В математике теорема о четырёх красках или теорема о четырёхцветной карте гласит, что для раскраски областей любой карты требуется не более четырёх цветов, так что никакие две смежные области не будут иметь одинаковый цвет. Смежность означает, что две области имеют общую границу ненулевой длины (т. е. не просто угол, где встречаются три или более областей). [1] Это была первая крупная теорема , доказанная с помощью компьютера . Первоначально это доказательство не было принято всеми математиками, поскольку доказательство с помощью компьютера было невыполнимо для человека, чтобы проверить его вручную . [2] С тех пор доказательство получило широкое признание, хотя некоторые сомнения всё ещё остаются. [3]
Теорема является более сильной версией теоремы о пяти красках , которую можно доказать с помощью значительно более простого аргумента. Хотя более слабая теорема о пяти красках была доказана уже в 1800-х годах, теорема о четырех красках сопротивлялась до 1976 года, когда ее доказали Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен . Это произошло после множества ложных доказательств и ошибочных контрпримеров в предыдущие десятилетия.
Доказательство Аппеля–Хакена осуществляется путем анализа очень большого числа приводимых конфигураций. Это было улучшено в 1997 году Робертсоном, Сандерсом, Сеймуром и Томасом, которым удалось уменьшить число таких конфигураций до 633 — все еще чрезвычайно долгий анализ случая. В 2005 году теорема была проверена Жоржем Гонтье с помощью универсального программного обеспечения для доказательства теорем .
В терминах теории графов теорема утверждает, что для плоского графа без петель его хроматическое число равно .
Интуитивное утверждение теоремы о четырех красках — «при любом разделении плоскости на смежные области эти области можно раскрасить максимум четырьмя цветами так, чтобы никакие две смежные области не имели одинаковый цвет» — необходимо интерпретировать соответствующим образом, чтобы быть верным.
Во-первых, регионы являются смежными, если они имеют общий граничный сегмент; два региона, которые имеют только изолированные граничные точки, не считаются смежными. (В противном случае карта в форме круговой диаграммы создала бы произвольно большое количество регионов, «соседних» друг с другом в общем углу, и в результате потребовала бы произвольно большого количества цветов.) Во-вторых, странные регионы, например, с конечной площадью, но бесконечно большим периметром, не допускаются; карты с такими регионами могут потребовать более четырех цветов. [4] (Чтобы быть уверенным, мы можем ограничиться регионами, границы которых состоят из конечного числа прямых отрезков. Допускается, что регион имеет анклавы , то есть он полностью окружает один или несколько других регионов.) Обратите внимание, что понятие «смежный регион» (технически: связное открытое подмножество плоскости) не то же самое, что и понятие «страна» на обычных картах, поскольку страны не обязательно должны быть смежными (они могут иметь эксклавы ; например, провинция Кабинда как часть Анголы , Нахичевань как часть Азербайджана , Калининград как часть России, Франция с ее заморскими территориями и Аляска как часть Соединенных Штатов не являются смежными). Если бы мы потребовали, чтобы вся территория страны получила один и тот же цвет, то четырех цветов не всегда было бы достаточно. Например, рассмотрим упрощенную карту:
На этой карте два региона, обозначенные как A, принадлежат одной и той же стране. Если бы мы хотели, чтобы эти регионы получили один и тот же цвет, то потребовалось бы пять цветов, поскольку два региона A вместе соседствуют с четырьмя другими регионами, каждый из которых соседствует со всеми остальными.
