Класс характеристики

Ассоциация классов когомологий с главными расслоениями

В математике характеристический класс — это способ связать с каждым главным расслоением X класс когомологий X. Класс когомологий измеряет степень «скрученности» расслоения и наличие у него секций . Классы характеристик — это глобальные инварианты , которые измеряют отклонение локальной структуры продукта от глобальной структуры продукта. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии .

Понятие характеристического класса возникло в 1935 году в работе Эдуарда Штифеля и Хасслера Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Пусть G — топологическая группа , а для топологического пространства — множество классов изоморфизма главных G - расслоений над . Это контравариантный функтор из Top ( категория топологических пространств и непрерывных функций ) в Set (категория множеств и функций ), отправляющий карту на операцию обратного преобразования . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$

Тогда характеристический класс c главных G -расслоений является естественным преобразованием из в функтор когомологий , рассматриваемый также как функтор в Set . ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle H^{*}}$

Другими словами, характеристический класс ассоциируется с каждым главным G -расслоением в элементе c ( P ) в H * ( X ) таким, что если f  : Y → X — непрерывное отображение, то c ( f * P ) = f * с ( П ). Слева — класс возврата P к Y ; справа — образ класса P при индуцированном отображении в когомологиях. ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$

Характеристические числа

Характеристические классы являются элементами групп когомологий; ^[1] можно получить целые числа из характеристических классов, называемых характеристическими числами . Некоторыми важными примерами характеристических чисел являются числа Стифеля-Уитни , числа Черна , числа Понтрягина и характеристика Эйлера .

Учитывая ориентированное многообразие M размерности n с фундаментальным классом и G -расслоение с характеристическими классами , можно соединить произведение характеристических классов полной степени n с фундаментальным классом. Число различных характеристических чисел — это количество мономов степени n в характеристических классах или, что то же самое, разбиение n на . ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$ ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle {\mbox{deg}}\,c_{i}}$

Формально, учитывая , что , соответствующее характеристическое число равно: ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$ ${\displaystyle \sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n}$

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

где обозначает чашечное произведение классов когомологий. Они обозначаются по-разному: либо как произведение характеристических классов, например , либо с помощью некоторых альтернативных обозначений, например, для числа Понтрягина , соответствующего , или для эйлеровой характеристики. ${\displaystyle \smile }$ ${\displaystyle c_{1}^{2}}$ ${\displaystyle P_{1,1}}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}}$ ${\displaystyle \chi }$

С точки зрения когомологий де Рама , можно взять дифференциальные формы , представляющие характеристические классы, ^[2] взять клиновое произведение так, чтобы получить верхнемерную форму, а затем проинтегрировать по многообразию; это аналогично взятию произведения в когомологиях и объединению его с фундаментальным классом.

Это также работает для неориентируемых многообразий, которые имеют -ориентацию , и в этом случае можно получить -значные характеристические числа, такие как числа Стифеля-Уитни. ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Характеристические числа решают вопросы ориентированного и неориентированного бордизма : два многообразия (соответственно ориентированные или неориентированные) кобордантны тогда и только тогда, когда их характеристические числа равны.

Мотивация

Характеристические классы по существу являются явлениями теории когомологий — они являются контравариантными конструкциями в том смысле, что сечение является своего рода функцией в пространстве, и чтобы привести к противоречию из существования сечения, нам действительно нужна эта дисперсия. Фактически теория когомологий возникла после теории гомологии и гомотопии , которые являются ковариантными теориями, основанными на отображении в пространство; и теория характеристических классов, находившаяся в зачаточном состоянии в 1930-х годах (как часть теории препятствий ), была одной из основных причин, по которой искали «двойную» теорию гомологии. Подход характеристических классов к инвариантам кривизны стал особым поводом для создания теории и доказательства общей теоремы Гаусса – Бонне .

Когда теория была поставлена ​​на организованную основу примерно в 1950 году (с определениями, сведенными к гомотопической теории), стало ясно, что наиболее фундаментальными характеристическими классами, известными в то время ( класс Штифеля-Уитни , класс Черна и классы Понтрягина ), были отражения классических линейных групп и их максимальная торическая структура. Более того, сам класс Черна не был таким уж новым, поскольку нашел отражение в исчислении Шуберта о грассманианах и работах итальянской школы алгебраической геометрии . С другой стороны, теперь появилась структура, которая создавала семейства классов всякий раз, когда речь шла о векторном расслоении .

Тогда основной механизм выглядел так: дано пространство X , несущее векторное расслоение, что подразумевало в гомотопической категории отображение X в классифицирующее пространство BG для соответствующей линейной группы G. Для теории гомотопий важную информацию несут компактные подгруппы, такие как ортогональные группы и унитарные группы группы G . Как только когомологии были вычислены раз и навсегда, свойство когомологий контравариантности означало, что характеристические классы расслоения будут определены в тех же измерениях. Например, класс Черна на самом деле представляет собой один класс с градуированными компонентами в каждом четном измерении. ${\displaystyle H^{*}(BG)}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$

Это по-прежнему классическое объяснение, хотя в данной геометрической теории полезно принимать во внимание дополнительную структуру. Когда когомологии стали «экстраординарными» с появлением К-теории и теории кобордизмов , начиная с 1955 года, на самом деле было необходимо всего лишь изменить везде букву H , чтобы указать, каковы были характеристические классы.

Позднее были найдены характеристические классы слоений многообразий ; они имеют (в модифицированном смысле для слоений с некоторыми разрешенными особенностями) теорию классифицирующего пространства в теории гомотопий .

В более поздних работах, после сближения математики и физики , новые характеристические классы были обнаружены Саймоном Дональдсоном и Дитером Котчиком в теории инстантонов . Работа и точка зрения Черна также оказались важными: см. теорию Черна – Саймонса .

Стабильность

На языке стабильной теории гомотопий класс Чженя , класс Стифеля–Уитни и класс Понтрягина устойчивы , а класс Эйлера неустойчив .

Конкретно, стабильный класс — это тот, который не меняется при добавлении тривиального пакета: . Более абстрактно, это означает, что класс когомологий в классифицирующем пространстве для отступает от класса когомологий при включении (что соответствует включению и тому подобному). Эквивалентно, все конечные характеристические классы отступают от стабильного класса в . ${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$ ${\displaystyle BG(n)}$ ${\displaystyle BG(n+1)}$ ${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle BG}$

Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, не в последнюю очередь потому, что класс Эйлера k -мерного расслоения живет в (следовательно, отходит от , поэтому он не может отступить от класса в , поскольку размерности различаются . ${\displaystyle H^{k}(X)}$ ${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$ ${\displaystyle H^{k+1}}$

Смотрите также

• Класс Сегре
• Эйлерова характеристика
• Класс Черна

Примечания

1. Неформально характеристические классы «живут» в когомологиях.
2. Согласно теории Черна – Вейля , это полиномы кривизны; по теории Ходжа можно принять гармоническую форму.

Рекомендации

• Черн, Шиинг-Шен (1995). Комплексные многообразия без теории потенциала . Спрингер-Верлаг Пресс. ISBN 0-387-90422-0. ISBN  3-540-90422-0 .

  Приложение к этой книге: «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень аккуратное и глубокое введение в развитие представлений о характеристических классах.

• Хэтчер, Аллен , Векторные расслоения и К-теория
• Хуземоллер, Дейл (1966). Пучки волокон (3-е издание, изд. Springer, 1993 г.). МакГроу Хилл. ISBN 0387940871.
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джим (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований. Том. 76. Издательство Принстонского университета , Принстон, Нью-Джерси; Издательство Токийского университета , Токио. ISBN 0-691-08122-0.