Циклотомическое поле

В теории чисел циклотомическое поле — это числовое поле, полученное присоединением комплексного корня из единицы к $Q$ , полю рациональных чисел .

Циклотомические поля сыграли решающую роль в развитии современной алгебры и теории чисел из-за их связи с Великой теоремой Ферма . Именно в процессе своих глубоких исследований арифметики этих полей (для простых $n$ ) – а точнее, из-за невозможности однозначной факторизации в их кольцах целых чисел – Эрнст Куммер впервые ввел понятие идеального числа и доказал свои знаменитые сравнения .

Определение

Для $n \geq 1$ пусть $ζ n = e 2π i / n \in C$ ; это примитивный корень $n -й$ степени из единицы. Тогда $n$ -е циклотомическое поле является расширением $Q (ζ n)$ поля $Q,$ порожденным $ζ n$ .

Характеристики

n -й $циклотомический$ полином

\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(xe ^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x- { \zeta _{n}}^{k})

является неприводимым , поэтому он является

минимальным

многочленом ζ

n

над

Q.

$Таким образом ,$ сопряженные элементы ζ n $в$ C $являются$ другими примитивными корнями $n-й$ степени из единицы: $ζ$ $к н$ для $1 \leq k \leq n$ с $НОД(k, n) = 1$ .
Степень Q $(ζ$ $n$ $)$ равна $,$ таким образом, $[$ $Q$ $(ζ$ $n$ $) :$ $Q$ $] = deg Φ$ $n$ $=$ $φ$ $($ $n$ $)$ , где $φ$ — функция Эйлера .
Корни x $n$ $-$ $1$ являются степенями $ζ$ $n$ , поэтому $Q$ $($ $ζ$ $n$ $)$ является полем расщепления x $n$ − $1$ (или $Φ($ $x$ $)$ ) над $Q$ .
Следовательно, $Q (ζ n)$ является расширением Галуа $Q$ .
Группа Галуа естественно изоморфна мультипликативной группе , которая состоит из обратимых вычетов по модулю $n$ , которые являются вычетами $a$ $mod$ $n$ с $1 \leq$ $a$ $\leq$ $n$ и $gcd($ $a$ $,$ $n$ $) = 1.$ Изоморфизм переводит каждый в $a$ $mod$ $n$ , где $a$ — целое число, такое что $σ(ζ$ $n$ $) = ζ$ $\operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q})$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$ $\sigma \in \operatorname {Гал} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ $а н$ .
Кольцо целых чисел Q $(ζ n)$ есть $Z [ζ n]$ .
При $n > 2$ дискриминант расширения $Q$ $(ζ$ n $)$ $/$ $Q$ равен ^[1]

(-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi ( п)/(p-1)}}}.

В частности, $Q (ζ n) / Q$ неразветвлено выше любого простого числа, не делящего $n$ .
Если $n$ является степенью простого числа $p$ , то $Q (ζ n) / Q$ полностью разветвлено выше $p$ .
Если $q$ — простое число, не делящее $n$ , то элемент Фробениуса соответствует остатку $q$ в . $\operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q})$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$
Группа корней из единицы в $Q (ζ n)$ имеет порядок $n$ или $2 n$ , в зависимости от того, четно или нечетно $n .$
Группа единиц $Z [ζ n] \times$ является конечно порождённой абелевой группой ранга $φ (n)/2 - 1$ для любого $n > 2$ по теореме Дирихле о единицах . В частности, $Z [ζ n] \times$ конечна только для $n \in {1, 2, 3, 4, 6$ }. Подгруппа кручения $Z [ζ n] \times$ является группой корней из единицы в $Q (ζ$ $n$ $)$ $,$ которая была описана в предыдущем пункте. Циклотомические единицы образуют явную подгруппу конечного индекса Z $[ζ$ $n$ $]$ $\times$ .
Теорема Кронекера –Вебера утверждает, что каждое конечное абелево расширение Q $в$ C $содержится$ в $Q (ζ n)$ для некоторого $n$ . Эквивалентно, объединение всех циклотомических полей $Q (ζ n)$ является максимальным абелевым расширением $Q ab$ поля $Q$ .

Связь с правильными многоугольниками

Гаусс сделал ранние набеги на теорию круговых полей в связи с проблемой построения правильного n $-$ угольника с помощью циркуля и линейки . Его удивительный результат, который ускользнул от его предшественников, состоял в том, что правильный 17-угольник может быть построен таким образом. В более общем смысле, для любого целого числа $n \geq 3$ следующие условия эквивалентны:

правильный $n$ -угольник конструктивен;
существует последовательность полей, начинающаяся с $Q$ и заканчивающаяся $Q (ζ n)$ , такая, что каждое из них является квадратичным расширением предыдущего поля;
$φ (n)$ — степень числа 2 ;
$n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ для некоторых целых чисел $a, r \geq 0$ и простых чисел Ферма . (Простым числом Ферма называется нечетное простое число $p,$ такое что $p$ $- 1$ является степенью числа 2. Известными простыми числами Ферма являются 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , и, скорее всего, других нет.) $p_{1},\ldots ,p_{r}$

Небольшие примеры

$n = 3$ и $n = 6$ : Уравненияипоказывают, что $Q$ $(ζ$ $3$ $) =$ $Q$ $(ζ$ $6$ $) =$ $Q$ $($ $\sqrt$ $-3$ $)$ , что является квадратичным расширением $Q.$ Соответственно, правильный 3-угольник и правильный 6-угольник можно построить. $\zeta _{3}={\tfrac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ $\zeta _{6}={\tfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$
$n = 4$ : Аналогично, $ζ 4 = i$ , поэтому $Q (ζ 4) = Q (i)$ , и правильный 4-угольник можно построить.
$n = 5$ : Поле $Q (ζ 5)$ не является квадратичным расширением $Q$ , но является квадратичным расширением квадратичного расширения $Q (\sqrt 5)$ , поэтому правильный 5-угольник можно построить.