Более простая формулировка теоремы использует теорию графов . Множество регионов карты можно представить более абстрактно как неориентированный граф , имеющий вершину для каждого региона и ребро для каждой пары регионов, которые разделяют граничный сегмент. Этот граф является планарным : его можно нарисовать на плоскости без пересечений, поместив каждую вершину в произвольно выбранное место внутри региона, которому она соответствует, и нарисовав ребра как кривые без пересечений, которые ведут от вершины одного региона через общий граничный сегмент к вершине соседнего региона. И наоборот, любой планарный граф может быть сформирован из карты таким образом. В терминологии теории графов теорема о четырех красках утверждает, что вершины каждого планарного графа могут быть раскрашены не более чем четырьмя цветами так, чтобы никакие две смежные вершины не получили один и тот же цвет, или, для краткости: каждый планарный граф является четырехцветным . [5]
Насколько известно, [6] гипотеза была впервые предложена 23 октября 1852 года, [7] когда Фрэнсис Гатри , пытаясь раскрасить карту графств Англии, заметил, что нужны только четыре разных цвета. В то время брат Гатри, Фредерик , был студентом Августа Де Моргана (бывшего советника Фрэнсиса) в Университетском колледже Лондона . Фрэнсис спросил об этом у Фредерика, который затем отнес это Де Моргану (Фрэнсис Гатри окончил университет позже в 1852 году и позже стал профессором математики в Южной Африке). По словам Де Моргана:
Мой студент [Гутри] попросил меня сегодня дать ему обоснование факта, о существовании которого я не знал и не знаю до сих пор. Он говорит, что если фигура каким-либо образом разделена и отсеки по-разному окрашены так, что фигуры с любой частью общей граничной линии по-разному окрашены — четыре цвета могут быть желательны, но не больше — вот его случай, в котором требуются четыре цвета . Вопрос: нельзя ли придумать необходимость в пяти или большем количестве… [8]
«FG», возможно, один из двух Гатри, опубликовал вопрос в The Athenaeum в 1854 году [9] , а Де Морган снова задал этот вопрос в том же журнале в 1860 году [10]. Другая ранняя опубликованная ссылка Артура Кейли (1879) в свою очередь приписывает гипотезу Де Моргану.
Было несколько ранних неудачных попыток доказать теорему. Де Морган считал, что она следует из простого факта о четырех регионах, хотя он не верил, что этот факт можно вывести из более элементарных фактов.
Это возникает следующим образом. Нам никогда не нужны четыре цвета в районе, если только не будет четырех округов, каждый из которых имеет общие границы с каждым из трех других. Такое не может произойти с четырьмя областями, если только одна или несколько из них не будут огорожены остальными; и цвет, используемый для огороженного округа, таким образом, освобождается для дальнейшего использования. Теперь этот принцип, что четыре области не могут иметь общую границу со всеми остальными тремя без огораживания, не может, как мы полностью верим, быть продемонстрирован на чем-то более очевидном и более элементарном; он должен стоять как постулат. [10]
Одно из предложенных доказательств было дано Альфредом Кемпе в 1879 году и получило широкое признание; [11] другое было дано Питером Гатри Тейтом в 1880 году. Только в 1890 году Перси Хивуд показал, что доказательство Кемпе неверно, а в 1891 году Юлиус Петерсен показал, что доказательство Тейта неверно — каждое ложное доказательство оставалось неоспоренным в течение 11 лет. [12]
В 1890 году, в дополнение к выявлению недостатка в доказательстве Кемпе, Хивуд доказал теорему о пяти красках и обобщил гипотезу о четырех красках на поверхности произвольного рода. [13]
В 1880 году Тейт показал, что теорема о четырех красках эквивалентна утверждению, что определенный тип графа (называемый снарком в современной терминологии) должен быть непланарным . [ 14]
В 1943 году Гуго Хадвигер сформулировал гипотезу Хадвигера [15] , которая является далеко идущим обобщением проблемы четырех красок, которая до сих пор остается нерешенной.
