Список тригонометрических тождеств

Равенства, включающие тригонометрические функции

В тригонометрии тригонометрические тождества — это равенства , которые включают тригонометрические функции и верны для каждого значения встречающихся переменных, для которых определены обе стороны равенства. Геометрически это тождества , включающие определенные функции одного или нескольких углов . Они отличаются от тождеств треугольников , которые являются тождествами, потенциально включающими углы, но также включающими длины сторон или другие длины треугольника .

Эти тождества полезны всякий раз, когда выражения, включающие тригонометрические функции, необходимо упростить. Важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод включает в себя сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Пифагорейские тождества

Тригонометрические функции и их обратные величины на единичной окружности. Все прямоугольные треугольники подобны, т. е. соотношения между их соответствующими сторонами одинаковы. Для sin, cos и tan единичный радиус образует гипотенузу треугольника, который их определяет. Обратные тождества возникают как соотношения сторон в треугольниках, где эта единичная линия больше не является гипотенузой. Треугольник, закрашенный синим цветом, иллюстрирует тождество , а красный треугольник показывает, что . ${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta }$

Основное соотношение между синусом и косинусом определяется тождеством Пифагора:

$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$$

где средства и средства ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle (\sin \theta )^{2}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle (\cos \theta )^{2}.}$

Это можно рассматривать как версию теоремы Пифагора , и следует из уравнения для единичной окружности . Это уравнение можно решить либо относительно синуса, либо относительно косинуса: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$$

где знак зависит от квадранта ${\displaystyle \theta .}$

Разделив это тождество на , или на оба, получим следующие тождества: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$$

Используя эти тождества, можно выразить любую тригонометрическую функцию через любую другую ( с точностью до знака плюс или минус):

Отражения, сдвиги и периодичность

Рассматривая единичную окружность, можно установить следующие свойства тригонометрических функций.

Размышления

Преобразование координат ( а , б ) при смещении угла отражения с шагом . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Когда направление евклидова вектора представлено углом, это угол, определяемый свободным вектором (начинающимся в начале координат) и положительным единичным вектором. То же самое понятие может быть применено к линиям в евклидовом пространстве, где угол определяется параллельной данной линии, проходящей через начало координат и положительную ось. Если линия (вектор) с направлением отражается относительно линии с направлением, то угол направления этой отраженной линии (вектора) имеет значение ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ $${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}$$

Значения тригонометрических функций этих углов для конкретных углов удовлетворяют простым тождествам: они либо равны, либо имеют противоположные знаки, либо используют дополнительную тригонометрическую функцию. Они также известны как формулы редукции . ^[2] ${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Смены и периодичность

Преобразование координат ( а , б ) при смещении угла с шагом . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Знаки

Знак тригонометрических функций зависит от квадранта угла. Если и sgn — знаковая функция , ${\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Тригонометрические функции являются периодическими с общим периодом, поэтому для значений θ вне интервала они принимают повторяющиеся значения (см. § Сдвиги и периодичность выше). ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle ({-\pi },\pi ],}$

Тождества суммы и разности углов

Иллюстрация формул сложения углов для синуса и косинуса острых углов. Выделенный отрезок имеет единичную длину.

Диаграмма, показывающая тождества разности углов для и . ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$

Они также известны как теоремы (или формулы ) сложения и вычитания углов . $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$$

Тождества разности углов для и могут быть выведены из версий суммы углов путем замены и использования фактов, что и . Их также можно вывести, используя слегка измененную версию рисунка для тождеств суммы углов, оба из которых показаны здесь. ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}$ ${\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}$

Эти тождества обобщены в первых двух строках следующей таблицы, которая также включает тождества сумм и разностей для других тригонометрических функций.

