Гидростатическое равновесие

Состояние равновесия между внешними силами, действующими на жидкость, и внутренним градиентом давления

Схема новообразованной планеты в состоянии гидростатического равновесия.

В механике жидкостей гидростатическое равновесие ( гидростатический баланс , гидростазия ) — это состояние покоящегося жидкого или пластичного твердого тела , которое возникает, когда внешние силы, такие как гравитация , уравновешиваются силой градиента давления . ^[1] В планетарной физике Земли сила градиента давления не позволяет гравитации сжать планетарную атмосферу в тонкую плотную оболочку, тогда как гравитация не позволяет силе градиента давления рассеивать атмосферу в космическом пространстве . ^{[2] [3]} В общем, именно она заставляет объекты в космосе иметь сферическую форму.

Гидростатическое равновесие является отличительным критерием между карликовыми планетами и малыми телами солнечной системы , а также особенностями в астрофизике и планетарной геологии . Указанная квалификация равновесия указывает на то, что форма объекта симметрично округлена, в основном из-за вращения , в эллипсоид , где любые нерегулярные особенности поверхности являются следствием относительно тонкой твердой коры . В дополнение к Солнцу, есть около дюжины равновесных объектов, подтвержденных как существующие в Солнечной системе .

Математическое рассмотрение

Если выделенный объем жидкости не ускоряется, то силы, действующие на него вверх, должны быть равны силам, действующим вниз.

Для гидростатической жидкости на Земле: $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Вывод из суммирования сил

Законы движения Ньютона гласят, что объем жидкости, который не находится в движении или находится в состоянии постоянной скорости, должен иметь нулевую результирующую силу. Это означает, что сумма сил в заданном направлении должна быть противопоставлена ​​равной сумме сил в противоположном направлении. Такой баланс сил называется гидростатическим равновесием.

Жидкость можно разбить на большое количество кубоидных объемных элементов; рассматривая один элемент, можно вывести действие жидкости.

Существует три силы: сила, действующая вниз на вершину прямоугольного параллелепипеда со стороны давления P жидкости над ним, равна, согласно определению давления , Аналогично, сила, действующая на элемент объема со стороны давления жидкости снизу, толкающей вверх, равна $${\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A}$$ $${\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}$$

Наконец, вес элемента объема вызывает силу, направленную вниз. Если плотность равна ρ , объем равен V и g — стандартная сила тяжести , тогда: Объем этого прямоугольного параллелепипеда равен площади верха или низа, умноженной на высоту — формула для нахождения объема куба. $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV}$$ $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}$$

Уравновешивая эти силы, общая сила, действующая на жидкость, равна Эта сумма равна нулю, если скорость жидкости постоянна. Разделив на A, Или, P _top − P _bottom — это изменение давления, а h — это высота элемента объема — изменение расстояния над землей. Сказав, что эти изменения бесконечно малы, уравнение можно записать в дифференциальной форме. Плотность изменяется с давлением, а гравитация изменяется с высотой, поэтому уравнение будет иметь вид: $${\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh}$$ $${\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh}$$ $${\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh}$$ $${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$ $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Вывод из уравнений Навье–Стокса

Наконец, отметим, что это последнее уравнение можно вывести, решив трехмерные уравнения Навье–Стокса для равновесной ситуации, где Тогда единственным нетривиальным уравнением является -уравнение , которое теперь выглядит следующим образом: Таким образом, гидростатическое равновесие можно рассматривать как особенно простое равновесное решение уравнений Навье–Стокса. $${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$

