Класс Черна

Характеристические классы векторных расслоений

В математике , в частности в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии , классы Чженя — характеристические классы, связанные с комплексными векторными расслоениями . С тех пор они стали фундаментальными понятиями во многих разделах математики и физики, таких как теория струн , теория Черна–Саймонса , теория узлов , инварианты Громова–Виттена . Классы Черна были введены Шиинг-Шен Черном  (1946).

Геометрический подход

Основная идея и мотивация

Классы Черна являются характеристическими классами . Это топологические инварианты , связанные с векторными расслоениями на гладком многообразии. На вопрос о том, являются ли два якобы разных векторных расслоения одинаковыми, ответить довольно сложно. Классы Черна предоставляют простой тест: если классы Черна пары векторных расслоений не совпадают, то векторные расслоения различны. Обратное, однако, неверно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, сколько линейно независимых секций имеет векторное расслоение. Классы Черна дают некоторую информацию об этом, например, посредством теоремы Римана-Роха и теоремы об индексе Атьи-Зингера .

Классы Черна также возможно вычислить на практике. В дифференциальной геометрии (и некоторых видах алгебраической геометрии) классы Чженя могут быть выражены в виде многочленов от коэффициентов формы кривизны .

Строительство

Существуют различные подходы к этой теме, каждый из которых фокусируется на несколько разных аспектах класса Черна.

Первоначальный подход к классам Черна основывался на алгебраической топологии: классы Черна возникают на основе теории гомотопий , которая обеспечивает отображение, связанное с векторным расслоением, в классифицирующее пространство ( в данном случае бесконечный грассманиан ). Для любого комплексного векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство такое, что расслоение V равно образу с помощью f универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Чженя Следовательно, V можно определить как образ классов Чженя универсального расслоения. В свою очередь, эти универсальные классы Чженя можно явно записать в терминах циклов Шуберта .

Можно показать, что для любых двух отображений f , g из M в классифицирующее пространство, чьи образы являются одним и тем же расслоением V , эти отображения должны быть гомотопными. Следовательно, возврат любого универсального класса Чженя с помощью f или g к классу когомологий M должен быть тем же классом. Это показывает, что классы Чженя V корректно определены.

В подходе Черна использовалась дифференциальная геометрия посредством подхода кривизны, описанного преимущественно в этой статье. Он показал, что предыдущее определение фактически эквивалентно его. Полученная теория известна как теория Черна – Вейля .

Существует также подход Александра Гротендика, показывающий, что аксиоматически достаточно определить только случай линейного расслоения.

Классы Чженя естественным образом возникают в алгебраической геометрии . Обобщенные классы Чженя в алгебраической геометрии могут быть определены для векторных расслоений (точнее, локально свободных пучков ) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Черна не требуют, чтобы базовое поле имело какие-либо специальные свойства. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.

Независимо от конкретной парадигмы, интуитивное значение класса Черна касается «обязательных нулей» секции векторного расслоения: например, теорема о том, что нельзя расчесать волосатый клубок ( теорема о волосатом шаре ). Хотя, строго говоря, это вопрос о реальном векторном расслоении («волосы» на шаре на самом деле являются копиями реальной линии), существуют обобщения, в которых волосы являются сложными (см. пример теоремы о сложном волосатом шаре ниже). или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

Дополнительную информацию см. в теории Черна – Саймонса .

Класс Черна линейных расслоений

(Пусть X — топологическое пространство гомотопического типа комплекса CW .)

Важный особый случай возникает, когда V является линейным расслоением . Тогда единственным нетривиальным классом Чженя является первый класс Чженя, который является элементом второй группы когомологий X . Поскольку это верхний класс Чженя, он равен классу Эйлера расслоения.