Синусы и косинусы сумм бесконечного числа углов

Когда ряд сходится абсолютно, то ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

Поскольку ряд сходится абсолютно, то обязательно имеет место и В частности, в этих двух тождествах появляется асимметрия, которая не наблюдается в случае сумм конечного числа углов: в каждом произведении имеется только конечное число синусных множителей, но имеется коконечное число косинусных множителей. Члены с бесконечным числом синусных множителей обязательно будут равны нулю. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$

Когда только конечное число углов не равно нулю, то только конечное число членов в правой части не равно нулю, поскольку все, кроме конечного числа синусных множителей, равны нулю. Более того, в каждом члене все, кроме конечного числа косинусных множителей, равны единице. ${\displaystyle \theta _{i}}$

Тангенсы и котангенсы сумм

Пусть (для ) будет элементарным симметрическим многочленом степени k от переменных для , то есть, ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$ $${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$ ${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

используя приведенные выше формулы суммы синуса и косинуса.

Количество членов в правой части зависит от количества членов в левой части.

Например: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$$

и так далее. Случай только конечного числа членов может быть доказан с помощью математической индукции . ^[14] Случай бесконечного числа членов может быть доказан с помощью некоторых элементарных неравенств. ^[15]

Секансы и косекансы сумм

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

где — элементарный симметрический многочлен степени k от n переменных , а число членов в знаменателе и число множителей в произведении в числителе зависят от числа членов в сумме слева. ^[16] Случай только конечного числа членов может быть доказан методом математической индукции по числу таких членов. ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$

Например,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$$

Теорема Птолемея

Диаграмма, иллюстрирующая связь между теоремой Птолемея и тригонометрическим тождеством суммы углов для синуса. Теорема Птолемея гласит, что сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей. Когда эти длины сторон выражаются через значения sin и cos, показанные на рисунке выше, это дает тригонометрическое тождество суммы углов для синуса: sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .

Теорема Птолемея важна в истории тригонометрических тождеств, поскольку именно так были впервые доказаны результаты, эквивалентные формулам суммы и разности для синуса и косинуса. Она утверждает, что во вписанном четырехугольнике , как показано на прилагаемом рисунке, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей. В особых случаях, когда одна из диагоналей или сторон является диаметром окружности, эта теорема приводит непосредственно к тригонометрическим тождествам суммы и разности углов. ^[17] Соотношение следует проще всего, когда окружность построена так, чтобы иметь диаметр длины один, как показано здесь. ${\displaystyle ABCD}$

По теореме Фалеса , и оба являются прямыми углами. Прямоугольные треугольники и оба имеют общую гипотенузу длины 1. Таким образом, сторона , , и . ${\displaystyle \angle DAB}$ ${\displaystyle \angle DCB}$ ${\displaystyle DAB}$ ${\displaystyle DCB}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta }$ ${\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }$

По теореме о вписанном угле центральный угол, опирающийся на хорду в центре окружности, в два раза больше угла , то есть . Следовательно, симметричная пара красных треугольников имеет угол в центре. Каждый из этих треугольников имеет гипотенузу длиной , поэтому длина равна , то есть просто . Другая диагональ четырехугольника является диаметром длиной 1, поэтому произведение длин диагоналей также равно . ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle \angle ADC}$ ${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$

Когда эти значения подставляются в утверждение теоремы Птолемея, что , это дает тригонометрическое тождество суммы углов для синуса: . Формула разности углов для может быть получена аналогичным образом, если вместо брать сторону в качестве диаметра . ^[17] ${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$ ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$

Формулы кратного угла и половинного угла

Формулы множественных углов

Формулы двойного угла

Визуальная демонстрация формулы двойного угла для синуса. Для приведенного выше равнобедренного треугольника с единичными сторонами и углом площадь ⁠ ${\displaystyle 2\theta }$1/2⁠ × основание × высота вычисляется в двух ориентациях. В вертикальном положении площадь равна . В положении на боку та же площадь равна . Следовательно, ${\displaystyle \sin \theta \cos \theta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .}$

