулевой точке. ${\displaystyle |K(j\omega _{i})|}$

Шаг 5 : Создайте вектор B для линейных уравнений, вычитая целевые значения на каждой частоте, которые в данном случае все равны 1, поскольку затухание среза равно затуханию пульсаций полосы пропускания в этом конкретном примере. на частоте среза . ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle j}$

Шаг 6: Определить матрицу Якоби частной производной для каждого относительно каждого нуля отражения, , ${\displaystyle |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}$ ${\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}}$ ${\displaystyle Rz_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega _{i}^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega _{i}^{2})}}|K(j\omega _{i})_{K(j)=1}|}$

Шаг 7 : Получите движения нулей отражения, решив линейную систему уравнений, используя вектор B из шага 5. ${\displaystyle [\Delta _{k}]}$ ${\displaystyle [J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]}$

Шаг 8: Вычислите новые положения нуля отражения, вычитая вычисленные выше значения из предыдущей итерации положений нуля отражения. ${\displaystyle [\Delta ]}$

${\displaystyle [Rz_{k}]_{\text{next}}=[Rz_{k}]-[\Delta z_{k}]}$

Повторяйте шаги с 3 по 8, пока не будут выполнены критерии сходимости приложения, которые для этого примера выбраны равными 1.e-12. После завершения финал может быть построен из положений нулей финального отражения, +/-j0.5278143, +/-J0.80460874, +/-J0.97721056 и 0. Когда амплитуда нормализована таким образом , что , построенный результат показан ниже. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta _{min}}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle |K(j)|=1}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {87.245248s^{7}+164.10165s^{5}+92.882626s^{3}+15.026225s}{1}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}$

${\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(1dB/10)}-1=0.25892541}$

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{44.394495s^{7}+30.711417s^{6}+94.125494s^{5}+46.949428s^{4}+58.490258s^{3}+17.844618S^{2}+9.7031614s+1}}}$

Процесс синтеза может быть проверен путем быстрой проверки для каждого из шага 3, чтобы убедиться в затухании 1 дБ на этих частотах, и что затухание среза также составляет 1 дБ. Сводка вычислений ниже подтверждает пример процесса синтеза. ${\displaystyle |G(j\omega _{k})|}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle \omega =1}$

Окончательная амплитудно-частотная характеристика прямой передаточной функции показана ниже. ${\displaystyle |G(jw)|}$

Чебышев II стоп-зона пульсация сужение

Стандартная конструкция фильтра нижних частот обратного Чебышева создает равноволнистую полосу заграждения, начинающуюся от нормализованного значения 1 рад/сек до . Однако некоторые требования к конструкции не требуют равноволнистой полосы пропускания на высоких частотах. Стандартный полностью равноволнистый фильтр обратного Чебышева для этого приложения приведет к перепроектированному фильтру. Ограничение равноволнистости до определенного процента от полосы заграждения создает более эффективную конструкцию, уменьшая размер фильтра и потенциально устраняя один или два компонента, что полезно для максимизации эффективности пространства платы и минимизации производственных затрат для изделий массового производства. ^[9] ${\displaystyle \infty }$

Обратные фильтры Чебышева с ограниченной полосой заграждения пульсаций синтезируются точно таким же образом, как и стандартный обратный фильтр Чебышева. Ограниченный пульсаций Чебышев проектируется с инвертированным , где - затухание полосы заграждения в дБ, полюса и нули разработанного ограниченного пульсаций фильтра Чебышева инвертируются, и затухание среза устанавливается. Поскольку стандартные уравнения Чебышева не будут работать с конструкцией ограниченной пульсации, затухание среза должно быть установлено с помощью процесса, описанного в конструкции эллиптических песочных часов . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1/(10^{(\gamma /10)}-1)}$ ${\displaystyle \gamma }$

Ниже приведены параметры рассеяния |S11| и |S12| для 7-полюсного обратного фильтра Чебышева с ограниченной пульсацией и затуханием среза 3 дБ.

7-полюсный обратный Чебышевский суженный стоп-зонный пульсации

Нестандартное затухание отсечки и нули передачи

Пример с ограниченной пульсацией выше намеренно упрощен за счет сохранения затухания среза равным затуханию пульсации полосы пропускания, опуская необязательные нули передачи и используя нечетный порядок, который потенциально не требует модификации четного порядка. Однако нестандартные затухания среза могут быть учтены путем вычисления целевых значений на шаге 5, которые будут смещены от требуемой 1, которая существует на частоте среза , включая знаменатель как часть производной константы, которая включает нули передачи, и вставляя два нуля отражения вместо одного в исходный на шаге 2. ${\displaystyle \omega =j}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

При включении нулей пропускания полосы останова важно помнить, что корни будут включать максимумы полосы останова с . Эти корни не должны быть включены в минимумы полосы пропускания, используемые в вычислениях. ${\displaystyle dK(s)/ds)_{num}}$ ${\displaystyle \omega >1}$