С топологической точки зрения первый класс Чженя оказывается полным инвариантом , с помощью которого можно классифицировать комплексные линейные расслоения. То есть существует биекция между классами изоморфизма линейных расслоений над X и элементами , которая сопоставляет линейному расслоению его первый класс Чженя. Более того, эта биекция является групповым гомоморфизмом (таким образом, изоморфизмом): ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');}$$

произведение^{[1] [2]}

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфизма) комплексных линейных расслоений с помощью первого класса Черна является грубым приближением к классификации (классов изоморфизма) голоморфных линейных расслоений с помощью классов линейной эквивалентности дивизоров .

Для комплексных векторных расслоений размерности больше единицы классы Чженя не являются полным инвариантом.

Конструкции

С помощью теории Черна – Вейля

Учитывая комплексное эрмитово векторное расслоение V комплексного ранга n над гладким многообразием M , представители каждого класса Черна (также называемого формой Черна) V задаются как коэффициенты характеристического многочлена формы кривизны V. ${\displaystyle c_{k}(V)}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

Определитель находится над кольцом матриц, элементами которых являются многочлены от t с коэффициентами из коммутативной алгебры четных комплексных дифференциальных форм на M . Форма кривизны V определяется как ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$

форма связи ,d —производнаяполекалибровочной группыtнеопределенная величинаполученияIединичную матрицу размера nn

Сказать, что данное выражение является представителем класса Черна, означает, что «класс» здесь означает добавление точной дифференциальной формы . То есть классы Чженя являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама . Можно показать, что классы когомологий форм Чженя не зависят от выбора связности в V .

Если из матричного тождества следует , что . Теперь, применяя ряд Маклорена для , мы получаем следующее выражение для форм Черна: ${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$ ${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$ ${\displaystyle \ln(X+I)}$

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

Через класс Эйлера

Класс Чженя можно определить через класс Эйлера. Это подход, описанный в книге Милнора и Сташеффа, и он подчеркивает роль ориентации векторного расслоения .

Основное наблюдение состоит в том, что комплексное векторное расслоение имеет каноническую ориентацию, в конечном итоге потому, что оно связно. Следовательно, можно просто определить верхний класс Чженя расслоения как его класс Эйлера (класс Эйлера базового вещественного векторного расслоения) и обрабатывать нижние классы Чженя индуктивным способом. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

Точная конструкция выглядит следующим образом. Идея состоит в том, чтобы сделать базовое изменение, чтобы получить пакет ранга на единицу меньше. Пусть – комплексное векторное расслоение над паракомпактом B . Думая о B как о вложенном в E как о нулевом разделе, определим новое векторное расслоение: ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle B'=E\setminus B}$

$${\displaystyle E'\to B'}$$

FEvFB'FEF^[3]Eпоследовательности Гайзина ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$

$${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$

${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$ ${\displaystyle k<2n-1}$

$${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

Затем требуется некоторая работа, чтобы проверить, что аксиомы классов Чженя удовлетворяются для этого определения.

См. также: Изоморфизм Тома .

Примеры

Комплексное касательное расслоение сферы Римана

Пусть сфера Римана : одномерное комплексное проективное пространство . Предположим, что z — голоморфная локальная координата сферы Римана. Пусть – пучок комплексных касательных векторов, имеющих в каждой точке вид, где a – комплексное число . Мы доказываем комплексную версию теоремы о волосатом шаре : V не имеет сечения, которое всюду ненулевое. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle a\partial /\partial z}$

Для этого нам понадобится следующий факт: первый класс Чженя тривиального расслоения равен нулю, т. е.

$${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

Об этом свидетельствует тот факт, что тривиальное расслоение всегда допускает плоскую связность. Итак, мы покажем, что

$${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

Рассмотрим метрику Кэлера

$${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Легко показать, что 2-форма кривизны имеет вид

$${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

При этом по определению первого класса Черна

$${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

Мы должны показать, что этот класс когомологий отличен от нуля. Достаточно вычислить его интеграл по сфере Римана:

$${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$

полярным координатамтеореме Стоксаформа

Это доказывает, что это не тривиальное векторное расслоение. ${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$

Комплексное проективное пространство

Существует точная последовательность пучков/пучков: ^[4]