Формулы для удвоенного угла. ^[20]

• ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$

Формулы тройного угла

Формулы для тройных углов. ^[20]

• ${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

Формулы множественных углов

Формулы для нескольких углов. ^[21]

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta }$
• ${\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )}$
• ${\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )}$
• ${\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}}$

метод Чебышева

Метод Чебышева представляет собой рекурсивный алгоритм для нахождения формулы n- го кратного угла, зная значения th и th. ^[22] ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle \cos(nx)}$можно вычислить из , , и с помощью ${\displaystyle \cos((n-1)x)}$ ${\displaystyle \cos((n-2)x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$

$${\displaystyle \cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).}$$

Это можно доказать, сложив формулы

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}}$$

По индукции следует, что является многочленом так называемого многочлена Чебышёва первого рода, см. Многочлены Чебышёва#Тригонометрическое определение . ${\displaystyle \cos(nx)}$ ${\displaystyle \cos x,}$

Аналогично, можно вычислить из и с помощью Это можно доказать, добавив формулы для и ${\displaystyle \sin(nx)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x),}$ ${\displaystyle \sin((n-2)x),}$ ${\displaystyle \cos x}$ $${\displaystyle \sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)}$$ ${\displaystyle \sin((n-1)x+x)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x-x).}$

Служа целям, аналогичным целям метода Чебышева, для касательной можно записать:

$${\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}$$

Формулы половинного угла

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}}$$^{[23] [24]}

Также $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}$$

Стол

Их можно показать, используя либо тождества суммы и разности, либо формулы множественных углов.

Тот факт, что формула тройного угла для синуса и косинуса включает в себя только степени одной функции, позволяет связать геометрическую задачу построения трисекции угла с помощью циркуля и линейки с алгебраической задачей решения кубического уравнения , что позволяет доказать, что трисекция в общем случае невозможна с использованием данных инструментов.

Формула для вычисления тригонометрических тождеств для угла в одну треть существует, но она требует нахождения нулей кубического уравнения 4 x ³ − 3 x + d = 0 , где — значение косинуса при угле в одну треть, а d — известное значение косинуса при полном угле. Однако дискриминант этого уравнения положителен, поэтому это уравнение имеет три действительных корня (из которых только один является решением для косинуса угла в одну треть). Ни одно из этих решений не сводится к действительному алгебраическому выражению , поскольку они используют промежуточные комплексные числа под кубическими корнями . ${\displaystyle x}$

Формулы снижения мощности

Получено путем решения второй и третьей версии формулы косинуса двойного угла.

Формула приведения косинуса к степени: наглядная диаграмма. Красный, оранжевый и синий треугольники подобны, а красный и оранжевый треугольники конгруэнтны. Гипотенуза синего треугольника имеет длину . Угол равен , поэтому основание этого треугольника имеет длину . Эта длина также равна сумме длин и , то есть . Следовательно, . Разделив обе стороны на, получаем формулу приведения косинуса к степени: . Формулу половинного угла для косинуса можно получить, заменив на и извлекая квадратный корень из обеих сторон: ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle 2\cos \theta }$ ${\displaystyle \angle DAE}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle 1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

Формула понижения степени синуса: наглядная диаграмма. Заштрихованные синий и зеленый треугольники, а также треугольник с красной рамкой — все прямоугольные и подобны, и все содержат угол . Гипотенуза треугольника с красной рамкой имеет длину , поэтому его сторона имеет длину . Отрезок прямой имеет длину и сумму длин и равен длине , которая равна 1. Следовательно, . Вычитание из обеих сторон и деление на 2 на два дает формулу понижения степени для синуса: . Формулу половинного угла для синуса можно получить, заменив на и извлекая квадратный корень из обеих сторон: Обратите внимание, что этот рисунок также иллюстрирует в вертикальном отрезке прямой , что . ${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle 2\sin \theta }$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle 2\sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ ${\displaystyle {\overline {EB}}}$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$