В 1960-х и 1970-х годах немецкий математик Генрих Хеш разработал методы использования компьютеров для поиска доказательства. Примечательно, что он был первым, кто использовал разрядку для доказательства теоремы, что оказалось важным в части неизбежности последующего доказательства Аппеля–Хакена. Он также расширил концепцию сводимости и вместе с Кеном Дюрре разработал компьютерный тест для нее. К сожалению, в этот критический момент он не смог обеспечить необходимое время суперкомпьютера для продолжения своей работы. [16]
Другие переняли его методы, включая его компьютерный подход. Пока другие команды математиков спешили завершить доказательства, Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен из Иллинойсского университета объявили 21 июня 1976 года [17] , что они доказали теорему. В некоторой алгоритмической работе им помогал Джон А. Кох. [18]
Если бы гипотеза о четырех цветах была ложной, то существовала бы по крайней мере одна карта с наименьшим возможным числом регионов, требующая пяти цветов. Доказательство показало, что такой минимальный контрпример не может существовать, с помощью использования двух технических концепций: [19]
Используя математические правила и процедуры, основанные на свойствах приводимых конфигураций, Аппель и Хакен нашли неизбежный набор приводимых конфигураций, тем самым доказав, что минимальный контрпример к гипотезе о четырех цветах не может существовать. Их доказательство сократило бесконечность возможных карт до 1834 приводимых конфигураций (позже сокращенных до 1482), которые должны были быть проверены по одной на компьютере и заняли более тысячи часов. Эта часть работы, касающаяся приводимости, была независимо дважды проверена с помощью различных программ и компьютеров. Однако часть доказательства, касающаяся неизбежности, была проверена на более чем 400 страницах микрофиш , которые должны были быть проверены вручную с помощью дочери Хакена Доротеи Блоштейн . [20]
Заявление Аппеля и Хакена широко освещалось в средствах массовой информации по всему миру, [21] а математический факультет Иллинойсского университета использовал почтовый штемпель с надписью «Достаточно четырех цветов». [22] В то же время необычный характер доказательства — это была первая крупная теорема, доказанная с помощью обширного компьютера — и сложность части, поддающейся проверке человеком, вызвали серьезные споры. [23]
В начале 1980-х годов распространились слухи о недостатке в доказательстве Аппеля–Хакена. Ульрих Шмидт из Рейнско-Вестфальского технического университета Ахена проверил доказательство Аппеля и Хакена для своей магистерской диссертации, опубликованной в 1981 году. [24] Он проверил около 40% части неизбежности и обнаружил существенную ошибку в процедуре освобождения от ответственности (Appel & Haken 1989). В 1986 году редактор Mathematical Intelligencer попросил Аппеля и Хакена написать статью, посвященную слухам об изъянах в их доказательстве. Они ответили, что слухи возникли из-за «неправильного толкования результатов [Шмидта]», и обязались написать подробную статью. [24] Их главный труд , «Каждая плоская карта раскрашивается четырьмя цветами» , книга, претендующая на полное и подробное доказательство (с приложением на микрофише объемом более 400 страниц), появилась в 1989 году; в нем была объяснена и исправлена ошибка, обнаруженная Шмидтом, а также несколько других ошибок, обнаруженных другими. [20]
После доказательства теоремы новый подход привел как к более короткому доказательству, так и к более эффективному алгоритму для 4-раскрашиваемых карт. В 1996 году Нил Робертсон , Дэниел П. Сандерс , Пол Сеймур и Робин Томас создали квадратичный алгоритм (требующий только O ( n 2 ) времени, где n — число вершин), улучшающий алгоритм четверичного времени, основанный на доказательстве Аппеля и Хакена. [25] Новое доказательство, основанное на тех же идеях, похоже на доказательство Аппеля и Хакена, но более эффективно, поскольку оно снижает сложность задачи и требует проверки только 633 приводимых конфигураций. Как части неизбежности, так и приводимости этого нового доказательства должны быть выполнены компьютером и непрактичны для ручной проверки. [26] В 2001 году те же авторы объявили об альтернативном доказательстве, доказав гипотезу Снарка . [27] Однако это доказательство остается неопубликованным.
В 2005 году Бенджамин Вернер и Жорж Гонтье формализовали доказательство теоремы в Coq proof assistant. Это устранило необходимость доверять различным компьютерным программам, используемым для проверки частных случаев; нужно доверять только ядру Coq. [28]
Нижеследующее обсуждение представляет собой резюме, основанное на введении к Every Planar Map is Four Colorable (Appel & Haken 1989). Хотя первоначальное предполагаемое доказательство Кемпе теоремы о четырех красках было несовершенным, оно предоставило некоторые из основных инструментов, которые позже были использованы для ее доказательства. Объяснение здесь перефразировано в терминах современной формулировки теории графов, приведенной выше.
Аргумент Кемпе выглядит следующим образом. Во-первых, если плоские области, разделенные графом, не триангулированы (т. е. не имеют ровно трех ребер на своих границах), мы можем добавлять ребра, не вводя новых вершин, чтобы сделать каждую область треугольной, включая неограниченную внешнюю область. Если этот триангулированный граф раскрашивается с использованием четырех цветов или меньше, то и исходный граф раскрашивается, поскольку та же раскраска действительна, если удалить ребра. Таким образом, достаточно доказать теорему о четырех красках для триангулированных графов, чтобы доказать ее для всех плоских графов, и без потери общности мы предполагаем, что граф триангулирован.