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$

скручивающий пучок Серрарасслоение гиперплоскостикасательный пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$

Есть два способа получить вышеуказанную последовательность:

1. ^[5] Пусть – координаты, пусть – каноническая проекция, и пусть . Тогда у нас есть: ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1},}$ ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {CP} ^{n}\setminus \{z_{0}=0\}}$
   $${\displaystyle \pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2}},\,i\geq 1.}$$
   Другими словами, кокасательный пучок , представляющий собой свободный -модуль с базисом , укладывается в точную последовательность ${\displaystyle \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle d(z_{i}/z_{0})}$
   $${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{\to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,}$$
   где находятся основания среднего срока. Очевидно, что та же самая последовательность точна на всем проективном пространстве, а двойственной ей является вышеупомянутая последовательность. ${\displaystyle e_{i}}$
2. Пусть L — прямая , проходящая через начало координат. Это элементарная геометрия , позволяющая увидеть, что комплексное касательное пространство к точке L естественным образом представляет собой набор линейных отображений L в его дополнение. Таким образом, касательное расслоение можно отождествить с hom расслоением ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$
   $${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )}$$
   где η — векторное расслоение такое, что . Следует: ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)}}$
   $${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}.}$$

По аддитивности полного класса Черна (т. е. по формуле суммы Уитни) ${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$

$${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$

aE ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ ${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$ ${\displaystyle E^{*}}$

В частности, для любого ${\displaystyle k\geq 0}$

$${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

Полином Черна

Полином Черна — это удобный способ систематической обработки классов Черна и связанных с ними понятий. По определению, для комплексного векторного расслоения E полином Черна c t _от E определяется выражением:

$${\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}$$

Это не новый инвариант: формальная переменная t просто отслеживает степень ck ₍ E ). ^[6] В частности, полностью определяется полным классом Чженя E : и наоборот. ${\displaystyle c_{t}(E)}$ ${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)}$

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Чженя (см. ниже), говорит, что c _t аддитивен в смысле:

$${\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').}$$

${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$

$${\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)}$$

корнями Чернакоэффициенты ${\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}(E)}$

$${\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))}$$

_—симметрические многочлены_ai как _{формальные}ck_σkсимметричных многочленахt _it _iпринципу расщепленияE ${\displaystyle c_{t}(E)}$

«Можно вычислить любой симметричный многочлен f в комплексном векторном расслоении E _, записав f как многочлен от σk _, а затем заменив σk _на ck ( E ) ».

Пример : у нас есть многочлены s _k

$${\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))}$$

тождества Ньютона ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!}$$

EE

$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}$$

Пример : Класс Тодда E определяется следующим образом :

$${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .}$$

Замечание : Наблюдение о том, что класс Чженя по существу является элементарным симметричным полиномом, может быть использовано для «определения» классов Чженя. Пусть Gn _— бесконечный грассманиан n - мерных комплексных векторных пространств. Это классифицирующее пространство в том смысле, что для комплексного векторного расслоения E ранга n над X существует непрерывное отображение

$${\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}}$$

Теорема БореляG _nkf _E

$${\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$$

$${\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}$$

Замечание . Любой характеристический класс является полиномом от классов Чженя по следующей причине. Пусть – контравариантный функтор, который сопоставляет комплексу CW X набор классов изоморфизма комплексных векторных расслоений ранга n над X , а отображению – его обратный образ. По определению, характеристический класс является естественным преобразованием функтора когомологий в. Характеристические классы образуют кольцо из-за кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает _, что это кольцо характеристических классов в точности является кольцом когомологий Gn : ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}$ ${\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).}$

$${\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}$$

Формулы расчета

Пусть E — векторное расслоение ранга r и его полином Чженя. ${\displaystyle c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}}$

• Для двойственного расслоения .​ ^[7] ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$
• Если L — линейное расслоение, то ^{[8] [9]}
  $${\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}}$$
  и так ${\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r}$
  $${\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.}$$
• Для корней Чженя , [ ^10] ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle E}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}}$$
  В частности, ${\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).}$
• Например, ^[11] для , ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)}$

  когда , ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},}$

  когда , ${\displaystyle r=3}$ ${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.}$

(см. класс Сегре # Пример 2 .)