В общих чертах для степеней или справедливо следующее утверждение, которое можно вывести с помощью формулы Муавра , формулы Эйлера и биномиальной теоремы . ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$

Тождества «произведение-сумма» и «сумма-произведение»

Доказательство тождества суммы и разности к произведению косинуса для расчетов простефаэрезис с использованием равнобедренного треугольника

Тождества произведения в сумму ^[28] или формулы простеаферезиса можно доказать, разложив их правые части с помощью теорем сложения углов. Исторически первые четыре из них были известны как формулы Вернера , в честь Иоганнеса Вернера , который использовал их для астрономических расчетов. ^[29] См. амплитудную модуляцию для применения формул произведения в сумму и биение (акустика) и фазовый детектор для применения формул суммы в произведение.

Идентификации произведения в сумму

• ${\displaystyle \cos \theta \,\cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \sin \theta \,\sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \sin \theta \,\cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \cos \theta \,\sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}}$
• ${\displaystyle \tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}}$

Идентификации суммы и произведения

Диаграмма, иллюстрирующая тождества суммы-произведения для синуса и косинуса. Синий прямоугольный треугольник имеет угол , а красный прямоугольный треугольник имеет угол . Оба имеют гипотенузу длины 1. Вспомогательные углы, здесь называемые и , построены таким образом, что и . Следовательно, и . Это позволяет построить два конгруэнтных треугольника с фиолетовым контуром и , каждый с гипотенузой и углом в основании. Сумма высот красного и синего треугольников равна , и это равно удвоенной высоте одного фиолетового треугольника, то есть . Запись и в этом уравнении через и дает тождество суммы-произведения для синуса: . Аналогично, сумма ширин красного и синего треугольников дает соответствующее тождество для косинуса. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p=(\theta +\varphi )/2}$ ${\displaystyle q=(\theta -\varphi )/2}$ ${\displaystyle \theta =p+q}$ ${\displaystyle \varphi =p-q}$ ${\displaystyle AFG}$ ${\displaystyle FCE}$ ${\displaystyle \cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi }$ ${\displaystyle 2\sin p\cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$

Тождества суммы и произведения следующие: ^[30]

• ${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}}$

Котангенс тождество Эрмита

Чарльз Эрмит продемонстрировал следующее тождество. ^[31] Предположим, что являются комплексными числами , никакие два из которых не отличаются на целое число, кратное  π . Пусть ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$$

(в частности, будучи пустым произведением , равно 1). Тогда ${\displaystyle A_{1,1},}$

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$$

Простейшим нетривиальным примером является случай  n  = 2 :

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$$

Конечные произведения тригонометрических функций

Для взаимно простых целых чисел n , m

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$$

где T _n — полином Чебышева . ^{[ требуется ссылка ]}

Для синусоидальной функции справедливо следующее соотношение:

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$$

В более общем случае для целого числа n > 0 ^[32]

$${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).}$$

или записано в терминах функции аккорда , ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$

$${\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).}$$

Это происходит из-за разложения многочлена на линейные множители (ср. корень из единицы ): Для любого комплексного z и целого числа n > 0 , ${\textstyle z^{n}-1}$

$${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).}$$

Линейные комбинации

Для некоторых целей важно знать, что любая линейная комбинация синусоидальных волн с одинаковым периодом или частотой, но разными фазовыми сдвигами также является синусоидальной волной с одинаковым периодом или частотой, но разными фазовыми сдвигами. Это полезно при подгонке данных синусоиды , поскольку измеренные или наблюдаемые данные линейно связаны с неизвестными a и b базиса синфазных и квадратурных компонентов ниже, что приводит к более простому якобиану по сравнению с и . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

Синус и косинус

Линейная комбинация или гармоническое сложение синусоидальных и косинусоидальных волн эквивалентно одной синусоидальной волне со сдвигом фазы и масштабированной амплитудой, ^{[33] [34]}

$${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$$

где и определяются следующим образом: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}}$$