Предположим, что v , e , и f — это количество вершин, ребер и областей (граней). Поскольку каждая область треугольная и каждое ребро является общим для двух областей, мы имеем, что 2 e = 3 f . Это вместе с формулой Эйлера , v − e + f = 2, можно использовать, чтобы показать, что 6 v − 2 e = 12. Теперь степень вершины — это количество ребер, примыкающих к ней. Если v n — это количество вершин степени n , а D — это максимальная степень любой вершины,
Но поскольку 12 > 0 и 6 − i ≤ 0 для всех i ≥ 6, это показывает, что существует по крайней мере одна вершина степени 5 или меньше.
Если есть граф, требующий 5 цветов, то существует минимальный такой граф, где удаление любой вершины делает его четырехцветным. Назовем этот граф G. Тогда G не может иметь вершину степени 3 или меньше, потому что если d ( v ) ≤ 3, мы можем удалить v из G , четырехцветно раскрасить меньший граф, затем добавить обратно v и расширить четырехцветную раскраску на него, выбрав цвет, отличный от его соседей.
Кемпе также правильно показал, что G не может иметь вершин степени 4. Как и прежде, мы удаляем вершину v и раскрашиваем оставшиеся вершины в четыре цвета. Если все четыре соседа v имеют разные цвета, скажем, красный, зеленый, синий и желтый в порядке по часовой стрелке, мы ищем чередующийся путь вершин, окрашенных в красный и синий, соединяющий красных и синих соседей. Такой путь называется цепью Кемпе . Может быть цепь Кемпе, соединяющая красных и синих соседей, и может быть цепь Кемпе, соединяющая зеленых и желтых соседей, но не обе, поскольку эти два пути обязательно пересекутся, а вершина, где они пересекаются, не может быть раскрашена. Предположим, что красные и синие соседи не соединены вместе. Исследуем все вершины, присоединенные к красному соседу красно-синими чередующимися путями, а затем меняем цвета на красный и синий во всех этих вершинах. Результатом по-прежнему является допустимая четырехцветная раскраска, и теперь v можно добавить обратно и раскрасить в красный цвет.
Это оставляет только случай, когда G имеет вершину степени 5; но аргумент Кемпе был несовершенен для этого случая. Хивуд заметил ошибку Кемпе и также заметил, что если бы кто-то был удовлетворен доказательством того, что необходимо только пять цветов, он мог бы пройти через приведенный выше аргумент (изменяя только то, что минимальный контрпример требует 6 цветов) и использовать цепи Кемпе в ситуации степени 5, чтобы доказать теорему о пяти цветах .
В любом случае, чтобы иметь дело с этим случаем вершины степени 5, требуется более сложное понятие, чем удаление вершины. Скорее форма аргумента обобщается для рассмотрения конфигураций , которые являются связанными подграфами G с указанной степенью каждой вершины (в G). Например, случай, описанный в ситуации вершины степени 4, представляет собой конфигурацию, состоящую из одной вершины, помеченной как имеющую степень 4 в G. Как и выше, достаточно продемонстрировать, что если конфигурация удалена, а оставшийся граф раскрашен в четыре цвета, то раскраска может быть изменена таким образом, что при повторном добавлении конфигурации раскраска в четыре цвета может быть расширена и на нее. Конфигурация, для которой это возможно, называется приводимой конфигурацией . Если хотя бы одна из набора конфигураций должна встречаться где-то в G, этот набор называется неизбежным . Приведенное выше рассуждение началось с указания неизбежного набора из пяти конфигураций (одна вершина со степенью 1, одна вершина со степенью 2, ..., одна вершина со степенью 5), а затем было показано, что первые 4 являются приводимыми; демонстрация неизбежного набора конфигураций, где каждая конфигурация в наборе приводима, доказала бы теорему.
