Функция Бесселя

Семейства решений связанных дифференциальных уравнений

Функции Бесселя описывают радиальную часть колебаний круглой мембраны .

Функции Бесселя , впервые определенные математиком Даниилом Бернулли и затем обобщенные Фридрихом Бесселем , являются каноническими решениями y ( x ) дифференциального уравнения Бесселя для произвольного комплексного числа , которое представляет порядок функции Бесселя. Хотя и производят одно и то же дифференциальное уравнение, принято определять различные функции Бесселя для этих двух значений таким образом, что функции Бесселя являются в основном гладкими функциями . $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Наиболее важными являются случаи, когда является целым или полуцелым числом . Функции Бесселя для целых чисел также известны как цилиндрические функции или цилиндрические гармоники , поскольку они появляются в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах . Сферические функции Бесселя с полуцелым числом получаются при решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Приложения функций Бесселя

Уравнение Бесселя возникает при нахождении разделяемых решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических или сферических координатах . Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространения волн и статических потенциалов. При решении задач в цилиндрических системах координат получают функции Бесселя целого порядка ( α = n ); в сферических задачах получают полуцелые порядки ( α = n + ⁠1/2⁠ ). Например:

• Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе
• Амплитуды давления невязких вихревых течений
• Теплопроводность в цилиндрическом объекте
• Режимы колебаний тонкой круглой или кольцевой акустической мембраны (например, барабанной перепонки или другого мембранофона ) или более толстых пластин, таких как листовой металл (см. теорию пластин Кирхгофа–Лява , теорию пластин Миндлина–Рейсснера )
• Задачи диффузии на решетке
• Решения радиального уравнения Шредингера (в сферических и цилиндрических координатах) для свободной частицы
• Представление позиционного пространства пропагатора Фейнмана в квантовой теории поля
• Решение моделей акустического излучения
• Частотно-зависимое трение в кольцевых трубопроводах
• Динамика плавающих тел
• Угловое разрешение
• Дифракция от спиральных объектов, включая ДНК
• Функция плотности вероятности произведения двух нормально распределенных случайных величин ^[1]
• Анализ поверхностных волн, генерируемых микротолчками, в геофизике и сейсмологии .

Функции Бесселя также появляются в других задачах, таких как обработка сигналов (например, см. синтез звука FM , окно Кайзера или фильтр Бесселя ).

Определения

Поскольку это линейное дифференциальное уравнение, решения могут быть масштабированы до любой амплитуды. Амплитуды, выбранные для функций, берут начало в ранней работе, в которой функции появлялись как решения определенных интегралов, а не решения дифференциальных уравнений. Поскольку дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные формулировки этих решений. Различные вариации обобщены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.

Функции Бесселя второго рода и сферические функции Бесселя второго рода иногда обозначаются как N _n и n _n , соответственно, а не как Y _n и y _n . ^{[2] [3]}

Функции Бесселя первого рода:J α

График функции Бесселя первого рода J _n ( z ) при n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График функции Бесселя первого рода, J _α ( x ) , для целых порядков α = 0, 1, 2

Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя. Для целых или положительных  α функции Бесселя первого рода конечны в начале координат ( x = 0 ); в то время как для отрицательных нецелых  α функции Бесселя первого рода расходятся при приближении x к нулю. Можно определить функцию по временам ряда Маклорена (обратите внимание, что α не обязательно должно быть целым числом, а нецелые степени не допускаются в ряде Тейлора), который можно найти, применив метод Фробениуса к уравнению Бесселя: ^[4] где Γ( z ) — гамма-функция , смещенное обобщение факториальной функции на нецелые значения. Некоторые более ранние авторы определяли функцию Бесселя первого рода по-другому, по сути, без деления на в ; ^[5] это определение не используется в этой статье. Функция Бесселя первого рода является целой функцией , если α — целое число, в противном случае это многозначная функция с сингулярностью в нуле. Графики функций Бесселя выглядят примерно как осциллирующие синусоидальные или косинусоидальные функции, которые затухают пропорционально (см. также их асимптотические формы ниже), хотя их корни, как правило, не являются периодическими, за исключением асимптотических для больших x . (Ряд показывает, что − J ₁ ( x ) является производной J ₀ ( x ) , так же как −sin x является производной cos x ; в более общем случае производная J _n ( x ) может быть выражена через J _{n ± 1} ( x ) с помощью тождеств ниже.) ${\displaystyle x^{\alpha }}$ $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x/2}$ ${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$

Для нецелых α функции J _α ( x ) и J _{− α} ( x ) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целых порядков n справедливо следующее соотношение (гамма-функция имеет простые полюса в каждом из неположительных целых чисел): ^[6] $${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае второе линейно независимое решение оказывается функцией Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.

