Кубическое поле

В математике , в частности в области алгебраической теории чисел , кубическое поле — это алгебраическое числовое поле степени три .

Определение

Если K — расширение поля рациональных чисел Q степени [ K : Q ] = 3, то K называется кубическим полем . Любое такое поле изоморфно полю вида

${\displaystyle \mathbf {Q} [x]/(f(x))}$

где f — неприводимый кубический многочлен с коэффициентами в Q. Если f имеет три действительных корня , то K называется вполне действительным кубическим полем и является примером вполне действительного поля . Если же, с другой стороны, f имеет недействительный корень, то K называется комплексным кубическим полем .

Кубическое поле K называется циклическим кубическим полем, если оно содержит все три корня своего порождающего многочлена f . Эквивалентно, K является циклическим кубическим полем, если оно является расширением Галуа Q , в этом случае его группа Галуа над Q является циклической порядка три. Это может произойти только если K полностью вещественно. Это редкий случай в том смысле, что если множество кубических полей упорядочено по дискриминанту , то доля кубических полей, которые являются циклическими, стремится к нулю, когда граница дискриминанта стремится к бесконечности. [ ^1]

Кубическое поле называется чистым кубическим полем, если его можно получить присоединением действительного кубического корня из положительного целого числа n, свободного от куба, к полю рациональных чисел Q. Такие поля всегда являются комплексными кубическими полями, поскольку каждое положительное число имеет два комплексных недействительных кубических корня. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$

Примеры

• Присоединение действительного кубического корня из 2 к рациональным числам дает кубическое поле . Это пример чистого кубического поля, а значит, и комплексного кубического поля. Фактически, из всех чисто кубических полей оно имеет наименьший дискриминант (по абсолютной величине ), а именно −108. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$
• Комплексное кубическое поле, полученное присоединением к Q корня из x ³ + x ² − 1, не является чистым. Оно имеет наименьший дискриминант (по абсолютной величине) среди всех кубических полей, а именно −23. ^[3]
• Присоединение корня x ³ + x ² − 2 x − 1 к Q дает циклическое кубическое поле, а значит, и вполне реальное кубическое поле. Оно имеет наименьший дискриминант среди всех вполне реальных кубических полей, а именно 49. ^[4]
• Поле, полученное присоединением к Q корня x ³ + x ² − 3 x − 1, является примером вполне вещественного кубического поля, которое не является циклическим. Его дискриминант равен 148, наименьший дискриминант нециклического вполне вещественного кубического поля. ^[5]
• Ни одно циклотомическое поле не является кубическим, поскольку степень циклотомического поля равна φ( n ), где φ — функция Эйлера , которая принимает только четные значения, за исключением φ(1) = φ(2) = 1.

закрытие Галуа

Циклическое кубическое поле K является своим собственным замыканием Галуа с группой Галуа Gal( K / Q ), изоморфной циклической группе порядка три. Однако любое другое кубическое поле K является негалуа-расширением Q и имеет расширение поля N степени два в качестве своего замыкания Галуа. Группа Галуа Gal( N / Q ) изоморфна симметрической группе S ₃ с тремя буквами.

Связанное квадратичное поле

Дискриминант кубического поля K можно записать однозначно как df ² , где d — фундаментальный дискриминант . Тогда K цикличен тогда и только тогда, когда d  = 1, в этом случае единственным подполем K является само Q. Если d  ≠ 1, то замыкание Галуа N поля K содержит единственное квадратичное поле k, дискриминант которого равен d (в случае d = 1  подполе Q иногда рассматривается как «вырожденное» квадратичное поле дискриминанта 1). Проводником N над k является f , а f ² — относительный дискриминант N над K . Дискриминант N равен d ³ f ⁴ . ^[6] [ 7 ^]

Поле K является чистым кубическим полем тогда и только тогда, когда d  = −3. Это случай, когда квадратичное поле, содержащееся в замыкании Галуа поля K, является циклотомическим полем кубических корней из единицы . ^[7]

Дискриминант

Синие кресты — это число полностью вещественных кубических полей ограниченного дискриминанта. Черная линия — асимптотическое распределение до первого порядка, тогда как зеленая линия включает член второго порядка. ^[8]

Синие кресты — это число комплексных кубических полей ограниченного дискриминанта. Черная линия — асимптотическое распределение до первого порядка, тогда как зеленая линия включает член второго порядка. ^[8]

Поскольку знак дискриминанта числового поля K равен (−1) ^{r ₂} , где r ₂ — число сопряженных пар комплексных вложений K в C , дискриминант кубического поля будет положительным именно тогда, когда поле полностью действительно, и отрицательным, если оно является комплексным кубическим полем.