Применение формул

Мы можем использовать эти абстрактные свойства для вычисления остальных классов chern расслоений строк на . Напомним, что показ . Затем, используя тензорные степени, мы можем связать их с классами Черна для любого целого числа. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$

Характеристики

Для комплексного векторного расслоения E над топологическим пространством X классы Чженя E являются последовательностью элементов когомологий X. k - й класс Чженя E _, который обычно обозначается ck ( E ), является элементом

$${\displaystyle H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),}$$

Xцелымиполный класс Черна

$${\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .}$$

Поскольку значения находятся в целых группах когомологий, а не в когомологиях с действительными коэффициентами, эти классы Чженя немного более уточнены, чем классы в римановом примере. ^{[ нужны разъяснения ]}

Классическое аксиоматическое определение

Классы Черна удовлетворяют следующим четырем аксиомам:

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$для всех Э.
2. Естественность: если непрерывен и f *E — обратный векторный расслоение E , то . ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$
3. Формула суммы Уитни : если — другое комплексное векторное расслоение, то классы Чженя прямой суммы задаются формулой ${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle E\oplus F}$
   $${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$
   то есть,
   $${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. Нормализация: полный класс Чженя тавтологического линейного расслоения над равен 1 − H , где H двойственен Пуанкаре к гиперплоскости . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$

Аксиоматический подход Гротендика

В качестве альтернативы Александр Гротендик  (1958) заменил их немного меньшим набором аксиом:

• Естественность: (То же, что и выше)
• Аддитивность: Если — точная последовательность векторных расслоений, то . ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ ${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$
• Нормализация: если E — линейное расслоение , то где — класс Эйлера базового вещественного векторного расслоения. ${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$

Используя теорему Лере–Хирша, он показывает , что полный класс Чженя произвольного комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определен в терминах первого класса Чженя тавтологически определенного линейного расслоения.

А именно, введение проективизации комплексного векторного расслоения E → B ранга n как расслоения на B , слой которого в любой точке является проективным пространством слоя E _b . Тотальное пространство этого расслоения снабжено его тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначим , и первым классом Черна ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$

комплексных проективных пространств ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$

Классы

$${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$

Лере-Хиршаaa2a ^{n - 1} ${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$

В частности, можно определить классы Чженя E в смысле Гротендика, обозначенного таким образом расширением класса , с помощью отношения: ${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$ ${\displaystyle -a^{n}}$

$${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

Затем можно проверить, что это альтернативное определение совпадает с любым другим определением, которое вы предпочитаете, или использовать предыдущую аксиоматическую характеристику.

Высший класс Черна

Фактически эти свойства однозначно характеризуют классы Чженя. Они подразумевают, среди прочего:

• Если n — комплексный ранг V , то для всех k > n . Таким образом, весь класс Чженя завершается. ${\displaystyle c_{k}(V)=0}$
• Верхний класс Чженя V (то есть , где n — ранг V ) всегда равен классу Эйлера базового вещественного векторного расслоения. ${\displaystyle c_{n}(V)}$

В алгебраической геометрии

Аксиоматическое описание

Существует еще одна конструкция классов Чженя, принимающих значения в алгеброгеометрическом аналоге кольца когомологий — кольце Чжоу . Можно показать, что существует единственная теория классов Чженя, такая что, если вам дано алгебраическое векторное расслоение над квазипроективным многообразием, существует последовательность классов такая, что ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$
2. Для обратимого пучка (так что это делитель Картье ) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]}$
3. Для точной последовательности векторных расслоений справедлива формула суммы Уитни: ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ ${\displaystyle c(E)=c(E')c(E'')}$
4. ${\displaystyle c_{i}(E)=0}$для ${\displaystyle i>{\text{rank}}(E)}$
5. Отображение продолжается до кольцевого морфизма ${\displaystyle E\mapsto c(E)}$ ${\displaystyle c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)}$