Интегралы Бесселя

Другое определение функции Бесселя для целых значений n возможно с использованием интегрального представления: ^[7] которое также называется формулой Хансена-Бесселя. ^[8] $${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}$$

Это был подход, который использовал Бессель, ^[9] и из этого определения он вывел несколько свойств функции. Определение может быть расширено до нецелых порядков одним из интегралов Шлефли, для Re( x ) > 0 : ^{[7] [10] [11] [12] [13]} $${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$$

Связь с гипергеометрическим рядом

Функции Бесселя можно выразить через обобщенный гипергеометрический ряд как ^[14] $${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

Это выражение связано с разложением функций Бесселя через функцию Бесселя–Клиффорда .

Связь с полиномами Лагерра

В терминах полиномов Лагерра L _k и произвольно выбранного параметра t функция Бесселя может быть выражена как ^[15] $${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Функции Бесселя второго рода:Y α

График функции Бесселя второго рода Y _n ( z ) при n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Функции Бесселя второго рода, обозначаемые Y _α ( x ) , иногда обозначаемые вместо этого N _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, которые имеют особенность в начале координат ( x = 0 ) и являются многозначными . Иногда их называют функциями Вебера , поскольку они были введены HM Weber  (1873), а также функциями Неймана в честь Карла Неймана . ^[16]

Для нецелых α Y _α ( x ) связан с J _α ( x ) соотношением $${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha x)-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha x)}}.}$$

В случае целого порядка n функция определяется путем взятия предела, когда нецелое число α стремится к n : $${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

Если n — неотрицательное целое число, то имеем ряд ^[17]

$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$

График функции Бесселя второго рода, Y _α ( x ) , для целых порядков α = 0, 1, 2

где - дигамма-функция , логарифмическая производная гамма -функции . ^[3] ${\displaystyle \psi (z)}$

Существует также соответствующая интегральная формула (для Re( x ) > 0 ): ^[18] $${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

В случае, когда n = 0 , $${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(e+\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _α ( x ) необходимо как второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, когда α является целым числом. Но Y _α ( x ) имеет больше смысла, чем это. Его можно рассматривать как «естественного» партнера J _α ( x ) . См. также подраздел о функциях Ганкеля ниже.

Более того , когда α является целым числом, как это было аналогично в случае функций первого рода, справедливо следующее соотношение: $${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

И J _α ( x ), и Y _α ( x ) являются голоморфными функциями x на комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрицательной вещественной оси. Когда α является целым числом, функции Бесселя J являются целыми функциями x . Если x удерживается фиксированным в ненулевом значении, то функции Бесселя являются целыми функциями α .

Функции Бесселя второго рода, когда α — целое число, являются примером второго рода решений в теореме Фукса .

Функции Ганкеля:ЧАС(1) α,ЧАС(2) α

График функции Ганкеля первого рода H⁽¹⁾
_н( x ) при n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График функции Ганкеля второго рода H⁽²⁾
_н( x ) при n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Другой важной формулировкой двух линейно независимых решений уравнения Бесселя являются функции Ганкеля первого и второго рода , H⁽¹⁾
_α( х ) и Н⁽²⁾
_α( x ) , определяемый как ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

где i — мнимая единица . Эти линейные комбинации также известны как функции Бесселя третьего рода ; они являются двумя линейно независимыми решениями дифференциального уравнения Бесселя. Они названы в честь Германа Ганкеля .

Эти формы линейной комбинации удовлетворяют многочисленным простым на вид свойствам, таким как асимптотические формулы или интегральные представления. Здесь «простой» означает появление множителя вида e ^{i f (x)} . Для действительных чисел , где , являются действительными, функции Бесселя первого и второго рода являются действительной и мнимой частями, соответственно, первой функции Ганкеля и действительной и отрицательной мнимой частями второй функции Ганкеля. Таким образом, приведенные выше формулы являются аналогами формулы Эйлера , подставляя H ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾
_α( х ) , Н⁽²⁾
_α( x ) для и , для , , как явно показано в асимптотическом разложении. ${\displaystyle e^{\pm ix}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$

Функции Ганкеля используются для выражения решений цилиндрического волнового уравнения, распространяющихся наружу и внутрь, соответственно (или наоборот, в зависимости от соглашения о знаках для частоты ).