Для некоторого действительного числа N  > 0 существует лишь конечное число кубических полей K, дискриминант D _K которых удовлетворяет условию | D _K | ≤  N . ^[9] Известны формулы, вычисляющие разложение D _K на простые числа , и поэтому его можно явно вычислить. ^[10]

В отличие от квадратичных полей, несколько неизоморфных кубических полей K ₁ , ..., K _m могут совместно использовать один и тот же дискриминант D . Число m этих полей называется кратностью ^[11] дискриминанта D . Вот несколько небольших примеров: m  = 2 для D   = −1836, 3969, m  = 3 для D   = −1228, 22356, m   = 4 для D  = −3299, 32009 и m  = 6 для D  = −70956, 3054132.

Любое кубическое поле K будет иметь вид K  =  Q (θ) для некоторого числа θ, которое является корнем неприводимого многочлена

${\displaystyle f(X)=X^{3}-aX+b}$

где a и b — целые числа. Дискриминант f равен Δ = 4 a ³  − 27 b ² . Обозначая дискриминант K через D , индекс i (θ) θ тогда определяется как Δ =  i (θ) ² D .

В случае нециклического кубического поля K эта формула индекса может быть объединена с формулой проводника D = f ² d для получения разложения полиномиального дискриминанта Δ = i (θ) ² f ² d в квадрат произведения i (θ) f и дискриминанта d квадратичного поля k , связанного с кубическим полем K , где d является свободным от квадратов с точностью до возможного множителя 2 ² или 2 ³ . Георгий Вороной дал метод разделения i (θ) и f в квадратной части Δ. ^[12]

Изучение числа кубических полей, дискриминант которых меньше заданной границы, является текущей областью исследований. Пусть N ⁺ ( X ) (соответственно N ⁻ ( X )) обозначает число полностью вещественных (соответственно комплексных) кубических полей, дискриминант которых ограничен X по абсолютной величине. В начале 1970-х годов Гарольд Дэвенпорт и Ганс Хейльбронн определили первый член асимптотического поведения N ^± ( X ) (т. е. когда X стремится к бесконечности). ^{[13] [14]} С помощью анализа остатка дзета - функции Шинтани , в сочетании с изучением таблиц кубических полей, составленных Каримом Белабасом (Belabas 1997), и некоторыми эвристиками , Дэвид П. Робертс предположил более точную асимптотическую формулу: ^[15]

${\displaystyle N^{\pm }(X)\sim {\frac {A_{\pm }}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3}})B_{\pm }}{5\Gamma ({\frac {2}{3}})^{3}\zeta ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}}$

где A _±  = 1 или 3, B _±  = 1 или , в зависимости от полностью вещественного или комплексного случая, ζ( s ) — дзета-функция Римана , а Γ( s ) — гамма-функция . Доказательства этой формулы были опубликованы Бхаргавой, Шанкаром и Цимерманом (2013) с использованием методов, основанных на более ранней работе Бхаргавы, а также Танигучи и Торном (2013) на основе дзета-функции Шинтани. ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Группа единиц

Согласно теореме Дирихле о единицах , свободный от кручения единичный ранг r алгебраического числового поля K с r ₁ действительными вложениями и r ₂ парами сопряженных комплексных вложений определяется формулой r = r ₁ + r ₂ − 1. Следовательно, вполне действительное кубическое поле K с r ₁ = 3, r ₂ = 0 имеет две независимые единицы ε ₁ , ε ₂ , а комплексное кубическое поле K с r ₁ = r ₂ = 1 имеет одну фундаментальную единицу ε ₁ . Эти фундаментальные системы единиц могут быть вычислены с помощью обобщенных алгоритмов непрерывных дробей Вороного ^[16], которые были геометрически интерпретированы Делоне и Фаддеевым ^[17] .

