Теорема Дирихле о единице

Дает ранг группы единиц в кольце целых алгебраических чисел числового поля.

В математике теорема Дирихле о единицах является основным результатом в алгебраической теории чисел, полученным Петером Густавом Леженом Дирихле . ^[1] Она определяет ранг группы единиц в кольце O _K алгебраических целых чисел числового поля K. Регулятор — это положительное действительное число, которое определяет, насколько «плотны» единицы.

Утверждение состоит в том, что группа единиц конечно порождена и имеет ранг (максимальное число мультипликативно независимых элементов), равный

г = г ₁ + г ₂ − 1

где r ₁ — число действительных вложений , а r ₂ — число сопряженных пар комплексных вложений K. Эта характеристика r ₁ и r ₂ основана на идее, что будет столько же способов вложить K в поле комплексных чисел , сколько и степень ; они будут либо в действительные числа , либо в пары вложений, связанных комплексным сопряжением , так что ${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q} ]}$

п = г ₁ + 2 г ₂ .

Обратите внимание, что если K — это Галуа, то либо r ₁ = 0 , либо r ₂ = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Другие способы определения r ₁ и r ₂ :

• используйте теорему о примитивных элементах , чтобы записать , а затем r ₁ — число действительных сопряженных чисел α , 2 r ₂ — число комплексных; другими словами, если f — минимальный многочлен α над , то r ₁ — число действительных корней, а 2r ₂ — число недействительных комплексных корней f (которые входят в комплексно-сопряженные пары); ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• запишем тензорное произведение полей как произведение полей, причем имеется r ₁ копий и r ₂ копий . ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Например, если K — квадратичное поле , то ранг равен 1, если это действительное квадратичное поле, и 0, если это мнимое квадратичное поле. Теория для действительных квадратичных полей по сути является теорией уравнения Пелля .

Ранг положителен для всех числовых полей, кроме и мнимых квадратичных полей, которые имеют ранг 0. «Размер» единиц измеряется в общем случае определителем , называемым регулятором. В принципе, базис для единиц может быть эффективно вычислен; на практике вычисления довольно сложны, когда n велико. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Кручение в группе единиц — это множество всех корней из единицы K , которые образуют конечную циклическую группу . Для числового поля с хотя бы одним действительным вложением кручение должно быть, следовательно, только {1,−1} . Существуют числовые поля, например, большинство мнимых квадратичных полей , не имеющие действительных вложений, которые также имеют {1,−1} для кручения своей единичной группы.

Полностью вещественные поля являются специальными по отношению к единицам. Если L / K — конечное расширение числовых полей со степенью больше 1, а группы единиц для целых чисел L и K имеют одинаковый ранг, то K — полностью вещественное, а L — полностью комплексное квадратичное расширение. Обратное тоже верно. (Примером является K, равное рациональным числам, и L , равное мнимому квадратичному полю; оба имеют единичный ранг 0.)

Теорема применима не только к максимальному порядку O _K , но и к любому порядку O ⊂ O _K. ^[2]

Существует обобщение теоремы о единице Хельмута Хассе (а позже Клода Шевалле ) для описания структуры группы S -единиц , определяющей ранг группы единиц в локализациях колец целых чисел. Также была определена структура модуля Галуа . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$

Регулятор

Предположим, что K — числовое поле и — набор генераторов для единичной группы K по модулю корней из единицы. Будет r + 1 архимедовых мест K , действительных или комплексных. Для запишите для различных вложений в или и установите N _j в 1 или 2, если соответствующее вложение действительно или комплексно соответственно. Тогда матрица r × ( r + 1) обладает тем свойством, что сумма любой строки равна нулю (потому что все единицы имеют норму 1, а логарифм нормы — это сумма записей в строке). Это означает, что абсолютное значение R определителя подматрицы, образованной удалением одного столбца, не зависит от столбца. Число R называется регулятором поля алгебраических чисел (оно не зависит от выбора генераторов u _i ). Оно измеряет «плотность» единиц: если регулятор мал, это означает, что единиц «много». ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$ ${\displaystyle u\in K}$ ${\displaystyle u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}}$$

Регулятор имеет следующую геометрическую интерпретацию. Отображение, переводящее единицу u в вектор с элементами, имеет образ в r -мерном подпространстве, состоящем из всех векторов, элементы которых имеют сумму 0, и по теореме Дирихле о единице образ является решеткой в ​​этом подпространстве. Объем фундаментальной области этой решетки равен . ${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r+1}}$ ${\displaystyle R{\sqrt {r+1}}}$

Регулятор поля алгебраических чисел степени выше 2 обычно довольно громоздкий для вычисления, хотя сейчас существуют пакеты компьютерной алгебры, которые могут сделать это во многих случаях. Обычно гораздо проще вычислить произведение hR числа класса h и регулятора, используя формулу числа класса , и основная трудность при вычислении числа класса поля алгебраических чисел обычно заключается в вычислении регулятора.