Используя предыдущие соотношения, их можно выразить как $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

Если α — целое число, предел должен быть вычислен. Следующие соотношения действительны, независимо от того, является ли α целым числом или нет: ^[20] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

В частности, если α = m + ⁠1/2⁠ при m — неотрицательном целом числе, из приведенных выше соотношений непосредственно следует, что $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

Они полезны при разработке сферических функций Бесселя (см. ниже).

Функции Ганкеля допускают следующие интегральные представления для Re( x ) > 0 : ^[21] где пределы интегрирования указывают на интегрирование по контуру , который может быть выбран следующим образом: от −∞ до 0 по отрицательной действительной оси, от 0 до ± π i по мнимой оси и от ± π i до +∞ ± π i по контуру, параллельному действительной оси. ^[18] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

Модифицированные функции Бесселя:Я α,К α

Функции Бесселя справедливы даже для комплексных аргументов x , и важным особым случаем является случай чисто мнимого аргумента. В этом случае решения уравнения Бесселя называются модифицированными функциями Бесселя (или иногда гиперболическими функциями Бесселя ) первого и второго рода и определяются как ^[22] когда α не является целым числом; когда α является целым числом, то используется предел. Они выбираются действительными для действительных и положительных аргументов x . Таким образом, разложение в ряд для I _α ( x ) похоже на разложение для J _α ( x ) , но без переменного (−1) ^m -множителя. $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{\alpha }}$можно выразить через функции Ганкеля: $${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

Используя эти две формулы, можно получить результат + , обычно известный как интеграл Николсона или формула Николсона, который дает следующее: ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}$ $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

при условии, что выполняется условие Re( x ) > 0. Можно также показать, что $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$

только когда | Re(α) | < ⁠1/2⁠ и Re(x) ≥ 0 , но не тогда, когда x = 0. [ ^23]

Мы можем выразить первую и вторую функции Бесселя через модифицированные функции Бесселя (они справедливы, если − π < arg z ≤ ⁠π/2⁠ ): ^[24] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x ) и K _α ( x ) — два линейно независимых решения модифицированного уравнения Бесселя : ^[25] $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

В отличие от обычных функций Бесселя, которые колеблются как функции действительного аргумента, I _α и K _α являются экспоненциально растущими и убывающими функциями соответственно. Как и обычная функция Бесселя J _α , функция I _α стремится к нулю при x = 0 для α > 0 и конечна при x = 0 для α = 0 . Аналогично, K _α расходится при x = 0 с особенностью логарифмического типа для K ₀ , и ⁠1/2⁠ Γ(| α |)(2/ Икс ) ^{| α |} в противном случае. ^[26]

Две интегральные формулы для модифицированных функций Бесселя (для Re( x ) > 0 ): ^[27] $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

Функции Бесселя можно описать как преобразования Фурье степеней квадратичных функций. Например (для Re(ω) > 0 ): $${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

Это можно доказать, показав равенство приведенному выше интегральному определению для K ₀ . Это делается путем интегрирования замкнутой кривой в первом квадранте комплексной плоскости.

Модифицированные функции Бесселя K _1/3 и K _2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов ^[28] $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

Модифицированная функция Бесселя полезна для представления распределения Лапласа в виде экспоненциальной смеси нормальных распределений. ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

Модифицированная функция Бесселя второго рода также имела следующие названия (сейчас встречаются редко):

• Функция Бассет по имени Альфреда Барнарда Бассет
• Модифицированная функция Бесселя третьего рода
• Модифицированная функция Ганкеля ^[29]
• Функция Макдональда после Гектора Манро Макдональда

Сферические функции Бесселя:дж н,д н

График сферической функции Бесселя первого рода j _n ( z ) при n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

График сферической функции Бесселя второго рода y _n ( z ) при n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Сферические функции Бесселя первого рода, j _n ( x ) , для n = 0, 1, 2

Сферические функции Бесселя второго рода, y _n ( x ) , для n = 0, 1, 2

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных радиальное уравнение имеет вид $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферическими функциями Бесселя j _n и y _n и связаны с обычными функциями Бесселя J _n и Y _n соотношением ^[30] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _n также обозначается n _n или η _n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .

