Циклотомический полином

Неприводимый многочлен, корни которого являются корнями n-й степени из единицы

В математике n -й циклотомический многочлен для любого положительного целого числа n — это единственный неприводимый многочлен с целыми коэффициентами , который является делителем и не является делителем для любого k < n . Его корни — все n- е примитивные корни из единицы , где k пробегает положительные целые числа, меньшие n , и взаимно просты с n (а i — мнимая единица ). Другими словами, n-й циклотомический многочлен равен ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle x^{k}-1}$ ${\displaystyle e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right).}$

Его также можно определить как монический многочлен с целыми коэффициентами, который является минимальным многочленом над полем рациональных чисел любого примитивного корня степени n из единицы ( является примером такого корня). ${\displaystyle e^{2i\pi /n}}$

Важное соотношение, связывающее циклотомические многочлены и первообразные корни из единицы, заключается в следующем:

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,}$

показывая, что является корнем тогда и только тогда, когда он является d- м примитивным корнем из единицы для некоторого d , который делит n . ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$ 

Примеры

Если n — простое число , то

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}.}$

Если n = 2 p, где p — простое число, отличное от 2, то

${\displaystyle \Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.}$

Для n до 30 циклотомические многочлены имеют вид: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\\Phi _{3}(x)&=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi _{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi _{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{16}(x)&=x^{8}+1\\\Phi _{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi _{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\\Phi _{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\\Phi _{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}}$

Случай 105-го циклотомического многочлена интересен, поскольку 105 — это наименьшее положительное целое число, которое является произведением трех различных нечетных простых чисел (3*5*7), и этот многочлен — первый, имеющий коэффициент, отличный от 1, 0 или −1: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)={}&x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\&{}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&{}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

Характеристики

Фундаментальные инструменты

Циклотомические многочлены — это монические многочлены с целыми коэффициентами, неприводимые над полем рациональных чисел. За исключением n, равного 1 или 2, они являются палиндромами четной степени.

Степень , или, другими словами, число n- х первообразных корней из единицы, равна , где — функция Эйлера . ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Тот факт, что является неприводимым многочленом степени в кольце , является нетривиальным результатом Гаусса . [ ^4] В зависимости от выбранного определения, нетривиальным результатом является либо значение степени, либо неприводимость. Случай простого n доказать легче, чем общий случай, благодаря критерию Эйзенштейна . ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Фундаментальное соотношение, включающее циклотомические полиномы, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod _{1\leqslant k\leqslant n}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x).\end{aligned}}}$

что означает, что каждый корень n-й степени из единицы является примитивным корнем d- й степени из единицы для уникального d, делящего n .

Формула обращения Мёбиуса позволяет выразить в виде явной рациональной дроби: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

где — функция Мёбиуса . ${\displaystyle \mu }$

Циклотомический многочлен может быть вычислен путем (точного) деления на циклотомические многочлены собственных делителей n, ранее вычисленные рекурсивно тем же методом: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}}$

(Напомним, что .) ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$

Эта формула определяет алгоритм вычисления для любого n , при условии, что доступны целочисленная факторизация и деление многочленов . Многие системы компьютерной алгебры , такие как SageMath , Maple , Mathematica и PARI/GP , имеют встроенную функцию для вычисления циклотомических многочленов. ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

Простые случаи для вычислений

Как отмечено выше, если n — простое число, то

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}\;.}$

Если n — нечетное целое число, большее единицы, то

${\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x)\;.}$

В частности, если n = 2 p — дважды нечетное простое число, то (как отмечено выше)

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}\;.}$

Если n = p ^m — степень простого числа (где p — простое число), то

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{kp^{m-1}}\;.}$

В более общем случае, если n = p ^m r, где r взаимно просто с p , то

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}})\;.}$

Эти формулы можно применять многократно, чтобы получить простое выражение для любого циклотомического многочлена через циклотомический многочлен с индексом, свободным от квадратов : Если q является произведением простых делителей n (его радикалом ), то ^[5] ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q})\;.}$

Это позволяет вывести формулы для n- го циклотомического многочлена, когда n имеет не более одного нечетного простого множителя: Если p — нечетное простое число, а h и k — положительные целые числа, то

