Степень двойки

Степень двойки — это число вида $2 n ,$ где $n$ — целое число , то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основания и целым числом $n$ в качестве показателя степени .

Степени двойки с неотрицательными показателями являются целыми числами: $20 = 1$ , $21 = 2$ , а $2 n$ равно двум, умноженному на себя $n$ раз. ^[1]^[2] Первые десять степеней двойки для неотрицательных значений $n$ равны:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (последовательность A000079 в OEIS )

Для сравнения, степени двойки с отрицательными показателями являются дробями : для отрицательного целого числа $n$ , $2 n$ равно половине, умноженной на себя $n$ раз. Таким образом, первые несколько степеней двойки, где $n$ отрицательно , ⁠1/2⁠ , ⁠1/4⁠ , ⁠1/8⁠ , ⁠1/16⁠ и т. д. Иногда их называют обратными степенями двойки , поскольку каждая из них является мультипликативной обратной величиной положительной степени двойки.

Основа двоичной системы счисления

Поскольку два является основанием двоичной системы счисления , степени двойки распространены в информатике . Записанная в двоичном виде, степень двойки всегда имеет вид 100...000 или 0,00...001, как и степень 10 в десятичной системе.

Информатика

Два в степени $n$ , записанное как $2 n$ , — это количество способов, которыми могут быть расположены биты в двоичном слове длины $n$ . Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( $000...000 2$ ) до $2 n - 1$ ( $111...111 2$ ) включительно. Соответствующие целые числа со знаком могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. представление знаковых чисел . В любом случае, единица меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа этой формы часто появляются в компьютерном программном обеспечении. Например, видеоигра, работающая на 8-битной системе, может ограничивать счет или количество предметов, которые может держать игрок, до 255 — результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение $28 - 1 = 255$ . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой мог носить с собой только 255 рупий (игровая валюта) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man на 256-м уровне есть экран убийства .

Степени двойки часто используются для измерения компьютерной памяти. Байт теперь считается восемью битами (октетом ) , что приводит к возможности 256 значений (2 ⁸ ). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях и сейчас означает) набор битов , как правило, от 5 до 32 бит, а не только 8-битную единицу.) Префикс кило в сочетании с байтом может использоваться и традиционно использовался для обозначения 1024 (2 ¹⁰ ). Однако, в целом, термин кило использовался в Международной системе единиц для обозначения 1000 (10 ³ ). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби (Ки), что означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, которые являются степенями двойки, 32 или 64 являются очень распространенными.

Степени двойки встречаются и в других местах. Для многих дисководов , по крайней мере, один из размера сектора, количества секторов на дорожку и количества дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда является степенью двойки.

Числа, которые не являются степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, в разрешениях видео, но они часто являются суммой или произведением только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус один. Например, $640 = 32 \times 20$ и $480 = 32 \times 15.$ Другими словами, они имеют довольно регулярные битовые шаблоны.

Простые числа Мерсенна и Ферма

Простое число , которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, потому что оно на 1 меньше 32 (2 ⁵ ). Аналогично, простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма — показатель степени сам по себе является степенью двойки. Дробь , знаменатель которой — степень двойки, называется двоично-рациональной . Числа, которые можно представить в виде сумм последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это в точности те числа, которые не являются степенями двойки.

ЕвклидаЭлементы, Книга IX

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ... ) важна в теории чисел . Книга IX, предложение 36 « Начал» доказывает, что если сумма первых $n$ членов этой прогрессии является простым числом (и, таким образом, является простым числом Мерсенна, как упоминалось выше), то эта сумма, умноженная на $n-$ й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (5-й член ряда), равна 496, что является совершенным числом.

В предложении 35 книги IX доказывается, что если в геометрической прогрессии первый член вычесть из второго и последнего члена последовательности, то как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем предшествующим ему. (Это переформулировка нашей формулы для геометрической прогрессии, приведенной выше.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31), мы видим, что 62 минус 31 относится к 31 так же, как 496 минус 31 относится к сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 в сумме дают 496, и далее это все числа, которые делят 496. Предположим, что $p$ делит 496, и его нет среди этих чисел. Предположим, что $p q$ равно $16 \times 31$ , или 31 относится к $q$ так же, как $p$ относится к 16. Теперь $p$ не может делить 16, иначе оно было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делить $q$ . И поскольку 31 не делит $q,$ а $q$ равно 496, основная теорема арифметики подразумевает, что $q$ должно делить 16 и быть среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть $q$ равно 4, тогда $p$ должно быть равно 124, что невозможно, поскольку по гипотезе $p$ не входит в число чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений

(последовательность A000079 в OEIS )