Примечания

1. Харви Кон вычислил асимптотику для числа циклических кубических полей (Cohn 1954), в то время как Гарольд Дэвенпорт и Ганс Хейлбронн вычислили асимптотику для всех кубических полей (Davenport & Heilbronn 1971).
2. Cohen 1993, §B.3 содержит таблицу комплексных кубических полей
3. Коэн 1993, §B.3
4. Cohen 1993, §B.4 содержит таблицу полностью вещественных кубических полей и указывает, какие из них являются циклическими
5. Коэн 1993, §B.4
6. Хассе 1930
7. Cohen 1993, §6.4.5
8. Точные подсчеты были вычислены Мишелем Оливье и доступны в [1]. Асимптотика первого порядка принадлежит Гарольду Дэвенпорту и Гансу Хейлбронну (Davenport & Heilbronn 1971). Член второго порядка был предположен Дэвидом П. Робертсом (Roberts 2001), а доказательство было опубликовано Манджулом Бхаргавой , Арулом Шанкаром и Якобом Цимерманом (Bhargava, Shankar & Tsimerman 2013).
9. Х. Минковский , Diophantische Approximationen , глава 4, §5.
10. Льоренте, П.; Нарт, Э. (1983). «Эффективное определение разложения рациональных простых чисел в кубическом поле». Труды Американского математического общества . 87 (4): 579–585. doi : 10.1090/S0002-9939-1983-0687621-6 .
11. Mayer, DC (1992). «Множественности диэдральных дискриминантов». Math. Comp. 58 (198): 831–847 и S55–S58. Bibcode :1992MaCom..58..831M. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122071-3 .
12. Г. Ф. Вороной, О целых алгебраических числах, выводимых из корня уравнения третьей степени , Магистерская диссертация, СПб., 1894.
13. Дэвенпорт и Хейлбронн 1971
14. Их работа также может быть интерпретирована как вычисление среднего размера 3-торсионной части группы классов квадратичного поля , и, таким образом, представляет собой один из немногих доказанных случаев гипотез Коэна–Ленстры: см., например, Бхаргава, Манджул ; Варма, Ила (2014), Среднее число 3-торсионных элементов в группах классов и идеальных группах квадратичных порядков , arXiv : 1401.5875 , Bibcode : 2014arXiv1401.5875B, Эта теорема [Давенпорта и Хейлбронна] дает единственные два доказанных случая эвристики Коэна–Ленстры для групп классов квадратичных полей.
15. Робертс 2001, Гипотеза 3.1
16. Вороной, ГФ (1896). Об одном обобщении алгоритма цепных дробей . Варшава: Докторская диссертация.
17. Делоне, Б. Н.; Фаддеев, Д. К. (1964). Теория иррациональностей третьей степени . Переводы математических монографий. Т. 10. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

Ссылки

• Шабан Аладжа, Кеннет С. Уильямс, Введение в алгебраическую теорию чисел , Cambridge University Press , 2004.
• Белабас, Карим (1997), «Быстрый алгоритм вычисления кубических полей», Математика вычислений , 66 (219): 1213–1237, doi : 10.1090/s0025-5718-97-00846-6 , MR  1415795
• Бхаргава, Манджул ; Шанкар, Арул; Цимерман, Якоб (2013), «О теореме Дэвенпорта–Хейльбронна и членах второго порядка», Inventiones Mathematicae , 193 (2): 439–499, arXiv : 1005.0672 , Bibcode : 2013InMat.193..439B, doi : 10.1007/s00222-012-0433-0, MR  3090184, S2CID  253738365
• Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, т. 138, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, МР  1228206
• Кон, Харви (1954), «Плотность абелевых кубических полей», Труды Американского математического общества , 5 (3): 476–477, doi : 10.2307/2031963 , JSTOR  2031963, MR  0064076
• Дэвенпорт, Гарольд ; Хейлбронн, Ганс (1971), «О плотности дискриминантов кубических полей. II», Труды Королевского общества A , 322 (1551): 405–420, Bibcode : 1971RSPSA.322..405D, doi : 10.1098/rspa.1971.0075, MR  0491593, S2CID  122814162
• Хассе , Гельмут ( 1930 )​​​ ​
• Робертс, Дэвид П. (2001), «Плотность дискриминантов кубического поля», Математика вычислений , 70 (236): 1699–1705, arXiv : math/9904190 , doi :10.1090/s0025-5718-00-01291-6, MR  1836927, S2CID  7524750
• Танигучи, Такаши; Торн, Фрэнк (2013), «Вторичные члены в подсчете функций для кубических полей», Duke Mathematical Journal , 162 (13): 2451–2508, arXiv : 1102.2914 , doi : 10.1215/00127094-2371752, MR  3127806, S2CID  16463250

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Cubic field на Wikimedia Commons