при условии ${\displaystyle a\neq 0.}$

Произвольный сдвиг фаз

В более общем случае для произвольных фазовых сдвигов мы имеем

$${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$$

где и удовлетворяют: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}$$

Более двух синусоид

Общий случай выглядит так ^[34]

$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$$где и $${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$$ $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$$

Тригонометрические тождества Лагранжа

Эти тождества, названные в честь Жозефа Луи Лагранжа , таковы: ^{[35] [36] [37]} для $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.}$

Связанная функция — ядро ​​Дирихле :

$${\displaystyle D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.}$$

Подобная идентичность ^[38]

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.}$$

Доказательство следующее. Используя тождества суммы и разности углов, давайте рассмотрим следующую формулу: $${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.}$$

$${\displaystyle 2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha }$$и эту формулу можно записать, используя указанное выше тождество,

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}}$$

Итак, деление этой формулы на завершает доказательство. ${\displaystyle 2\sin \alpha }$

Некоторые дробно-линейные преобразования

Если задается дробно-линейным преобразованием и аналогично , то ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$$ $${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$$ $${\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$$

Говоря короче, если мы оставим все как есть , то, что мы назвали выше, тогда ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}$$

Если - наклон прямой, то - наклон ее поворота на угол ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle -\alpha .}$

Связь с комплексной показательной функцией

Формула Эйлера гласит, что для любого действительного числа x : ^[39] где i — мнимая единица . Подстановка − x вместо x дает нам: $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$ $${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.}$$

Эти два уравнения можно использовать для решения косинуса и синуса в терминах экспоненциальной функции . В частности, ^{[40] [41]} $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$$ $${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$$

Эти формулы полезны для доказательства многих других тригонометрических тождеств. Например, то, что e ^{i ( θ + φ )} = e ^iθ e ^iφ означает, что

cos( θ + φ ) + я sin( θ + φ ) = (cos θ + я sin θ ) (cos φ + я sin φ ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ ) + i (cos θ sin φ + грех θ потому что φ ) .

То, что действительная часть левой стороны равна действительной части правой стороны, является формулой сложения углов для косинуса. Равенство мнимых частей дает формулу сложения углов для синуса.

В следующей таблице тригонометрические функции и обратные им функции выражены через показательную функцию и комплексный логарифм .

Расширение серии

При использовании разложения в степенной ряд для определения тригонометрических функций получаются следующие тождества: ^[43]

$${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$$ $${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

Формулы бесконечного произведения

Для приложений к специальным функциям полезны следующие формулы бесконечного произведения для тригонометрических функций: ^{[44] [45]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Обратные тригонометрические функции

Следующие тождества дают результат составления тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией. ^[46]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}$$

Взяв мультипликативную инверсию обеих сторон каждого из приведенных выше уравнений, получим уравнения для Правая сторона приведенной выше формулы всегда будет перевернута. Например, уравнение для имеет вид: в то время как уравнения для и имеют вид: ${\displaystyle \csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.}$ ${\displaystyle \cot(\arcsin x)}$ $${\displaystyle \cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$$ ${\displaystyle \csc(\arccos x)}$ ${\displaystyle \sec(\arccos x)}$ $${\displaystyle \csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.}$$

Следующие тождества подразумеваются тождествами отражения. Они выполняются всякий раз, когда находятся в областях соответствующих функций. ${\displaystyle x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}$$

Также, ^[47] $${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x}$$ $${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}$$

Функцию арктангенса можно разложить в ряд: ^[48] $${\displaystyle \arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}}$$

Идентичности без переменных

В терминах функции арктангенса имеем ^[47] $${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

Любопытное тождество, известное как закон Морри , $${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$$

является частным случаем тождества, содержащего одну переменную: $${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.}$$

