Функция Фокса–Райта

Обобщение обобщенной гипергеометрической функции pFq(z)

В математике функция Фокса–Райта (также известная как пси-функция Фокса–Райта , не путать с омега-функцией Райта ) является обобщением обобщенной гипергеометрической функции _p F _q ( z ), основанной на идеях Чарльза Фокса  (1928) и Э. Мейтленда Райта  (1935):

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

При изменении нормализации

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}}$$

становится _p F _q ( z ) для A _{1... p} = B _{1... q} = 1.

Функция Фокса–Райта является частным случаем H-функции Фокса (Srivastava & Manocha 1984, стр. 50):

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1},A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1},B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right].}$$

Частный случай функции Фокса–Райта появляется как часть нормирующей константы модифицированного полунормального распределения ^[1] с плотностью распределения по , которая задается как , где обозначает пси-функцию Фокса–Райта . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

функция Райта

Полную функцию часто называют функцией Райта . ^[2] Это частный случай функции Фокса–Райта. Ее представление в виде ряда: ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$ ${\displaystyle {}_{0}\Psi _{1}\left[\ldots \right]}$

$${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.}$$

Эта функция широко используется в дробном исчислении и стабильном распределении счетов . Напомним, что . Следовательно, ненуль с нулем является простейшим нетривиальным расширением показательной функции в таком контексте. ${\displaystyle \lim \limits _{\lambda \to 0}W_{\lambda ,\mu }(z)=e^{z}/\Gamma (\mu )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Три свойства были сформулированы в теореме 1 Райта (1933) ^[3] и 18.1(30–32) Эрдели, Проект Бейтмана, том 3 (1955) ^[4] (стр. 212)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda zW_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(a)\\[6pt]{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&(b)\\[6pt]\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(c)\end{aligned}}}$$

Уравнение (a) является рекуррентной формулой. (b) и (c) предоставляют два пути сокращения производной. И (c) может быть выведено из (a) и (b).

Частным случаем (c) является . Заменив на , имеем ${\displaystyle \lambda =-c\alpha ,\mu =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -x^{\alpha }}$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x{d \over dx}W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })&=&-{\frac {1}{c}}\left[W_{-c\alpha ,-1}(-x^{\alpha })+W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })\right]\end{array}}}$$

Частным случаем (а) является . Заменив на , имеем ${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -z}$ $${\displaystyle \alpha zW_{-\alpha ,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha ,0}(-z)}$$

В литературе широко использовались два обозначения : и : ${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle F_{\alpha }(z)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\implies F_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

Функция М-Райта

${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$известна как функция М-Райта, входящая в качестве плотности вероятности в соответствующий класс самоподобных стохастических процессов, обычно называемых процессами дробной диффузии во времени.

Его свойства были рассмотрены в работе Майнарди и др. (2010). ^[5] Через стабильное распределение количества связано с индексом стабильности Леви . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (0<\alpha \leq 1)}$

Его асимптотическое разложение для имеет вид ${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ $${\displaystyle M_{\alpha }\left({\frac {r}{\alpha }}\right)=A(\alpha )\,r^{(\alpha -1/2)/(1-\alpha )}\,e^{-B(\alpha )\,r^{1/(1-\alpha )}},\,\,r\rightarrow \infty ,}$$ ${\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2\pi (1-\alpha )}}},}$ ${\displaystyle B(\alpha )={\frac {1-\alpha }{\alpha }}.}$

Смотрите также

• Математический портал

• Функция Прабхакара
• Гипергеометрическая функция
• Обобщенная гипергеометрическая функция
• Модифицированное полунормальное распределение ^[1] с функцией плотности вероятности задается как , где обозначает функцию Фокса–Райта Psi . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Ссылки

1. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки». Communications in Statistics – Theory and Methods . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.
2. Weisstein, Eric W. "Функция Райта". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 2022-12-03 .
3. Райт, Э. (1933). «О коэффициентах степенных рядов, имеющих экспоненциальные особенности». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия: 71–79. doi :10.1112/JLMS/S1-8.1.71. S2CID  122652898.
4. Эрдели, А. (1955). Проект Бейтмана, том 3. Калифорнийский технологический институт.
5. Майнарди, Франческо; Мура, Антонио; Паньини, Джанни (17 апреля 2010 г.). Функция М-Райта в процессах диффузии с дробным временем: учебный обзор . arXiv : 1004.2950 .

• Фокс, К. (1928). «Асимптотическое разложение интегральных функций, определяемых обобщенными гипергеометрическими рядами». Proc. London Math. Soc . 27 (1): 389–400. doi :10.1112/plms/s2-27.1.389.
• Райт, Э. М. (1935). «Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции». J. London Math. Soc . 10 (4): 286–293. doi :10.1112/jlms/s1-10.40.286.
• Райт, Э. М. (1940). «Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции». Proc. London Math. Soc . 46 (2): 389–408. doi :10.1112/plms/s2-46.1.389.
• Райт, Э. М. (1952). "Исправление к "Асимптотическому разложению обобщенной гипергеометрической функции"". J. London Math. Soc . 27 : 254. doi : 10.1112/plms/s2-54.3.254-s .
• Шривастава, Х. М.; Маноча, Х. Л. (1984). Трактат о производящих функциях . Э. Хорвуд. ISBN 0-470-20010-3.
• Миллер, AR; Московиц, IS (1995). «Сокращение класса пси-функций Фокса–Райта для определенных рациональных параметров». Computers Math. Applic . 30 (11): 73–82. doi : 10.1016/0898-1221(95)00165-u .
• Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки». Communications in Statistics – Theory and Methods . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

Внешние ссылки

• hypergeom на GitLab