Из соотношений к обычным функциям Бесселя непосредственно видно, что: $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$$

Сферические функции Бесселя можно также записать в виде (Формулы Рэлея )^[31] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Нулевая сферическая функция Бесселя j ₀ ( x ) также известна как (ненормализованная) функция sinc . Первые несколько сферических функций Бесселя: ^[32] и ^[33] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Производящая функция

Сферические функции Бесселя имеют производящие функции ^[34] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

Конечные ряды расширений

В отличие от целых целочисленных функций Бесселя J _n ( x ), Y _n ( x ) сферические функции Бесселя j _n ( x ), y _n ( x ) имеют конечное выражение в виде ряда: ^[35] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\frac {\pi }{2x}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}$$

Дифференциальные отношения

В дальнейшем f _n — это любое из j _n , y _n , h⁽¹⁾
_н, ч⁽²⁾
_ндля n = 0, ±1, ±2, ... ^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

Сферические функции Ганкеля:час(1) н,час(2) н

График сферической функции Ганкеля первого рода h⁽¹⁾
_н( x ) при n = -0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График сферической функции Ганкеля второго рода h⁽²⁾
_н( x ) при n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Существуют также сферические аналоги функций Ганкеля: $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

На самом деле, существуют простые выражения в замкнутой форме для функций Бесселя полуцелого порядка в терминах стандартных тригонометрических функций , а следовательно, и для сферических функций Бесселя. В частности, для неотрицательных целых чисел n : $${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$

и ч⁽²⁾
_нявляется комплексно-сопряженным этого (для действительного x ). Из этого следует, например, что j ₀ ( x ) = ⁠грех х/х⁠ и y ₀ ( x ) = − ⁠соз х/х⁠ и так далее.

Сферические функции Ганкеля появляются в задачах, связанных с распространением сферических волн , например, в мультипольном разложении электромагнитного поля .

Функции Риккати–Бесселя:С н,С н,ξ н,ζ н

Функции Риккати –Бесселя лишь незначительно отличаются от сферических функций Бесселя: $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Функции Риккати–Бесселя Sn комплексный график от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Например, этот тип дифференциального уравнения появляется в квантовой механике при решении радиальной составляющей уравнения Шредингера с гипотетическим цилиндрическим бесконечным потенциальным барьером. ^[37] Это дифференциальное уравнение и решения Риккати–Бесселя также возникают в задаче рассеяния электромагнитных волн сферой, известной как рассеяние Ми по первому опубликованному решению Ми (1908). См., например, Du (2004) ^[38] для последних разработок и ссылок.

Следуя Дебаю (1909), вместо S _n , C _n иногда используют обозначения ψ _n , χ _n .

Асимптотические формы

Функции Бесселя имеют следующие асимптотические формы. Для малых аргументов получаем, когда не является отрицательным целым числом: ^[4] ${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

Когда α — отрицательное целое число, мы имеем $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

Для функции Бесселя второго рода имеем три случая: где γ — постоянная Эйлера–Маскерони (0,5772...). $${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$

Для больших действительных аргументов z ≫ | α ² − ⁠1/4⁠ |, нельзя написать истинную асимптотику для функций Бесселя первого и второго рода (если толькоαявляетсяполуцелым числом), поскольку они имеютнуливплоть до бесконечности, что должно было бы точно соответствовать любому асимптотическому разложению. Однако для заданного значенияarg z можно написать уравнение, содержащее член порядка| z | ⁻¹ :^[39] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

(Для α = ⁠1/2⁠ последние члены в этих формулах полностью отпадают; см. сферические функции Бесселя выше.)

Асимптотические формы для функций Ганкеля следующие: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Их можно распространить на другие значения arg z, используя уравнения, связывающие H⁽¹⁾
_α( зе ^{им π} ) и H⁽²⁾
_α( ze ^{im π} ) в H⁽¹⁾
_α( г ) и Н⁽²⁾
_α( з ) . ^[40]

Интересно, что хотя функция Бесселя первого рода является средним значением двух функций Ганкеля, J _α ( z ) не является асимптотическим к среднему значению этих двух асимптотических форм, когда z отрицательно (потому что одна или другая не будет там правильной, в зависимости от используемого arg z ). Но асимптотические формы для функций Ганкеля позволяют нам записать асимптотические формы для функций Бесселя первого и второго рода для комплексного (недействительного) z , пока | z | стремится к бесконечности при постоянном фазовом угле arg z (используя квадратный корень, имеющий положительную действительную часть): $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Для модифицированных функций Бесселя Ганкель также разработал асимптотические разложения : ^{[41] [42]} $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

Существует также асимптотическая форма (для больших действительных чисел ) ^[43] ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Когда α = ⁠1/2⁠ , все члены, кроме первого, исчезают, и мы имеем $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

Для малых аргументов мы имеем ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Характеристики

Для целого порядка α = n J _n часто определяется через ряд Лорана для производящей функции: подход, использованный П. А. Хансеном в 1843 году. (Это можно обобщить на нецелый порядок с помощью контурного интегрирования или других методов.) $${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