${\displaystyle \Phi _{2^{h}}(x)=x^{2^{h-1}}+1\;,}$

${\displaystyle \Phi _{p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{k-1}}\;,}$

${\displaystyle \Phi _{2^{h}p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{h-1}p^{k-1}}\;.}$

Для других значений n вычисление n-го циклотомического многочлена аналогично сводится к вычислению, где q — произведение различных нечетных простых делителей n . Чтобы иметь дело с этим случаем, для p — простого числа, не делящего n , ^[6] ${\displaystyle \Phi _{q}(x),}$

${\displaystyle \Phi _{np}(x)=\Phi _{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x)\;.}$

Целые числа, появляющиеся как коэффициенты

Проблема ограничения величины коэффициентов циклотомических полиномов была предметом ряда исследовательских работ. Несколько обзорных работ дают обзор. ^[7]

Если n имеет не более двух различных нечетных простых множителей, то Миготти показал, что все коэффициенты находятся в наборе {1, −1, 0}. ^[8] ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Первый циклотомический многочлен для произведения трех различных нечетных простых множителей имеет коэффициент −2 (см. его выражение выше). Обратное неверно: имеет коэффициенты только в {1, −1, 0}. ${\displaystyle \Phi _{105}(x);}$ ${\displaystyle \Phi _{231}(x)=\Phi _{3\times 7\times 11}(x)}$

Если n является произведением большего количества различных нечетных простых множителей, коэффициенты могут увеличиваться до очень больших значений. Например, имеет коэффициенты от −22 до 23, наименьшее n с 6 различными нечетными простыми числами имеет коэффициенты величиной до 532. ${\displaystyle \Phi _{15015}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13}(x)}$ ${\displaystyle \Phi _{255255}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)}$

Пусть A ( n ) обозначает максимальное абсолютное значение коэффициентов Φ _n . Известно, что для любого положительного k число n вплоть до x с A ( n ) > n ^k не меньше c ( k ) ⋅ x для положительного c ( k ), зависящего от k и достаточно большого x . В противоположном направлении, для любой функции ψ( n ), стремящейся к бесконечности с n , мы имеем A ( n ) ограниченное сверху n ^{ψ( n )} для почти всех n . ^[9]

Комбинация теорем Бейтмана и Вогана утверждает ^{[7] : 10} что, с одной стороны, для каждого , мы имеем ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle A(n)<e^{\left(n^{(\log 2+\varepsilon )/(\log \log n)}\right)}}$

для всех достаточно больших положительных целых чисел , а с другой стороны, мы имеем ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A(n)>e^{\left(n^{(\log 2)/(\log \log n)}\right)}}$

для бесконечного числа положительных целых чисел . Это подразумевает, в частности, что одномерные многочлены (конкретно для бесконечного числа положительных целых чисел ) могут иметь множители (например ), коэффициенты которых суперполиномиально больше исходных коэффициентов. Это не слишком далеко от общей границы Ландау-Миньотта . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Формула Гаусса

Пусть n нечетное, бесквадратное и больше 3. Тогда: ^{[10] [11]}

${\displaystyle 4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)}$

где и A _n ( z ), и B _n ( z ) имеют целые коэффициенты, A _n ( z ) имеет степень φ ( n )/2, а B _n ( z ) имеет степень φ ( n )/2 − 2. Кроме того, A _n ( z ) является палиндромным, когда его степень четная; если его степень нечетная, он является антипалиндромным. Аналогично, B _n ( z ) является палиндромным, если n не является составным и ≡ 3 (mod 4), в этом случае он является антипалиндромным.

Первые несколько случаев

${\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned}}}$

Формула Лукаса

Пусть n нечетно, свободно от квадратов и больше 3. Тогда ^[11]

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2}(z)}$

где и U _n ( z ), и V _n ( z ) имеют целые коэффициенты, U _n ( z ) имеет степень φ ( n )/2, а V _n ( z ) имеет степень φ ( n )/2 − 1. Это также можно записать

${\displaystyle \Phi _{n}\left((-1)^{\frac {n-1}{2}}z\right)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z).}$

Если n четное, бесквадратное и больше 2 (это делает n /2 нечетным),

${\displaystyle \Phi _{\frac {n}{2}}\left(-z^{2}\right)=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z)}$

где как C _n ( z ), так и D _n ( z ) имеют целые коэффициенты, C _n ( z ) имеет степень φ ( n ), а D _n ( z ) имеет степень φ ( n ) − 1. C _n ( z ) и D _n ( z ) оба являются палиндромами.