Нормальная последовательность

Вычисление характеристических классов проективного пространства составляет основу для многих вычислений характеристических классов, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия существует короткая точная последовательность ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

Квинтик тройной

Например, рассмотрим неособую квинтику тройного многообразия в . Тогда нормальное расслоение имеет вид и мы имеем короткую точную последовательность ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)}$

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}$$

Пусть обозначает класс гиперплоскости в . Тогда формула суммы Уитни дает нам следующее: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$

$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))=(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}}$$

Поскольку кольцо Чоу гиперповерхности вычислить сложно, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в . Это дает нам это ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=\left(1+5h+10h^{2}+10h^{3}\right)\left(1-5h+25h^{2}-125h^{3}\right)\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$$

Используя теорему Гаусса-Бонне, мы можем интегрировать класс для вычисления эйлеровой характеристики. Традиционно это называется классом Эйлера . Это ${\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})}$

$${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}$$

теореме Безу ${\displaystyle h^{3}}$ ${\displaystyle X}$

Гиперповерхности степени d

Если — гиперповерхность степени гладкости, то мы имеем короткую точную последовательность ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0}$$

$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}}$$

многообразием спина ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 4-d}$ ${\displaystyle 2k}$

Ближайшие понятия

Персонаж Черна

Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя ch определяется формулой

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

В более общем смысле, если это прямая сумма линейных расслоений, с первыми классами Чженя характер Чженя определяется аддитивно. ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

Это можно переписать так: ^[12]

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

Это последнее выражение , оправданное обращением к принципу расщепления , принимается за определение ch(V) для произвольных векторных расслоений V.

Если для определения классов Черна используется связность, когда базой является многообразие (т. е. теория Черна – Вейля ), то явная форма характера Черна равна

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$

Ωкривизна

Символ Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. В частности, он подчиняется следующим тождествам:

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

Как указано выше, используя аксиому аддитивности Гротендика для классов Чженя, первое из этих тождеств можно обобщить, утверждая, что ch является гомоморфизмом абелевых групп из K -теории K ( X ) в рациональные когомологии X. Второе тождество устанавливает тот факт, что этот гомоморфизм также соблюдает произведения из K ( X ), и поэтому ch — гомоморфизм колец.

Характер Черна используется в теореме Хирцебруха–Римана–Роха .

Числа Черна

Если мы работаем над ориентированным многообразием размерности , то любое произведение классов Чженя полной степени (т. е. сумма индексов классов Чженя в произведении должна быть ) может быть спарено с классом гомологии ориентации (или «проинтегрировано по многообразие»), чтобы дать целое число — число Чженя векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существует три линейно независимых числа Черна, заданные , и . В общем, если многообразие имеет размерность , количество возможных независимых чисел Чженя равно числу разбиений многообразия . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{1}^{3}}$ ${\displaystyle c_{1}c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

Числа Чженя касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Чженя многообразия и являются важными инвариантами.

Обобщенные теории когомологий

Существует обобщение теории классов Чженя, в котором обычные когомологии заменяются обобщенной теорией когомологий . Теории, для которых такое обобщение возможно, называются комплексно-ориентируемыми . Формальные свойства классов Чженя остаются прежними, с одним принципиальным отличием: правило, которое вычисляет первый класс Чженя тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Чженя факторов, является не (обычным) сложением, а скорее формальный групповой закон .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии существует аналогичная теория классов Чженя векторных расслоений. Существует несколько вариаций в зависимости от того, в каких группах лежат классы Черна:

• Для комплексных многообразий классы Чженя могут принимать значения в обычных когомологиях, как указано выше.
• Для многообразий над общими полями классы Чженя могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии или l-адические когомологии .
• Для многообразий V над общими полями классы Чженя также могут принимать значения в гомоморфизмах групп Чжоу CH(V): например, первый класс Чженя линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH( V ) в CH( V ) уменьшение степени на 1. Это соответствует тому, что группы Чжоу являются своего рода аналогом групп гомологий, а элементы групп когомологий можно рассматривать как гомоморфизмы групп гомологий с помощью кепочного произведения .