Бесконечные ряды функций Бесселя в форме , где возникают во многих физических системах и определяются в замкнутом виде рядом Сунга. ^[44] Например, при N = 3: . В более общем виде ряд Сунга и знакопеременный ряд Сунга записываются как: ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$ $\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$ ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$

Разложение ряда с использованием функций Бесселя ( ряд Каптейна ) имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}$

Другим важным соотношением для целых порядков является разложение Якоби–Энгера : и которое используется для разложения плоской волны в сумму цилиндрических волн или для нахождения ряда Фурье тонально-модулированного ЧМ- сигнала. $${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$$ $${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}$$

В более общем смысле ряд называется разложением Неймана функции f . Коэффициенты при ν = 0 имеют явный вид , где O _k — полином Неймана . ^[45] $${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$$ $${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$$

Выбранные функции допускают специальное представление с учетом соотношения ортогональности $${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$$ $${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$$

В более общем случае, если f имеет точку ветвления вблизи начала координат такой природы, что тогда или где есть преобразование Лапласа функции f . ^[46] $${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$

Другим способом определения функций Бесселя является формула представления Пуассона и формула Мелера-Сонина: где ν > − ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}$$1/2⁠ и z ∈ C. [ ^47] Эта формула особенно полезна при работе с преобразованиями Фурье .

Поскольку уравнение Бесселя становится эрмитовым (самосопряженным), если его разделить на x , решения должны удовлетворять соотношению ортогональности для соответствующих граничных условий. В частности, отсюда следует, что: где α > −1 , δ _{m , n} — символ Кронекера , а u _{α , m} — m -й ноль J _α ( x ) . Это соотношение ортогональности затем можно использовать для извлечения коэффициентов в ряд Фурье–Бесселя , где функция разлагается по базису функций J _α ( x u α _{, m} ) для фиксированного _α и переменного m . $${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

Аналогичное соотношение для сферических функций Бесселя следует немедленно: $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

Если определить функцию - бокс x , которая зависит от малого параметра ε, как:

$${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}$$

(где rect — функция прямоугольника ), то ее преобразование Ганкеля (любого заданного порядка α > − ⁠1/2⁠ ), g _ε ( k ) , стремится к J _α ( k ) по мере того, как ε стремится к нулю, для любого заданного k . Наоборот, преобразование Ганкеля (того же порядка) g _ε ( k ) равно f _ε ( x ) :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}$$

которая равна нулю везде, кроме около 1. Когда ε приближается к нулю, правая часть приближается к δ ( x − 1) , где δ — дельта-функция Дирака . Это допускает предел (в распределительном смысле):

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}$$

Затем замена переменных приводит к уравнению замыкания : ^[48]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}$$

для α > − ⁠1/2⁠ . Преобразование Ганкеля может выразить довольно произвольную функцию ^{[ необходимо разъяснение ]} как интеграл функций Бесселя разных масштабов. Для сферических функций Бесселя соотношение ортогональности имеет вид: для α > −1 . $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)}$$

Другое важное свойство уравнений Бесселя, вытекающее из тождества Абеля , касается вронскиана решений: где A _α и B _α — любые два решения уравнения Бесселя, а C _α — константа, не зависящая от x (которая зависит от α и от конкретных рассматриваемых функций Бесселя). В частности, и для α > −1 . $${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}$$ $${\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}$$ $${\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}$$

При α > −1 четная целая функция рода 1, x ^{− α} J _α ( x ) , имеет только действительные нули. Пусть — все ее положительные нули, тогда $${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }$$ $${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}$$

(Существует большое количество других известных интегралов и тождеств, которые здесь не воспроизведены, но которые можно найти в ссылках.)

Рекуррентные соотношения

Функции J _α , Y _α , H⁽¹⁾
_α, и Н⁽²⁾
_αвсе удовлетворяют рекуррентным соотношениям ^[49] и где Z обозначает J , Y , H ⁽¹⁾ или H ⁽²⁾ . Эти два тождества часто объединяются, например, складываются или вычитаются, чтобы получить различные другие соотношения. Таким образом, например, можно вычислить функции Бесселя более высоких порядков (или более высоких производных) по значениям в более низких порядках (или более низких производных). В частности, отсюда следует, что ^[50] $${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}$$ $${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}$$

Модифицированные функции Бесселя следуют аналогичным соотношениям: и и $${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}$$ $${\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta }$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}$$

Рекуррентное соотношение выглядит так, где C _α обозначает I _α или e ^{αi π} K _α . Эти рекуррентные соотношения полезны для дискретных задач диффузии. $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