Вывод из общей теории относительности

Подставляя тензор энергии-импульса для идеальной жидкости в уравнения поля Эйнштейна и используя условие сохранения, можно вывести уравнение Толмена–Оппенгеймера–Волкова для структуры статической сферически-симметричной релятивистской звезды в изотропных координатах: На практике Ρ и ρ связаны уравнением состояния вида f ( Ρ , ρ ) = 0, где f зависит от состава звезды. M ( r ) представляет собой слоение сфер, взвешенных по плотности массы ρ ( r ), причем наибольшая сфера имеет радиус r : Согласно стандартной процедуре при переходе к нерелятивистскому пределу мы позволяем c → ∞ , так что фактор Поэтому в нерелятивистском пределе уравнение Толмена–Оппенгеймера–Волкова сводится к гидростатическому равновесию Ньютона: (мы сделали тривиальную замену обозначений h  =  r и использовали f ( Ρ , ρ ) = 0, чтобы выразить ρ через P ). ^[4] Аналогичное уравнение можно вычислить для вращающихся аксиально-симметричных звезд, которое в своей калибровочно-независимой форме выглядит так: В отличие от уравнения равновесия TOV, это два уравнения (например, если, как обычно при рассмотрении звезд, в качестве базисных координат выбираются сферические координаты , индекс i будет использоваться для координат r и ). $${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$ $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$ $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$ $${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$ $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$ ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$

Приложения

Жидкости

Гидростатическое равновесие относится к гидростатике и принципам равновесия жидкостей . Гидростатические весы — это особые весы для взвешивания веществ в воде. Гидростатические весы позволяют определить их удельный вес . Это равновесие строго применимо, когда идеальная жидкость находится в устойчивом горизонтальном ламинарном потоке, и когда любая жидкость находится в состоянии покоя или вертикального движения с постоянной скоростью. Оно также может быть удовлетворительным приближением, когда скорости потока достаточно малы, так что ускорение пренебрежимо мало.

Астрофизика и планетология

Со времен Исаака Ньютона было проделано много работы по теме равновесия, достигаемого при вращении жидкости в пространстве. Это применимо как к звездам, так и к таким объектам, как планеты, которые могли быть жидкими в прошлом или в которых твердый материал деформируется как жидкость при воздействии очень высоких напряжений. В любом данном слое звезды существует гидростатическое равновесие между градиентом давления, выталкивающим наружу, и весом материала, находящегося выше, давящего внутрь. Можно также изучать планеты в предположении гидростатического равновесия. Вращающаяся звезда или планета в гидростатическом равновесии обычно представляет собой сплющенный сфероид , то есть эллипсоид, в котором две главные оси равны и длиннее третьей. Примером этого явления является звезда Вега , период вращения которой составляет 12,5 часов. Следовательно, Вега примерно на 20% больше на экваторе, чем от полюса до полюса.

В своей работе Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica 1687 года Ньютон правильно заявил, что вращающаяся жидкость однородной плотности под действием гравитации примет форму сфероида и что гравитация (включая влияние центробежной силы ) будет слабее на экваторе, чем на полюсах на величину, равную (по крайней мере асимптотически ) пяти четвертям центробежной силы на экваторе. ^[5] В 1742 году Колин Маклорен опубликовал свой трактат о флюксиях, в котором он показал, что сфероид является точным решением. Если мы обозначим экваториальный радиус через полярный радиус и эксцентриситет через с ${\displaystyle r_{e},}$ ${\displaystyle r_{p},}$ ${\displaystyle \epsilon ,}$

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

он обнаружил, что гравитация на полюсах ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

где - гравитационная постоянная, - (однородная) плотность, - общая масса. Отношение этого к гравитации, если жидкость не вращается, асимптотически равно ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0},}$

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

при стремлении к нулю, где происходит сглаживание: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

Гравитационное притяжение на экваторе (без учета центробежной силы) равно

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

Асимптотически имеем:

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

Маклорен показал (все еще в случае однородной плотности), что составляющая силы тяжести по направлению к оси вращения зависит только от расстояния от оси и пропорциональна этому расстоянию, а составляющая в направлении к плоскости экватора зависит только от расстояния от этой плоскости и пропорциональна этому расстоянию. Ньютон уже указал, что сила тяжести, ощущаемая на экваторе (включая облегчение из-за центробежной силы), должна быть для того, чтобы давление на дне каналов от полюса или от экватора к центру было одинаковым, поэтому центробежная сила на экваторе должна быть ${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

Если определить широту как угол между касательной к меридиану и осью вращения, то общая сила тяжести, ощущаемая на широте (включая влияние центробежной силы), составит ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