Аналогично, есть частный случай тождества с : $${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$$ ${\displaystyle x=20^{\circ }}$ $${\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.}$$

Для этого случая , ${\displaystyle x=15^{\circ }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

Для этого случая , ${\displaystyle x=10^{\circ }}$ $${\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$$

То же самое тождество косинуса $${\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.}$$

Сходным образом, $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

Сходным образом, $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Следующее утверждение, возможно, не так легко обобщить на тождество, содержащее переменные (но см. объяснение ниже): $${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$$

Градусная мера перестает быть более удачной, чем радианная мера, если учесть это тождество с 21 в знаменателе: $${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}$$

Множители 1, 2, 4, 5, 8, 10 могут начать прояснять закономерность: это те целые числа, которые меньше ⁠21/2⁠ которые взаимно просты (или не имеют общих простых множителей с) 21. Последние несколько примеров являются следствиями основного факта о неприводимых циклотомических многочленах : косинусы являются действительными частями нулей этих многочленов; сумма нулей является функцией Мёбиуса , вычисленной в (в самом последнем случае выше) 21; только половина нулей присутствует выше. Два тождества, предшествующие этому последнему, возникают таким же образом с заменой 21 на 10 и 15 соответственно.

Другие тождества косинуса включают: ^[49] и так далее для всех нечетных чисел, и, следовательно, $${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}$$

Многие из этих любопытных идентичностей вытекают из более общих фактов, таких как следующие: ^[50] и $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$$ $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.}$$

Объединив их, мы получаем $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}$$

Если n — нечетное число ( ), мы можем использовать симметрии, чтобы получить ${\displaystyle n=2m+1}$ $${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}$$

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта может быть выражена через полином и полюса. Задавая частоту как частоту среза, можно доказать следующее тождество: $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}$$

Вычисленияπ

Эффективный способ вычисления π с большим количеством цифр основан на следующем тождестве без переменных, предложенном Мачиным . Это известно как формула типа Мачиного : или, альтернативно, с использованием тождества Леонарда Эйлера : или с использованием пифагорейских троек : $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$$ $${\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}$$

Другие включают: ^{[51] [47]} $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$$ $${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

В общем случае для чисел t ₁ , ..., t _{n −1} ∈ (−1, 1), для которых θ _n = Σ^{n −1}
_{k =1}arctan t _k ∈ ( π /4, 3 π /4) , пусть t _n = tan( π /2 − θ _n ) = cot θ _n . Это последнее выражение можно вычислить напрямую, используя формулу для котангенса суммы углов, тангенсы которых равны t ₁ , ..., t _{n −1 ,} и его значение будет в (−1, 1) . В частности, вычисленное t _n будет рациональным, если все значения t ₁ , ..., t _{n −1} рациональны. С этими значениями, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}$$

где во всех выражениях, кроме первого, мы использовали формулы тангенса половинного угла. Первые две формулы работают, даже если одно или несколько значений t _k не находятся в пределах (−1, 1) . Обратите внимание, что если t = p / q рационально, то значения (2 t , 1 − t ² , 1 + t ² ) в приведенных выше формулах пропорциональны пифагоровой тройке (2 pq , q ² − p ² , q ² + p ² ) .

Например, для n = 3 членов, для любых a , b , c , d > 0 . $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}$$

Личность Евклида

Евклид показал в Книге XIII, Предложении 10 своих Элементов , что площадь квадрата на стороне правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей квадратов на сторонах правильного шестиугольника и правильного десятиугольника, вписанных в ту же окружность. На языке современной тригонометрии это звучит так: $${\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}$$

Птолемей использовал это предложение для вычисления некоторых углов в своей таблице хорд в книге I, главе 11 Альмагеста .

Состав тригонометрических функций

Эти тождества включают тригонометрическую функцию тригонометрической функции: ^[52]

${\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

${\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

где J _i — функции Бесселя .