Вот первые несколько случаев:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\\&=(z+1)^{2}-3z\\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12}(z)=z^{4}-z^{2}+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end{aligned}}}$

Гипотеза сестры Бейтер

Гипотеза сестры Бейтер касается максимального размера (по абсолютной величине) коэффициентов тернарных циклотомических многочленов , где — три простых числа. ^[12] ${\displaystyle A(pqr)}$ ${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$ ${\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r}$

Циклотомические многочлены над конечным полем и надп-адические целые числа

Над конечным полем с простым числом элементов p для любого целого числа n , не кратного p , циклотомический многочлен разлагается на неприводимые многочлены степени d , где — функция Эйлера , а d — мультипликативный порядок p по модулю n . В частности, является неприводимым тогда и только тогда, когда p — примитивный корень по модулю n , то есть p не делит n , а его мультипликативный порядок по модулю n равен , степени . ^[13] ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{d}}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Эти результаты верны также и для целых p -адических чисел , поскольку лемма Гензеля позволяет поднять факторизацию над полем с p элементами до факторизации над целыми p -адическими числами.

Полиномиальные значения

Если x принимает любое действительное значение, то для любого n ≥ 3 (это следует из того факта, что корни циклотомического многочлена все недействительны при n ≥ 3 ). ${\displaystyle \Phi _{n}(x)>0}$

Для изучения значений, которые может принимать циклотомический многочлен, когда x имеет целое значение, достаточно рассмотреть только случай n ≥ 3 , поскольку случаи n = 1 и n = 2 тривиальны (имеется и ). ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$ ${\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}$

Для n ≥ 2 имеем

${\displaystyle \Phi _{n}(0)=1,}$

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=1}$если n не является степенью простого числа ,

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=p}$если — степень простого числа с k ≥ 1 . ${\displaystyle n=p^{k}}$

Значения, которые может принимать циклотомический многочлен для других целых значений x, тесно связаны с мультипликативным порядком по модулю простого числа. ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

Точнее, если задано простое число p и целое число b , взаимно простое с p , то мультипликативный порядок числа b по модулю p — это наименьшее положительное целое число n, такое что p является делителем Для b > 1 мультипликативный порядок числа b по модулю p также является наименьшим периодом представления числа 1/ p в системе счисления с основанием b (см. Уникальное простое число ; это объясняет выбор обозначения). ${\displaystyle b^{n}-1.}$

Из определения мультипликативного порядка следует, что если n — мультипликативный порядок b по модулю p , то p — делитель Обратное неверно, но имеет место следующее. ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

Если n > 0 — положительное целое число, а b > 1 — целое число, то (доказательство см. ниже)

${\displaystyle \Phi _{n}(b)=2^{k}gh,}$

где

• k — неотрицательное целое число, всегда равное 0, когда b четное. (На самом деле, если n не равно ни 1, ни 2, то k равно либо 0, либо 1. Кроме того, если n не является степенью 2 , то k всегда равно 0)
• g равен 1 или наибольшему нечетному простому множителю числа n .
• h нечетно, взаимно просто с n , и его простые множители — это в точности нечетные простые числа p, такие что n — это мультипликативный порядок b по модулю p .

Это означает, что если p — нечетный простой делитель, то либо n — делитель p − 1 , либо p — делитель n . В последнем случае не делит ${\displaystyle \Phi _{n}(b),}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

Теорема Зигмонди подразумевает, что единственными случаями, когда b > 1 и h = 1, являются

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k>0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}}$

Из вышеприведенной факторизации следует, что нечетные простые множители

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(n,\Phi _{n}(b))}}}$

являются в точности нечетными простыми числами p такими, что n является мультипликативным порядком b по модулю p . Эта дробь может быть четной только тогда, когда b нечетно. В этом случае мультипликативный порядок b по модулю 2 всегда равен 1 .