Трансцендентность

В 1929 году Карл Людвиг Зигель доказал, что J _ν ( x ) , J ' _ν ( x ) и логарифмическая производная ⁠J' _ν ( x )/J _ν ( x )⁠ являются трансцендентными числами , когда ν рационально, а x алгебраичен и не равен нулю. ^[51] Из того же доказательства следует, что K _ν ( x ) трансцендентно при тех же предположениях. ^[52]

Суммы с функциями Бесселя

Произведение двух функций Бесселя допускает следующую сумму: Из этих равенств следует, что и, как следствие, $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}$$

Эти суммы можно расширить для полиномиального префактора. Например, $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}$$

Теорема умножения

Функции Бесселя подчиняются теореме умножения , где λ и ν могут быть взяты как произвольные комплексные числа. ^{[53] [54]} Для | λ ² − 1 | < 1 , ^[53] приведенное выше выражение также справедливо, если J заменить на Y . Аналогичные тождества для модифицированных функций Бесселя и | λ ² − 1 | < 1 имеют вид и $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$$ $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)}$$ $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}$$

Нули функции Бесселя

Гипотеза Бурже

Сам Бессель первоначально доказал, что для неотрицательных целых чисел n уравнение J _n ( x ) = 0 имеет бесконечное число решений относительно x . ^[55] Однако , когда функции J _n ( x ) изображены на одном графике, ни один из нулей, по-видимому, не совпадает для разных значений n, за исключением нуля при x = 0 . Это явление известно как гипотеза Бурже в честь французского математика 19-го века, который изучал функции Бесселя. В частности, она утверждает, что для любых целых чисел n ≥ 0 и m ≥ 1 функции J _n ( x ) и J _{n + m} ( x ) не имеют общих нулей, кроме нуля при x = 0 . Гипотеза была доказана Карлом Людвигом Зигелем в 1929 году. ^[56]

Трансцендентность

В 1929 году Зигель доказал, что когда ν рационально, все ненулевые корни J _ν (x) и J ' _ν (x) являются трансцендентными , ^[57] как и все корни K _ν (x) . ^[52] Известно также, что все корни высших производных при n ≤ 18 являются трансцендентными, за исключением специальных значений и . ^[57] ${\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$ ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$

Численные подходы

Для численных исследований нулей функции Бесселя см. Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) и Moler (2004).

Числовые значения

Первые нули в J ₀ (т.е. j _0,1 , j _0,2 и j _0,3 ) появляются при аргументах приблизительно 2,40483, 5,52008 и 8,65373 соответственно. ^[58]

Смотрите также

• Функция гнева
• Полиномы Бесселя
• Функция Бесселя–Клиффорда
• Функция Бесселя–Мейтланда
• Ряд Фурье–Бесселя
• Функция Хана–Экстона q -Бесселя
• преобразование Ганкеля
• Неполные функции Бесселя
• Функция Джексона q -Бесселя
• Функции Кельвина
• Преобразование Конторовича – Лебедева
• Алгоритм Ленца
• Правило сумм Лерхе-Ньюбергера
• Функция Ломмеля
• полином Ломмеля
• полином Неймана
• Функции Риккати-Бесселя
• Серия Шлемильха
• Формула Сонина
• функция Струве
• Колебания круглой мембраны
• Функция Вебера (определена как функция Гнева )
• Задача Гаусса о круге