Коллекторы со структурой

Теория классов Чженя порождает инварианты кобордизмов почти комплексных многообразий .

Если M — почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. Таким образом , классы Чженя M определяются как классы Чженя его касательного расслоения. Если M также компактен и имеет размерность 2 d , то каждый моном полной степени 2 d в классах Чженя можно соединить с фундаментальным классом M , давая целое число, число Черна M . Если M ′ — другое почти комплексное многообразие той же размерности, то оно кобордантно M тогда и только тогда, когда числа Чженя M ′ совпадают с числами Чженя M .

Теория также распространяется на реальные симплектические векторные расслоения при посредничестве совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют корректно определенный класс Чженя.

Арифметические схемы и диофантовы уравнения

(См. геометрию Аракелова )

Смотрите также

• класс Понтрягина
• Класс Штифеля – Уитни
• класс Эйлера
• Класс Сегре
• Исчисление Шуберта
• Эффект квантового зала
• Локализованный класс Черна

Примечания

1. Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1995). Дифференциальные формы в алгебраической топологии (Изв. 3. Печат. изд.). Нью-Йорк [ua]: Спрингер. п. 267 и далее. ISBN 3-540-90613-4.
2. Хэтчер, Аллен . «Векторные расслоения и K-теория» (PDF) . Предложение 3.10.
3. Примечание редакции: Наши обозначения отличаются от обозначений Милнора-Сташефа, но кажутся более естественными.
4. Эту последовательность иногда называют последовательностью Эйлера .
5. Хартсхорн, Ч. II. Теорема 8.13.
6. В терминах теории колец существует изоморфизм градуированных колец:
   $${\displaystyle H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} ))[t],x\mapsto xt^{|x|/2}}$$
   где левое — кольцо когомологий четных членов, η — кольцевой гомоморфизм, не учитывающий градуировку, а x однороден и имеет степень | х |.
7. Фултон, Замечание 3.2.3. (а)
8. Фултон, Замечание 3.2.3. (б)
9. Фултон, Пример 3.2.2.
10. Фултон, Замечание 3.2.3. (с)
11. Используйте, например, WolframAlpha, чтобы разложить полином, а затем использовать тот факт, что это элементарные симметричные полиномы в 's. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$
12. (См. также § Полином Черна.) Обратите внимание, что когда V является суммой линейных расслоений, классы Черна V могут быть выражены как элементарные симметричные многочлены в , В частности, с одной стороны ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$
    $${\displaystyle c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),}$$
    хотя с другой стороны
    $${\displaystyle {\begin{aligned}c(V)&=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})\\&=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})\\&=\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}$$
    Следовательно, тождества Ньютона можно использовать для повторного выражения сумм степеней в ch( V ) выше исключительно через классы Черна V , давая заявленную формулу.

Рекомендации

• Черн, Шиинг-Шен (1946), «Характеристические классы эрмитовых многообразий», Анналы математики , вторая серия, 47 (1): 85–121, doi : 10.2307/1969037, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969037
• Фултон, В. (29 июня 2013 г.). Теория пересечений. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-02421-8.
• Гротендик, Александр (1958), «Теория классов Черна», Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 137–154, doi : 10.24033/bsmf.1501 , ISSN  0037-9484, MR  0116023
• Хартсхорн, Робин (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0.
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7(Очень краткий вводный обзор классов Черна).
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии, University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Анналы математических исследований, том. 76, Издательство Принстонского университета; Издательство Токийского университета, ISBN 978-0-691-08122-9
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Уолтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

Внешние ссылки

• Векторные связки и K-теория — книга Аллена Хэтчера , которая находится в стадии разработки . Содержит главу о классах характеристик.
• Дитер Кочик , Числа Черна алгебраических многообразий