Это сфероидальное решение устойчиво до определенного (критического) углового момента (нормализованного по ), но в 1834 году Карл Якоби показал, что оно становится неустойчивым, как только эксцентриситет достигает 0,81267 (или достигает 0,3302). Выше критического значения решение становится якобиевым, или разносторонним, эллипсоидом (у которого все три оси различны). Анри Пуанкаре в 1885 году обнаружил, что при еще большем угловом моменте оно больше не будет эллипсоидальным, а станет грушевидным или овальным . Симметрия падает с 8-кратной точечной группы D _2h до 4-кратной C _2v , с ее осью, перпендикулярной оси вращения. ^[7] Другие формы удовлетворяют уравнениям за пределами этого, но не являются устойчивыми, по крайней мере, вблизи точки бифуркации . ^{[7] [8]} Пуанкаре не был уверен, что произойдет при более высоком угловом моменте, но пришел к выводу, что в конечном итоге капля разделится на две части. ${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$ ${\displaystyle f}$

Предположение об однородной плотности может применяться более или менее к расплавленной планете или каменистой планете, но не применимо к звезде или планете, подобной Земле, которая имеет плотное металлическое ядро. В 1737 году Алексис Клеро изучал случай плотности, изменяющейся с глубиной. ^[9] Теорема Клеро утверждает, что изменение силы тяжести (включая центробежную силу) пропорционально квадрату синуса широты, причем пропорциональность линейно зависит от сплющивания ( ) и отношения на экваторе центробежной силы к гравитационному притяжению. (Сравните с точным соотношением выше для случая однородной плотности.) Теорема Клеро является частным случаем, для сплющенного сфероида, связи, найденной позже Пьером-Симоном Лапласом между формой и изменением силы тяжести. ^[10] ${\displaystyle f}$

Если у звезды есть массивный объект-компаньон поблизости, то приливные силы также вступают в игру, деформируя звезду в неравнобедренную форму, тогда как одно только вращение сделало бы ее сфероидом. Примером этого является Бета Лиры .

Гидростатическое равновесие также важно для внутрикластерной среды , поскольку оно ограничивает количество жидкости, которое может присутствовать в ядре скопления галактик .

Мы также можем использовать принцип гидростатического равновесия для оценки дисперсии скоростей темной материи в скоплениях галактик. Только барионная материя (или, скорее, ее столкновения) испускает рентгеновское излучение. Абсолютная рентгеновская светимость на единицу объема имеет вид где и являются температурой и плотностью барионной материи, и является некоторой функцией температуры и фундаментальных констант. Барионная плотность удовлетворяет приведенному выше уравнению : Интеграл является мерой полной массы скопления, причем является надлежащим расстоянием до центра скопления. Используя закон идеального газа ( — постоянная Больцмана , а — характерная масса частиц барионного газа) и переставляя, приходим к Умножая на и дифференцируя по дает Если мы предположим, что частицы холодной темной материи имеют изотропное распределение скоростей, то тот же вывод применим к этим частицам, и их плотность удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению Имея идеальные данные по рентгеновскому излучению и расстоянию, мы могли бы вычислить плотность барионов в каждой точке скопления и, следовательно, плотность темной материи. Затем мы могли бы вычислить дисперсию скоростей темной материи, которая определяется как Центральное отношение плотности зависит от красного смещения скопления и определяется как где — угловая ширина скопления и собственное расстояние до скопления. Значения для отношения варьируются от 0,11 до 0,14 для различных обзоров. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle \rho _{B}}$ ${\displaystyle \Lambda (T)}$ ${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$ $${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{B}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ ${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ ${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ ${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$ $${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$ ${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$

Планетарная геология

Концепция гидростатического равновесия также стала важной при определении того, является ли астрономический объект планетой , карликовой планетой или малым телом Солнечной системы . Согласно определению планеты, принятому Международным астрономическим союзом в 2006 году, одной из определяющих характеристик планет и карликовых планет является то, что они являются объектами, которые обладают достаточной гравитацией, чтобы преодолеть свою собственную жесткость и принять гидростатическое равновесие. Такое тело часто будет иметь дифференцированную внутреннюю часть и геологию мира ( планемо ), хотя почти гидростатические или ранее гидростатические тела, такие как протопланета 4 Веста, также могут быть дифференцированы, а некоторые гидростатические тела (особенно Каллисто ) не были полностью дифференцированы с момента их образования. Часто равновесная форма представляет собой сплющенный сфероид , как в случае с Землей. Однако в случаях лун на синхронной орбите почти однонаправленные приливные силы создают неравносторонний эллипсоид . Кроме того, предполагаемая карликовая планета Хаумеа является неравносторонней из-за своего быстрого вращения, хотя в настоящее время она, возможно, не находится в равновесии.