Примечания

1. Виленский, Майкл; Браун, Джордан; Хейзелтон, Брайна (июнь 2023 г.). «Почему и когда ожидать гауссовых распределений ошибок в эпоху реионизации измерений спектра мощности 21 см». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 521 (4): 5191–5206. arXiv : 2211.13576 . doi : 10.1093/mnras/stad863 .
2. Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая функция Бесселя второго рода». MathWorld .
3. Weisstein, Eric W. «Функция Бесселя второго рода». MathWorld .
4. Абрамовиц и Стигун, стр. 360, 9.1.10.
5. Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Cambridge University Press. стр. 356.Например, Ганзен (1843) и Шлемильх (1857).
6. Абрамовиц и Стигун, стр. 358, 9.1.5.
7. Temme, Nico M. (1996). Специальные функции: Введение в классические функции математической физики (2-е печатное издание). Нью-Йорк: Wiley. С. 228–231. ISBN 0471113131.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Формула Хансена-Бесселя». Математический мир .
9. Бессель, Ф. (1824). Соответствующий интеграл — это ненумерованное уравнение между уравнениями 28 и 29. Обратите внимание, что сегодня уравнение Бесселя было бы записано . ${\displaystyle I_{k}^{h}}$ ${\displaystyle J_{h}(k)}$
10. Уотсон, стр. 176
11. "Свойства функций Ганкеля и Бесселя". Архивировано из оригинала 2010-09-23 . Получено 2010-10-18 .
12. "Интегральные представления функции Бесселя". www.nbi.dk . Архивировано из оригинала 3 октября 2022 г. Получено 25 марта 2018 г.
13. Арфкен и Вебер, упражнение 11.1.17.
14. Абрамовиц и Стигун, стр. 362, 9.1.69.
15. Сегё, Габор (1975). Ортогональные полиномы (4-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS.
16. "Функции Бесселя первого и второго рода" (PDF) . mhtlab.uwaterloo.ca . стр. 3. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 24 мая 2022 .
17. NIST Digital Library of Mathematical Functions, (10.8.1). Доступ онлайн 25 октября 2016 г.
18. Watson, стр. 178.
19. Абрамовиц и Стигун, стр. 358, 9.1.3, 9.1.4.
20. Абрамовиц и Стигун, стр. 358, 9.1.6.
21. Абрамовиц и Стигун, стр. 360, 9.1.25.
22. Абрамовиц и Стигун, стр. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.
23. Диксон; Феррар, У. Л. (1930). «Прямое доказательство интеграла Николсона». The Quarterly Journal of Mathematics . Oxford: 236–238. doi :10.1093/qmath/os-1.1.236.
24. Абрамовиц и Стигун, стр. 375, 9.6.3, 9.6.5.
25. Абрамовиц и Стигун, стр. 374, 9.6.1.
26. Грейнер, Вальтер; Рейнхардт, Иоахим (2009). Квантовая электродинамика . Springer. стр. 72. ISBN 978-3-540-87561-1.
27. Уотсон, стр. 181.
28. Хоконов, М. Х. (2004). «Каскадные процессы потери энергии при излучении жестких фотонов». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 99 (4): 690–707. Bibcode :2004JETP...99..690K. doi :10.1134/1.1826160. S2CID  122599440.. Выведено из формул, полученных из книги И. С. Градштейна и И. М. Рыжика « Таблицы интегралов, рядов и произведений» (Физматгиз, Москва, 1963; Academic Press, Нью-Йорк, 1980).
29. Упоминается как таковой в: Teichroew, D. (1957). "Смесь нормальных распределений с различными дисперсиями" (PDF) . Анналы математической статистики . 28 (2): 510–512. doi : 10.1214/aoms/1177706981 .
30. Абрамовиц и Стигун, стр. 437, 10.1.1.
31. Абрамовиц и Стигун, стр. 439, 10.1.25, 10.1.26.
32. Абрамовиц и Стигун, стр. 438, 10.1.11.
33. Абрамовиц и Стигун, стр. 438, 10.1.12.
34. Абрамовиц и Стигун, стр. 439, 10.1.39.
35. Л. В. Бабушкина, М. К. Керимов, А. И. Никитин, Алгоритмы вычисления функций Бесселя полуцелого порядка с комплексными аргументами, стр. 110, стр. 111.
36. Абрамовиц и Стигун, стр. 439, 10.1.23, 10.1.24.
37. Гриффитс. Введение в квантовую механику, 2-е издание, стр. 154.
38. Ду, Хонг (2004). «Расчет рассеяния Ми». Прикладная оптика . 43 (9): 1951–1956. Bibcode : 2004ApOpt..43.1951D. doi : 10.1364/ao.43.001951. PMID  15065726.
39. Абрамовиц и Стигун, стр. 364, 9.2.1.
40. Цифровая библиотека математических функций NIST , раздел 10.11.
41. Абрамовиц и Стигун, стр. 377, 9.7.1.
42. Абрамовиц и Стигун, стр. 378, 9.7.2.
43. Фрелих и Спенсер, 1981, Приложение B.
44. Сунг, С.; Ховден, Р. (2022). «О бесконечных рядах функций Бесселя первого рода». arXiv : 2211.01148 [math-ph].
45. Абрамовиц и Стигун, стр. 363, 9.1.82 и далее.
46. Уотсон, Г. Н. (25 августа 1995 г.). Трактат по теории функций Бесселя. Cambridge University Press. ISBN 9780521483919. Получено 25 марта 2018 г. – через Google Books.
47. Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик, Иосиф Моисеевич ; Геронимус, Юрий Вениаминович ; Цейтлин, Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. "8.411.10.". В Цвиллингер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
48. Арфкен и Вебер, раздел 11.2
49. Абрамовиц и Стигун, стр. 361, 9.1.27.
50. Абрамовиц и Стигун, стр. 361, 9.1.30.
51. Сигел, Карл Л. (2014). «Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen». О некоторых применениях диофантовых приближений: перевод Клеменса Фукса « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen» Карла Людвига Зигеля с комментариями и статьей «Целочисленные точки на кривых: теорема Зигеля после доказательства Зигеля Клеменса Фукса и Умберто Заньера» (на немецком языке). Высшая нормальная школа. стр. 81–138. дои : 10.1007/978-88-7642-520-2_2. ISBN 978-88-7642-520-2.
52. James, RD (ноябрь 1950 г.). «Обзор: Карл Людвиг Зигель, Трансцендентные числа». Бюллетень Американского математического общества . 56 (6): 523–526. doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09435-X .
53. Абрамовиц и Стигун, стр. 363, 9.1.74.
54. Truesdell, C. (1950). «О теоремах сложения и умножения для специальных функций». Труды Национальной академии наук . 1950 (12): 752–757. Bibcode :1950PNAS...36..752T. doi : 10.1073/pnas.36.12.752 . PMC 1063284 . PMID  16578355. 
55. Бессель, Ф. (1824), статья 14.
56. Уотсон, стр. 484–485.
57. Лорх, Ли; Малдун, Мартин Э. (1995). «Трансцендентность нулей высших производных функций, содержащих функции Бесселя». Международный журнал математики и математических наук . 18 (3): 551–560. doi : 10.1155/S0161171295000706 .
58. Абрамовиц и Стигун, стр. 409