Дальнейшие «условные» тождества для делаα+β+γ= 180°

Условное тригонометрическое тождество — это тригонометрическое тождество, которое выполняется, если выполняются указанные условия для аргументов тригонометрических функций. ^[53] Следующие формулы применимы к произвольным плоским треугольникам и вытекают из того, что функции, встречающиеся в формулах, хорошо определены (последнее применимо только к формулам, в которых встречаются тангенсы и котангенсы). ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

Исторические стенографии

Версинус , коверсинус , гаверсинус и экссеканс использовались в навигации. Например, формула гаверсинуса использовалась для вычисления расстояния между двумя точками на сфере. Сегодня они используются редко .

Разнообразный

ядро Дирихле

Ядро Дирихле D _n ( x ) — это функция, встречающаяся по обе стороны от следующего тождества: $${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.}$$

Свертка любой интегрируемой функции периода с ядром Дирихле совпадает с Фурье-аппроксимацией функции th-й степени. То же самое справедливо для любой меры или обобщенной функции . ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle n}$

Замена половинного угла тангенса

Если мы установим то ^[54] , где иногда сокращается до  цис x . $${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}$$ $${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},}$$ ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

Когда эта замена на tan ⁠ ${\displaystyle t}$х/2⁠ используется в исчислении , следует, чтозаменяется на ⁠ ${\displaystyle \sin x}$2 т/1 + т ²⁠ ,заменяется на ⁠ ${\displaystyle \cos x}$1 − т ²/1 + т ²⁠ и дифференциал d x заменяется на ⁠2 д т/1 + т ²⁠ . Таким образом, рациональные функцииив рациональные функциидля того, чтобы найти их первообразные . ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle t}$

Бесконечное произведение Виета

$${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}$$

Смотрите также

• Неравенство Аристарха
• Производные тригонометрических функций
• Точные тригонометрические значения (значения синуса и косинуса, выраженные в иррациональных числах)
• Экссекант
• Формула полусферы
• Гиперболическая функция
• Законы решения треугольников:
  • Закон косинусов
    • Сферический закон косинусов
  • Закон синусов
  • Закон касательных
  • Закон котангенсов
  • Формула Мольвейде
• Список интегралов тригонометрических функций
• Мнемоника в тригонометрии
• Pentagramma mirificum
• Доказательства тригонометрических тождеств
• Простаферез
• Теорема Пифагора
• Формула половинного угла тангенса
• Тригонометрическое число
• Тригонометрия
• Применение тригонометрии
• Версин и гаверсин