Последние цифры

Начиная с 2 последняя цифра периодична с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры периодически с периодом 20. Эти шаблоны, как правило, верны для любой степени относительно любого основания . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку $2 k$ , а период является мультипликативным порядком 2 по модулю $5 k$ , что равно $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ необходима цитата ]}

Силы 1024 года

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней 2 ¹⁰ немного больше, чем те же самые степени 1000 (10 ³ ). Значения степеней 2 ¹⁰ , которые имеют отклонение менее 27%, перечислены ниже:

Для достижения 50% отклонения требуется приблизительно 17 степеней 1024, а для достижения 100% отклонения тех же степеней 1000 — приблизительно 29 степеней 1024. ^[3] См. также Двоичные префиксы и IEEE 1541-2002 .

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( $23$ ), двойные экспоненты двух являются обычным явлением. Первые 20 из них:

См. также число Ферма , тетрацию и низшие гипероперации .

Последние цифры для степеней двойки, показатели которых являются степенями двойки

Все эти числа больше 4 заканчиваются цифрой 6. Начиная с 16 последние две цифры периодические с периодом 4, с циклом 16–56–36–96–, а начиная с 16 последние три цифры периодические с периодом 20. Эти закономерности, как правило, справедливы для любой степени относительно любого основания . Закономерность продолжается, когда каждая закономерность имеет начальную точку $2 k$ , а период — это мультипликативный порядок 2 по модулю $5 k$ , который равен $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ необходима цитата ]}

Факты о степенях двойки, показатели которых являются степенями двойки

В связи с числами эти числа часто называют степенями Ферма 2 .

Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности положительных целых чисел ряд $2^{2^{n}}$ $x_{i}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленно растущая из известных последовательностей иррациональности. ^[4]

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки в информатике

Поскольку для типов компьютерных данных характерно иметь размер , являющийся степенью двойки, эти числа подсчитывают количество представимых значений этого типа. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять $232$ различных значений, которые могут рассматриваться как простые битовые комбинации или, что более распространено, интерпретироваться как беззнаковые числа от 0 до $232 - 1$ или как диапазон знаковых чисел от $-2 31$ до $231 - 1.$ Подробнее о представлении знаковых чисел см. в разделе дополнение до двух .

Избранные степени двойки

2 ² = 4: Число, которое является квадратом двойки. Также первая степень двойки тетрация двойки.
2 ⁸ = 256: Число значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемое октетом . (Термин байт часто определяется как набор битов , а не строгое определение 8-битной величины, как показано на примере термина килобайт .)
2 ¹⁰ = 1024: Двоичное приближение кило- или множителя 1000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайт (или кибибайт ).
2 ¹² = 4096: Размер аппаратной страницы процессора, совместимого с Intel x86 .
2 ¹⁵ = 32,768: Количество неотрицательных значений для 16-битного целого числа со знаком .
2 ¹⁶ = 65 536

Количество различных значений, которые можно представить одним словом на 16-битном процессоре, например, на исходных процессорах x86 . ^[5]; Максимальный диапазон переменной типа short integer в языках программирования C# , Java и SQL . Максимальный диапазон переменной типа Word или Smallint в языке программирования Pascal .; Число бинарных отношений на множестве из 4 элементов.
2 ²⁰ = 1 048 576: Двоичное приближение мега- , или множителя 1 000 000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мебибайт ).
2 ²⁴ = 16 777 216: Количество уникальных цветов , которые могут отображаться в режиме TrueColor , используемом обычными компьютерными мониторами .; Это число является результатом использования трехканальной системы RGB , где цвета определяются тремя значениями (красный, зеленый и синий) независимо в диапазоне от 0 ( 00) до 255 ( FF) включительно. Это дает 8 бит для каждого канала или 24 бита в общей сложности; например, чистый черный — #000000, чистый белый — #FFFFFF. Пространство всех возможных цветов, 16 777 216, может быть определено как 16 ⁶ (6 цифр с 16 возможными значениями для каждого), 256 ³ (3 канала с 256 возможными значениями для каждого) или 2 ²⁴ (24 бита с 2 возможными значениями для каждого).; Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
2 ³⁰ = 1 073 741 824: Двоичное приближение множителя гига- или 1 000 000 000, вызывающее смену префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1 гигабайт (или гибибайт ).
2 ³¹ = 2 147 483 648

Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком . Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, оно закончится через 2 147 483 647 секунд или в 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года на 32-битных компьютерах под управлением Unix, проблема, известная как проблема 2038 года .
2 ³² = 4 294 967 296