Ранее считалось, что ледяным объектам требуется меньшая масса для достижения гидростатического равновесия, чем каменистым объектам. Наименьшим объектом, который, по-видимому, имеет равновесную форму, является ледяной спутник Мимас на расстоянии 396 км, тогда как крупнейшим ледяным объектом, который, как известно, имеет явно неравновесную форму, является ледяной спутник Протей на расстоянии 420 км, а крупнейшими каменистыми телами с явно неравновесной формой являются астероиды Паллада и Веста на расстоянии около 520 км. Однако Мимас на самом деле не находится в гидростатическом равновесии для своего текущего вращения. Наименьшим подтвержденным телом, находящимся в гидростатическом равновесии, является карликовая планета Церера , которая является ледяной, на расстоянии 945 км, тогда как крупнейшим известным телом, имеющим заметное отклонение от гидростатического равновесия, является Япет, состоящий в основном из проницаемого льда и почти не содержащий камней. ^[12] Находясь на расстоянии 1469 км, Япет не является ни сферическим, ни эллипсоидным. Вместо этого, он имеет странную форму, похожую на грецкий орех, из-за своего уникального экваториального хребта . ^[13] Некоторые ледяные тела могут находиться в равновесии, по крайней мере, частично из-за подповерхностного океана, что не является определением равновесия, используемым МАС (гравитация, преодолевающая внутренние силы твердого тела). Даже более крупные тела отклоняются от гидростатического равновесия, хотя они и являются эллипсоидальными: примерами являются Луна Земли на расстоянии 3474 км (в основном скала), ^[14] и планета Меркурий на расстоянии 4880 км (в основном металл). ^[15]

В 2024 году Кисс и др. обнаружили, что Квавар имеет эллипсоидальную форму, несовместимую с гидростатическим равновесием для его текущего вращения. Они выдвинули гипотезу, что изначально Квавар имел быстрое вращение и находился в гидростатическом равновесии, но его форма была «заморожена» и не менялась по мере его вращения из-за приливных сил от его луны Вейвота . ^[16] Если это так, то это будет напоминать ситуацию Япета, который слишком сплющен для своего текущего вращения. ^{[17] [18]} Тем не менее , Япет, как правило, по-прежнему считается луной планетарной массы , ^[19] хотя и не всегда. ^[20]

Твердые тела имеют неровные поверхности, но локальные неровности могут соответствовать глобальному равновесию. Например, массивное основание самой высокой горы на Земле, Мауна-Кеа , деформировало и понизило уровень окружающей коры, так что общее распределение массы приближается к равновесию.

Моделирование атмосферы

В атмосфере давление воздуха уменьшается с увеличением высоты. Эта разница давлений вызывает восходящую силу, называемую силой градиента давления . Сила тяжести уравновешивает это, удерживая атмосферу связанной с Землей и поддерживая разницу давления с высотой.

Смотрите также

• Список гравитационно округлых объектов Солнечной системы ; список объектов, имеющих округлую, эллипсоидальную форму из-за собственной гравитации (но не обязательно находящихся в гидростатическом равновесии)
• Статика
• Эксперимент с двумя шарами