Связь с Великой теоремой Ферма

Естественный подход к доказательству Великой теоремы Ферма — разложить на множители двучлен $x n + y n$ , где $n$ — нечетное простое число, стоящее в одной части уравнения Ферма.

x^{n}+y^{n}=z^{n}

следующее:

x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta ^{n-1}y)

Здесь $x$ и $y$ — обычные целые числа, тогда как множители — алгебраические целые числа в круговом поле $Q (ζ n)$ . Если в круговых целых числах $Z$ $[$ $ζ$ $n$ $] выполняется$ однозначная факторизация , то ее можно использовать для исключения существования нетривиальных решений уравнения Ферма.

Несколько попыток разобраться с Последней теоремой Ферма проводились в этом направлении, и доказательство Ферма для $n = 4$ и доказательство Эйлера для $n = 3$ можно переформулировать в этих терминах. Полный список $n$ , для которых $Z [ζ n]$ имеет уникальную факторизацию, приведен ниже ^[2]

1 по 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Куммер нашел способ справиться с неудачей уникальной факторизации. Он ввел замену для простых чисел в циклотомических целых числах $Z [ζ n]$ , измерил неудачу уникальной факторизации с помощью числа классов $h n$ и доказал, что если $h p$ не делится на простое число $p$ (такие $p$ называются регулярными простыми числами ), то теорема Ферма верна для показателя $n = p$ . Кроме того, он дал критерий для определения того, какие простые числа являются регулярными, и установил теорему Ферма для всех простых показателей $p,$ меньших 100, за исключением нерегулярных простых чисел 37 , 59 и 67 . Работа Куммера по сравнениям для чисел классов циклотомических полей была обобщена в двадцатом веке Ивасавой в теории Ивасавы и Куботой и Леопольдом в их теории p -адических дзета-функций .

Список номеров классов циклотомических полей

(последовательность A061653 в OEIS ), или OEIS : A055513 или OEIS : A000927 для -части (для простого n ) $ч$

1-22: 1
23:3
24-28: 1
29:8
30:1
31:9
32-36: 1
37:37
38:1
39:2
40:1
41: 121
42:1
43: 211
44:1
45:1
46:3
47: 695
48:1
49:43
50:1
51:5
52:3
53: 4889
54:1
55:10
56:2
57:9
58:8
59: 41241
60:1
61: 76301
62:9
63:7
64:17
65:64
66:1
67: 853513
68:8
69:69
70:1
71: 3882809
72:3
73: 11957417
74:37
75:11
76:19
77: 1280
78:2
79: 100146415
80:5
81: 2593
82: 121
83: 838216959
84:1
85: 6205
86: 211
87: 1536
88:55
89: 13379363737
90:1
91: 53872
92: 201
93: 6795
94: 695
95: 107692
96:9
97: 411322824001
98:43
99: 2883
100:55
101: 3547404378125
102:5
103: 9069094643165
104: 351
105: 13
106: 4889
107: 63434933542623
108:19
109: 161784800122409
110: 10
111: 480852
112: 468
113: 1612072001362952
114:9
115: 44697909
116: 10752
117: 132678
118: 41241
119: 1238459625
120:4
121: 12188792628211
122: 76301
123: 8425472
124: 45756
125: 57708445601
126:7
127: 2604529186263992195
128: 359057
129: 37821539
130: 64
131: 28496379729272136525
132: 11
133: 157577452812
134: 853513
135: 75961
136: 111744
137: 646901570175200968153
138:69
139: 1753848916484925681747
140:39
141: 1257700495
142: 3882809
143: 36027143124175
144: 507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149: 687887859687174720123201
150:11
151:2333546653547742584439257
152: 1666737
153: 2416282880
154: 1280
155: 84473643916800
156: 156
157:56234327700401832767069245
158: 100146415
159: 223233182255
160: 31365

Смотрите также

Ссылки

↑ Вашингтон 1997, Предложение 2.7.
↑ Вашингтон 1997, Теорема 11.1.

Источники

Брайан Бирч , «Циклотомические поля и расширения Куммера», в JWS Cassels и A. Frohlich (edd), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Гл. III, стр. 45–93.
Дэниел А. Маркус, Числовые поля , первое издание, Springer-Verlag, 1977
Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в циклотомические поля , Graduate Texts in Mathematics, т. 83 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, г-н 1421575
Serge Lang , Cyclotomic Fields I and II , Combined second edition. С приложением Карла Рубина . Graduate Texts in Mathematics , 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Дальнейшее чтение

Коутс, Джон ; Суджата, Р. (2006). Циклотомические поля и дзета-значения . Монографии Springer по математике. Springer-Verlag . ISBN 3-540-33068-2. Збл 1100.11002.
Вайсштейн, Эрик В. «Циклотомическое поле». MathWorld .
«Циклотомическое поле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
О кольце целых чисел действительных циклотомических полей. Кодзи Ямагата и Масакадзу Ямагиши: Proc, Japan Academy, 92. Ser a (2016)