Существует много пар ( n , b ) с b > 1 , таких что является простым числом. Фактически, гипотеза Буняковского подразумевает, что для каждого n существует бесконечно много b > 1, таких что является простым числом. См. OEIS : A085398 для списка наименьших b > 1, таких что является простым числом (наименьшее b > 1, такое что является простым числом, составляет около , где — постоянная Эйлера–Маскерони , а — функция Эйлера ). См. также OEIS : A206864 для списка наименьших простых чисел вида с n > 2 и b > 1 , и, в более общем смысле, OEIS : A206942 для наименьших положительных целых чисел этого вида. ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \lambda \cdot \varphi (n)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$

Приложения

Используя , можно дать элементарное доказательство бесконечности простых чисел, сравнимых с 1 по модулю n , ^[14] что является частным случаем теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Смотрите также

• Циклотомическое поле
• Орифейлевская факторизация
• Корень единства

Ссылки

1. Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, стр. 465 §18, ISBN 978-0-387-72828-5
2. Слоан, Н. Дж. А. (ред.), «Последовательность A013595», Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
3. Брукфилд, Гэри (2016), «Коэффициенты циклотомических полиномов», Mathematics Magazine , 89 (3): 179–188, doi :10.4169/math.mag.89.3.179, JSTOR  10.4169/math.mag.89.3.179, MR  3519075
4. Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556
5. Кокс, Дэвид А. (2012), «Упражнение 12», Теория Галуа (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 237, doi :10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
6. Вайсштейн, Эрик В. , «Циклотомический многочлен», MathWorld
7. Санна, Карло (2021), «Обзор коэффициентов циклотомических многочленов», arXiv : 2111.04034 [math.NT]
8. Айзекс, Мартин (2009), Алгебра: курс для выпускников , AMS Bookstore, стр. 310, ISBN 978-0-8218-4799-2
9. Майер, Хельмут (2008), "Анатомия целых чисел и циклотомических многочленов", в De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew ; Luca, Florian (ред.), Анатомия целых чисел. Основано на семинаре CRM, Монреаль, Канада, 13-17 марта 2006 г. , CRM Proceedings and Lecture Notes, т. 46, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 89–95, ISBN 978-0-8218-4406-9, Збл  1186.11010
10. Гаусс, Д.А., Статьи 356-357
11. Riesel, Hans (1994), Простые числа и компьютерные методы факторизации (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, стр. 309–316, 436, 443, ISBN 0-8176-3743-5
12. Бейтер, Мэрион (апрель 1968 г.), «Величина коэффициентов циклотомического многочлена », The American Mathematical Monthly , 75 (4): 370–372, doi :10.2307/2313416, JSTOR  2313416 ${\displaystyle F_{pqr}(x)}$
13. Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (2008), Конечные поля (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 65.
14. S. Shirali. Теория чисел . Orient Blackswan, 2004. стр. 67. ISBN 81-7371-454-1 

Дальнейшее чтение

Книга Гаусса Disquisitiones Arithmeticae [ Арифметические исследования ] была переведена с латыни на французский, немецкий и английский языки. Немецкое издание включает все его работы по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.

• Гаусс, Карл Фридрих (1801), Disquisitiones Arithmeticae (на латыни), Лейпциг: Gerh. Флейшер
• Гаусс, Карл Фридрих (1807) [1801], Recherches Arithmétiques (на французском языке), перевод Пуле-Делиля, A.-C.-M., Париж: Courcier
• Гаусс, Карл Фридрих (1889) [1801], Untersuchungen über höhere Arithmetik Карла Фридриха Гаусса (на немецком языке), перевод Мазера, Х., Берлин: Springer; Переиздано в 1965 г., Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8 
• Гаусс, Карл Фридрих (1966) [1801], Disquisitiones Arithmeticae , перевод Кларка, Артура А., Нью-Хейвен: Йель, doi : 10.12987/9780300194258, ISBN 978-0-300-09473-2; Исправленное издание 1986, Нью-Йорк: Springer, doi :10.1007/978-1-4939-7560-0, ISBN 978-0-387-96254-2 
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer, doi : 10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 978-3-642-08628-1

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Циклотомический многочлен», MathWorld
• «Циклотомические многочлены», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Последовательность OEIS A013595 (Треугольник коэффициентов циклотомического полинома Phi_n(x) (экспоненты в порядке возрастания))
• Последовательность OEIS A013594 (Наименьший порядок циклотомического полинома, содержащего n или −n в качестве коэффициента)