Количество различных значений, представимых одним словом на 32-разрядном процессоре. ^[6] Или количество значений, представимых двойным словом на 16-разрядном процессоре, таком как оригинальные процессоры x86 . ^[5]; Диапазон intпеременной в языках программирования Java , C# и SQL .; Диапазон значений переменной Cardinalили Integerв языке программирования Pascal .; Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++ .; Общее количество IP-адресов в IPv4 . Хотя это, казалось бы, большое число, количество доступных 32-битных IPv4-адресов исчерпано (но не для IPv6 -адресов).; Число бинарных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2 ⁴⁰ = 1 099 511 627 776: Двоичное приближение тера- или множителя 1 000 000 000 000, вызывающее смену префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт или тебибайт.
2 ⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624: Двоичное приближение множителя пета- , или 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байта = 1 петабайт или пебибайт.
2 ⁵³ = 9 007 199 254 740 992: Число, до которого все целые значения могут быть точно представлены в формате IEEE с двойной точностью и плавающей точкой . Также первая степень числа 2, начинающаяся с цифры 9 в десятичной системе счисления.
2 ⁵⁶ = 72 057 594 037 927 936: Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
2 ⁶⁰ = 1 152 921 504 606 846 976: Двоичное приближение множителя экса- , или 1 000 000 000 000 000 000. 1 152 921 504 606 846 976 байт = 1 эксабайт или эксбибайт.
2 ⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808: Количество неотрицательных значений для 64-битного целого числа со знаком.; 2 ⁶³ − 1, общее максимальное значение (эквивалентно числу положительных значений) для 64-битного целого числа со знаком в языках программирования.
2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616: Количество различных значений, представимых одним словом на 64-битном процессоре. Или количество значений, представимых двойным словом на 32 -битном процессоре. Или количество значений, представимых четверным словом на 16-битном процессоре, таком как оригинальные процессоры x86 . ^[5]; Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C# .; Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Pascal .; Общее количество адресов IPv6, обычно выделяемых одной локальной сети или подсети.; 2 ⁶⁴ − 1, количество зерен риса на шахматной доске, согласно старой истории , где первый квадрат содержит одно зерно риса, а каждый последующий квадрат в два раза больше предыдущего. По этой причине это число иногда называют «шахматным числом».; 2 ⁶⁴ − 1 — это также количество ходов, необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
2 ⁶⁸ = 295 147 905 179 352 825 856: Первая степень числа 2, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2 ⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424: Двоичное приближение множителя зетта- , или 1 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 байта = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
2 ⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176: Двоичное приближение множителя йотта- , или 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 208 925 819 614 629 174 706 176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
2⁸⁶ = 77 371 252 455 336 267 181 195 264: Предполагается ^{, что 286} — это наибольшая степень двойки, не содержащая ноль в десятичной дроби. ^[7]
2⁹⁶ = 79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: Общее количество адресов IPv6 , обычно предоставляемых локальному интернет-регистратору . В нотации CIDR интернет-провайдерам предоставляется / 32 , что означает, что для адресов доступно 128-32=96 бит (в отличие от сетевого обозначения). Таким образом, 2 ⁹⁶ адресов.
2 ¹⁰⁸ = 324, 518, 553, 658, 426, 726, 783, 156, 020, 576, 256: Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая 9 в десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )
2 ¹²⁶ = 85, 070, 591, 730, 234, 615, 865, 843 , 651, 857, 942, 052, 864: Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )
2¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456: Общее количество IP-адресов, доступных в IPv6 . Также количество различных универсальных уникальных идентификаторов (UUID) .
2¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая все десятичные цифры (в данном случае цифра 2 отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2¹⁹² = 6 277 101 735 386 680 763 835 789 423 207 666 416 102 355 444 464 034 512 896: Общее количество различных возможных ключей в 192-битном ключевом пространстве AES (симметричный шифр).
2²²⁹ = 862 718 293 348 820 473 429 344 482 784 628 181 556 388 621 521 298 319 395 315 527 974 912: 2 ²²⁹ — это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно своей степени. Метин Сарияр предположил, что каждая цифра от 0 до 9 склонна появляться равное количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )
2²⁵⁶ = 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936: Общее количество различных возможных ключей в 256-битном ключевом пространстве AES (симметричный шифр).
2 ¹⁰²⁴ ≈ 1,79 × 10³⁰⁸: Максимальное число, которое может поместиться в 64-битном формате IEEE с плавающей запятой двойной точности (отсюда и максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel ).
2 ^16,384 ≈ 1.19 × 10 ^4,932: Максимальное число, которое может поместиться в 128-битном формате IEEE с плавающей точкой четверной точности
2 ^{262 144} ≈ 1,61 × 10 ^{78 913}: Максимальное число, которое может поместиться в 256-битном формате IEEE с плавающей точкой восьмеричной точности
2 82 ^{589 933} ≈ 1,49 × 10 ^{24 862 047}: На единицу больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на июнь 2023 года ^{[обновлять]}. ^[8]

Степени двойки в теории музыки

В музыкальной нотации все немодифицированные значения нот имеют длительность, равную целой ноте, деленной на степень двойки; например, половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точкой или иным образом модифицированные имеют другие длительности. В тактовых размерах нижняя цифра, единица удара , которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда является степенью двойки.