Так как может использоваться для установки затухания отсечки в , целевые значения шага 5 могут быть сделаны относительно 1. Целевые значения на шаге 5 могут быть рассчитаны с использованием выражения для , получаемого из уравнений выше. ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle |K(j\omega )|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|K(j\omega )|={\sqrt {\frac {10^{Aripple_{dB}/10}-1.}{10^{Acut_{dB}/10}-1.}}}=0.01010101...{\text{ at the pass band minima frequencies}}\\&|K(j\omega )|=1{\text{ at the pass band cut-off frequency}}\\&\varepsilon ^{2}=10^{(Acut_{dB}/10)}-1=99.0\\\end{aligned}}}$

Рассмотрим конструкцию фильтра с % сужения = 55, порядком = 8, единичным нулевым коэффициентом передачи при 1,1, затуханием пульсаций в полосе пропускания = 0,043648054 (эквивалентно затуханию S12 = 20 дБ на основе соотношения для сетей без потерь ^[12] ) и затуханием среза полосы пропускания = 20 дБ. ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$

Целевое значение на шаге 5 равно .01010101, а вычисляемое значение равно 99. После завершения характеристические полиномы , , и прямая передаточная функция , , приведены ниже. ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {2.3081085s^{8}+3.7315386s^{6}+1.8867298s^{4}+0.28974597s^{2}}{0.82644628s^{2}+1}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}$

${\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(20_{dB}/10)}-1=99.0}$

${\displaystyle G(s)={\frac {0.82644628s^{2}+1}{22.96539s^{8}+39.774072s^{7}+71.570971s^{6}+73.962937s^{5}+65.358572s^{4}+40.848153s^{3}+19.393829S^{2}+6.0938301s+1}}}$

Проверка состоит из расчета параметров рассеяния ( и соответственно) для частоты сужения, частоты среза, оставшихся минимальных частот полосы пропускания между ними и нулевой частоты пропускания, как показано ниже. ${\displaystyle |S12|{\text{ and }}|S11|}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-|G(s)|^{2}}}}$

Окончательная амплитудно-частотная характеристика показана ниже. ${\displaystyle |S_{12}|{\text{ and }}|S_{11}|}$

Смотрите также

• фильтр Бесселя
• Фильтр Баттерворта
• узлы Чебышева
• полином Чебышева
• Гребенчатый фильтр
• Эллиптический фильтр
• Конструкция фильтра

Ссылки

1. Дэниелс, Ричард В. (1974). Методы аппроксимации для проектирования электронных фильтров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
2. Лутовац, Мирослав Д.; Лутовац, Д.; Тошич, Деян В.; Эванс, Брайан Лоуренс (2001). Проектирование фильтров для обработки сигналов с использованием MATLAB и Mathematica. Прентис Холл. ISBN 9780201361308.
3. Вайнберг, Луис; Слепян, Пол (июнь 1960 г.). «Результаты Такахаси по лестничным сетям Чебышева и Баттерворта». Труды IRE по теории цепей . 7 (2): 88–101. doi :10.1109/TCT.1960.1086643.
4. Уильямс, Артур Б.; Тейлорс, Фред Дж. (1988). Справочник по проектированию электронных фильтров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-070434-1.
5. Саал, Рудольф (январь 1979 г.). Справочник по проектированию фильтров (на английском и немецком языках) (1-е изд.). Мюнхен, Германия: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. стр. 25, 26, 56–61, 116, 117. ISBN. 3-87087-070-2.
6. Паарманн, Ларри Д. (2001). Проектирование и анализ аналоговых фильтров, перспективы обработки сигналов. Норвелл, Массачусетс, США: Kluwer Academic Publishers. стр. 137, 138. ISBN 0-7923-7373-1.
7. Паарманн, Ларри Д. (2001). Проектирование и анализ аналоговых фильтров, перспективы обработки сигналов. Норвелл, Массачусетс, США: Kluwer Academic Publishers. стр. 161, 162. ISBN 0-7923-7373-1.
8. Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео; Джонс, EMT (1980). Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи . Норвуд, Массачусетс: Artech House. ISBN 0-89-006099-1.
9. Pelz, Dieter (2005). «Микроволновые фильтры нижних частот с ограниченной полосой пропускания с равной пульсацией» (PDF) . AMW . 13 (7): 28–34 – через APPLIED MICROWAVE & WIRELESS.
10. Конспект лекций доктора Байрона Беннета по проектированию фильтров, 1985, Университет штата Монтана, кафедра электротехники, Бозмен , Монтана, США
11. Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Теория и проектирование фильтров: активные и пассивные. Beaverton, Oegon, США: Matrix Publishers, Inc. стр. 45–73. ISBN 978-0916460143.
12. Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео; Джонс, EMT (1984). Микроволновые фильтры, сети согласования импульсов и структуры связи. 610 Washington Street, Дедхэм, Массачусетс, США: Artech House, Inc. (опубликовано в 1985 г.). стр. 44. ISBN 0-89006-099-1.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Фильтры Чебышева на Wikimedia Commons