Поскольку G треугольный, степень каждой вершины в конфигурации известна, и все внутренние ребра конфигурации известны, число вершин в G, смежных с данной конфигурацией, фиксировано, и они соединены в цикл. Эти вершины образуют кольцо конфигурации ; конфигурация с k вершинами в кольце является k -кольцевой конфигурацией, а конфигурация вместе с ее кольцом называется кольцевой конфигурацией . Как и в простых случаях выше, можно перечислить все различные четырехцветные раскраски кольца; любая раскраска, которая может быть расширена без изменений до раскраски конфигурации, называется изначально хорошей . Например, одновершинная конфигурация выше с 3 или менее соседями изначально была хорошей. В общем случае окружающий граф должен быть систематически перекрашен, чтобы превратить раскраску кольца в хорошую, как это было сделано в случае выше, где было 4 соседа; для общей конфигурации с большим кольцом это требует более сложных методов. Из-за большого количества различных четырехцветных раскрасок кольца это основной шаг, требующий помощи компьютера.
Наконец, остается определить неизбежный набор конфигураций, поддающихся сокращению с помощью этой процедуры. Основной метод, используемый для обнаружения такого набора, — это метод разрядки . Интуитивная идея, лежащая в основе разрядки, заключается в том, чтобы рассматривать планарный граф как электрическую сеть. Первоначально положительный и отрицательный «электрический заряд» распределяется между вершинами так, чтобы общая сумма была положительной.
Вспомним формулу выше:
Каждой вершине назначается начальный заряд 6-deg( v ). Затем заряд «перетекает» путем систематического перераспределения заряда из вершины в соседние вершины в соответствии с набором правил, процедурой разрядки . Поскольку заряд сохраняется, некоторые вершины все еще имеют положительный заряд. Правила ограничивают возможности конфигураций положительно заряженных вершин, поэтому перечисление всех таких возможных конфигураций дает неизбежный набор.
Пока какой-то член неизбежного множества не является редуцируемым, процедура выгрузки модифицируется для его устранения (при введении других конфигураций). Окончательная процедура выгрузки Аппеля и Хакена была чрезвычайно сложной и вместе с описанием полученного неизбежного множества конфигураций заполнила том на 400 страниц, но конфигурации, которые она генерировала, можно было механически проверить на редуцируемость. Проверка тома, описывающего само неизбежное множество конфигураций, проводилась путем рецензирования коллегами в течение нескольких лет.
Техническая деталь, которая здесь не обсуждается, но необходима для завершения доказательства, — это сводимость погружения .
Теорема о четырех красках печально известна тем, что привлекла большое количество ложных доказательств и опровержений за свою долгую историю. Сначала The New York Times отказалась, в качестве политики, сообщать о доказательстве Аппеля–Хакена, опасаясь, что доказательство будет показано ложным, как и предыдущие. [21] Некоторые предполагаемые доказательства, такие как упомянутые выше доказательства Кемпе и Тейта, находились под пристальным вниманием общественности более десятилетия, прежде чем были опровергнуты. Но многие другие, написанные любителями, вообще никогда не были опубликованы.
Как правило, самые простые, хотя и недействительные, контрпримеры пытаются создать одну область, которая касается всех остальных областей. Это заставляет оставшиеся области быть окрашенными только тремя цветами. Поскольку теорема о четырех цветах верна, это всегда возможно; однако, поскольку человек, рисующий карту, сосредоточен на одной большой области, он не замечает, что оставшиеся области на самом деле могут быть окрашены тремя цветами.
Этот трюк можно обобщить: существует множество карт, где если цвета некоторых регионов выбраны заранее, становится невозможным раскрасить оставшиеся регионы, не превысив четырех цветов. Случайный верификатор контрпримера может не подумать об изменении цветов этих регионов, так что контрпример будет выглядеть так, как будто он действителен.
Возможно, один из эффектов, лежащих в основе этого распространенного заблуждения, заключается в том, что ограничение цвета не является транзитивным : регион должен быть окрашен только по-другому, чем регионы, которых он касается напрямую, а не регионы, которые касаются регионов, которых он касается. Если бы это было ограничением, планарные графы потребовали бы произвольно большого количества цветов.
Другие ложные опровержения нарушают предположения теоремы, например, использование области, состоящей из нескольких разрозненных частей, или запрет на соприкосновение областей одного цвета в одной точке.
Хотя каждую плоскую карту можно раскрасить четырьмя цветами, задача, позволяющая решить, можно ли раскрасить произвольную плоскую карту всего тремя цветами, является NP-полной по сложности . [29]
Кубическую карту можно раскрасить только тремя цветами, если и только если каждый внутренний регион имеет четное число соседних регионов. [30] В примере карты штатов США у не имеющего выхода к морю Миссури ( МО ) есть восемь соседей (четное число): он должен быть окрашен иначе, чем все они, но соседи могут чередовать цвета, поэтому этой части карты нужно всего три цвета. Однако у не имеющего выхода к морю Невады ( НВ ) есть пять соседей (нечетное число): один из соседей должен быть окрашен иначе, чем он и все остальные, поэтому здесь нужно четыре цвета.