Если отношение частот двух тонов равно степени двойки, то интервал между этими тонами равен полным октавам . В этом случае соответствующие ноты имеют одинаковое название.

Математическое совпадение , из , тесно связывает интервал из 7 полутонов в равномерной темперации с чистой квинтой чистой интонации : , с точностью около 0,1%. Чистая квинта является основой пифагорейской настройки ; разница между двенадцатью чистыми квинтами и семью октавами является пифагорейской коммой . ^[9] $2^{7}\приблизительно ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1,5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\приблизительно 3/2$

Другие свойства

Сумма всех $n$ -выборных биномиальных коэффициентов равна $2 n$ . Рассмотрим множество всех $n$ -значных двоичных целых чисел. Его мощность равна $2 n$ . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножество целых чисел без единиц (состоящих из одного числа, записанного как $n$ нулей), подмножество с одной единицей, подмножество с двумя единицами и так далее до подмножества с $n$ единицами (состоящего из числа, записанного как $n$ единиц). Каждое из них, в свою очередь, равно биномиальному коэффициенту, индексированному $n$ , и количеству рассматриваемых единиц (например, есть 10-выборных-3 двоичных чисел с десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время единственными известными почти совершенными числами являются степени двойки .

Мощность множества a всегда равна $2$ $|$ $a$ $|$ , где | $a$ $|$ $—$ $мощность$ a $.$

Число вершин n -мерного гиперкуба равно $2$ $n$ . Аналогично, число $($ $n$ $- 1)$ -граней $n$ -мерного кросс-политопа также равно $2$ $n$ $,$ а формула для числа $x$ -граней $n$ -мерного кросс-политопа имеет вид $2^{x}{\tбином {n}{x}}.$

Сумма первых степеней двойки (начиная с ) определяется по формуле: $n$ $1=2^{0}$

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

для любого положительного целого числа. $n$

Таким образом, сумма мощностей

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

можно вычислить просто, оценив: (что является «шахматным числом»). $2^{64}-1$

Сумма обратных величин степеней двойки равна 1. Сумма обратных величин квадратов степеней двойки (степеней четверки) равна 1/3.

Наименьшая натуральная степень двойки, десятичная запись которой начинается с 7, равна ^[10]

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

Каждая степень двойки (исключая 1) может быть записана в виде суммы четырех квадратных чисел 24 способами . Степени двойки — это натуральные числа, большие 1, которые могут быть записаны в виде суммы четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

Как действительный многочлен , a ⁿ + b ⁿ является неприводимым , если и только если n является степенью двойки. (Если n нечетно, то a ⁿ + b ⁿ делится на a + b , а если n четно, но не является степенью двойки, то n можно записать как n = mp , где m нечетно, и, таким образом , , что делится на a ^p + b ^p .) Но в области комплексных чисел многочлен (где n >= 1) всегда можно разложить на множители как , даже если n является степенью двойки. $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $а^{2n}+b^{2n}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$

Отрицательные степени двойки

Коды Хаффмана обеспечивают оптимальное сжатие данных без потерь , когда вероятности исходных символов являются отрицательными степенями двойки. ^[11]

Смотрите также

Ссылки

^ Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем основ компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 3. ISBN 0-07-037990-4.
^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике. Оксфорд: Oxford University Press. стр. 78. ISBN 0-19-851494-8.
^ $\log _{1024/1000}1,5\приблизительно 17,1,$ $\log _{1024/1000}2\приблизительно 29,2.$
^ Гай, Ричард К. (2004), "E24 Иррациональные последовательности", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, архивировано из оригинала 2016-04-28
^ abc Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-битный процессор x86 называет свой собственный размер слова dword
^ "Таблица степеней двойки - - - - - - Резюме Вона". www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2015 г.
^ Weisstein, Eric W. "Zero". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. "Zero". Архивировано из оригинала 2013-06-01 . Получено 2013-05-29 .
^ «Открытие простого числа Мерсенна — 2^82589933-1 — простое число!». www.mersenne.org .
^ Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Springer. С. 26–28. ISBN 978-3-540-85297-1.
^ Павел Стшелецкий (1994). «O potęgach dwójki (О степенях двойки)» (на польском языке). Дельта. Архивировано из оригинала 9 мая 2016 г.
^ Кодирование Хаффмана, из: Fundamental Data Compression , 2006