Ссылки

1. Уайт, Фрэнк М. (2008). «Распределение давления в жидкости». Fluid Mechanics . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 63, 66. ISBN 978-0-07-128645-9.
2. Валлис, Джеффри К. (6 ноября 2006 г.). Динамика атмосферных и океанических жидкостей: основы и крупномасштабная циркуляция. Cambridge University Press. ISBN 9781139459969.
3. Клингер, Барри А.; Хейн, Томас ВН (14 марта 2019 г.). Циркуляция океана в трех измерениях. Cambridge University Press. ISBN 9780521768436.
4. Zee, A. (2013). Гравитация Эйнштейна в двух словах . Принстон: Princeton University Press. С. 451–454. ISBN 9780691145587.
5. Предложения X–XXIV (Движения небесных тел и моря), Предложения XIX и XX. Оригинал на латыни.
6. Колин Маклорен (1742). Трактат о флюксиях (PDF) . стр. 125.Маклорен не использует современную нотацию, а скорее дает свои результаты в геометрических терминах. Результаты гравитации находятся в статье 646. В одном месте он делает ошибочное утверждение, эквивалентное , но его последующие утверждения верны. ${\displaystyle d(\tan \theta -\theta )/d\tan \theta =\tan ^{2}\theta }$
7. Анри Пуанкаре (1892). «Формы равновесия жидкой массы во вращении». Revue Général des Sciences Pures et Appliquées .
8. "Галерея: Форма планеты Земля". Josleys.com . Получено 15.06.2014 .
9. Клеро, Алексис; Колсон, Джон (1737). «Исследование относительно фигуры таких планет, которые вращаются вокруг оси, предполагая, что плотность непрерывно меняется от центра к поверхности». Философские труды . JSTOR  103921.
10. См. сэр Джордж Стокс (1849). «О притяжениях и теореме Клеро» (PDF) . The Cambridge and Dublin Mathematical Journal : 194–219.
11. Вайнберг, Стивен (2008). Космология . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 70–71. ISBN 978-0-19-852682-7.
12. Thomas, PC (июль 2010 г.). «Размеры, формы и производные свойства спутников Сатурна после номинальной миссии Кассини» (PDF) . Icarus . 208 (1): 395–401. Bibcode :2010Icar..208..395T. doi :10.1016/j.icarus.2010.01.025. Архивировано из оригинала (PDF) 23 декабря 2018 г.
13. Кастильо-Рогес, Дж. К.; Мэтсон, Д. Л.; Сотин, К.; Джонсон, ТВ; Лунин, Джонатан И.; Томас, П. К. (2007). «Геофизика Япета: скорость вращения, форма и экваториальный хребет». Icarus . 190 (1): 179–202. Bibcode :2007Icar..190..179C. doi :10.1016/j.icarus.2007.02.018.
14. Garrick-Bethell, I.; Wisdom, J; Zuber, MT (4 августа 2006 г.). «Доказательства существования в прошлом лунной орбиты с высоким эксцентриситетом». Science . 313 (5787): 652–655. Bibcode :2006Sci...313..652G. doi :10.1126/science.1128237. PMID  16888135. S2CID  317360.
15. Шон Соломон, Ларри Ниттлер и Брайан Андерсон, ред. (2018) Меркурий: взгляд после MESSENGER . Серия Cambridge Planetary Science № 21, Cambridge University Press, стр. 72–73.
16. Kiss, C.; Müller, TG; Marton, G.; Szakáts, R.; Pál, A.; Molnár, L.; et al. (март 2024 г.). «Видимая и тепловая кривая блеска большого объекта пояса Койпера (50000) Quaoar». Астрономия и астрофизика . 684 : A50. arXiv : 2401.12679 . Bibcode : 2024A&A...684A..50K. doi : 10.1051/0004-6361/202348054.
17. Коуэн, Р. (2007). Идиосинкразический Япет, Science News т. 172, стр. 104–106. ссылки Архивировано 13 октября 2007 г. на Wayback Machine
18. Thomas, PC (июль 2010 г.). «Размеры, формы и производные свойства спутников Сатурна после номинальной миссии Кассини» (PDF) . Icarus . 208 (1): 395–401. Bibcode :2010Icar..208..395T. doi :10.1016/j.icarus.2010.01.025. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-12-23 . Получено 2015-09-25 .
19. Эмили Лакдавалла и др., Что такое планета? Архивировано 22 января 2022 г. в Wayback Machine Планетарное общество, 21 апреля 2020 г.
20. Чен, Цзинцзин; Киппинг, Дэвид (2016). «Вероятностное прогнозирование масс и радиусов других миров». The Astrophysical Journal . 834 (1): 17. arXiv : 1603.08614 . doi : 10.3847/1538-4357/834/1/17 . S2CID  119114880.

Внешние ссылки

• Штробель, Ник. (Май 2001 г.). Астрономические заметки Ника Стробеля.
• Демонстрация на YouTube Ричарда Погге, Университет штата Огайо, кафедра астрономии