Теорема о четырех красках применима не только к конечным планарным графам, но и к бесконечным графам , которые можно нарисовать без пересечений на плоскости, и даже в более общем смысле к бесконечным графам (возможно, с несчетным числом вершин), для которых каждый конечный подграф является планарным. Чтобы доказать это, можно объединить доказательство теоремы для конечных планарных графов с теоремой Де Брейна–Эрдёша, утверждающей, что если каждый конечный подграф бесконечного графа является k -раскрашиваемым, то весь граф также является k -раскрашиваемым Нэшем-Вильямсом (1967). Это также можно рассматривать как непосредственное следствие теоремы Курта Гёделя о компактности для логики первого порядка , просто выражая раскрашиваемость бесконечного графа с помощью набора логических формул.
Можно также рассмотреть задачу раскраски на поверхностях, отличных от плоскости. [31] Задача на сфере или цилиндре эквивалентна задаче на плоскости. Для замкнутых (ориентируемых или неориентируемых) поверхностей с положительным родом максимальное количество p необходимых цветов зависит от эйлеровой характеристики поверхности χ в соответствии с формулой
где внешние скобки обозначают функцию пола .
Альтернативно, для ориентируемой поверхности формула может быть задана через род поверхности g :
Эта формула, гипотеза Хивуда , была предложена П. Дж. Хивудом в 1890 году и, после вклада нескольких человек, доказана Герхардом Рингелем и Дж. В. Т. Янгсом в 1968 году. Единственным исключением из формулы является бутылка Клейна , которая имеет эйлерову характеристику 0 (следовательно, формула даёт p = 7), но требует только 6 цветов, как показал Филипп Франклин в 1934 году.
Например, тор имеет эйлерову характеристику χ = 0 (и род g = 1), и, таким образом, p = 7, поэтому для раскрашивания любой карты на торе требуется не более 7 цветов. Эта верхняя граница в 7 является точной : некоторые тороидальные многогранники, такие как многогранник Силасси, требуют семи цветов.
Лента Мёбиуса требует шести цветов (Tietze 1910), как и 1-планарные графы (графы, нарисованные с не более чем одним простым пересечением на ребро) (Бородин 1984). Если и вершины, и грани планарного графа раскрашены таким образом, что никакие две смежные вершины, грани или пары вершина-грань не имеют одинакового цвета, то снова требуется не более шести цветов (Бородин 1984).
Для графов, вершины которых представлены парами точек на двух различных поверхностях, а ребра нарисованы как непересекающиеся кривые на одной из двух поверхностей, хроматическое число может быть не менее 9 и не более 12, но более точные границы неизвестны; это проблема Земля-Луна Герхарда Рингеля . [32]
Нет очевидного расширения результата раскрашивания на трехмерные сплошные области. Используя набор из n гибких стержней, можно сделать так, чтобы каждый стержень касался каждого другого стержня. Тогда набор потребует n цветов или n +1, включая пустое пространство, которое также касается каждого стержня. Число n можно взять любым целым числом, сколь угодно большим. Такие примеры были известны Фредерику Гатри в 1880 году. [33] Даже для параллельных осям кубоидов (считающихся смежными, когда два кубоида разделяют двумерную граничную область) может потребоваться неограниченное количество цветов. [34]
Дрор Бар-Натан сделал утверждение относительно алгебр Ли и инвариантов Васильева , которое эквивалентно теореме о четырех красках. [35]
Несмотря на мотивацию раскрашивания политических карт стран , теорема не представляет особого интереса для картографов . Согласно статье историка математики Кеннета Мэя , «Карты, использующие только четыре цвета, редки, а те, которые используют, обычно требуют только три. Книги по картографии и истории картографии не упоминают свойство четырех цветов». [36] Теорема также не гарантирует обычного картографического требования, чтобы несмежные регионы одной и той же страны (например, эксклав Аляска и остальная часть Соединенных Штатов ) были раскрашены одинаково.