Примеры

Фундаментальная область в логарифмическом пространстве группы единиц циклического кубического поля K , полученная присоединением к корню f ( x ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 . Если α обозначает корень f ( x ) , то набор фундаментальных единиц равен { ε ₁ , ε ₂ } , где ε ₁ = α ² + α − 1 и ε ₂ = 2 − α ² . Площадь фундаментальной области приблизительно равна 0,910114, поэтому регулятор K приблизительно равен 0,525455. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Регулятор мнимого квадратичного поля или рациональных целых чисел равен 1 (так как определитель матрицы 0 × 0 равен 1).
• Регулятором действительного квадратичного поля является логарифм его фундаментальной единицы : например, логарифм равен . Это можно увидеть следующим образом. Фундаментальная единица равна , а ее образы при двух вложениях в равны и . Таким образом, матрица r × ( r + 1) равна ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ ${\textstyle (-{\sqrt {5}}+1)/2}$ $${\displaystyle \left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].}$$
• Регулятор циклического кубического поля , где α — корень из x ³ + x ² − 2 x − 1 , приблизительно равен 0,5255. Базис группы единиц по модулю корней из единицы — это { ε ₁ , ε ₂ } , где ε ₁ = α ² + α − 1 и ε ₂ = 2 − α ² . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Высшие регуляторы

«Высший» регулятор относится к конструкции для функции на алгебраической K -группе с индексом n > 1 , которая играет ту же роль, что и классический регулятор для группы единиц, которая является группой K ₁ . Теория таких регуляторов разрабатывалась в работах Арманда Бореля и других. Такие высшие регуляторы играют роль, например, в гипотезах Бейлинсона и, как ожидается, будут встречаться при оценках определенных L -функций при целых значениях аргумента. ^[5] См. также регулятор Бейлинсона .

Регулятор Старка

Формулировка гипотез Старка привела Гарольда Старка к определению того, что сейчас называется регулятором Старка , аналогичным классическому регулятору как определителю логарифмов единиц, присоединенному к любому представлению Артина . ^{[6] [7]}

п-адический регулятор

Пусть K — числовое поле , и для каждого простого числа P из K, превышающего некоторое фиксированное рациональное простое число p , пусть U _P обозначает локальные единицы в P , а U _{1, P} обозначает подгруппу главных единиц в U _P. Задайте $${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}$$

Тогда пусть E ₁ обозначает множество глобальных единиц ε , которые отображаются в U ₁ посредством диагонального вложения глобальных единиц в E .

Так как E ₁ является конечноиндексной подгруппой глобальных единиц, то она является абелевой группой ранга r ₁ + r ₂ − 1 . P -адический регулятор является определителем матрицы, образованной p -адическими логарифмами генераторов этой группы. Гипотеза Леопольдта утверждает, что этот определитель не равен нулю. ^{[8] [9]}

Смотрите также

• Эллиптический блок
• Циклотомическая единица
• Теорема Шинтани о единицах

Примечания

1. Элстродт 2007, §8.D
2. Стивенхаген, П. (2012). Числовые кольца (PDF) . стр. 57.
3. Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000, предложение VIII.8.6.11.
4. Коэн 1993, Таблица B.4.
5. Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраическая K -теория и дзета-функции эллиптических кривых . Серия монографий CRM. Том 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2114-8. Збл  0958.19001.
6. Прасад, Дипендра; Йогонанда, Ч.С. (2007-02-23). ​​Отчет о гипотезе голоморфности Артина (PDF) (Отчет).
7. Дасгупта, Самит (1999). Предположения Старка (PDF) (Тезис). Архивировано из оригинала (PDF) 2008-05-10.
8. Нойкирх и др. (2008) с. 626–627
9. Ивасава, Кенкичи (1972). Лекции по p -адическим L -функциям . Annals of Mathematics Studies. Т. 74. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press и University of Tokyo Press. С. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Збл  0236.12001.

Ссылки

• Коэн, Анри (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел . Выпускные тексты по математике . Том 138. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-55640-4. MR  1228206. Zbl  0786.11071.
• Elstrodt, Jürgen (2007). "Жизнь и творчество Гюстава Лежена Дирихле (1805–1859)" (PDF) . Clay Mathematics Proceedings . Архивировано из оригинала (PDF) 2021-05-22 . Получено 2010-06-13 .
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 110 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94225-4. Збл  0811.11001.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001