Ссылки

1. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4, уравнение 4.3.45". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
2. Селби 1970, стр. 188
3. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.13–15
4. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.7–9
5. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.16
6. Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрические формулы сложения». MathWorld .
7. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.17
8. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.18
9. "Тождества суммы и разности углов". www.milefoot.com . Получено 12 октября 2019 г.
10. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.19
11. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.32
12. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.33
13. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.34
14. Бронштейн, Мануэль (1989). «Упрощение действительных элементарных функций». В Gonnet, GH (ред.). Труды Международного симпозиума ACM- SIGSAM 1989 по символическим и алгебраическим вычислениям . ISSAC '89 (Портленд, США, штат Орегон, 1989-07). Нью-Йорк: ACM . С. 207–211. doi :10.1145/74540.74566. ISBN 0-89791-325-6.
15. Майкл Харди. (2016). «О касательных и секущих бесконечных сумм». The American Mathematical Monthly , том 123, номер 7, 701–703. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.7.701
16. Харди, Майкл (2016). «О касательных и секущих бесконечных сумм». American Mathematical Monthly . 123 (7): 701–703. doi :10.4169/amer.math.monthly.123.7.701.
17. «Синус, косинус и теорема Птолемея».
18. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы нескольких углов». Математический мир .
19. Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.48
20. Selby 1970, стр. 190
21. Weisstein, Eric W. "Multiple-Angle Formulas". mathworld.wolfram.com . Получено 2022-02-06 .
22. Уорд, Кен. "Рекурсивная формула для нескольких углов". Страницы математики Кена Уорда .
23. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4, уравнение 4.3.20-22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 72. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
24. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы половинного угла». Математический мир .
25. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.24–26
26. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы двойного угла». MathWorld .
27. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.27–28
28. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.31–33
29. Ивс, Говард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Филадельфия: Saunders College Pub. стр. 309. ISBN 0-03-029558-0. OCLC  20842510.
30. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.34–39
31. Джонсон, Уоррен П. (апрель 2010 г.). «Тригонометрические тождества в духе Эрмита». American Mathematical Monthly . 117 (4): 311–327. doi :10.4169/000298910x480784. S2CID  29690311.
32. «Идентификация продукта под разными углами».
33. Апостол, ТМ (1967) Исчисление. 2-е издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк, Wiley. С. 334-335.
34. Weisstein, Eric W. «Теорема о гармоническом сложении». MathWorld .
35. Ортис Муньис, Эдди (февраль 1953 г.). «Метод вывода различных формул в электростатике и электромагнетизме с использованием тригонометрических тождеств Лагранжа». American Journal of Physics . 21 (2): 140. Bibcode : 1953AmJPh..21..140M. doi : 10.1119/1.1933371.
36. Агарвал, Рави П.; О'Реган, Донал (2008). Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения: со специальными функциями, рядами Фурье и граничными задачами (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 185. ISBN 978-0-387-79146-3.Выдержка из страницы 185
37. Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-хуэй (2008). "Раздел 2.4.1.6". Справочник по математическим формулам и интегралам (4-е изд.). Academic Press. ISBN 978-0-12-374288-9.
38. Фэй, Темпл Х.; Клопперс, П. Хендрик (2001). «Феномен Гиббса». Международный журнал математического образования в науке и технике . 32 (1): 73–89. doi :10.1080/00207390117151.
39. Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.47
40. Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.2
41. Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.1
42. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.26–31
43. Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.65–66
44. Абрамовиц и Стегун, с. 75, 4.3.89–90
45. Абрамовиц и Стегун, с. 85, 4.5.68–69
46. Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 73, 4.3.45
47. Wu, Rex H. «Доказательство без слов: тождество арктангенса Эйлера», Mathematics Magazine 77(3), июнь 2004 г., стр. 189.
48. SM Abrarov, RK Jagpal, R. Siddiqui и BM Quine (2021), «Алгоритмическое определение большого целого числа в двухчленной формуле типа Мачина для π», Mathematics , 9 (17), 2162, arXiv : 2107.01027 , doi : 10.3390/math9172162{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
49. Хамбл, Стив (ноябрь 2004 г.). «Идентификация бабушки». Mathematical Gazette . 88 : 524–525. doi :10.1017/s0025557200176223. S2CID  125105552.
50. Вайсштейн, Эрик В. «Синус». MathWorld .
51. Харрис, Эдвард М. «Суммы арктангенсов», в книге Роджера Б. Нельсона « Доказательства без слов» (1993, Математическая ассоциация Америки), стр. 39.
52. Милтон Абрамовиц и Ирен Стиган, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Dover Publications , Нью-Йорк, 1972, формулы 9.1.42–9.1.45
53. Эр. К.С. Джоши, ИИТ Кришны МАТЕМАТИКА . Кришна Пракашан Медиа. Меерут, Индия. страница 636.
54. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.23

Библиография

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.
• Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы до пяти знаков (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• Селби, Сэмюэл М., ред. (1970), Стандартные математические таблицы (18-е изд.), The Chemical Rubber Co.

Внешние ссылки

• Значения sin и cos, выраженные в иррациональных дробях, для целых кратных 3° и ⁠5+5/8⁠°, а также для тех же углов csc и sec и tan
• Полный список тригонометрических формул