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 9". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. См. также главу 10.
• Арфкен, Джордж Б. и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 6-е издание (Харкорт: Сан-Диего, 2005). ISBN 0-12-059876-0 . 
• Бессель, Фридрих (1824). «Untersuruchung des Theils der Planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht» [Исследование той части планетарных возмущений, которые возникают из-за движения Солнца]. Берлин Абхандлунген . Воспроизведено на страницах 84–109 в Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel. Лейпциг: Энгельманн. 1875.Перевод текста на английский язык.
• Боумен, Фрэнк Введение в функции Бесселя (Довер: Нью-Йорк, 1958). ISBN 0-486-60462-4 . 
• Gil, A.; Segura, J.; Temme, NM (2007). Численные методы для специальных функций . Общество промышленной и прикладной математики.
• Kravanja, P.; Ragos, O.; Vrahatis, MN; Zafiropoulos, FA (1998), "ZEBEC: математический программный пакет для вычисления простых нулей функций Бесселя действительного порядка и комплексного аргумента", Computer Physics Communications , 113 (2–3): 220–238, Bibcode : 1998CoPhC.113..220K, doi : 10.1016/S0010-4655(98)00064-2
• Ми, Г. (1908). «Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen». Аннален дер Физик . 25 (3): 377. Бибкод : 1908АнП...330..377М. дои : 10.1002/andp.19083300302 .
• Olver, FWJ ; Maximon, LC (2010), "Функция Бесселя", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248..
• Press, WH ; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 6.5. Функции Бесселя целого порядка», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, заархивировано из оригинала 2021-02-03 , извлечено 2022-09-28.
• Б. Спейн, М. Г. Смит, Функции математической физики , Van Nostrand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
• NM Temme, Специальные функции. Введение в классические функции математической физики , John Wiley and Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. ISBN 0-471-11313-1 . Глава 9 посвящена функциям Бесселя. 
• Уотсон, Г. Н. , Трактат по теории функций Бесселя, второе издание , (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3 . 
• Вебер, Генрих (1873), «Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen», Mathematische Annalen , 6 (2): 146–161, doi : 10.1007/BF01443190, S2CID  122409461.

Внешние ссылки

• Лизоркин, ПИ (2001) [1994], "Функции Бесселя", Энциклопедия математики , Издательство EMS.
• Кармазина, Л.Н.; Прудников, А.П. (2001) [1994], "Цилиндрическая функция", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Розов, Н. Х. (2001) [1994], "Уравнение Бесселя", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Страницы функций Wolfram, посвященные функциям Бесселя J и Y, а также модифицированным функциям Бесселя I и K. Страницы включают формулы, оценщики функций и калькуляторы для построения графиков.
• Вайсштейн, Эрик В. "Функции Бесселя первого рода". MathWorld .
• Функции Бесселя Jν, Yν, Iν и Kν в справочнике Librow Function.
• FWJ Olver, LC Maximon, Функции Бесселя (глава 10 Цифровой библиотеки математических функций).
• Moler, CB (2004). Численные вычисления с MATLAB (PDF) . Общество промышленной и прикладной математики. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-08.